第05讲 反比例函数 （知识清单+19大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第05讲 反比例函数 （知识清单+19大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据反比例函数的定义求参数 题型三 求反比例函数值 题型四 由反比例函数值求自变量 题型五 判断（画）反比例函数图象 题型六 判断反比例函数的增减性 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 题型八 判断反比例函数图象所在象限 题型九 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型十一 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型十二 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十三 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十四 求反比例函数解析式 题型十五 实际问题与反比例函数 题型十六 反比例函数与几何综合 题型十七 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十八 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十九 一次函数与反比例函数的其他综合应用 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点6．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点7．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点8．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点9．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点10．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点11．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型方法 【题型一】用反比例函数描述数量关系 【例1】（22-23九年级上·安徽池州·期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级·全国·课后作业）已知反比例函数的图象过，则它的图象一定不经过点（    ）． A． B． C． D． 2．（九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，与在正比例关系，与成反比例函数关系，且时，，时， (1)求与的关系式. (2)求当时，的值. 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【题型二】根据反比例函数的定义求参数 【例2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）反比例函数中常数k为（　　） A． B．2 C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）关于反比例函数的说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点，给出下列结论：①；②；③是关于的一元二次方程的两个实数根；④．其中正确结论是 （填写序号） 3．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【题型三】求反比例函数值 【例3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，点在图象上，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，若函数图象经过点和，则在，，，四个运算结果中，是定值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）世界的面食之根就在山西．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值． 【题型四】由反比例函数值求自变量 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知与成反比例函数，且，，当增加时，将（    ） A．减少 B．增加 C．增加约 D．减少约 2．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，直线与双曲线与分别交于点A，B，已知点C的坐标为，则的面积为 ． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值． 【题型五】判断（画）反比例函数图象 【例5】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数．那么在下列四个函数：①；②；③；④中，偶函数是 （填出所有偶函数的序号）． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 【题型六】判断反比例函数的增减性 【例6】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A．该反比例函数图像经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图像经过第一、三象限 D．该反比例函数图像关于原点对称 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在下列函数图像上任取不同的两点和，一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数中：①，②，③，④，⑤，当时，函数y随x的增大而减小的有 个． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点在反比例函数的函数值． (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围． 【题型七】已知反比例函数的增减性求参数 【例7】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如果在反比例函数图象的每一支上，随的增大而增大，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【题型八】判断反比例函数图象所在象限 【例8】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）对于反比例函数以及图象上两点和，下列说法错误的是（   ） A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称 C．当时，则 D．y随x的增大而减小 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）反比例函数的图象在第 象限． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 【题型九】比较反比例函数值或自变量的大小 【例9】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·安徽安庆·二模）反比例函数上有，，三点，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的从小到大的关系是 ． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）某农场组织一批同一型号的收割机抢收秋粮，所需天数（天）是每天完成的收割量（亩）的反比例函数，其函数图象如图所示，且经过点． (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)已知该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，若该农场计划用10天的时间完成收割任务，则需要几台这种型号的收割机？ 【题型十】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例10】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为 ． 【题型十一】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【例11】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【题型十二】已知比例系数求特殊图形的面积 【例12】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 3．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线C：交于两点A，B． (1)若且求实数b的值； (2)设直线l与x，y轴分别交于点D，E，求证：． 【题型十三】根据图形面积求比例系数（解析式） 【例13】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（   ） A．12 B．16 C．18 D．24 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，过正半轴一点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点，若，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，求该反比例函数的表达式．    【题型十四】求反比例函数解析式 【例14】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）函数的图象经过抛物线的顶点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象相交于A，两点，连接． (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)求出的面积． 【题型十五】实际问题与反比例函数 【例15】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）的压力作用于桌面上，如果使产生的压强小于，则下列关于桌面受力面积的说法正确的是（） A．S大于 B．S小于 C．S大于 D．S小于 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度也随之改变，与V在一定范围内满足关系式（m是常数，且），它的图象如图所示，当为时，V的值为 ． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 【题型十六】反比例函数与几何综合 【例16】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图像过点C，则k的值为（   ） A．4 B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中菱形的顶点A、B在反比例函数的图象上，点A、B横坐标分别为1、4，对角线轴．若菱形的面积为10，则k的值为 ． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为点D，交于点E，若E为的中点，且点E坐标为． (1)求k的值； (2)连接，求直线的函数表达式； (3)求的面积． 【题型十七】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例17】（2024·安徽宿州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，当时，下列判断中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【举一反三】 1．（2024·安徽安庆·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点 和， (1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【题型十八】一次函数与反比例函数的交点问题 【例18】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是 ． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 【题型十九】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【例19】（2024·安徽蚌埠·二模）若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1） ； （2）记的面积为，则最大值为 ． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 好题必刷 一、单选题 1．下列各问题中的两个变量成反比例的是（     ）； A．某人的体重与年龄 B．时间不变时，工作量与工作效率 C．矩形的长一定时，它的周长与宽 D．被除数不变时，除数与商 2．反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图像经过点 C．图像关于直线对称 D．图像位于第二、四象限 3．下列各点中在反比例函数y＝的图象上的是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（6，﹣1） 4．直线和双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：）的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．若函数是反比例函数，且图象在第一，三象限，那么m的值是（　　） A．±1 B．1 C．-1 D．2 7．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　） A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、第三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 8．下面结论正确的有（    ） （1）如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例． （2）如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系． （3）小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例． （4）书的总页数一定，已看的页数与未看的页数成正比例关系． A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4） 9．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）对应的图象排序（    ） （1）                （2）                    （3）                （4） （a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系） （b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） （c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系） （d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地的距离与时间的关系） A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1） 10．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A．B．C．D． 二、填空题 11．正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为，则 ． 12．如图，O是坐标原点，点A在函数的图象上，轴于B点，的面积为4，则k的值为 ． 13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ． 14．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为 ． 三、解答题 15．已知矩形的面积为9，试用图象表示出这个矩形两邻边之间的关系． 16．下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？ ，，，，，，． 17．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 18．古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 19．下列各问题情境中均包含一对变量，其中哪些成正比例，哪些成反比例，哪些既不成正比例，又不成反比例？ (1)汽车沿一条公路从A地驶往B地所需的时间t与平均速度v． (2)圆的周长l与圆的半径r． (3)圆的面积S与圆的半径r． (4)100元钱购买糖果的千克数y与糖果的单价x． 20．已知反比例函数的图象过点 （1）求反比例函数的解析式； （2）若将一次函数的图象向下平移4个单位长度后得到直线l，且直线l与该反比例函数的图象只有一个交点，求直线l的解析式． 21．如图，已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（－2，8）． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由． 22．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式． （2）当气体体积为1m3时，气球内气体的气压是多少？ （3）当气球内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球内气体的体积应不小于多少？ 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3 (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 反比例函数 （知识清单+19大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据反比例函数的定义求参数 题型三 求反比例函数值 题型四 由反比例函数值求自变量 题型五 判断（画）反比例函数图象 题型六 判断反比例函数的增减性 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 题型八 判断反比例函数图象所在象限 题型九 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型十一 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型十二 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十三 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十四 求反比例函数解析式 题型十五 实际问题与反比例函数 题型十六 反比例函数与几何综合 题型十七 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十八 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十九 一次函数与反比例函数的其他综合应用 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点6．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点7．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点8．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点9．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点10．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点11．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型方法 【题型一】用反比例函数描述数量关系 【例1】（22-23九年级上·安徽池州·期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：， ， 、， 点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； B、， 点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C、， 点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、， 点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 【举一反三】 1．（九年级·全国·课后作业）已知反比例函数的图象过，则它的图象一定不经过点（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据反比例函数的定义可直接进行求解． 