假期作业8 正弦定理和余弦定理-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

＝ ３２－３２sinθ, 因为θ∈(０,π),所以sinθ∈(０,１],所以|PA→＋PB→＋PC→ ＋PD→|∈[０,４ ２), 故|PA→＋PB→＋PC→＋PD→|有最小值为０,无最大值．] 假期作业８ 思维整合室　知识梳理 １．bsinB　 c sinC　b ２＋c２－２bccosA　c２＋a２－２cacosB　 a２＋b２－２abcosC　(１)２RsinB　２RsinC　(２)b２R　 (３)sinA∶sinB∶sinC　b ２＋c２－a２ ２bc 　 c２＋a２－b２ ２ac 　 a２＋b２－c２ ２ab 　３． 一解　两解　一解　一解　无解 技能提升台　素养提升 １．D　２．D　３．C　４．B　 ５．A　[因为a ２－(b＋c)２ bc ＝－１ ,所以a２－(b＋c)２＝－bc, 即a２－b２－c２－２bc＝－bc,所以a２＝b２＋c２＋bc,由余弦 定理得cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝－ １ ２． 因为０°＜A＜１８０°,所 以A＝１２０°,故选 A．] ６．解析:因为c＝２b,所以sinC＝２sinB＝３４ ,所以sinB＝ ３ ８． 因为c＝２b,所以b２＋bc＝３b２＝２a２,所以a＝ ６２b． 所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ ３ ２b ２＋４b２－b２ ２ ６b２ ＝３ ６８ ． 答案:３ ８　 ３ ６ ８ ７．BD　[将a＝２RsinA,b＝２RsinB(R 为△ABC外接圆的 半径)代 入 已 知 条 件,得 sin２AtanB＝sin２BtanA,则 sin２AsinB cosB ＝ sinAsin２B cosA ． 因为sinAsinB≠０,所以sinAcosB＝ sinB cosA , 所以sin２A＝sin２B,所以２A＝２B 或２A＝π－２B, 所以A＝B或A＋B＝π２ ,故△ABC为等腰三角形或直角三 角形．] ８．BD　[因为A＋B＝π－C,所以sinC＝sin(π－C) ＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB． 又sinC＋sin(A－B)＝３sin２B, 所以２sinAcosB＝６sinBcosB, 即２cosB(sinA－３sinB)＝０, 解得cosB＝０或sinA＝３sinB． 当cosB＝０时,因为B∈(０,π),所以B＝π２． 又C＝π３ , 所以A＝π６ ,则sinA＝１２ ,sinB＝１,所以由正弦定理得 a b ＝ sinA sinB＝ １ ２． 当sinA＝３sinB 时,由正弦定理得a ＝３b, 所以a b ＝３． 综上所述,a b ＝３ 或１ ２． 故选BD．] ９．解析:由S△ABC＝ １ ２acsinB ,得 ３＝１２acsin６０° , 即 ３＝ ３４ac ,得ac＝４,所以a２＋c２＝３ac＝１２, 则由余弦定理,得b２＝a２＋c２－２accos６０°＝１２－２×４× １ ２＝８ ,所以b＝２ ２． 答案:２ ２ １０．解析:由已知及余弦定理可得cosA＝AB ２＋AC２－BC２ ２AB􀅰AC ＝９ ２＋８２－７２ ２×９×８ ＝ ２ ３． 设中线长为x,由余弦定理得x２＝ AC ２( ) ２ ＋AB２－２􀅰AC２ 􀅰AB􀅰cosA＝４２＋９２－２×４ ×９×２３＝４９ ,即x＝７．所以AC边上的中线长为７． 答案:７ １１．解:(１)因为sinA∶sinB∶sinC＝２∶１∶ ２,由正弦定 理可得a∶b∶c＝２∶１∶ ２, ∵b＝ ２,∴a＝２ ２,c＝２． (２)由余弦定理可得cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ８＋２－４ ２×２ ２× ２ ＝３４． (３)∵cosC＝３４ , ∴sinC＝ １－cos２C＝ ７４ , ∴sin２C＝２sinCcosC＝２× ７４× ３ ４＝ ３ ７ ８ , cos２C＝２cos２C－１＝２×９１６－１＝ １ ８ , 所以sin ２C－π６( ) ＝sin２Ccos π ６－cos２Csin π ６ ＝３ ７８ × ３ ２－ １ ８× １ ２＝ ３ ２１－１ １６ ． １２．