假期作业6 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

坠快乐假期 c00-= 又国为A方=(+A0, ,,点C的坐标为(3，一6)， 所以学A花+-mA成=受（店+C. 又：C正=ED,且E在DC的延长线上， 1 =-成 解得： ,即 m=2 方法一：向量相等法 n= 3 4 设EB.则-3y叶6)=一子4-，-3- 代入萨=nB成=(A花-A成)=子（侵花-AB) x-3=- 4- =花-子. 解得t=3 +6=--3-0 (y=-7, 解得：以=一3 =4： “点E的坐标为（停一7小 (1)入十=- 28 1 方法二：定比分点公式法 设E(xy), 假期作业6 思维整合室 i=-i.C3,-6.D4,-3 1.不共线1e十入e基2.(1)0°≤0≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x1+xy+3 则x=3-1.8 (2)1-xy1-(3)ax,Ay4.(1)a=池 (2)x1为-xy=0 技能提升台素养提升 1. “点E的坐标为（管-7）小 2.BCD [BC-a.CA-6.AD-cB+Ac--a-6. 答案：（停-）】 故A错：B酝-武+C=a+b,故B正确：C 9.B[因为向量a=(-3,1),b=(1,3),所以c=2a+kb (一6+k,2+3k). =号C成+C)=号（-a+6)=-2a+b:故C正 因为a∥c,所以一6+=(2十3k)×(一3)，解得k=0.故 选B.] 确：所以Ai+成+=-a+a+b+b0 10.解析：由a=(32),b=(2,一1)，得a+b=(3m十2n, 2m-n),a+2b=(7,0).因为a+b与a+2b共线，所 =0.故D正确.] 3.B[知图，图为CB=C+AB, 以10-7m=0,解得号=之 BD=2DA,所以AD=AC+CD 答案：日 =n-m,AB=3AD.CB=CA+ 11.解：AB=(-4,0),AC-(1,-1), 3AD=m+3(n-m)=3n-2m, -4×(-1)-0×1≠0， 故选B.] AB,AC不共线 5 入= A,B,C三点不共线 4解析：由条件可知+1=2 2 i以=3，解得 12.解：(1)由题意得(3,2)=m(一1,2)十n(4,1), 5 答案：号一 所以{。m十4n。3得 m=9 {2m+n=2, 8 =9 5,A[建立平面直角坐标系. (2)a+c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 用三角形法则画出向量2a 由题意得2×(3十4k)一(-5)×(2十k)=0. 十b,如图，由图可知2a十b 在平面直角坐标系中的坐标 =一8 为(3,4).故选A. 新题快递 6.B[由题意可知b=子[(20 0 L.ACD[设D(x,y),若AB-CD,则(1，-1)=(x-3, +3b)-2a]=3[6,-3) 2中仁一1，年得：车D.4者商 {y=1, (-4,3)门]=(3，-2).故选B.] DC,期(1，-1)=(3-，2-y,即二3=-1解得 7.B[设P(xy),则由AP-AB+AAC {y-2=1, 得(x-2,y-3)=(2.2)+A(5,7)=(2+5λ，2+7λ). (=8即D2,3)若AD-CB,则(xy-1)=(一2，-2)，即 所以x=5入+4，y=7a+5, (y=3, 又点P在直线x一2y=0上， x=-2, 故5+4-2(7以+5)=0，解得入=-号.] 12.解释{-：即D-2.-1D.ACD] 2.解析：建立如下图的平面直角坐标系， 8.解析：设O为坐标原点， 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3,4).EB=(3,-4) :aC=号8.0-0i=20-0. 由成-3F得-成-（只，-3） .0C=20A-0B=(3,-6). 授F,剩r-3y-0=(号，-3小 56 =022 高一数学) 9 可得 x一3=4，解得 如图所示：a-c=CA,b-c=CB, B y-4=-3 由余弦定理得CA=|CB=5, 所以F(學 21 所以c0s∠ACB=5+5-2 25X5 a \-1 0(A 号即cosa-e,b-0=手] 示-（件小 CA 10.解析：由向量a,b的夫角为受， 又图为AF=XAB+红AD=A(6,0)+红(0,4)=(6,4知）， 且(a-b)Lb, 4=1 所以 7 9 6-2解得=以=子，则计以= 得a-b)·b=a·b-b=号ab-b1=0, 4 答案：号 所以a-21b1,8-2. 因为a+bl=√(a+b)=√a+2a·b+b 假期作业7 =√Ab'+2b+b下=W7b1, 思维整合室 a-bl=/(a-b)=√a-2a·b+b 1.