专题15 直线的交点坐标与距离公式（4知识点+6大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题15 直线的交点坐标与距离公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 知识点02：两点间的距离公式 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 特别地，原点与任一点的距离. 注：公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． 知识点03：点到直线的距离公式 1、平面上任意一点到直线：的距离. 知识点04：两条平行线间的距离 1、一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 注：在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 2、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． 【题型01：两条直线的交点及参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 5．（24-25高二上·广东东莞·月考）直线上到点距离最近的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东东莞·月考）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【题型02：三条直线的交点及参数问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 二、多选题 4．（23-24高二上·河南焦作·月考）若三条直线，，交于一点，则a的值可为（    ） A． B．3 C．1 D． 5．（23-24高二上·浙江台州·月考）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（    ） A． B． C． D．0 三、填空题 6．（23-24高二上·黑龙江鸡西·月考）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为 ． 【题型03：过两直线交点的直线方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二上·吉林白山·期末）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 . 4．（2024高二上·全国·专题练习）求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ． 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）经过直线和的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 【题型04：两点间的距离公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 2．（24-25高二上·广东阳江·月考）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知三点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 二、填空题 5．（24-25高二上·江苏常州·月考）若直线与在第二象限相交于点，且点到原点的距离为，则的值为 . 6．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 . 【题型05：点到直线的距离公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 4．（23-24高二上·广西南宁·月考）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 5．（24-25高二上·上海·月考）过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【题型06：平行线间的距离公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知直线，，两直线之间的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南·期中）已知两平行直线与之间的距离为，则（    ） A． B．23 C．13或23 D．或 5．（24-25高二上·重庆·期中）若直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）点到直线的距离等于（    ） A．10 B．7 C．5 D．2 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 3．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 4．（23-24高二上·广东广州·月考）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 5．（23-24高二上·河北邯郸·月考）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 7．（23-24高二上·贵州铜仁·月考）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 三、填空题 8．（24-25高二上·江西九江·期末）两平行直线，之间的距离为 ． 9．（24-25高二上·广东湛江·月考）斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ． 10．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 11．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 12．（24-25高二上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是直线上一点，点与点间的距离为5，则点的坐标为 ． 14．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 15．（24-25高二上·辽宁抚顺·月考）已知，若直线与线段有公共点，则的取值范围是 ． 16．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 17．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 四、解答题 18．（24-25高二上·天津河西·月考）已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线； (3)经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线． 19．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知直线 过直线 和 的交点 . (1)若直线 与直线 垂直，求直线 的方程; (2)若直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为原点. 若 的面积为 ，求直线 的方程. 20．（24-25高二上·江西抚州·期末）设直线与. (1)若，求、之间的距离； (2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 21．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)点和点的坐标： (2)在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 直线的交点坐标与距离公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 知识点02：两点间的距离公式 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 特别地，原点与任一点的距离. 注：公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． 知识点03：点到直线的距离公式 1、平面上任意一点到直线：的距离. 知识点04：两条平行线间的距离 1、一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 注：在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 2、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． 