解:(１)已知sinCsin(A－B) ＝sinBsin(C－A)可化简为 sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－ sinBcosCsinA, 由正弦定理可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC, 即accosB＝２bccosA－abcosC,由余弦定理可得 aca ２＋c２－b２ ２ac ＝２bc b２＋c２－a２ ２bc －ab a２＋b２－c２ ２ab , 即得２a２＝b２＋c２． (２)由(１)可知b２＋c２＝２a２＝５０,cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ５０－２５ ２bc ＝ ２５ ２bc＝ ２５ ３１ ,∴２bc＝３１,∵b２＋c２＋２bc＝(b＋c)２ ＝８１,∴b＋c＝９,∴a＋b＋c＝１４,∴△ABC 的 周 长 为１４． 新题快递 １．解:(１)sin２C＝ ３sinC,２sinCcosC＝ ３sinC,cosC＝ ３２ , 又０＜C＜π２ ,∴∠C＝π６． (２)∵S△ABC＝６ ３,∴ １ ２absinC＝６ ３ ,∵C＝π６ , ∴sinC＝ １２ ,∴a＝４ ３,由 余 弦 定 理 得c２＝a２＋b２－ ２abcosC＝４８＋３６－２×４ ３×６× ３２＝１２ , 所以c＝２ ３,所以△ABC的周长为６ ３＋６． ２．解:选择条件①,由(sinB－sinC)２＝sin２A－sinBsinC 及正弦定理知(b－c)２＝a２－bc, 整理 得b２ ＋c２ －a２ ＝bc,由 余 弦 定 理 可 得 cosA＝ b２＋c２－a２ ２bc ＝ bc ２bc＝ １ ２． ∵A∈(０,π),∴A＝π３． 由 ２a＝b＋c, 得 ２sinA＝sinB＋sinC＝sinB＋sin(A＋B), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８５ 即 ２sin π３＝sinB＋sin π ３＋B( ) ,整理得sin B＋ π ６( ) ＝ ２２． ∵B∈ ０,２π３( ) ,∴B＋ π ６∈ π ６ ,５π ６( ) , ∴B＋π６＝ π ４ 或３π ４ ,解得B＝π１２ 或７π １２． 选择条件②,∵A＋B＋C＝π, ∴B＋C２ ＝ π ２－ A ２． 由bsinB＋C２ ＝asinB 得, bcosA２＝asinB , 由正弦定理知,sinBcosA２＝sinAsinB ＝２sinA２cos A ２sinB , 又sinB＞０,cosA２＞０ ,可得sinA２＝ １ ２． 又∵A∈(０,π),∴A２＝ π ６ ,故A＝π３． 下同选择条件①． 选择条 件③,由asinB＝bcos A－π６( ) 及 正 弦 定 理 得 sinAsinB＝sinBcos A－π６( ) , ∵sinB＞０,∴sinA＝cos A－π６( )＝ ３ ２cosA＋ １ ２sinA , 解得tanA＝ ３． ∵A∈(０,π),∴A＝π３． 下同选择条件①． 假期作业９ 思维整合室 １．解三角形　３．(２)１２bcsinA　 １ ２casinB 技能提升台　素养提升 １．C　２．B　 ３．B　[如图所示建立平面直角坐标系,假设|OE|＝|OG| ＝４４１,OF⊥EG, 由题意 易 知|OF|＝ ２２ ×５８８＝２９４ ２ ,则|GF|＝ |OG|２－|OF|２＝ ２１６０９＝１４７, 所以该基地受热带风暴中心影响的时长|EG| ２１ ＝ １４７×２ ２１ ＝１４．] ４．解析:在△ABC中,AB＝４０,AC＝２０,∠BAC＝１２０°, 由余弦定理得BC２＝AB２＋AC２－２AB􀅰AC􀅰cos１２０° ＝２８００⇒BC＝２０ ７． 由正弦定理,得 AB sin∠ACB＝ BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB＝ABBC 􀅰sin∠BAC＝ ２１７ ． 由∠BAC＝１２０°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB＝２ ７７ ． 由θ＝∠ACB＋３０°,得cosθ＝cos(∠ACB＋３０°) ＝cos∠ACBcos３０°－sin∠ACBsin３０°＝ ２１１４ ． 