第01章 有理数 章节（9知识点回顾+20题型练习） 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版2024）

第01章 有理数 章节（9知识点回顾+20题型练习） 题型梳理 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 有理数的分类 题型六 带“非”字的有理数 题型七 数轴的三要素及其画法 题型八 用数轴上的点表示有理数 题型九 数轴上两点之间的距离 题型十 相反数的定义 题型十一 数轴上整点覆盖问题 题型十二 化简多重符号 题型十三 相反数的应用 题型十四 绝对值的几何意义 题型十五 求一个数的绝对值 题型十六 绝对值非负性 题型十七 绝对值的其他应用 题型十八 利用数轴比较有理数的大小 题型十九 有理数大小比较 题型二十 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1自然数、分数、小数的意义 1、自然数的作用： （1）计数，计量人或物的数量； （2）测量，如长度、高度、质量等； （3）标号，人为的编号，如车次、学号、门牌号等； （4）排序，如年份、月份、名次等. 2、分数、小数的关系： （1）分数可以看做两个整数相除，因此分数都可以化为小数（有限小数或无限循环小数）； （2）有限小数、无限循环小数和百分数都可以转化为分数. 知识点2 具有相反意义的量 1、具有相反意义的量包含两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量． 2、用正负数表示具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 常用的表示相反意义的词有零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降等． 知识点3 正数和负数 1.正数 像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数 像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 要点归纳： (1)一个数前面的“＋”“－”号叫作这个数的符号，其中“＋”号可以省略，“－”号不能省略． (2)“＋”“－”作为运算符号，是加、减号． 3.数0 的意义 (1)0既不是正数，也不是负数． (2)0是正数与负数的分界． 1. 表示没有 例如,0个苹果,意思是没有苹果 2.表示数时起到占位的作用 如10605中的两个0,分别占的是十位和千位 3.表示某种量的基准 例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度 4.表示某些数量的分界 0既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界 5. 表示起点 例如,在米尺上,刻度的起点为“0” 知识点4 有理数的有关概念及分类 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 【注意】 引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数. ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 【注意】 ① 分类的标准不同，结果也不同； ② 分类的结果应无遗漏、无重复； ③ 0是整数，但0既不是正数，也不是负数. 知识点5：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点6：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点7：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点8：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点9：有理数大小比较 1.数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2.法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点归纳： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）在，，0，11，，3这五个数中，正数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数和负数，掌握它们的定义是本题的关键．根据正数的定义解答即可． 【详解】解：这五个数中，正数有3个，分别为，11，3． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一瓶饮料瓶身标注的净含量是，测得实际净含量为，记作“”，那么实际净含量记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量、正负数的定义 【分析】本题考查了相反意义的量、正负数，理解正负数表示的意义，然后根据相反意义的量的意义解答即可． 【详解】解：实际净含量为，记作“”，表示比标注净含量多， 所以测得实际净含量，比标注净含量少，可记作“”， 故答案为：． 题型二 相反意义的量 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如果银行账户余额增加50元记为元，那么余额减少30元记为 ． 【答案】元 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可． 【详解】解：余额增加50元记为元，那么余额减少30元记为元； 故答案为：元 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）粮库某月前天进出粮食的记录如下： 日期 进出粮食吨 其中以运进为正，说出各天记录的实际意义． 【答案】日运出吨粮食，日运进吨粮食，日运出吨粮食，日运出吨粮食，日运进吨粮食 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】根据正负数的实际意义进行解答即可． 【详解】解：∵运进为正， ∴运出为负， ∴各天记录的实际意义为：日运出吨粮食，日运进吨粮食，日运出吨粮食，日运出吨粮食，日运进吨粮食． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际意义，解题的关键是熟练掌握具有相反意义的量． 题型三 正负数的实际应用 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如果盈利30元记作元，那么亏损20元记作 元． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，将盈利记为正，则亏损记为负，由此即可得解． 【详解】解：如果盈利30元记作元，那么亏损20元记作元， 故答案为：． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果温度上升，记作，那么温度下降记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：如果温度上升，记作，那么温度下降记作． 故选：A． 题型四 有理数的定义 7．