2025年辽宁省沈阳市新民市中考数学三模试卷

2025年辽宁省沈阳市新民市中考数学三模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）国家能源局等多部门发布关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见，提出了2025年全国可再生能源消费量达到11亿吨标煤以上等系列目标，将110000000用科学记数法表示为（　　） A．11×108 B．1.1×108 C．1.1×109 D．1.1×1010 3．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b 4．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC于点E．若CE＝3，则AB的长为（　　） A．12 B．9 C．8 D．6 5．（3分）下列计算结果正确的是（　　） A．3a2﹣2a＝a B．（2a3b）3＝6a9b3 C．﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab﹣2a D．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 6．（3分）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列说法错误的是（　　） A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（　　） A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D． 8．（3分）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在△ABC中，以点C为圆心、AC长为半径作弧与AB交于点D，连接CD，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与AB和BC交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠BAC＝α，∠ABC＝β，则∠DHB的大小为（　　） A．α﹣β B．90°﹣α+β C． D． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为13，点B的坐标是（8，12），点D的坐标是（8，2），则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　 　 ． 12．（3分）如图，有4张分别印有《西游记》人物图案的卡片：A．唐僧，B．孙悟空，C．猪八戒，D．沙悟净．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，则两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“A．唐僧”的概率是 　 　 ． 13．（3分）如图，在以O为原点的数轴上，OB＝1，过点O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA＝2，且点A在OB上方．连接AB，以点B为圆心、AB长为半径作弧交射线OB于点C，则点C表示的数为 　 　 ． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上．过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则CD的长为 　 　 ． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E在AD上，将矩形ABCD沿BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，将△DEF沿射线FB方向平移得到△D′E′F′（点D′，E′，F′分别是点D，E，F的对应点）．当点D′在BE上时，则EE′的长为 　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（1）计算：； （2）计算：． 17．某微型货车最大载重量为1600kg，现接到装运一批设备的任务，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，需成套装运．已知1个A部件和3个B部件总质量为210kg．2个A部件和1个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； （2）为防止A、B部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为140kg垫板和隔板，问该微型货车一次最多可装运多少套设备？ 18．某校甲、乙两个班级各有25名学生参加校运动会彩旗方阵的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，对这些学生的身高进行收集、整理、描述和分析（身高用x表示，共分为五组，A组：161≤x＜165，B组：165≤x＜170，C组：170≤x＜175，D组：175≤x＜180，E组：180≤x≤185），部分信息如下： 信息一：甲班25名学生的身高：161，163，164，164，165，166，166，166，166，167，168，168，168，169，169，169，171，172，172，172，173，174，175，176，181． 信息二：根据乙班25名学生的身高数据绘制扇形统计图，其中C组的数据是：170，170，171，173，174，174． 