【题型01：两条直线的交点及参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【详解】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过两点， 所以，解得， 所以的方程为， 将直线与直线的方程联立，解得， 所以直线与的交点坐标为． 故选：C 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 5．（24-25高二上·广东东莞·月考）直线上到点距离最近的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何意义可知，直线上到点距离最近的点就是过点作直线的垂线，垂足就是所求的点. 【详解】由直线可得：，则该直线的斜率， 所以过点作与该直线垂直的垂线斜率为， 则过点的垂线方程为：，整理得：， 联立方程组，解得：， 故选：C. 6．（24-25高二上·广东东莞·月考）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 二、解答题 7．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 【题型02：三条直线的交点及参数问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【详解】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C 2．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 3．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 二、多选题 4．（23-24高二上·河南焦作·月考）若三条直线，，交于一点，则a的值可为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】CD 【分析】先求出直线与的交点，然后代入直线方程即可得到. 【详解】解：联立直线方程与， 即，解得， 故直线与的交点为， 因为三条直线，，交于一点， 所以将代入， 解得或，检验符合， 故选：CD. 5．（23-24高二上·浙江台州·月考）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【分析】考虑三条直线交于一点，或与或平行时，满足条件，从而可求出答案. 【详解】因为三条直线将平面分为六个部分， 所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交， 当三条直线交于一点时，联立，解得，此时，即， 当两条平行线与第三条直线相交时，可得或， 当时，，当时，，所以或． 故选：ABD. 三、填空题 6．（23-24高二上·黑龙江鸡西·月考）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为 ． 【答案】1或 【分析】由任意两条直线方程联立求出交点坐标，再将所求交点坐标代入第三个方程，计算作答. 【详解】由解得，，依题意，点在直线上， 则有，整理得，解得或， 所以k的值为1或. 故答案为：1或 【题型03：过两直线交点的直线方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 二、填空题 3．（23-24高二上·吉林白山·期末）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 . 【答案】 【分析】求出交点坐标，根据直线的方向向量得到直线方程. 【详解】，解得，故交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线方程为， 即. 故答案为： 4．（2024高二上·全国·专题练习）求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】求出两直线和的交点，再用两点式方程求出直线方程. 【分析】由得 所以直线过点(2,5)和(1,1)， ∴所求的直线方程为，即：． 故答案为：． 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）经过直线和的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 【答案】或 【分析】先求出两直线的交点坐标，再分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解. 【详解】联立，解得， 即直线和的交点坐标为， 当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 【题型04：两点间的距离公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 2．（24-25高二上·广东阳江·月考）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程可得定点A，B，然后由两点间距离公式可得答案. 【详解】直线过定点， 直线， 则，可得过定点， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知三点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案. 【详解】，则，解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用两点间距离公式及斜率坐标公式计算判断. 【详解】依题意，，，即， 又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分， 因此四边形是矩形，而直线的斜率，直线的斜率， 即，则，所以矩形是正方形. 故选：B 二、填空题 5．（24-25高二上·江苏常州·月考）若直线与在第二象限相交于点，且点到原点的距离为，则的值为 . 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，并根据其在第二象限，得到不等式组，求出，由两点间距离公式列出方程，求出的值. 【详解】两直线不平行，故， 联立与，解得， 因为点在第二象限，故，解得， 由题意得，解得或（舍去）， 故. 故答案为： 6．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 . 【答案】 25 【分析】设B点的坐标为，根据中点坐标公式列出关于的方程组，解出方程组即可得B点的坐标. 【详解】设B点的坐标为， ∵点A的坐标，线段中点的坐标为， ∴，解得， 即点的坐标为，所以 故答案为：；25. 【题型05：点到直线的距离公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 3．（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小， 点到直线的距离， 故、两点间距离的最小值为. 故选：B. 二、填空题 4．（23-24高二上·广西南宁·月考）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【答案】或 【分析】由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 5．（24-25高二上·上海·月考）过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【答案】或 【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可. 【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或． 【题型06：平行线间的距离公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知直线，，两直线之间的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接利用平行线间的距离公式计算即可. 【详解】直线，， 根据平行线间的距离公式得. 故选：C 2．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据两平行直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 故选：B. 3．（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 4．（24-25高二上·河南·期中）已知两平行直线与之间的距离为，则（    ） A． B．23 C．13或23 D．或 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式计算即得. 【详解】由直线与平行，得，则， 直线，于是，解得或， 所以或. 故选：C 5．（24-25高二上·重庆·期中）若直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用两直线平行求得，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线方程都为，此时两直线重合，不合题意， 当时，与平行，故， 故， 所以两直线间的距离为. 