假期作业3 三角函数的图象与性质-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

　　　假期作业３　三角函数的图象与性质　　　　 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定 义 域 R R {x|x≠kπ＋ π ２ ,k∈Z} 值域 [－１,１] [－１,１] R 函 数 的 最 值 最大值１,当且仅 当　　　　　, 最小值－１,当且 仅 当 　 　 　 　 　　　　　　 最大值 １,当 且 仅 当 　 　 　 　 　　　　　　 最小值－１,当且 仅当　　　　 无最 大 值 和 最小值 单 调 性 增区 间 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　 减区 间 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　 增区 间 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　 减区 间 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　 增区 间 　 　 　　　　　 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 周 期 性 周期为２kπ,k≠ ０,k∈Z,最小正 周期为　　 周期为２kπ,k≠ ０,k∈Z,最小正 周期为　　 周期为kπ,k ≠０,k∈Z, 最小 正 周 期 为　　 对 称 性 对 称 中 心 　　　　　 　　　　 　　　　 对 称 轴 　　　　 　　　　 无对称轴 零点 kπ,k∈Z kπ＋π２ , k∈Z kπ,k∈Z ◆[考点一]　三角函数的定义域、值域 １．函数y＝ ２cosx＋１的定义域是 (　　) A．２kπ－π３ ,２kπ＋π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) B．２kπ－π６ ,２kπ＋π６ é ë êê ù û úú(k∈Z) C．２kπ＋π３ ,２kπ＋２π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) D．２kπ－２π３ ,２kπ＋２π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) ２．函数y＝sin２x－cosx的最大值为 (　　) A．１４　　　B． ３ ４　　　C．１　　　D． ５ ４ ３．已知函数f(x)＝acosx＋b的最大值为 １,最小值为－３,则函数g(x)＝bsinx＋a 的最大值为　　　,最小值为　　　． ◆[考点二]　三角函数的单调性 ４．(２０２２􀅰北京卷)已知函数f(x)＝cos２x －sin２x,则 (　　) A．f(x)在 －π２ ,－π６ æ è ç ö ø ÷上单调递减 B．f(x)在 －π４ ,π １２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 C．f(x)在 ０,π３ æ è ç ö ø ÷上单调递减 D．f(x)在 π４ ,７π １２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 ５．(２０２３􀅰全国乙卷)已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷单调递增,直 线x＝π６ 和x＝２π３ 为函数y＝f(x)的图 像的两条对称轴,则f －５π１２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２　　B．－ １ ２　　C． １ ２　　D． ３ ２ ６．已知tan(π－x)＝－tanx,则tan１,tan２, tan３的大小关系是　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５ ◆[考点三]　三角函数的奇偶性、周期性 和对称性 ７．函数y＝sin ２x＋５π２ æ è ç ö ø ÷是 (　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为π２ 的奇函数 D．周期为π２ 的偶函数 ８．已知函数f(x)＝sinx＋ １sinx ,则 (　　) A．f(x)的最小值为２ B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线x＝π对称 D．f(x)的图象关于直线x＝π２ 对称 ９．函数f(x)＝１－２sin２ x－π４ æ è ç ö ø ÷是 (　　 ) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为π２ 的偶函数 D．最小正周期为π２ 的奇函数 ◆[考点四]　三角函数性质的综合应用 １０．