信息三：两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 168 b 乙 169 a 175 请根据以上信息，解答下列问题： （1）乙班D组的人数比甲班D组的人数多3人，求m的值； （2）求信息三中a和b的值； （3）受彩旗数量影响，每班只能有22人参加入场式彩旗方阵队列表演，要求这22人与原来25人的身高平均数相同，并且这22人身高的方差尽可能小，请说明甲班未入选的3名学生的身高． 19．商家销售某种日用品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系（如图所示），其中15≤x≤30． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若该种日用品进价为每件10元，该商家如何确定销售单价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 20．如图1，一扇推拉式窗户，AB为固定的窗框底边，AC为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，MN为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边AC上的点M处，另一端点N在窗框底边AB上滑动（窗户关闭时，AC，MN叠合在AB边上），支撑杆MN的长度固定不变．窗户打开一定角度后，AM即与AN构成一个旋转角∠MAN，其俯视图如图2所示，窗户的旋转角∠MAN的大小控制在一定范围内（0°≤∠MAN≤160°），MN＝20cm． （1）如图3，窗户旋转角∠MAN＝90°时，测得∠MNA＝45°，求此时AM和AN的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角∠MAN从90°继续增大，旋转后点M，N的对应点分别为点M′，N′，∠M′N′A＝37°时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到0.1cm）． （参考数据：） 21．已知△ABC是⊙O的内接三角形，CA＝CB，∠ACB＝40°，点D是⊙O上一点，连接AD，BD，CD． （1）如图1，若BD为⊙O的直径，求∠CBD的度数； （2）如图2，若AD∥BC，过点D作⊙O的切线交OA的延长线于点E，若DE＝5，求的长． 22．在△ABC中，点P是BC边上一点，连接AP，将△ABP绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DBE（点A，P的对应点为点D，E），DE的延长线与直线AP交于点F连接DA，BF． （1）如图1，若∠BAC＝α＝90°，∠C＝45°时． ①求证：AD∥BC； ②若∠APC＝120°，猜想线段DF和AF的数量关系，并证明你的猜想； ③当点P运动到何处时，的值最小？请说明理由； （2）如图2，若∠ABC＜α，BF＝mAF（m≠0），且m为常数）时，求的值（用含m和α的式子表示）． 23．在平面直角坐标系中，对于一个函数F给出一个定义，当自变量m≤x≤m+2（m为实数）时，其对应图象的最高点记为A，最低点记为C，以AC为对角线作矩形ABCD，矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为函数F的伴随矩形，该矩形ABCD的周长l为函数F的伴随函数． （1）如图，当m＝1时，求函数的伴随函数的函数值； （2）一次函数y＝kx+4（k＜0）伴随函数的函数值为12，求k的值； （3）二次函数y＝x2+bx+3与x轴交于点P（1，0）和点Q． ①当m＜0时，伴随矩形ABCD能否为正方形？若能，求出伴随函数的函数值；若不能，说明理由； ②当m＞0时，求伴随函数l关于m的函数表达式； ③在②的条件下，伴随函数l图象上的点到直线y＝13的距离为2时，请直接写出自变量m的值． 2025年辽宁省沈阳市新民市中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B． D A D C B B C D 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，左视图是： ． 故选：D． 2．（3分）国家能源局等多部门发布关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见，提出了2025年全国可再生能源消费量达到11亿吨标煤以上等系列目标，将110000000用科学记数法表示为（　　） A．11×108 B．1.1×108 C．1.1×109 D．1.1×1010 【解答】解：110000000＝1.1×108． 故选：B． 3．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b 【解答】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误； （2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误； （3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误； （4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，所以选择D； 答案为：D． 4．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC于点E．若CE＝3，则AB的长为（　　） A．12 B．9 C．8 D．