(1)alb1cos002.(1)b·a(3)a·b+a·c =√4b-21b+b下=3b1, 3.√a·a√+y:lal lblcos0xx+y4 a·b a b 所以a十b_2 a-b 3 x1x十yy 十y√+ x2+y1y=0 答案：2I 3 技能提升台素养提升 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然 1.C[由题设可知，a-2b=3,两边平方得a-4a·b EF是AM的中垂线，设AM与EF交 +41b2=9.代入a=1,b1=5,有1-4a·b+12= 于点N,则V是AM的中点，又正方形 9,故4a·b=4,解得a·b=1.故选C.] 边长为8，所以M(8,4),N(4,2). 2.B[以(AB,AD)为基底向量，可知AB1=|AD1=2, 设点E(e,0),则AM=(8,4),AN AB·AD=0 (4.2),AE=(e.0),EV=(4-e,2). 由AM⊥EV,得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0: 剥EC-E店+B成-A店+A,ED-EA+A 解得e=5,即AE=5. --2AB+AD. 所以Sam-之1Bi-之×5X4-10, 所以BC.D=(侵AB+A可)·(A店+A 12.解：(1)：AB.AC=0,AB⊥AC 又1AB1=12,|BC=15,.AC1=9. -}馆+市-1+4=3] 由已知可得AD=+AC.C成=AB-A心， 3.B[,(a-b)⊥b.(a-b)·b=0.即a·b=|b, a·b 市.C成-号(+Ad(-AG cos(a.b=ai.b-2b·b-2 =合A正-AC)=144-81)-学 故a,b=受，故选B] (2)AE.CB的值为一个常数. 4.解折：周为osa,b=子a=1,b=3, 理由：，L为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D, E为1上异于D的任意一点，DE·CB=0. 所以a·b=ab1cos《a,b=1X3X号=1， 故AE.CB=(AD+DE)·CB=AD,CB+DE.CB 所以(2a+b)·b=2a·b+b=2X1+3=11. 二市.C成-经（常数）. 答案：11 新题快递 5.ABC[1a+b1=|a-b1台|a+b2=|a-b12=a+2a 1.解析：由a+b=12a-b,得a=2a·b: ·b+b=a2-2a·b+b=a·b=0,a+b=(a-b)2台 由a-b=5,得a2-2a·b+6=3,即b=3, a2+b=a-2a·b+b=a·b=0.] 1b=w3. 6.B[向量a,b满足a十b=(2,3), a-b=(-2,1).所以a|-|b12=(a+b)·(a-b)=2 答案：5 2.A[设正方形的边长为2，如 ×(-2)+3×1=-1.] 图建立平面直角坐标系。 7.D[(a+h)·(a+b)=a+(a+u)(a·b)+b 则A(-1.0).B(1,0).C(1,2), =2(1+)=0,所以=-1.] D(-1.2),P(cos 0,sin 0) 8,解析：c=a+b=(3,1)+k(1,0)=(k+3,1),由a⊥c, 中0<0<π)， 得a·6=0,所以30+3)+1=0，解得k=-号 PA+PB+PC+PD=(-1- cos 0.-sin 0)++(1-cos 0,- 答案：-9 sin )(1-cos 0,2-sin 0) +(-1-cos0.2-sin0)= 9.D[由a+b+c=0得a十b=一c,所以(a+b)产=（一c), (-4cos0,4-4sin0) 即a+2a·b+b=c2,又|a=|b=1.lc=2, 所以PA+Pi+PC+PD1=√(-4cos)+(4-4sin 所以a·b=0,所以a⊥b. 57　假期作业６　平面向量的基本定理及坐标表示　　　　　　　　　 １．平面向量基本定理 如果e１,e２ 是同一平面内的两个　　　　 向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数λ１,λ２,使a＝　　　　． 不共线的向量e１,e２ 叫做表示这一平面 内所有向量的一组　　　　． ２．两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a和b,作OA → ＝a,OB → ＝b,则∠AOB＝θ叫做向量a 与b 的夹 角(如图所示)． (１)范围:向量a与b 的夹角的范围是　　 　　　　． (２)当θ＝０°时,a与b　　　　;当θ＝ 　 时,a与b反向． (３)垂直:如果a与b的夹角是　　　　,则 称a与b垂直,记作　　　　． ３．