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数，，，，2023，，，0，中，负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题主要考查负整数的概念，掌握负整数的概念：符号为负号的整数是关键． 【详解】解：，， 因此负整数有，，共3个， 故选：B． 题型五 有理数的分类 8．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，非负数的个数有 个． 【答案】4 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了非负数的定义，根据“零和正数统称为非负数”，即可求解，解题的关键是掌握非负数的定义． 【详解】根据“零和正数统称为非负数”的定义得： 非负数有：，，，共4个 故答案为：4． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：． 正分数集合：______； 整数集合：______； 正有理数集合：______． 【答案】；； 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，分别根据正分数、整数、正有理数的定义进行分类即可 【详解】解：正分数集合：； 整数集合：； 正有理数集合：． 故答案为：；；． 题型六 带“非”字的有理数 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，，，2023，，中，非负整数有 ． 【答案】，0，2023 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据非负整数是大于等于0的整数进行求解即可． 【详解】解：在，0，，，2023，，中，非负整数有，0，2023， 故答案为：，0，2023． 11．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可） ①；②；③0.5；④1；⑤0；⑥；⑦；⑧ 正数：｛                   …｝； 分数：｛                   …｝； 非负整数：｛                   …｝． 【答案】正数：①③④⑧；分数：①②③⑦⑧；非负整数：④⑤ 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】此题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：正数：｛①③④⑧…｝； 分数：｛①②③⑦⑧…｝； 非负整数：｛④⑤…｝． 故答案为：①③④⑧；①②③⑦⑧；④⑤ 题型七 数轴的三要素及其画法 12．（2022七年级上·浙江·专题练习）画出数轴并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，，0． 【答案】见解析 【知识点】数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数 【分析】直接在数轴上表示出相关有理数即可即可． 【详解】解：以0为原点，作一条以右方向为正方向的数轴， 各点的位置如图： 【点睛】本题主要考查了数轴、点在数轴上位置的确定等知识点，正确画出数轴以及在数轴上表示数是解答本题的关键． 题型八 用数轴上的点表示有理数 13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数互为相反数，则图中点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，关键是正确确定原点位置． 首先确定原点位置，进而可得C点对应的数． 【详解】解：∵点A、B表示的数互为相反数， ∴原点在线段的中点处， ∴点C对应的数是． 故选：C． 14．（24-25七年级上·浙江温州·期末）数轴上点与点相距3个单位，若点表示，则点表示的数是 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，分类讨论：点在点左边，则点表示的数为；若点在点右边，则点表示的数为，熟练利用数轴是解题的关键． 【详解】解：点表示，点与点相距3个单位， 若点在点左边，则点表示的数为； 若点在点右边，则点表示的数为， 即点表示的数为或． 故答案为：或． 题型九 数轴上两点之间的距离 15．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 16．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴的单位长度为1，点B表示的数是3． (1)点A表示的数是______； (2)在数轴上表示出下列各数：，2，，并将这些数及点A，B表示的数用“”号连接起来． 【答案】(1) (2)见解析； 【知识点】数轴上两点之间的距离、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）根据数轴上表示的数，及其两点间距离公式进行求解即可； （2）根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】（1）解：∵数轴的单位长度为1，点B表示的数是3， ∴点A表示的数； （2）解：把各数表示在数轴上，如图所示： ， 用“”连接为：． 题型十 相反数的定义 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：实数的相反数是， 故答案为：． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图． (1)在横线上填上“”或“”：a_____0，b_____0，c_____0，_____； (2)在数轴上标出表示，，的点； (3)用“”将a，，b，，c，，0连接起来． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3) 【知识点】相反数的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查实数与数轴，理解绝对值和相反数的概念，掌握数轴上的点左边的总比右边的小是解题关键． （1）观察数轴，结合点在数轴上所在的位置进行分析判断； （2）根据相反数的概念在数轴上表示各点； （3）利用数轴上的点左边的总比右边的小进行比较解答． 【详解】（1）解：（1）由题意：，，，， 故答案为：，，，； （2）解：如图： （3）解：由数轴可得：． 题型十一 数轴上整点覆盖问题 19．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上整点覆盖问题 【分析】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【详解】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 题型十二 化简多重符号 21．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B． 和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握的相反数的定义是解题的关键，先将各选项去括号再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：A．，，故此选项不符合题意； B．；，故此选项不符合题意； C．；，故此选项符合题意； D．，，故此选项不符合题意； 故选：C． 22．