6 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠C＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝30°， ∴CD＝2CE＝6， ∵点D是AC的中点， ∴AC＝2CD＝12， ∴AB＝AC＝12， 故选：A． 5．（3分）下列计算结果正确的是（　　） A．3a2﹣2a＝a B．（2a3b）3＝6a9b3 C．﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab﹣2a D．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 【解答】解：A、3a2，﹣2a非同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； B、（2a3b）3＝8a9b3，计算错误，不符合题意； C、﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab+2a，计算错误，不符合题意； D、（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，计算正确，符合题意． 故选：D． 6．（3分）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列说法错误的是（　　） A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 【解答】解：过点F作FH⊥AB于点H，连接BD，BF，如图所示： 对于选项A， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，CD＝EF，∠BAD＝90°， 根据四边形的不稳定性得：AF＝AD，BF＝BC，EF＝CD， ∴AF＝BE，EF＝AB， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴四边形ABCD由矩形变为平行四边形， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝， 在Rt△BFH中，由勾股定理得：BF＝， ∵BH＜AB，FH＜AF＝AD， ∴BF＜BD， ∴对角线BD的长度减小， 故选项B正确，不符合题意； 对于选项C， ∵矩形ABCD的面积为：AB•AD，平行四边形ABEF的面积为：AB•FH， 又∴FH＜AD， ∴AB•FH＜AB•AD， ∴矩形ABCD的面积在减小， 故选项C不正确，符合题意； 对于选项D， ∵AF＝AD，四边形ABEF是平行四边形， ∴四边形ABEF的周长为：2（AF+AB）＝2（AD+AB）， 又∵矩形ABCD的周长为：2（AD+AB）， ∴四边形ABCD的周长不变． 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（　　） A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D． 【解答】解：由题意可得：3（x﹣2）＝2x+9， 故选：B． 8．（3分）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C不符合题意； 由M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项B符合题意； 故选：B． 9．（3分）如图，在△ABC中，以点C为圆心、AC长为半径作弧与AB交于点D，连接CD，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与AB和BC交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠BAC＝α，∠ABC＝β，则∠DHB的大小为（　　） A．α﹣β B．90°﹣α+β C． D． 【解答】解：由题意知AC＝CD， ∴∠CDA＝∠BAC＝α； 由条件可知∠DCB＝∠ADC﹣∠ABC＝α﹣β； 由尺规作图知，BH平分∠ABC， ∴； ∴∠DHB＝∠HBC+∠DCB＝ ＝． 故选：C． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为13，点B的坐标是（8，12），点D的坐标是（8，2），则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7） 【解答】解：连接BD，AC，交于点E，则：BD与AC垂直平分， ∵点B（8，12），D（8，2）， ∴BD∥y轴，E（8，7）， ∴AC⊥y轴，， ∴E（8，7）， ∵AB＝13， ∴， ∴A（8﹣12，7），即A（﹣4，7）， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　42　 ． 【解答】解：∵a+b＝6，ab＝7， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝7×6 ＝42． 故答案为：42． 12．（3分）如图，有4张分别印有《西游记》人物图案的卡片：A．唐僧，B．孙悟空，C．猪八戒，D．沙悟净．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，则两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“A．唐僧”的概率是 　　 ． 【解答】解：画树状图如图， 由树状图可知：两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“A．唐僧”的概率是， 故答案为：． 13．