(多选)已知函数f(x)＝sinx－|sinx|,下 列结论正确的有 (　　) A．函数f(x)是奇函数 B．函数f(x)是周期函数,且周期为２π C．函数f(x)的最小值为－２ D．函数f(x)的图象关于直线x＝kπ＋ π ２ ,k∈Z对称 １１．已知函数f(x)＝２sin２x＋π３ æ è ç ö ø ÷． (１)求函数f(x)在[０,π]上的单调递增 区间; (２)求关 于 x 的 不 等 式f(x)＜１ 的 解集． １２．已知函数f(x)＝２cos２ x２＋ ３sinx＋a －１的最大值为１． (１)求函数f(x)的单调递减区间; (２)若x∈ ０,π２ é ë êê ù û úú,求函数f(x)的值域． １．(２０２３􀅰上海卷)已知a∈R,记y＝sinx 在[a,２a]的最小值为sa,在[２a,３a]的最 小值为ta,则下列情况不可能的是 (　　) A．sa＞０,ta＞０ B．sa＜０,ta＜０ C．sa＞０,ta＜０ D．sa＜０,ta＞０ ２．已知f(x)是以π为周期的偶函数,且当 x∈ ０,π２ é ë êê ù û úú时,f(x)＝１－sinx,则当x∈ ５π ２ ,３πé ë êê ù û úú时,f(x)＝　　　　． 李嘉诚说:“当我骑自行车时,别人说 路途太 远,根 本 不 可 能 到 达 目 的 地,我 没 理,半道 上 我 换 成 小 轿 车;当 我 开 小 轿 车 时,别人说,小伙子,再往前开就是悬崖峭 壁,没路了,我没理,继续往前开,开到悬崖 峭壁我换飞机了,结果我去到了任何我想 去的地方．” 不要让梦想毁在别人的嘴里,因为别人 不会为你的梦想负责．所以,请相信自己􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６ 人竖快乐假翻 &90M c(悟-a)=orx-(后+e)川 co(臣-小正确：对于Can(答-a= =-co(合十a)-弓，故B正确： a一（--tn(+e小送：对子D sin(等-a）-sim[受-（看+a)门-co(+e） tan'asin'a=sin a sin'a 1-cos a cos'a cos'a ·sina=sin'a cos'a =号，故C亚确： sina=tana-sina,正确.] 2.ABD[国为0∈(0，x),则sin0>0. 因为吾十a是第一或第四象限角，所以a=(后十a 对于A选项，(sin0叶cos0)-1+2sin0os0-25, 答不可能是第二象限角，故D不正确，故选BC] 可得血as0=一号A对 8.解析：im400sin(-2309 对于B选项，由A选项可知，cOs0<0, cos850tan(-50°) 则sin0-cos>0, sin(360°+40)[-sin(180°+50°)] cos(720°+90°+40°)(-tan50°) 所以.(sin0-cos0)=1-2sin0cos0= 25· sin 40"sin 50" sin40°tan50 则sin0-cos0= B sin 50" sin 50 =c0s50. 1 4 sin 0+cos 0= sin 0-5 cos 50 对于C选项， 7·可得 ,则 答案：c0550 sin 0-cos 0= cos 0=- 9.BD[A选项，tan(A+B)=tan(π-C)=一tanC,A不 正确：B选项，cos(2A+2B)=cos[2(x一C)]=c0s(-2C)= tan 0=sin o cos 3 ,C错：对于D选项，sin'0+cos'0 cos2C,B正确：C,D选项，sinA时B=sinC 2 2 ()广+()广-既D C cos气，C不正确D正确.故选BD.] 假期作业3 10.解析：原式=sin(90°+5)十cos(180°+5)十 思维整合室 tan(180°+60°)=cos5°+(-cos5)+tan60 x=2k+受k∈Z=2号∈=2∈Z =tan60°=√3. 答案：√3 x=2km-,k∈Z [k2x受2x+]k∈ 1.解：因为co(受+0）=一si血，所以sim9=- [k2x+受k2a+]∈z [k·2x-π，k·2π](k∈ -cos 0 cos 0 原式-cos9-c0s9-1D十cs0(-cos0)+cos0 Z)[k·2,k·2x+x](k∈Z) 1 2 2 -I+cos0 I-cos 0 1-cos 0 sin8. ∈Z02x2m(kx.0),k∈Z (x+受0小k∈z 12.解：1f(0)=二sin》,cos0-cosQ. sin (管0）∈Z=+受k∈z=,k∈Z (2)j0)=c080=3, 1 技能提升台素养提升 1.D[由2cosx十1≥0，得cosx≥-2： 1 当0为第一象限角时，sin0=V个-cos0=2 31 解得2x一≤r≤2x+行∈乙 m0-号2E 所以函数的定义域是[2-至，2+]k∈D, 当0为第四象限角时，sin0=一1一cos0 故选D.] =-22 2ym0-8-2E 2.D[函数y=sinx-cosx=一cosr-cosx十1. 令t=cosx,t∈[-1,1]， 综上可知，tan0=2V2或-2√2. 