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)3，与互为相反数 (2)1.2，，与互为相反数 (3)， (4)， 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【分析】首先化简各对数，然后根据相反数的概念求解即可． 【详解】（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0．只有符号不同的两个数互为相反数． 题型十三 相反数的应用 23．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若a，b互为相反数，则 ． 【答案】0 【知识点】相反数的应用 【分析】根据a，b互为相反数，得到，代入计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，熟记互为相反数的两个数的和为零是解题的关键． 题型十四 绝对值的几何意义 24．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、正负数的实际应用 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 25．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是 ． 【答案】7 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算、绝对值的意义等知识点，掌握绝对值的意义是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，可得．同理：，，结合题意可得：、，，于是，然后代入即可解答． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理：，， ∵， ∴、，． ∴． ∴的最大值为． 故答案为：7． 26．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， (1)若与互为相反数，则______； (2)若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 【答案】(1) (2)小于；与 【知识点】相反数的定义、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，相反数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识并数形结合． （1）根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； （2）根据绝对值、相反数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上每一小段的长度为，与互为相反数， 在数轴上表示，在数轴上表示， ， 故答案为：； （2）， 小于， 、、、中，可能互为相反数的是与， 故答案为：小于；与． 题型十五 求一个数的绝对值 27．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是2021， 故选：． 28．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】本题考查相反数，绝对值的知识，解题的关键是掌握相反数的定义，绝对值的意义． 根据相反数：只有符合不同的两个数叫做互为相反数，绝对值的意义，即可． 【详解】解：∵相反数：只有符合不同的两个数叫做互为相反数 ∴的相反数是：， ∵， ∴； 故答案为：，． 29．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ①；②3；③；④；⑤；⑥15；⑦0；⑧． (1)分数：______； (2)正有理数：______； (3)有理数：______． 【答案】(1)③④； (2)②③⑥； (3)①②③④⑥⑤⑦ 【知识点】有理数的分类、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数的分类，化简绝对值： （1）先化简绝对值，再根据分数的定义求解即可； （2）根据正有理数的定义求解即可； （3）根据有理数的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分数有③④， 故答案为：③④； （2）解：由题意得，正有理数有②③⑥； 故答案为：②③⑥； （3）解：由题意得，有理数有①②③④⑥⑤⑦． 故答案为：①②③④⑥⑤⑦． 题型十六 绝对值非负性 30．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 31．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）若a，b，c均为整数，且，试计算的值． 【答案】2 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据已知条件得出且或且，再分别进行解答即可得出答案．根据题意判断出两种情况是解题的关键． 【详解】解：，，均为整数， ，也应为整数， ，为两个非负整数， 它们的和为1， 只能是且，① 或且，② 由①知且， ，于是， 由②知且， ，于是， 无论①或②都有且， ． 题型十七 绝对值的其他应用 32．（七年级上·浙江台州·期末）现有30个数，其中所有正数之和为10，负数之和为，这30个数的绝对值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值的其他应用、有理数加法运算 【分析】所有负数的绝对值的和等于所有负数和的绝对值，所有正数之和的绝对值等于所有正数绝对值的和，从而可求得30个数的绝对值之和． 【详解】所有负数的绝对值的和为，所有正数之和为10，则所有30个数的绝对值之和为：； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法运算，关键掌握负数的和的绝对值等于负数的绝对值的和，正数的和的绝对值等于正数的绝对值的和． 33．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）绝对值小于的所有实数的和是 ，所有负整数的和是 ． 【答案】 【知识点】绝对值的其他应用、有理数加法运算 【分析】本题主要考查绝对值的性质，有理数的混合运算，根据题意，结合绝对值的定义和性质，负整数的概念即可求解，解题的关键是理解和掌握绝对值的性质． 【详解】解：根据题意，设绝对值小于的数为， ∴， ∴根据绝对值的几何可得，， ∴绝对值小于的所有实数的和是，绝对值小于的所有负整数是， ∴， 故答案为：，． 题型十八 利用数轴比较有理数的大小 34．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，确定该数的取值范围为即可求解． 【详解】解：设手掌遮挡住的点表示的数为， 由数轴可知， ∵ 故选：B 35．（2023七年级上·全国·专题练习）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么的大小关系是 ．（用“＞”连接）    【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】将分别表示在数轴上即可． 【详解】解：将分别表示在数轴上，如图所示：    由数轴得： 故答案为： 【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小．