【详解】解：设该反比例函数为，则有： ∵反比例函数的图象过， ∴， ∴选项A的点一定不经过该反比例函数； 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 2．（九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，与在正比例关系，与成反比例函数关系，且时，，时， (1)求与的关系式. (2)求当时，的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用反比例函数描述数量关系 【分析】（1）根据正比例关系与反比例关系设出比例式，然后把两组数据代入关系式，解方程组即可； （2）把x的值代入所求函数关系式，计算即可得解． 【详解】(1)∵与在正比例关系，与成反比例函数关系， ∴ ∵与成反比例函数关系， ∴ ∴ 代入数据可得 解得 所以，y与x之间的函数关系式为 (2)当x=−2时， 【点睛】考查待定系数法求函数解析式，能够正确的设出与的关系式，进而用待定系数法求得解析式是解题的关键. 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）分别算出至时间长为小时，至时间长为6小时，再代入，且结合反比例函数的图象性质，得出汽车行驶速度v的范围为．即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． （2）解：依题意，（小时），（小时） ∴至时间长为小时，至时间长为6小时， 则将代入得；将代入得． ∴汽车行驶速度v的范围为． 【题型二】根据反比例函数的定义求参数 【例2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）反比例函数中常数k为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查房比例函数的定义，掌握“形如的函数是反比例函数”时解题的关键． 【详解】解：反比例函数中常数k为， 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）关于反比例函数的说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：，故A错误； ，图象位于一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故B错误； 反比例函数的图象关于直线或成轴对称，不关于轴对称，故C错误； 将代入，得，即，故D正确， 故选：D 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点，给出下列结论：①；②；③是关于的一元二次方程的两个实数根；④．其中正确结论是 （填写序号） 【答案】①③/③① 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查二次函数，反比例函数，一元二次方程的综合，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据抛物线的开口及过点，双曲线经过点，得到，可判定①；根据可以转化为：，可判定③；根据一元二次方程根据的判别式可判定④；根据且，得到可判定②；由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点， ∴， ∴，故①正确； ∴ ∴可以转化为：， ∴或，故③正确； ∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 化简，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即，故④错误； ∵且， ∴，故②错误； 故答案为：①③． 3．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不可能为反比例函数，理由见解析 【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据反比例函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义． （1）直接利用二次函数的定义分析得到且，解方程得出答案； （2）直接利用反比例函数的定义得到，且，解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵函数， 且时，该函数为二次函数， 解得：， 时，该函数为二次函数； （2）该函数不可能为反比例函数．理由如下： 当该函数为反比例函数，则，且， 整理得， 此时，方程无实数根， 故该函数不可能为反比例函数． 【题型三】求反比例函数值 【例3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，点在图象上，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，将代入反比例函数解析式计算即可得解． 【详解】解：∵反比例函数，点在图象上， ∴， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，若函数图象经过点和，则在，，，四个运算结果中，是定值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把点和代入反比例函数得和，然后问题可求解． 【详解】解：把点和代入反比例函数得和， ∴，，，， ∴是定值的个数有2个； 故选B． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入函数，求得，，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图像经过点和， ∴可有，， ∴． 故答案为：0． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）世界的面食之根就在山西．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数性质． （1）运用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将代入函数关系式，求得即可． 【详解】（1）解：设，代入 （2）将代入 【题型四】由反比例函数值求自变量 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【答案】A 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知与成反比例函数，且，，当增加时，将（    ） A．减少 B．增加 C．增加约 D．减少约 【答案】D 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】根据反比例的定义列出函数关系式，再根据自变量x的变化计算得出y的变化即可． 【详解】解：设，当增加时，相应的， 则y减少的百分率是； 故选：D． 【点睛】本题考查利用反比例函数的定义计算，难度不大，正确列式计算是关键． 2．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，直线与双曲线与分别交于点A，B，已知点C的坐标为，则的面积为 ． 【答案】3 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】根据反比例函数图象上的坐标特征求出线段的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：把代入双曲线得，， 把代入双曲线可得，， 所以， 所以． 故答案为∶3 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出的长是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为3 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】此题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式． （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）把代入函数关系式，即可求得x的值． 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为， 当时，，则， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，代入，得， 解得， 当时，的值为3． 【题型五】判断（画）反比例函数图象 【例5】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了二次函数的图像，反比例函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键．分两种情况讨论，再判断图像即可． 【详解】解：∵0， 若，， 则反比例函数的图象位于第一、第三象限， 二次函数的图象开口向上， 与y轴的交点位于y轴的正半轴． 故C符合条件，B不符合条件； 若，， 反比例函数的图象位于第二、第四象限， 二次函数的图象开口向下， 与y轴的交点位于y轴的负半轴． 故B，D不符合条件， 故选：C． 2．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数．那么在下列四个函数：①；②；③；④中，偶函数是 （填出所有偶函数的序号）． 【答案】④ 【知识点】识别一次函数、y=ax²+k的图象和性质、判断（画）反比例函数图象 【分析】首先结合各个函数的性质确定各自的对称性，然后结合题目中给出的偶函数的定义作出回答即可得出答案． 【详解】解：①、②这两个图象都是直线，它们的图象不会关于y轴成轴对称图形，不符合偶函数的定义； ③是反比例函数，它是中心对称图形，关于原点对称，不符合偶函数的定义； ④是二次函数，它的图象关于y轴成轴对称图形，符合偶函数的定义． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质及反比例函数的性质，解题的关键是了解偶函数的定义． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 【答案】, 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式．根据已知条件得到在第一象限,可知点一定在第二象限,因点为第四象限点坐标,又因反比例函数经过其中两点,于是得到反比例函数解析式和的值． 【详解】解:∵点,分别在第一、四象限,点不可能在第三象限, ∴点在第二象限,且反比例函数的图像经过,两点, ∴设反比例函数的表达式为, 把代入中: 即,, ∴反比例函数的表达式为, ∴把代入中, 即, ∴． 【题型六】判断反比例函数的增减性 【例6】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A．