答案: ２１ １４ ５．D　[在△ABC中,BC＝６０× １２＝３０ (km),∠ABC＝７０° －４０°＝３０°,∠ACB＝４０°＋６５°＝１０５°,则 ∠A＝１８０°－ (３０°＋１０５°)＝４５°,由正弦定理,可得 AC＝１５ ２(km)． 故选 D．] ６．A　[如图所示,易知,在△ABC 中,AB ＝２０,∠CAB＝３０°,∠ACB＝４５°, 根据正弦定理得 BC sin３０°＝ AB sin４５° ,解得 BC＝１０ ２(海里)．] ７．B　 [连 接 AC,由 题 意, ∠ABC＝４５°,∠ACD＝ ７５°－１５°＝６０°,∠BCD＝ ７５°＋４５°＝１２０°, ∠ACB＝６０°,AB ＝１０ ３,CD＝４ ２, 在△ABC中,由正弦定理得, ABsin∠ACB＝ AC sin∠ABC ,即 １０ ３ ３ ２ ＝AC ２ ２ ,则AC＝１０ ２, 在△ACD 中,由余弦定理得,AD２＝AC２＋CD２－２AC􀅰 CDcos∠ACD＝１５２, 则AD＝２ ３８km．] ８．解析:在 Rt△BCP１ 中,∠BP１C＝α,在 Rt△P２BC中, ∠P２＝ α ２． ∵∠BP１C＝∠P１BP２＋∠P２,∴∠P１BP２＝ α ２ , 即△P１BP２ 为等腰三角形,BP１＝P１P２＝l,∴BC＝lsinα． 在 Rt△ACP１ 中, AC CP１ ＝ AClcosα＝tan (９０°－α), ∴AC＝lcos ２α sinα ,则BA＝AC－BC＝lcos ２α sinα－lsinα ＝l (cos２α－sin２α) sinα ＝ lcos２α sinα ． 答案:lsinα　lcos２αsinα ９．C　[由余弦定理可得(２ ３)２＝AB２＋４２－２×４􀅰AB􀅰 cos６０°,整理得AB２－４AB＋４＝０,解得AB＝２, ∴△ABC的面积S＝１２AC 􀅰AB􀅰sinA＝１２×４×２× ３ ２ ＝２ ３．故选 C．] １０．C　[由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA,而三角形 面积为１ ２bcsinA , 故 ３(b ２＋c２－２bccosA－b２－c２) ４ ＝ １ ２bcsinA , 整理得到tanA＝－ ３,又 A∈(０,π),故 A＝２π３． 故 选 C．] １１．解:(１)２sinC＝３sinA,∴２c＝３a,又∵c＝a＋２, ∴a＝４,b＝５,c＝６． cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ３ ４ ,在△ABC中得sinA＝ ７４ , S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １５ ７ ４ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９５ 假期作业８　正弦定理和余弦定理　　　　　　　 １．正、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,R 为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sinA＝　　　　　＝ 　　　　＝２R a２＝　　　　; b２＝　　　　; c２＝　　　　 常 见 变 形 (１)a＝２RsinA,b＝　　　, c＝　　　　; (２)sinA＝a２R ,sinB＝ 　　　　,sinC＝c２R ; (３)a∶b∶c＝　　　　; (４)asinB＝bsinA,bsinC＝ csinB,asinC＝csinA cosA＝　　　　; cosB＝　　　　; cosC＝　　　　 ２．三角 形 面 积 公 式 S△ABC ＝ １ ２absinC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２acsinB＝ abc ４R＝ １ ２ (a＋b＋ c)􀅰r(r是三角形内切圆的半径),并 可由此计算R,r． ３．在△ABC中,已知a,b和A 时,解的情况 如下 A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA＜ a＜b a≥b a＞ba≤b 解的 个数 　　　　 　　　　 　　　 　　 　　 ◆[考点一]　已知两边及一角解三角形 １．