第六章 平行四边形 单元试题2024-2025学年北师大版数学八年级下册

2024-2025学年山东滕州南沙河中学第二学期单元试题 八年级数学第六章：平行四边形 一、单选题 1．如图，已知，增加下列条件可使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 3．如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，过平行四边形的对角线的中点O的一条直线，交边于点E，F（E，F不与四边形的顶点重合），下列叙述不正确的是（   ） A．与一定相等 B．与一定相等 C．四边形与四边形一定全等 D．平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 5．在平行四边形中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（   ） A．8或12 B．8 C．10或14 D．10 6．如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点H．若，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（   ） A．12 B．10 C．6 D．5 8．如图，在中，，为的中点，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 11．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 12．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为 ． 13．如图，中，D、E分别是的中点，平分，交于点F，若，则的长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，的边、的中点、的横坐标分别是2、5，则点的坐标是 ． 15．如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为 ． 三、解答题 17．如图，在中，D为的中点，连接． (1)用尺规作图法在的延长线上找一点E，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为平行四边形． 18．已知，在中，，，点为的中点． (1)观察猜想 如图①，若点、分别是、的中点，则线段与的数量关系是__________；线段与的位置关系是__________； (2)类比探究 如图②，若点、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 19．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，平分，求四边形的面积． 20．已知：如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且． (1)求证：、互相平分； (2)若，，则_______°． 21．如图，在中，，D是边AC上一点，连接，E，F分别为的中点，连接，． (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)若，，求EF的长． 22．【问题探究】（1）如图①，已知是的中线，延长至点，使得，连接，求证：四边形是平行四边形； 【拓展提升】（2）如图②，在的中线上任取一点（不与点A、点重合），过点、点分别作，连接、，求证：四边形是平行四边形； 【灵活应用】（3）如图③，在中，，点是的中点，点是直线上的动点，且，当取得最小值时，直接写出线段的长度． 试卷第4页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B A B B C B B 1．A 【分析】此题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形；   故选项正确，符合题意；   B．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意； C．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意；    D．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意；； 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了正多边形外角和的性质，掌握外角和的性质是关键． 根据正多边形的外角和为，每个外角都相等即可求解． 【详解】解：一个正多边形的一个外角是，正多边形的外角和为， ∴， ∴这个正多边形的边数是12， 故选：B ． 3．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴的周长， 故选：． 4．B 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，全等四边形的判定等，熟练掌握性质和判定定理是解题的关键； 利用平行四边形的性质及平行线的性质证明，推出，，进而判断选项A，B，再根据全等四边形的判定方法判断选项C，D． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，， 又点O为对角线的中点， ， ， ，， 故选项A叙述正确，不合题意； 与不一定相等，，， 与不一定相等， 故选项B叙述错误，符合题意； ，， ， 四边形与四边形中，，，，，，，， 四边形与四边形一定全等， 故选项C叙述正确，不合题意； 梯形与梯形中，，，，，，，， 梯形与梯形一定全等， 平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 故选项D叙述正确，不合题意； 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．分两种情况：当与在有交点平行四边形内部有交点时，当与在有交点平行四边形外部有交点时，分别证明，，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当与在平行四边形内部有交点时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 如图2所示，当与在平行四边形外部有交点时， 则； 综上所述，的长为8或12， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图过程可知平分，得到，在平行四边形中，，，得到，得出，得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：由作图过程可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，角平分线的定义等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积，熟练掌握相关整数点是解题的关键． 由平行四边形的性质和作图过程、等腰三角形的判定推出，根据勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：平行四边形， ，，， ， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．C 【分析】根据，为的中点，，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，，从而可得，根据平行四边形的性质可知，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是根据平行四边形的性质找到边和角之间的关系，再利用边、角之间的关系求解． 9．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与平面，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，然后找到规律得到第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，过点分别作轴的垂线，垂足为点，则，证明即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴12次为一个周期， ∵， ∴第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束， ∵， ∴第9次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点， 过点分别作轴的垂线，垂足为点，则， 由旋转得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴则第2025次旋转结束时，点B的坐标为， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 故选：B． 11．6 【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据边形内角和定理，列方程解答即可，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由内角和公式可得 解得， 故答案为6． 12．1 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形中位线的判定与性质等知识点，由平行四边形可得,则，根据平分可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，，O是的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为1． 13．2 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，根据三角形的中位线的定理，得到，根据平行结合角平分线得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵中，D、E分别是的中点，， ∴， ∴， ∵平分， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 14． 【分析】本题考查了坐标 于图形，中位线的判定和性质，掌握两点之间距离的计算，中位线是关键．根据题意得到，且是中位线，则即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵点的横坐标分别是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．13 【分析】本题考查了平行四边形的性质，轴对称—最短路线，勾股定理，作于，由题意可得在平行于且与距离为的直线上运动，作关于直线的对称点，连接，，则，、、三点共线，结合，得出当且仅当，，，依次共线时取等号，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴在平行于且与距离为的直线上运动， 作关于直线的对称点，连接，， 则，、、三点共线， ∵， ∴， ∴，当且仅当，，，依次共线时取等号， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，过点作，使，过点作垂足为点，过点作轴于点，根据点、的坐标可知，，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可知，，所以可得点的坐标为． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，过点作垂足为点，过点作轴于点， 点的坐标为， ， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， ， ， 垂足为点，轴于点， ， ， ， 在和中，， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 17．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，全等三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）证明，得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求作； （2）证明：∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 18．(1)； (2)结论仍然成立，证明见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，，，，由平行线的性质可得结论； （2）连接，证明得，，由余角的性质可得，可得结论． 【详解】（1）解：∵点、、分别是、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴线段与的数量关系是；线段与的位置关系是， 故答案为：；； （2）结论仍然成立． 证明：如图，连接， ∵，，为的中点， ∴，，， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的三线合一性质，全等三角形的判定和性质知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，进而可证四边形是平行四边形． （2）由，可得，由平分，可得，则，由勾股定理，得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴， 平分， ， ∴，则 在中，由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，角平分线，含的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20．(1)见解析 (2)30 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）连接，，根据平行四边形的判定和性质证明即可； （2）由三角形内角和定理，得出，再根据平行四边形对角相等求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， 、互相平分； （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先得到是的中位线，得到，，然后求出，得到，进而证明即可； （2）首先得到，由（1）知，四边形是平行四边形，，得到，，根据三角形中位线定理得到，然后得到，即，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，．     ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵F是的中点，， ∴．     由（1）知，四边形是平行四边形，， ∴，．     ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 在中，，，即， 解得（舍去负值）， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22．（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点F，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点F，使，连接，由（2）知，，,则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：延长到点F，使，连接， ∵是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形； （3）解：延长到点F，使，连接， 由（2）知，, ， 则取最小值时，最小，故时，最小，如图， ∵是的中线， ， 由勾股定理得， ∵， 利用等面积法得， 解得， 在中，由勾股定理得，， ． 答案第2页，共18页 答案第3页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$