该反比例函数图像经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图像经过第一、三象限 D．该反比例函数图像关于原点对称 【答案】D 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴该反比例函数图像不经过点，不符合题意； B、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； D、∵此函数是反比例函数， ∴该反比例函数图像关于原点对称，正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在下列函数图像上任取不同的两点和，一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 先判断各函数的增减性，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，∴y随x的增大而增大，即当时，必有，，故A选项不符合题意； B、，∴y随x的增大而增大，即当时，必有，，故B选项不符合题意； C、，∴当时，y随x的增大而增大，即当时，必有，，故C选项不符合题意； D、∵，∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，∴时，必有，，故D选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数中：①，②，③，④，⑤，当时，函数y随x的增大而减小的有 个． 【答案】③④⑤ 【知识点】判断一次函数的增减性、y=a（x-h）²+k的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的增减性即可求解． 【详解】①，当时，函数y随x的增大而增大，错误； ②，函数y随x的增大而增大，错误； ③，函数y随x的增大而减小，正确； ④，当时，函数y随x的增大而减小，正确； ⑤，当时，函数y随x的增大而减小，正确． 综上所述，符号条件的有③④⑤ 故答案为：③④⑤． 【点睛】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，是一道难度中等的题目． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点在反比例函数的函数值． (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)y的值为 (2)y的取值范围是 【知识点】求自变量的值或函数值、求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性 【分析】（1）先将点P的坐标代入反比例函数的解析式，求得k的值，然后再将x的值代入反比例函数即可求得y的值． （2）先由x的两个大小边界值求得对应的y的两个大小边界值，然后根据反比例函数在第二象限的增减性，即可确定y的取值范围． 【详解】（1）将代入中，得． 故反比例函数的解析式为：． 当时，． （2）当时， ； 当时， ， 又当时，y随x的增大而增大， 所以y的取值范围是． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、已知自变量的值求函数的值、已知自变量的取值范围求函数值的取值范围，解题的关键是熟练运用反比例函数的增减性． 【题型七】已知反比例函数的增减性求参数 【例7】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大， ∴，即， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如果在反比例函数图象的每一支上，随的增大而增大，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、不等式的解集 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，求不等式的解集，判定反比例函数图象所在象限，掌握增减性是解题的关键． 根据图象的每一支上，随的增大而增大，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得，， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【答案】(1) (2)3 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】（1）由一次函数解析式求出、的坐标，进而求得点坐标，代入即可求得的值． （2）设，则，由于的值在时，随的增大而增大，随的值的增大而增大，即可得出随的增大而增大．再由点，则当时，，所以当时，S值最小，把代入计算即可求解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点， ，． 为线段的中点， ∴， ， 反比例函数的图象过点， ， ∴， （2）解：点是反比例函数的图象上一个动点， 设， ， 设，则， 随的增大而增大， 在中，， 时，随的增大而增大， 随的增大而增大． 由（1）知，， ∴当时，， ∴当时，S值最小，最小值为． 即当时，S最小值为3． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键． 【题型八】判断反比例函数图象所在象限 【例8】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的图象经过点，进行解答．熟练掌握该性质是关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 此函数的图象位于第二、四象限， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）对于反比例函数以及图象上两点和，下列说法错误的是（   ） A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称 C．当时，则 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】此题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 当时，双曲线的两支分别位于第一，第三象限，在每一象限内随的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A，反比例函数中，，图象在一，三象限，故本选项正确； B，反比例函数的图象双曲线关于原点对称，故本选项正确； C，反比例函数在每一象限内，随的增大而减小，当，则有：，故本选项正确； D，反比例函数的图象在一，三象限，在每一象限内，随的增大而减小，故本选项错误； 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）反比例函数的图象在第 象限． 【答案】四 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了判断反比例函数所在象限，根据反比例函数的性质即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限， 故答案为：四． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 【答案】(1)第三象限， (2) 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、已知反比例函数的增减性求参数、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的性质， （1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数大于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而减小，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据反比例图象的性质得，其中一支在第一象限，则另一支在第三象限， ∵图象在第一、三象限，则 ∴， （2）∵函数图象在第一、三象限，在每个象限内随增大而减小， ∴如果，则． 【题型九】比较反比例函数值或自变量的大小 【例9】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大，由此问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知该函数在第二、第四象限，则在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴ 故选D． 【举一反三】 1．（2024·安徽安庆·二模）反比例函数上有，，三点，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式可得反比例函数图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，再结合题意分析即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数上有，，三点， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， 当，，在同一象限时，由可得， 当，，不在同一象限时，，，之间的大小关系不能确定， 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的从小到大的关系是 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵，， ∴点，位于第二象限， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴点位于第四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）某农场组织一批同一型号的收割机抢收秋粮，所需天数（天）是每天完成的收割量（亩）的反比例函数，其函数图象如图所示，且经过点． (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)已知该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，若该农场计划用10天的时间完成收割任务，则需要几台这种型号的收割机？ 【答案】(1) (2) 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数解决实际问题，读懂题意，由待定系数法确定函数解析式是解决问题的关键． （1）由待定系数法求解即可得到答案，根据实际意义，数形结合即可确定的取值范围； （2）根据题意，当时，，再由该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，所需天数（天）是每天完成的收割量（亩）的反比例函数， 设与之间的函数表达式为， 将代入表达式可得， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由题意可知，当时，， 该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩， （台） 答：需要台这种型号的收割机． 