如果等腰三角形的周长是底边长的 ５ 倍,那么它的顶角的余弦值为 (　　) A．５１８　　B． ３ ４　　C． ３ ２　　D． ７ ８ ２．在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a＝８ ３,b＝６,A＝６０°,则sinB＝ (　　) A．２３　　B． ６ ３　　C． ２ ２　　D． ３ ８ ３．在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a＝１５,b＝１８,A＝３０°,则此三角形 解的个数为 (　　) A．０ B．１ C．２ D．不能确定 ４．设△ABC的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c．若a＝２,c＝２ ３,cosA＝ ３２ ,且 b＜c,则b＝ (　　) A．３ B．２ C．２ ２ D．３ ◆[考点二]　已知三边或三边的关系解三 角形 ５．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c．若a ２－(b＋c)２ bc ＝－１ ,则A＝ (　　) A．１２０°　　B．４５°　　C．６０°　　D．３０° ６．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,已知c＝２b．若sinC＝３４ ,则 sinB＝　　　　　　;若b２＋bc＝２a２, 则cosB＝　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６１ ◆[考点三]　正、余弦定理的综合应用 ７．(多选)在△ABC中,已知a２tanB＝b２tanA, 则△ABC的形状可能是 (　　) A．锐角三角形　　B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ８．(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分 别为a,b,c．sinC＋sin(A－B)＝３sin２B,C ＝π３ ,则a b＝ (　　) A．１３　　B． １ ２　　C．２　　D．３ ９．记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 ３,B＝６０°,a２＋c２＝３ac, 则b＝　　　　． １０．在△ABC 中,已知BC＝７,AC＝８,AB ＝９,则AC边上的中线长为　　　　． １１．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别 为a,b,c,已知sinA∶sinB∶sinC＝ ２∶１∶ ２,b＝ ２． (１)求a的值; (２)求cosC的值; (３)求sin２C－π６ æ è ç ö ø ÷的值． １２．(２０２２􀅰全国乙卷)记△ABC 的内角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)． (１)证明:２a２＝b２＋c２; (２)若a＝５,cosA＝２５３１ ,求 △ABC 的 周长． １．(２０２２􀅰北京卷)在△ABC 中,sin２C＝ ３sinC． (１)求∠C; (２)若b＝６,且△ABC 的面积为６ ３,求 △ABC的周长． ２．在①(sinB－sinC)２＝sin２A－sinBsinC; ②bsin B＋C２ ＝asin B ;③asin B ＝ bcosA－π６ æ è ç ö ø ÷这三个条件中任选一个,补 充在下面问题中并作答． 问题:△ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若 ２a＝b＋c,　　　　,求A 和B． 注:如果选择多个条件分别解答,按第一 个解答计分． 数学魔术家　１９８１年,印度的一位名 叫沙贡塔娜的３７岁妇女,凭借心算与一台 先进的电子计算机展开竞赛．题目是求一 个２０１位数的２３次方根．但令人惊奇的是, 沙贡塔娜只用了５０秒钟就报出了正确的 答案．而计算机得出同样的结果,花费的时 间要多得多．这一奇闻,在国际上引起了轰 动,沙贡塔娜被称为“数学魔术家”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１