平面向量的坐标运算 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b＝ (　　　　　　　　)． (２)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a－b＝ (　　　　　　　　)． (３)若a＝(x,y),λ∈R,则λa＝(　　　　)． ４．共线向量的坐标表示 (１)设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),其 中b ≠０,a、b共线,当且仅当存在实数λ, 使　　　　． (２)如果用坐标表示可写为(x１,y１)＝λ(x２, y２),当且仅当　　　　　　　　时,向 量a、b(b≠０)共线． ◆[考点一]　平面向量基本定理的应用 １．设e１,e２ 是平面内所有向量的一组基,则 下列四组向量中,不能作为基的是 (　　) A．e１＋e２ 和e１－e２ B．３e１－４e２ 和６e１－８e２ C．e１＋２e２ 和２e１＋e２ D．e１ 和e１＋e２ ２．(多选)已知D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且BC → ＝a,CA → ＝b, 则下列命题正确的是 (　　) A．AD → ＝１２a－b B．BE → ＝a＋１２b C．CF → ＝－１２a＋ １ ２b D．AD → ＋BE → ＋CF → ＝０ ３．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,３)在△ABC 中,点 D 在边AB 上,BD＝２DA,记CA → ＝m,CD → ＝n,则CB → ＝ (　　) A．３m－２n　　　　　B．－２m＋３n C．３m＋２n D．２m＋３n ４．向量a在基底{e１,e２}下可以表示为a＝ ２e１＋３e２,若a在基底{e１＋e２,e１－e２}下 可以表示为a＝λ(e１＋e２)＋μ(e１－e２),则 λ＝　　　　　,μ＝　　　　　． ◆[考点二]　平面向量的坐标运算 ５．如图所示,若向量e１,e２ 是 互相垂直的单位向量,则 向量２a＋b在平面直角坐 标系中的坐标为 (　　) A．(３,４) B．(２,４) C．(３,４)或(４,３) D．(４,２)或(２,４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１ ６．已知向量a＝ －２,３２ æ è ç ö ø ÷,２a＋３b＝(５,－３), 则b＝ (　　) A．(－３,２) B．(３,－２) C．(３,０) D．(９,６) ７．已知点A(２,３),B(４,５),C(７,１０),若AP → ＝AB → ＋λAC →(λ∈R),且点P在直线x－２y ＝０上,则λ的值为 (　　) A．２３　　B．－ ２ ３　　C． ３ ２　　D．－ ３ ２ ８．平面上有A(２,－１),B(１,４),D(４,－３) 三点,点C在直线AB 上,且AC → ＝１２BC →, 连接DC并延长至点E,使|CE → |＝１４|ED → |, 则点E的坐标为　　　　． ◆[考点三]　平面向量共线的坐标表示 ９．已知向量a＝(－３,１),b＝(１,３),c＝２a ＋kb．若a∥c,则k＝ (　　) A．－１　　　B．０　　　C．１　　　D．２ １０．已知向量a＝(３,２),b＝(２,－１),若非 零向量ma＋nb与a＋２b共线,其中m, n∈R,则mn 的值为　　　　． １１．已知A(３,２),B(－１,２),C(４,１),判断 A,B,C三点能否共线． １２．平面内给定三个向量a＝(３,２),b＝ (－１,２),c＝(４,１)． (１)求满足a＝mb＋nc的实数m,n; (２)若(a＋kc)∥(２b－a),求实数k． １．(多选)以A(０,１),B(１,０),C(３,２)三个 点为顶点作平行四边形,则第四个顶点 D 的坐标是 (　　) A．(２,３) B．(２,－１) C．(４,１) D．(－２,－１) ２．在矩形ABCD 中,AB＝６,AD＝４,E 为 CD 的中点,若EF → ＝３FB →,AF → ＝λAB → ＋μ AD →,则λ＋μ＝　　　　． 大妈早上去广场散步,看到有个老头 拿 着 海 绵 笔 在 地 上 写 大 字,忍 不 住 凑 上 去看． 老头看了大妈一眼,提笔写了个“滚” 字．大妈心想:看一下至于吗? 􀆺􀆺老头又 看大妈一眼,又写个“滚”．大妈再也忍不住 了,上去一脚将老头踢倒在地􀆺􀆺 警察 来 了 问 咋 回 事,老 头 委 屈 地 说: “我就想写句‘滚滚长江东逝水’,刚写头两 个字,就被这个神经病踹倒了”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３１