将表示在数轴上是解题关键． 题型十九 有理数大小比较 36．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在，，0，1这四个数中，最大的数是（   ）． A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较方法“正数都大于负数，负数小于零，正数大于零；两正数绝对值较大的数较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 最大的数是， 故选：D． 37．（24-25七年级上·浙江金华·期中）比大的负整数是 ；比小的最大负整数是 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的分类 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，掌握有理数的分类，大小的比较方法，是解题的关键．根据有理数大小的比较方法，有理数的分类方法，进行解答即可． 【详解】解：比大的负整数是；比小的最大负整数是． 故答案为：；． 38．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和0； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较的方法． （1）通分后比较大小； （2）去绝对值后比较大小； （3）去括号后比较大小． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：； （3）解：． 题型二十 有理数大小比较的实际应用 39．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）以下四个城市中某天平均气温最低的城市是（   ） 北京 哈尔滨 广州 上海 A．北京 B．哈尔滨 C．广州 D．上海 【答案】B 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键．根据有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， 四个城市中某天中午12时气温最低的城市是哈尔滨． 故选：B． 40．（七年级上·浙江杭州·期末）在射线上截取，点是的中点，点是的中点，． （1）求的长； （2）设为正整数，讨论和的大小． 【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当的整数时， 【知识点】有理数大小比较的实际应用、两点间的距离 【分析】（1）设，根据线段中点的性质，可用x表示BC，AC，CE，BD，根据线段的和差用x表示AD，可得x的值，根据即可得的长； （2）由（1）知，，代入化简，分类讨论可得答案． 【详解】解：（1）设，则，， ∵点是的中点，∴， ∵点是的中点，∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴； （2）由（1）知，=， ∴， 当时，，∴； 当时， ； 当的整数时，，∴． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，有理数大小比较的实际应用，分类讨论是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 有理数 章节（9知识点回顾+20题型练习） 题型梳理 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 有理数的分类 题型六 带“非”字的有理数 题型七 数轴的三要素及其画法 题型八 用数轴上的点表示有理数 题型九 数轴上两点之间的距离 题型十 相反数的定义 题型十一 数轴上整点覆盖问题 题型十二 化简多重符号 题型十三 相反数的应用 题型十四 绝对值的几何意义 题型十五 求一个数的绝对值 题型十六 绝对值非负性 题型十七 绝对值的其他应用 题型十八 利用数轴比较有理数的大小 题型十九 有理数大小比较 题型二十 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1自然数、分数、小数的意义 1、自然数的作用： （1）计数，计量人或物的数量； （2）测量，如长度、高度、质量等； （3）标号，人为的编号，如车次、学号、门牌号等； （4）排序，如年份、月份、名次等. 2、分数、小数的关系： （1）分数可以看做两个整数相除，因此分数都可以化为小数（有限小数或无限循环小数）； （2）有限小数、无限循环小数和百分数都可以转化为分数. 知识点2 具有相反意义的量 1、具有相反意义的量包含两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量． 2、用正负数表示具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 常用的表示相反意义的词有零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降等． 知识点3 正数和负数 1.正数 像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数 像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 要点归纳： (1)一个数前面的“＋”“－”号叫作这个数的符号，其中“＋”号可以省略，“－”号不能省略． (2)“＋”“－”作为运算符号，是加、减号． 3.数0 的意义 (1)0既不是正数，也不是负数． (2)0是正数与负数的分界． 1. 表示没有 例如,0个苹果,意思是没有苹果 2.表示数时起到占位的作用 如10605中的两个0,分别占的是十位和千位 3.表示某种量的基准 例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度 4.表示某些数量的分界 0既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界 5. 表示起点 例如,在米尺上,刻度的起点为“0” 知识点4 有理数的有关概念及分类 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 【注意】 引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数. ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 【注意】 ① 分类的标准不同，结果也不同； ② 分类的结果应无遗漏、无重复； ③ 0是整数，但0既不是正数，也不是负数. 知识点5：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点6：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点7：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点8：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点9：有理数大小比较 1.数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2.