3)国为f(看-0）-o(答-0）- 则y=--+1=-（+号)广+[-1. 所以当1=一 ，即c0sx=一号时函数取得兼大值片. 1 所以f(语+）-o(晋+ 故选D.] cos [-(后-]-o(后-）=-号 十6-3或{3：解得 3.解析：由题意知4十b=1, {-a+b=1, 新题快递 {82支{公：批西量g)的最大雀为a-6=a十 1.ABD[对于A,im(答+a）-m[-(得+a门 1.即最大值为3或-1，函数g(x)的最小值为a十b=a一1， 即最小值为1或一3. =m(答-小正确：时于Bm(答+a) 答案：3或-11或一3 4.C[f(x)=cosx-sinx=cos2x,选项A中，2x∈ -[登-(+a)门-o(-） 【一，吾）此时(x)单调递增，选预B中，2红∈ cos[r+(子-a)] 【一受，看）此时)先递增后地减，选预C中，2z 52 =022 高一数恐 (0,)此时f)单调递减，选项D中，2x(受，晋)此 又f)=2sim(+晋）-1. 时(x)先递减后递增.故选C.] 元D[因为)=in(mr十p在区同（答，)单调逅增， 所以-警-=且>0，周T=w一-2 解得2kx+吾<r<2x+，k 当x=吾时x)取得最小值，则2·吾十g=2-受，k长 所以画数的单拥适减区间为[2红+音，2x+智] ∈Z: 五则g=2张x-晋k∈乙. (2)由x[0受]则x+晋∈[]所以号 不蜡取=0：则)=m(2r一晋) sim(+)1. 所以0c2sim(r+晋）1≤1， 6.解析：，tan(r一x)=一tanx,又，'tanx是奇函数， 所以函数f(x)的值城为[0,1门. ∴.tan(一x)=-tanx,∴.tanx=-tan(π一x)=tan(x一r). 新题快递 tan 2=tan (2-x),tan 3=tan (3-). 1.D[由给定区间可知，a>0. :-号<2-x<3-x<1<受且y=mx在 区间[a,2a]与区间[2a,3a]相邻，且区间长度相同. y (一受·受)上是增高教.tam(2-<tan3-x<aml. 3x 7元 即tan2<tan3<tan1. 0 π 2r5元3元 /4元 答案：tan2<tan3<tan1 2 7.B8.D 2 9.B[周为画数y=1-2sim(-于）=cos(2x-受）) 取u=吾，则[，2a]=[后，号]区间[2a,3a]- =sin2x,所以该函数是最小正周期为r的奇函数.故 选B.] [导·]可知5>0以>0，故A可能取a-登则a, 10.BCD[对于A,f(x)的定义城为R,因为f(一x) =sin(-x)-sin(-x) 2]-[倍】区间[2.31-[警]可知>0… =-sin x-Isin-f(r), 所以「(x)不是奇函数，故选项A错误： <0,故C可能：取a=要则[u,2a]=语号]区间 对于B,f(x+2r)=sin(x+2x)-|sin(x+2x)|=sinx -|sinx=f(x),故f(x)是周期函数，2π为f(x)的一 [2a,3a]= [停]：可知<0<0，此B可德.结合 个周期，故选项B正确： 选项可得，不可能的是品<0，>0.] 对于C,f(x)=sinx一sinx =0.x∈[2kxr+2km). 2解折：当xe[竖3]时3x-x[受] 2 sin rE[x+2hx,2元+2kx)k∈Z. 所以f(x)im=一2，故选项C正确； :当x[0,受]时)=1-mx, 对于D,因为f(元十2kr一x)=sin(π十2kπ一x)-sin(r ∴.f(3π-x)=1-sin(3x-x)=1-sin.x. +2k-z)=sin(-x)-Isin(-x)=sin x-lsin l 又(x)是以π为周期的偶函数， (k∈Z),所以f(x+2kπ-x)=f(x),所以函数f(x) ∴f(3π-x)=f(-x)=f(.x), 2sinx的最小正周期为r,故选C.] 事[受]时）-1-如上 1.解：1D冷2hx-受≤2x+号≤2x+号≤2kx+受，k∈ 答案：1-sinx ,解得标一登≤r≤k红+臣k∈，故x)的单润递 假期作业4 思维整合室 增区间为[k红晋x+]4∈. 故∫(x)在[0，云]上的单调递增区间为 1,(1)-2 []侣小 32x2.2红ar+gg 2)由2in(2红+晋）1，可得m(2x+音）<号，故 技能提升台素养提升 1.A[由f(x)的最小正周期是，得=2，即f(x)= 晋+2x<2r+号<1g+24e五 sm2x+）m[2(+晋)小因此它的图象可由g 解得x+号<<a+晋e乙 =sin2x的图象向左平移5个单位长度得到，故选A.] 故f(x)<1的解集为 2.D[函数图像平移满足左加右减， {la+<<a+晋Aez y=2sn(3x+吾)-2sm[3(+音)小周光需要将函 12.解：)f(x)=2co号+Enx+a-1=c0sx+ 教y=2si加(3+哥)图像向右平移希个单位米度，可以 inx+a=2sin(r+吾）ta. 得到画数y=2sin[3(+语)门-2sin3x的图像. 由f八x）m*=2+a=1,解得a=-1. 故选D.] 53