【题型十】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例10】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，掌握所有在反比例函数图像上的点的纵横坐标的积，应等于比例系数是解答本题的关键． 将选项中点的纵横坐标相乘，结果是比例系数的，就在双曲线的图象上． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 将选项中点的纵横坐标相乘： A选项，符合题意； B选项，不符合题意； C选项，不符合题意； D选项，不符合题意， 故选A． 【举一反三】 1．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 ． 【答案】6 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、等边三角形的性质 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，等边三角形的性质，坐标与图形等知识，求出的值是解题关键．过点作与点，设，则，得到，，由等边三角形的性质，得到，进而得出、两点的坐标，得到，然后由求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作与点， 双曲线过A、B两点，且过原点， 设，则， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， 轴， ， 轴， ， ， ， ， ， 故答案为：6 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为 ． 【答案】10 【知识点】利用网格求三角形面积、已知两点坐标求两点距离、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、反比例函数与几何综合 【分析】设点坐标为，由于线段经过原点，由双曲线的对称性可知，点坐标为，进而可得，，由已知条件及三角形的面积公式可得，即，据此即可求出的值． 【详解】解：设点坐标为， 线段经过原点， 由双曲线的对称性可知，点坐标为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，由反比例函数图象的对称性求点的坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键． 【题型十一】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【例11】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限． 先根据反比例函数的性质得出，再解不等式即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、一次函数与反比例函数的交点问题、已知双曲线分布的象限，求参数范围、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点． 根据一次函数和反比例函数的性质得到，即可判断①；把、代入中得到，即可判断②；把、代入得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到，即可判断③；根据图象得到不等式的解集是或，即可判断④． 【详解】解：①由图象知，，， ∴，故①正确； ②把，代入中，得， ∴，故②正确； ③把，代入，得， 解得：， ∵， ∴． ∵直线与轴、轴相交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限是解题关键．根据题意可得出，求解即可． 【详解】解：∵双曲线的图象的一支位于第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 【题型十二】已知比例系数求特殊图形的面积 【例12】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 根据已知条件求出矩形的面积，以及的面积与的面积，用矩形的面积减去两个三角形的面积就是四边形的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 3．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线C：交于两点A，B． (1)若且求实数b的值； (2)设直线l与x，y轴分别交于点D，E，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、已知比例系数求特殊图形的面积、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，涉及反比例函数k的几何意义，一次函数与反比例函数图象的交点问题，平行四边形的判定与性质，难度较大． （1）设，联立一次函数和反比例函数解析式得到，根据根与系数的关系得到，再得到“弦长公式”即可求解； （2）当直线与第一象限的反比例函数相交时，且点分别靠近点，如图，过点A作轴于点M，轴于点N，连接，则，同理，由反比例函数k的几何意义得到，故，则，及时四边形和四边形是平行四边形，则，继而可求证，对于别的情况证法类似． 【详解】（1）解：设 ∵， ∴直线， 则联立得： ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴， 解得： （2）证明：当直线与第一象限的反比例函数相交时，且点分别靠近点，如图，过点A作轴于点M，轴于点N，连接， 则轴，轴 ∴， 同理， 由反比例函数k的几何意义得到， ∴， ∵共底， ∴等高， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图：当点分别靠近点时， 同理可得：， ∴； 当直线与第三象限的反比例函数相交时，同理可证明； 当直线与双曲线在第三象限相交时，如图，同理可证明． 【题型十三】根据图形面积求比例系数（解析式） 【例13】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的意义，过点C作轴于点E，证明四边形为矩形，得出，求出结果即可． 【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（   ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，已知，表示出各点坐标，根据的面积为12，列出方程，求出k． 【详解】解：延长交于点E． ∵，点A、点B在反比例函数的图象上， ∴． ∴， ∵的面积为，的面积为，的面积为， ∴， 解得，， ∵函数图象在第一象限，，负数舍去， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，过正半轴一点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 连接，交x轴于点F，得出，结合图形确定，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值． 【详解】解：连接，交x轴于点F，如图所示： ∵直线轴， ∴ ∵， ， ， 而， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，求该反比例函数的表达式．    【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，求解反比例函数的解析式，先求解，结合，再进一步求解可得答案． 【详解】解：连接，    则， 由阴影部分的面积是圆面积的， ， ∴， ， ； 【题型十四】求反比例函数解析式 【例14】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键． 先根据反比例函数的图象经过点求出的值，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， A、， 此点不在反比例函数的图象上，故A选项错误； B、， 此点不在反比例函数的图象上，故B选项错误； C、， 此点不在反比例函数的图象上，故C选项错误； D、， 此点在反比例函数的图象上，故D选项正确； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）函数的图象经过抛物线的顶点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查二次函数的性质，求反比例函数的解析式．解题的关键是掌握的顶点坐标为：． 先求抛物线的顶点坐标，顶点的横纵坐标之积即为值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴． 故选D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解方程组即可确定的坐标，进而求得的值，解求得点的坐标，根据轴对称的性质求得直线的解析式，从而求得点的坐标，求得交点坐标是解题的关键． 【详解】解：由解得， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 解， 得， 经检验是原方程的解， 当时，， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时的周长最小， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象相交于A，两点，连接． (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)求出的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式；反比例函数表达式 (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点，设直线交轴于点，求出，得到，根据即可求得答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于A，两点， ， ， 一次函数的表达式为； 在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； （2）解：由（1）知一次函数的表达式；反比例函数表达式， 直线与反比例函数的图象相交于A，两点， ， 解得： 当时，， ， 如图，设直线交轴于点 当时，， 解得， ， ， ． 【题型十五】实际问题与反比例函数 【例15】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）的压力作用于桌面上，如果使产生的压强小于，则下列关于桌面受力面积的说法正确的是（） A．S大于 B．S小于 C．S大于 D．