（3分）如图，在以O为原点的数轴上，OB＝1，过点O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA＝2，且点A在OB上方．连接AB，以点B为圆心、AB长为半径作弧交射线OB于点C，则点C表示的数为 　　 ． 【解答】解：由题意可知：AB＝BC，点B表示的数是1， ∵直线l⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵OB＝1，OA＝2， 由勾股定理得：， ∴， 设点C表示的数为x， ∴， ， ， ∴点C表示的数为：， 故答案为：． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上．过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则CD的长为 　4　 ． 【解答】解：由抛物线解析式可知A（1，﹣a），对称轴为直线x＝1； 由题意设B（0，b），则C（﹣1，2b+a）； ∵CD∥x轴， ∴点C，点D关于抛物线的对称轴对称， ∴CD＝2×[1﹣（﹣1）]＝4． 故答案为：4． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E在AD上，将矩形ABCD沿BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，将△DEF沿射线FB方向平移得到△D′E′F′（点D′，E′，F′分别是点D，E，F的对应点）．当点D′在BE上时，则EE′的长为 　　 ． 【解答】解：如图所示， ∵AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，∠C＝90°， 由折叠得，AB＝BF＝4， ∴， ∴， 由平移可得，，EE′＝FF′，DC∥D′F′， ∵DC∥AB， ∴D′F′∥AB， ∴∠F′D′B＝∠D′BA， 由折叠得，∠FBE＝∠ABE， ∴∠F′D′B＝∠F′BD′， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（1）计算：； （2）计算：． 【解答】解：（1） ＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝． 17．某微型货车最大载重量为1600kg，现接到装运一批设备的任务，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，需成套装运．已知1个A部件和3个B部件总质量为210kg．2个A部件和1个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； （2）为防止A、B部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为140kg垫板和隔板，问该微型货车一次最多可装运多少套设备？ 【解答】解：（1）设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克． ， ∴， 答：1个A部件30千克，1个B部件60千克； （2）该微型货车一次最多可装运m套设备， （2×30+1×60）m≤1600﹣140， ∴， ∴m的最大值为12， 答：一次最多可装运12套设备． 18．某校甲、乙两个班级各有25名学生参加校运动会彩旗方阵的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，对这些学生的身高进行收集、整理、描述和分析（身高用x表示，共分为五组，A组：161≤x＜165，B组：165≤x＜170，C组：170≤x＜175，D组：175≤x＜180，E组：180≤x≤185），部分信息如下： 信息一：甲班25名学生的身高：161，163，164，164，165，166，166，166，166，167，168，168，168，169，169，169，171，172，172，172，173，174，175，176，181． 信息二：根据乙班25名学生的身高数据绘制扇形统计图，其中C组的数据是：170，170，171，173，174，174． 信息三：两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 168 b 乙 169 a 175 请根据以上信息，解答下列问题： （1）乙班D组的人数比甲班D组的人数多3人，求m的值； （2）求信息三中a和b的值； （3）受彩旗数量影响，每班只能有22人参加入场式彩旗方阵队列表演，要求这22人与原来25人的身高平均数相同，并且这22人身高的方差尽可能小，请说明甲班未入选的3名学生的身高． 【解答】解：（1）用D组的人数除以总数可得： ； ∴m＝20； （2）根据中位数和众数的确定方法可得： 25×（28%+20%）＝12， ∴乙组数据排序后第13个数据为：170； ∴a＝170； 甲组数据中出现次数最多的是：166； ∴b＝166； （3）， ∴甲班未入选的3名学生的身高为181cm，161cm，165cm． 19．商家销售某种日用品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系（如图所示），其中15≤x≤30． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若该种日用品进价为每件10元，该商家如何确定销售单价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意可得： ， 解得， ∴y＝﹣10x+400（15≤x≤30）； （2）设该商家每天获得的利润为w元， ∴w＝（x﹣10）（﹣10x+400） ＝﹣10x2+500x﹣4000 ＝﹣10（x﹣25）2+2250， ∵﹣10＜0， ∴当x＝250时，w取得最大值，最大值为2250元， 答：该商家将售价定为25元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是2250元． 