法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点归纳： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）在，，0，11，，3这五个数中，正数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一瓶饮料瓶身标注的净含量是，测得实际净含量为，记作“”，那么实际净含量记作 ． 题型二 相反意义的量 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如果银行账户余额增加50元记为元，那么余额减少30元记为 ． 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）粮库某月前天进出粮食的记录如下： 日期 进出粮食吨 其中以运进为正，说出各天记录的实际意义． 题型三 正负数的实际应用 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如果盈利30元记作元，那么亏损20元记作 元． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果温度上升，记作，那么温度下降记作（   ） A． B． C． D． 题型四 有理数的定义 7．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数，，，，2023，，，0，中，负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型五 有理数的分类 8．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，非负数的个数有 个． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：． 正分数集合：______； 整数集合：______； 正有理数集合：______． 题型六 带“非”字的有理数 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，，，2023，，中，非负整数有 ． 11．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可） ①；②；③0.5；④1；⑤0；⑥；⑦；⑧ 正数：｛                   …｝； 分数：｛                   …｝； 非负整数：｛                   …｝． 题型七 数轴的三要素及其画法 12．（2022七年级上·浙江·专题练习）画出数轴并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，，0． 题型八 用数轴上的点表示有理数 13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数互为相反数，则图中点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·浙江温州·期末）数轴上点与点相距3个单位，若点表示，则点表示的数是 题型九 数轴上两点之间的距离 15．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴的单位长度为1，点B表示的数是3． (1)点A表示的数是______； (2)在数轴上表示出下列各数：，2，，并将这些数及点A，B表示的数用“”号连接起来． 题型十 相反数的定义 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数的相反数是 ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图． (1)在横线上填上“”或“”：a_____0，b_____0，c_____0，_____； (2)在数轴上标出表示，，的点； (3)用“”将a，，b，，c，，0连接起来． 题型十一 数轴上整点覆盖问题 19．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 题型十二 化简多重符号 21．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B． 和 C．和 D．和 22．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 题型十三 相反数的应用 23．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若a，b互为相反数，则 ． 题型十四 绝对值的几何意义 24．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是 ． 26．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， (1)若与互为相反数，则______； (2)若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 题型十五 求一个数的绝对值 27．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）的相反数是 ，绝对值是 ． 29．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ①；②3；③；④；⑤；⑥15；⑦0；⑧． (1)分数：______； (2)正有理数：______； (3)有理数：______． 题型十六 绝对值非负性 30．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）若a，b，c均为整数，且，试计算的值． 题型十七 绝对值的其他应用 32．（七年级上·浙江台州·期末）现有30个数，其中所有正数之和为10，负数之和为，这30个数的绝对值之和为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）绝对值小于的所有实数的和是 ，所有负整数的和是 ． 题型十八 利用数轴比较有理数的大小 34．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ）． A． B． C． D． 35．（2023七年级上·全国·专题练习）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么的大小关系是 ．（用“＞”连接）    题型十九 有理数大小比较 36．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在，，0，1这四个数中，最大的数是（   ）． A． B． C．0 D．1 37．（24-25七年级上·浙江金华·期中）比大的负整数是 ；比小的最大负整数是 ． 38．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和0； (3)和． 题型二十 有理数大小比较的实际应用 39．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）以下四个城市中某天平均气温最低的城市是（   ） 北京 哈尔滨 广州 上海 A．北京 B．哈尔滨 C．广州 D．上海 40．（七年级上·浙江杭州·期末）在射线上截取，点是的中点，点是的中点，． （1）求的长； （2）设为正整数，讨论和的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$