S小于 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先推出随减小而增大，再求出当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵中，， ∴P随随减小而增大， 当时，则， ∴压强要小于 500 Pa ，则大于， 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案. 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故选：D ． 2．（2024·安徽合肥·二模）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度也随之改变，与V在一定范围内满足关系式（m是常数，且），它的图象如图所示，当为时，V的值为 ． 【答案】3 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再求出当时，V的值即可得到答案． 【详解】解：把代入中得， ∴， 在中，当时，，解得， 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 【答案】(1) (2)立方米 【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可． （1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可； （2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可． 【详解】（1）解：设， 由函数图象可得，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为：， 当时， ∴， 答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米． 【题型十六】反比例函数与几何综合 【例16】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数和平行四边形的综合题，根据题意得出点的纵坐标相同，表示出的值是解题的关键． 根据题意得出点的纵坐标相同，设点的纵坐标为，即可得到点的横坐标，进而得出的值，再利用平行四边形面积公式计算即可求解． 【详解】解：轴， 点的纵坐标相同， 设点的纵坐标为， ， 即点的横坐标为， 同理可得：点的横坐标为， ， ， 故选：B ． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图像过点C，则k的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，过点C作轴于E，根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值． 【详解】解：如图，过点C作轴于E， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象过点C， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中菱形的顶点A、B在反比例函数的图象上，点A、B横坐标分别为1、4，对角线轴．若菱形的面积为10，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质． 连接交于，如图，利用菱形的性质得，设，则，根据菱形的面积公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴， ∵轴， 设， ， ∵菱形的面积为 10 ， ∴， 即，解得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为点D，交于点E，若E为的中点，且点E坐标为． (1)求k的值； (2)连接，求直线的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)直线OB的函数表达式为 (3)的面积为18 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合熟练掌握待定系数法． （1）根据中点坐标求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据点B在反比例函数的图象上，先求出，再由待定系数法求解函数解析式； （3）过点A作于点N，轴于点，由于轴，则四边形是矩形，求出的面积，根据三角形中线等分面积即可求解． 【详解】（1）解：∵点为，是的中点， ∴点为， ∴ ∴反比例函数解析式为：， （2）解：设点B坐标为 ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴ 设直线的函数表达式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）解：过点A作于点N，轴于点，由于轴，则四边形是矩形， ∵点为，点为， ∴， ∵，点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型十七】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例17】（2024·安徽宿州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，当时，下列判断中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求出两函数的交点坐标，再画出函数图象的草图，然后根据二次函数图象逐项判断即可． 【详解】解：联立可得：，化简得，解得，， ∴两函数的交点坐标为，，如图所示： A、当时，，本选项不符合题意； B、当时，不能确定与的大小，本选项不符合题意； C、当时，，本选项符合题意； D、当时，不能确定与的大小，本选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三】 1．（2024·安徽安庆·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； C、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，故符合题意； D、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的范围即的解集，即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求得最小值． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， （2）有（1）得点， 由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 则得解集为：或，； （3）∵点是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵且， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 故答案：. 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点 和， (1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合是解题的关键． （1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，然后利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）不等式的解集为直线位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 【题型十八】一次函数与反比例函数的交点问题 【例18】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 先求出点，设，根据，则，求得，再分类讨论，当时，，把代入得 把代入得，得到，求解得；当时，，把代入得因为点B在第二象限内，故不符合题意，舍去．即可求解． 【详解】解：对于 ，令，则， 解得： ∴ ∴ 设， ∵直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B， ∴点B在第二象限， ∴ ∵ ∴ 解得， 当时，， ∴把代入得 把代入得 ∴ 解得或（舍去）， 当时， 把代入得（不符合题意，舍去） ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式化简求值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，将点坐标代入到两个解析式，可以得到，，将代数式变形为，代入即可解决． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 观察函数图象得到当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合，即的解集． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴， ∴由函数图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， 代入得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在的图象上， ∴， ， 将，代入中， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， 如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， ∴． 【题型十九】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【例19】（2024·安徽蚌埠·二模）若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程即的两根， ，， ∴异号， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B．由图象得：，，符合题意； D ．由图象得：，， ，结论错误，不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1） ； （2）记的面积为，则最大值为 ． 【答案】 4 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、求反比例函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，坐标与图形． （1）将代入，即可解答； （2）设，则，根据点C在线段上得到，由，高，得到，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点， ∴，解得． 