20．如图1，一扇推拉式窗户，AB为固定的窗框底边，AC为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，MN为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边AC上的点M处，另一端点N在窗框底边AB上滑动（窗户关闭时，AC，MN叠合在AB边上），支撑杆MN的长度固定不变．窗户打开一定角度后，AM即与AN构成一个旋转角∠MAN，其俯视图如图2所示，窗户的旋转角∠MAN的大小控制在一定范围内（0°≤∠MAN≤160°），MN＝20cm． （1）如图3，窗户旋转角∠MAN＝90°时，测得∠MNA＝45°，求此时AM和AN的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角∠MAN从90°继续增大，旋转后点M，N的对应点分别为点M′，N′，∠M′N′A＝37°时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到0.1cm）． （参考数据：） 【解答】解：（1）窗户旋转角∠MAN＝90°时，测得∠MNA＝45°， ∴∠AMN＝∠MNA＝45°， ∵MN＝20， ∴； （2）作M′H′⊥BA交BA的延长线于点H′， ∠M′N′H′＝37°，M′N′＝20cm， ∴M′H′＝M′N′•sin37°＝20×0.6＝12（cm）， ， ∵， ． ∴ ∴端点N在此过程中滑动的长度为：． 21．已知△ABC是⊙O的内接三角形，CA＝CB，∠ACB＝40°，点D是⊙O上一点，连接AD，BD，CD． （1）如图1，若BD为⊙O的直径，求∠CBD的度数； （2）如图2，若AD∥BC，过点D作⊙O的切线交OA的延长线于点E，若DE＝5，求的长． 【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝40°， ∴， 若BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°， ∵＝， ∴∠ACD＝∠ABD＝50°， ∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝70°﹣50°＝20°； （2）∵＝， ∴∠BAC＝∠BDC＝70°， ∵＝， ∴∠ACB＝∠ADB＝40°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝40°+70°＝110°， ∵AD∥BC， ∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝70°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝70°﹣40°＝30°， 如图所示，连接OD， ∵所对圆心角是∠AOD，所对圆周角是∠ACD， ∴∠AOD＝2∠ACD＝60°， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°， 在Rt△ODE中，∠E＝30°， ∴OE＝2OD， ∴OE2＝OD2+DE2，即可（2OD）2＝OD2+52， 解得，（负值舍去）， ∴长＝＝． 22．在△ABC中，点P是BC边上一点，连接AP，将△ABP绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DBE（点A，P的对应点为点D，E），DE的延长线与直线AP交于点F连接DA，BF． （1）如图1，若∠BAC＝α＝90°，∠C＝45°时． ①求证：AD∥BC； ②若∠APC＝120°，猜想线段DF和AF的数量关系，并证明你的猜想； ③当点P运动到何处时，的值最小？请说明理由； （2）如图2，若∠ABC＜α，BF＝mAF（m≠0），且m为常数）时，求的值（用含m和α的式子表示）． 【解答】（1）①证明：∵∠BAC＝α＝90°，∠C＝45°， ∴∠ABC＝45°， 由旋转的性质可得DB＝AB，∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠BDA＝45°， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴AD∥BC； ②解：，证明如下： ∵∠APC＝120°， ∴∠BAP＝∠APB﹣∠ABC＝75°， 由①可得∠BAD＝∠BDA＝45°， ∴∠DAF＝180°﹣45°﹣75°＝60°， 由旋转的性质可得∠BDE＝∠BAP＝75°， ∴∠ADF＝∠BDE﹣∠BDA＝30°， ∴∠AFD＝90°， ∴； ③解：当点P与点B或点C重合时，有最小值，最小值为1；理由如下： 当点F在线段PA延长线上时，如图1.1， 由旋转的性质可得∠BDE＝∠BAP， ∵∠BAP+∠BAF＝180°， ∴∠BDF+∠BAF＝180°， ∴A、B、D、F四点共圆， ∵∠ABD＝90°， ∴∠AFD＝90°， ∴点F在以AD为直径的圆上运动， 由旋转的性质可得∠EBC＝90°，BE＝BP， ∴∠ABE＝45°， ∴点E在直线BE上运动， 设直线BE与⊙O（直径为AB）交于T，则点F在弧AT上运动， ∴由圆的对称性可得DF≥AF，当且仅当点F与点T重合时，取等， ∴的最小值为1，此时点E与点T重合，即此时点P与点C重合； 当点F在线段PA上时，如图1.2， 