故选：C. 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）点到直线的距离等于（    ） A．10 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由直线垂直于轴，即可求解. 【详解】因为直线垂直于轴， 所以点到直线的距离为. 故选：B 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 3．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 4．（23-24高二上·广东广州·月考）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得. 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 5．（23-24高二上·河北邯郸·月考）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 6．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，求得的坐标，可得的面积的表达式，然后把各选项代入，根据方程解的个数即可判断. 【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 令，得；令，得，则， 所以的面积为， 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，此方程无解， 所以满足条件的直线有2条，故A错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有3条，故B正确； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故C错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故D错误. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高二上·贵州铜仁·月考）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 三、填空题 8．（24-25高二上·江西九江·期末）两平行直线，之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先将变换直线为，再利用两平行线间的距离即可求得结果. 【详解】由题意得，由两平行线间的距离公式，得． 故答案为： 9．（24-25高二上·广东湛江·月考）斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】求两条直线交点，再由斜截式方程可得. 【详解】联立方程组，解得， 由题意斜率为，且过的直线方程为. 即所求直线方程为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 11．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 【答案】 【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离. 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 12．（24-25高二上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 【答案】 【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得. 【详解】易知，当垂直于直线时，取得最小值， 此时，所在直线方程为， 联立解得，即. 故答案为： 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是直线上一点，点与点间的距离为5，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，设，列出方程，求得的值，即可求解； 【详解】因为点是直线上一点， 可设，则，解得或， 所以点的坐标为或． 故答案为：或. 14．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 【答案】5 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 且与平行， 故当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 15．（24-25高二上·辽宁抚顺·月考）已知，若直线与线段有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线过定点，再结合两点斜率公式计算即可. 【详解】由，令，可知过定点，    要符合题意需直线的斜率满足：， 易知， 则的取值范围为. 故答案为：. 16．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 17．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 四、解答题 18．（24-25高二上·天津河西·月考）已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线； (3)经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再根据题意求解即可； （2）根据垂直直线的直线系方程假设出直线，在根据题意求解即可； （3）先求出直线与的交点，再分截距为0和截距不为0两种情况讨论即可. 【详解】（1）设所求直线的方程为， 依题意有，解得， 所以所求直线方程为； （2）设所求直线方程为， 依题意有，解得， 所以所求直线方程为； （3）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时； 当直线的截距都不为时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述或. 19．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知直线 过直线 和 的交点 . (1)若直线 与直线 垂直，求直线 的方程; (2)若直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为原点. 若 的面积为 ，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求两直线交点坐标，再利用垂直关系求直线斜率，最后点斜式写出直线方程； （2）先设截距式直线方程，再利用直线过定点和已知面积，联立方程组即可求解. 【详解】（1）由直线 和 相交得： ，解得：，即交点的坐标为， 由化为，可知直线的斜率为， 再由直线与直线 垂直， 根据这两直线斜率之积为，可知直线的斜率为， 又由直线过点，所以由点斜式方程可得：， 整理得：， 所以直线 的方程为 . （2）解:设直线 的方程为 ， 由直线过点，所以有， 再由，可得， 联立上两式方程组可解得： 所以直线 的方程为 ， 即直线 的方程为 . 20．（24-25高二上·江西抚州·期末）设直线与. (1)若，求、之间的距离； (2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离； （2）根据已知可得，再由三角形面积公式有，即可确定面积最大时的值. 【详解】（1）由，则，化简得，可得或， 当时，不成立， 当时，，， 此时之间的距离为. （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，，则， 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为， 当时，有最大. 21．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)点和点的坐标： (2)在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据在直线上以及与边上高所在直线斜率的关系，列出方程组求解出点坐标；根据的中点在中线上以及边上的高经过求解出点坐标； （2）假设存在，根据的大小确定出所在直线的倾斜角，从而可知，分别求解出所在直线的方程，联立可得结果. 【详解】（1）设，因为，所以， 又因为上的高所在直线方程为，所以， 所以， 所以，解得，所以； 设，因为边上中线所在直线方程为， 所以，即， 又因为边上的高经过点，所以， 所以，解得，所以. （2）设存在满足条件，如图所示， 因为，所以， 因为平分，所以， 因为且，所以， 所以，所以，即， 又因为，，所以，即， 所以，所以， 综上所述，存在满足条件. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$