故答案为：4 （2）∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为 由（1）得， ∴反比例函数解析式为． 解方程组得，， ∴ 设，则， ∵点C是线段上的点， ∴ ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为： 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，明确函数图象上的点满足函数关系式是本题关键． （1）将点坐标，点坐标代入解析式可求的值； （2）用待定系数法可求一次函数解析式，根据可求的面积． （ 3 ）由图象直接可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ， ， 故答案为：． （2）解：一次函数解析式，且过， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数图象与轴交点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，即， ∴一次函数图象在反比例函数图象下方， 或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)16 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用、坐标与图形综合 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方（包含交点）所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）先求解一次函数与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得：， 点的坐标为：， 反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． （3）解：连接，如图所示， ∵直线与轴相交于点， 当时， ∴ ∴ ∴． 好题必刷 一、单选题 1．下列各问题中的两个变量成反比例的是（     ）； A．某人的体重与年龄 B．时间不变时，工作量与工作效率 C．矩形的长一定时，它的周长与宽 D．被除数不变时，除数与商 【答案】D 【详解】解：A．体重与年龄是不成正比，也不是反比的．故错误． B．根据时间不变，工作效率越高，总量越大,应是成正比．故错误． C．矩形的长不变，则宽与周长成正比．故错误． D．被除数不变时，除数与商成反比．故正确． 故选D. 2．反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图像经过点 C．图像关于直线对称 D．图像位于第二、四象限 【答案】A 【分析】考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．通过反比例图象上的点的坐标特征，可对B选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故A是不正确的，符合题意； 由点的坐标满足反比例函数，故B是正确的，不符合题意； 由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数的图象关于对称是正确的，故C是正确的，不符合题意； 由，双曲线位于二、四象限，故D是正确的，不符合题意； 故选：A． 3．下列各点中在反比例函数y＝的图象上的是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（6，﹣1） 【答案】A 【详解】由函数关系式知，xy＝6，所给选项中，只有A满足，故选A． 4．直线和双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限. 【详解】对于A项和C项，因为双曲线位于第一、三象限，所以，所以直线中一次项系数为正，常数项为负，其图象应位于第一、三、四象限，所以A项和C项不符合题意；对于B项和D项，因为双曲线位于第二、四象限， 所以k<0，所以直线中一次项系数为负，常数项为正，其图象应位于第一、二、四象限，所以B项符合题意. 故选B. 【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于判断k的大小. 5．如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：）的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据储存室的体积底面积高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论． 【详解】解：由储存室的体积公式知：， 故储存室的底面积S（）与其深度之间的函数关系式为为反比例函数． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大． 6．若函数是反比例函数，且图象在第一，三象限，那么m的值是（　　） A．±1 B．1 C．-1 D．2 【答案】C 【详解】解：是反比例函数， ∴，， 解之得m=±1， 又∵图象在第一，三象限， ∴>0， 即m＜， 故m的值是-1． 故选C． 点睛：先根据反比例函数的定义得，得出m的可能取值，再由反比例函数的性质得出最后结果．将反比例函数解析式的一般式（k≠0），转化为（k≠0）的形式，根据反比例函数的定义条件可以求出m的值，注意不要忽略k≠0这个条件． 7．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　） A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、第三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、当时，， 此函数图象过点，故本选项正确，不符合题意； B、， 此函数图象分别位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意； C、， 当时，y随着x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； D、当时，， 当时，，故本选项错误，符合题意， 故选:D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 8．下面结论正确的有（    ） （1）如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例． （2）如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系． （3）小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例． （4）书的总页数一定，已看的页数与未看的页数成正比例关系． A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【分析】根据成正比例和成反比例的意义逐一判断即可． 【详解】 解：（1）如果保持圆的半径不变，圆的周长也就一定，不存在变量，所以，如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率不成正比例，故（1）不符合题意； （2）因为平行四边形的面积＝底×高，所以，如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系，故（2）符合题意； （3）因为小明从家到学校的路程等于小明从家到学校的时间与他行走的速度的乘积，所以，小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例，故（3）符合题意； （4）因为书的总页数等于已看的页数与未看的页数的和，所以，书的总页数一定，已看的页数与未看的页数不成正比例关系，故（4）不符合题意； 故正确的有（2）（3）， 故选：B． 【点睛】 本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，熟练掌握成正比例和成反比例的意义是解题的关键． 9．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）对应的图象排序（    ） （1）                （2）                    （3）                （4） （a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系） （b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） （c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系） （d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地的距离与时间的关系） A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1） 【答案】A 【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图象的变化规律，选择正确结论． 【详解】解：根据题意分析可得： （a）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）； （b）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）； （c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）； （d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了反比例函数图象，抛物线，一次函数图象，分析得到各小题中的函数关系是解题的关键． 10．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】过点P作PD⊥AB于点D，△ABC是边长为4cm的等边三角形， 则AP=2x， 当点P从A→C的过程中，AD=x，PD=x，如图1所示， 则y=AD•PD==，（0≤x≤2）， 当点P从C→B的过程中，BD=（8﹣2x）×=4﹣x，PD=（4﹣x），PC=2x﹣4，如图2所示， 则△ABC边上的高是：AC•sin60°=4×=2， ∴y=S△ABC﹣S△ACP﹣S△BDP =（2＜x≤4）， 故选B． 点睛：此题空考查了动点问题函数图象.几何图形中的动点问题,是代数的方程知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要求有运动的观点,搞清点的运动特性,对动态问题作静态分析,解答时要注意以下几点:(1)将与求解有关的线段用含未知数的代数式表示出来;(2)明确几何题与代数题不是截然分开的,解题时要有数形结合的思想;(3)考虑到方程的解应符合实际意义,所以在求出方程的解后,要结合条件进行合理的取舍.