由旋转的性质可得∠BDE＝∠BAP， ∴A、B、D、F四点共圆， ∴此时点F在弧AB上运动， 同理可得当点F与点B重合时，的最小值为1，此时点P与点B重合； 综上所述，当点P与点B或点C重合时，有最小值，最小值为1． （2）解：当点F在PA延长线上时，过点B作BH⊥DF于H，在FD的延长线上截取DG＝AF，连接BG，如图2， 由旋转的性质可得∠BGE＝∠BAP，BD＝BA，BF＝BP， ∵∠BDG+∠BDE＝∠BAP+∠BAF＝180°， ∴∠BDG＝∠BAF， 在△BDG和△BAF中， ， ∴△BDG≌△BAF（SAS）， ∴∠DBG＝∠ABF，BG＝BF， ∴∠FBG＝∠DBG+∠DBF＝∠ABF+∠DBF＝∠ABD＝α， ∵BH⊥FG， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2，当点F在PA上时，过点B作BH⊥DF于H，在ED上截取DG＝AF，BG， 由旋转的性质可得∠BDG＝∠BAF，BD＝BA， 在△BDG和△BAF中， ， ∴△BDG≌△BAF（SAS）， ∴∠DBG＝∠ABF，BG＝BF， ∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝∠DBG+∠ABG＝∠ABD＝α， ∵BH⊥FG， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 23．在平面直角坐标系中，对于一个函数F给出一个定义，当自变量m≤x≤m+2（m为实数）时，其对应图象的最高点记为A，最低点记为C，以AC为对角线作矩形ABCD，矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为函数F的伴随矩形，该矩形ABCD的周长l为函数F的伴随函数． （1）如图，当m＝1时，求函数的伴随函数的函数值； （2）一次函数y＝kx+4（k＜0）伴随函数的函数值为12，求k的值； （3）二次函数y＝x2+bx+3与x轴交于点P（1，0）和点Q． ①当m＜0时，伴随矩形ABCD能否为正方形？若能，求出伴随函数的函数值；若不能，说明理由； ②当m＞0时，求伴随函数l关于m的函数表达式； ③在②的条件下，伴随函数l图象上的点到直线y＝13的距离为2时，请直接写出自变量m的值． 【解答】解：（1）当m＝1时，函数中，y随着x的增大而减少． 当x＝m＝1时，得； 当x＝m+2＝3时，得：， ∴当自变量m≤x≤m+2（m为实数）时，其对应函数的最高点为A（1，6），最低点记为C（3，2）， ∴该矩形ABCD的周长l，即函数F的伴随函数值为：2[（xC﹣xA）+（yA﹣yC）]＝2[（3﹣1）+（6﹣2）]＝12； （2）∵一次函数y＝kx+4（k＜0），y随着x的值增大而增大， 当x＝m时，ymax＝km+4； 当x＝m+2时，ymin＝km+2k+4， ∴当自变量m≤x≤m+2（m为实数）时，其对应函数的最高点为A（m，km+4），最低点记为C（m+2，km+2k+4）， ∴该矩形ABCD的周长l，即函数F的伴随函数值为： 2[（xC﹣xA）+（yA﹣yC）] ＝2[（m+2﹣m）+（km+4﹣km﹣2k﹣4）] ＝2（2﹣2k） ＝4﹣4k ＝12， ∴k＝﹣2； （3）①当m＜0时，伴随矩形ABCD不能为正方形；理由如下： 将点P（1，0）代入y＝x2+bx+3得：0＝12+b+3， 解得：b＝﹣4， ∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣1）， 当m＜0时，m+2＜2， ∴当自变量m≤x≤m+2（m为实数）时，y随着x的增大而减小， ∴当x＝m时，，当x＝m+2时，， 其对应函数的最高点为A（m，（m﹣2）2﹣1），最低点记为C（m+2，m2﹣1）， 若伴随矩形ABCD为正方形， 则xC﹣xA＝yA﹣yC， 即m+2﹣m＝（m﹣2）2﹣1﹣（m2﹣1）， 解得：（舍去）， ∴伴随矩形ABCD不能为正方形； ②当0＜m＜1时，2＜m+2〈3，2﹣m〉m+2﹣2， 即m≤x≤m+2范围包括对称轴直线x＝2，且m到对称轴更远． 又∵开口向上， ∴当x＝m时，，当x＝2时，ymin＝﹣1， ∴此时伴随函数l关于m的函数表达式为：l＝2{（2﹣m）+[（m﹣2）2﹣1﹣（﹣1）]}， 化简得：l＝2m2﹣10m+12， 当1≤m＜2时， 同理可知：当x＝m+2时，，当x＝2时，ymin＝﹣1， ∴此时伴随函数l关于m的函数表达式为：l＝2{（m+2﹣2）+[m2﹣1﹣（﹣1）]}， 化简得：l＝2m2+2m． 当m≥2时，对于m≤x≤m+2，y随着x的增大而增大， ∴当x＝m+2时，，当x＝m时，， ∴此时伴随函数l关于m的函数表达式为：l＝2{（m+2﹣m）+[m2﹣1﹣（m﹣2）2+1]}， 化简得：l＝8m﹣4． 综上所述：； ③m的值为或或．理由如下： 伴随函数l图象上的点到直线y＝13的距离为2， ∴l＝11或者15， （i）当0＜m＜1时，l＝2m2﹣10m+12，对称轴是直线m＝， ∴l随着m的增大而减小，其中m＝0时，l＝2m2﹣10m+12＝12， ∴当0＜m＜1时，l＜12， ∴只能取l＝11，令l＝2m2﹣10m+12＝11， 解得：（舍去）， （ii） 当1≤m＜2时，l＝2m2+2m，对称轴是直线m＝， ∴l随着m的增大而增大，其中m＝2时，l＝2m2+2m＝12， ∴当1≤m＜2时，l＜12， ∴只能取l＝11，令l＝2m2+2m＝11， 解得：（舍去），， （iii） 当m≥2时，l＝8m﹣4， ∴l随着m的增大而增大，其中m＝2时，l＝8m﹣4＝12， ∴当m≥2时，l≥12， ∴只能取l＝15，令l＝8m﹣4＝15， 解得：， 综上所述：m的值为或或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$