对于动点类的题目,解题的关键在于抓住运动图形的特殊位置,临界位置及其特殊性质,解决此类问题的基本方法是从运动与变化的角度来观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,此类题目常需借助函数或方程解答. 二、填空题 11．正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为，则 ． 【答案】 【分析】将A点坐标为分别代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可求解． 【详解】和过点A 故答案为． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，有理数的加法运算，正确的实用待定系数法求解析式是解题的关键． 12．如图，O是坐标原点，点A在函数的图象上，轴于B点，的面积为4，则k的值为 ． 【答案】﹣8 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝4，然后根据反比例函数的性质确定k的值． 【详解】解：∵AB⊥x轴， ∴＝|k|，即|k|＝4， ∵k＜0， ∴k＝﹣8． 故答案为﹣8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，准确计算是解题的关键． 13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ． 【答案】−2 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M、N两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【详解】∵y=kx(k>0)图像关于(0，0)中心对称， ∵k>0， ∴图像经过一、三象限， y图像也关于(0，0)中心对称， ∵2>0， ∴图像经过一、三象限， 又∵M、N为y=kx与y交点， ∴M、N也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限， ∴M(x1， )，N(−x1，)， ∴x1⋅y2==−2， 故答案为−2． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键． 14．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为 ． 【答案】4． 【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：OA•AD=2，然后可求得OA•AB的值，从而可求得矩形OABC的面积． 【详解】∵反比例函数的图象经过点D， ∴OA•AD=2． ∵D是AB的中点， ∴AB=2AD． ∴矩形的面积=OA•AB=2AD•OA=2×2=4． 故答案为4． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 三、解答题 15．已知矩形的面积为9，试用图象表示出这个矩形两邻边之间的关系． 【答案】见解析 【分析】这个矩形两邻边的长分别x，y，根据面积公式可得：，根据实际条件：边长必须大于0，所以作出反比例函数图象只需要一象限部分即可． 【详解】设:这个矩形两邻边的长分别x，y， 则， ∵， ∴只需画出第一象限的部分即可． 矩形两邻边的长之间的关系图象如图所示． 【点睛】题目主要考查反比例函数的实际应用，依据题意列出函数关系式结合实际情况作出图象是解题关键． 16．下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？ ，，，，，，． 【答案】，． 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），可以判定函数的类型． 【详解】解：y＝4x不是反比例函数， 不是反比例函数， 是反比例函数， y＝6x＋1不是反比例函数， 不是反比例函数， 不是反比例函数， 由xy＝123，可得： ， 所以xy＝123是反比例函数． 综上：y是x的反比例函数的有：，， 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝k（k为常数，k≠0）． 17．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可； （2）由（1）可直接把x=3代入求解． 【详解】解：（1）设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：； （2）由（1）可把x=3代入得： ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键． 18．古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要的力； (2)动力臂至少要加长． 【分析】（1）直接利用：阻力阻力臂动力动力臂，进而得出F与l之间的关系； （2）直接利用动力F不超过题（1）中所用力的一半，进而得出l的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 当动力臂为2米时， 则撬动石头至少需要：， 答：动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要的力； （2）解：当动力F不超过题（1）中所用力的一半，即， 则， 解得：， 即动力臂至少要加长， 答：动力臂至少要加长． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键． 19．下列各问题情境中均包含一对变量，其中哪些成正比例，哪些成反比例，哪些既不成正比例，又不成反比例？ (1)汽车沿一条公路从A地驶往B地所需的时间t与平均速度v． (2)圆的周长l与圆的半径r． (3)圆的面积S与圆的半径r． (4)100元钱购买糖果的千克数y与糖果的单价x． 【答案】(1)时间t与平均速度v成反比例； (2)周长l与圆的半径r成正比例； (3)面积S与圆的半径r既不成正比也不成反比例； (4)购买糖果的千克数y与糖果的单价x成反比例． 【分析】根据反比例和正比例函数的定义，逐一判断即可求解． 【详解】（1）解：∵路程=，路程是定值， ∴时间t与平均速度v成反比例； （2）解：∵， ∴周长l与圆的半径r成正比例； （3）解：∵， ∴面积S与圆的半径r既不成正比也不成反比例； （4）解：∵， ∴购买糖果的千克数y与糖果的单价x成反比例． 【点睛】本题主要考查反比例函数和正比例函数的定义，根据数量关系，列出表达式，是关键． 20．已知反比例函数的图象过点 （1）求反比例函数的解析式； （2）若将一次函数的图象向下平移4个单位长度后得到直线l，且直线l与该反比例函数的图象只有一个交点，求直线l的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）先根据上加下减的规律，写出平移后的解析式，再与反比例函数联立，整理出一元二次方程，令判别式等于0进行求解. 【详解】解：（1）将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为． （2）将一次函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象． 将代入，得，整理得． ∵直线l与该反比例函数的图象只有一个交点， ∴，即，解得， ∴直线l的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、平移的规律、反比例函数与一次函数结合，求交点情况时，需要联立解析式. 21．如图，已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（－2，8）． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由． 【答案】（1）（2）y1＜y2,理由见解析 【分析】（1）把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解． （2）根据反比例函数图象的性质，在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大解答. 【详解】解：（1）把（－2，8）代入， 得， 解得：k=－16． ∴这个反比例函数的解析式为． （2）y1＜y2．理由如下： ∵k=－16＜0， ∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大． ∵点（2，y1），（4，y2）都在第四象限，且2＜4， ∴y1＜y2． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的增减性，是中学阶段的重点，需熟练掌握． 22．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式． （2）当气体体积为1m3时，气球内气体的气压是多少？ （3）当气球内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球内气体的体积应不小于多少？ 【答案】（1） ；（2）96kPa；（3） . 【分析】(1)设出反比例函数解析式,把A坐标代入可得函数 解析式; (2)把v=1代入(1)得到的函数解析式,可得p; (3)把P=200代入得到V即可 【详解】解：（1）设ρ=，由题意知120=，所以k=96，故ρ=（v＞0）； （2）当v=1m3时，ρ==96，∴气球内气体的气压是96kPa； （3）当p=200kPa时，v==． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于m3． 【点睛】此题综合考查了一元一次不等式的应用和反比例函数的应用，解题关键在于把已知的值代入到解析式里面 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3 (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数表达式为． (2)或 (3) 【分析】（1）由的面积为3，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求b的值． （2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可． （3）作对称点关于x的对称点，直线与x轴交点就是所求的点，求出直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ， 结合图形，可得， 将代入得， 反比例函数的表达式为． 把代入反比例函数得， ， 将和代入解得：，， 一次函数表达式为． （2）由图象可以看出的解集为或． （3）解：如图，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于，此时最大． ， ， 设直线的关系式为，将，代入， 解得，， 直线的关系式为， 当时，解得， ． 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$