第04讲 二次函数概念与图象和性质1（知识清单+8大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年新九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第04讲 二次函数概念与图象和性质1（知识清单+8大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 y=ax²的图象和性质 题型五 y=ax²+k的图象和性质 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型八 二次函数图象的平移 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 题型方法 【题型一】列二次函数关系式 【例1】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    【题型二】二次函数的识别 【例2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）在圆的面积公式中，与的关系是（   ） A．一次函数关系 B．正比例函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 2．（24-25九年级上·全国·期中）二次函数的一次项是 ． 3．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 【题型三】根据二次函数的定义求参数 【例3】（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ． 3．（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【题型四】y=ax²的图象和性质 【例4】（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【题型五】y=ax²+k的图象和性质 【例5】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）在下列二次函数中，其图象对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【题型六】y=a（x-h）²的图象和性质 【例6】（24-25九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【举一反三】 1．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）若一个二次函数的对称轴为直线，则该二次函数的解析式可以是 （写出一个符合题意的解析式）． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【题型七】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【例7】（23-24九年级上·广西河池·期中）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最大值2 D．当时，随增大而减小 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 3．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【题型八】二次函数图象的平移 【例8】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若将函数的图象先向上平移5个单位，再向右平移1个单位后，得到抛物线的表达式为 ． 3．（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）已知函数． (1)函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______． (2)当______时，随的增大而减小． (3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ (4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 好题必刷 一、单选题 1．抛物线y＝2（x﹣1）2+c上有点A（﹣1，y1）和B（4，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1≤y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（　　） A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1 3．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．对于函数的图象，下列说法不正确的是（　　　） A．开口向下 B．时，随增大而增大 C．最大值为0 D．与轴交点在轴下方 5．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 6．是二次函数，则m的值为（      ） A．0,-3 B．0,3 C．0 D．-3 7．下列函数中，对于任意实数x，y随x的增大而减小的是(   ). A．y=x B．y= C．y=－x+2 D．y=2x2 8．若y=（m﹣1） 是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在 9．下列关系中，是二次函数关系的是（ ） A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系； B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系； C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系； D．正方形的周长C与边长a之间的关系； 10．已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 二、填空题 11．已知二次函数的图像开口向上，则的值为 . 12．已知二次函数的图象开口向上，则实数a可以为 ． 13．已知函数图象上两点，，其中，则 ． 14．函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ． 15．抛物线的图像一定经过 象限． 16．将二次函数化为的形式： ． 17．点是二次函数图像上一点，则的值为 18．将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ； 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ． 三、解答题 19．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 20．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 21．画出二次函数y＝x2的图象． 22．已知是关于的二次函数，试确定的值． 23．（1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值． 24．已知函数是关于x的二次函数． （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 25．已知二次函数． 将化成 的形式； 指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 当x取何值时，y随x的增大而增大？ 26．已知，关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的两实根为且满足，求k的值． (3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数概念与图象和性质1（知识清单+8大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 y=ax²的图象和性质 题型五 y=ax²+k的图象和性质 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型八 二次函数图象的平移 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 题型方法 【题型一】列二次函数关系式 【例1】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得． 【详解】解：由正方形面积公式得：． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    【答案】 【知识点】列二次函数关系式、求不等式组的解集 【分析】注意实际场景中数量间关系，得，且，求解得自变量取值范围，根据矩形面积公式求函数关系式． 【详解】解：由题意，，，且，解得，， 于是 ， ∴． 【点睛】本题考查列二次函数关系式，不等式组的求解，由几何图形及实际场景确定数量间的关系是解题的关键． 【题型二】二次函数的识别 【例2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是根据二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2． 【详解】解：A、是一次函数，故不合题意； B、中未知数的最高次数为3，不是二次函数，故不合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、是反比例函数，故不合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）在圆的面积公式中，与的关系是（   ） A．一次函数关系 B．正比例函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，解题的关键是正确理解：一般地形如（是常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】解：圆的面积公式中，与的关系是二次函数关系， 故选：． 2．（24-25九年级上·全国·期中）二次函数的一次项是 ． 【答案】 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，在二次函数（其中a、b、c是常数，且）中，叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的一次项是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【知识点】二次函数的识别、配方法的应用 【分析】将x的二次项的系数进行配方得到，得出，即可得出结论． 【详解】解：乙的说法对． 理由如下： ， 无论取何值，，即有， 所以， 故无论取何值，该函数一定是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的二次项系数不能为0． 【题型三】根据二次函数的定义求参数 【例3】（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，直接利用中为常数项即可得到答案． 【详解】解：二次函数的常数项是； 故选：C 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ． 【答案】 4 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，有理数的加法和乘法运算，解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题关键．由二次函数的定义可得，进而得到或，再分别求解即可． 【详解】解：二次函数的解析式为， ， ， 或， 当时，，， 解得：，，满足，符合题意； 当时，，， 解得：，，不满足，不符合题意； 故答案为：；4． 3．（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1)且 (2) 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据二次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 【题型四】y=ax²的图象和性质 【例4】（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 【详解】A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意； B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意； C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．分，时，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解． 【详解】解：当时，抛物线开口向下，此时抛物线与线段没有交点，不合题意； 当时，若抛物线与线段只有一个公共点，如图所示： ∴由图象可知：需满足当时，且当时，， 即， 解得， 故答案为． 3．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 【题型五】y=ax²+k的图象和性质 【例5】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）在下列二次函数中，其图象对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，分别求出各选项中抛物线的对称轴，进行判断即可． 【详解】解：A、的对称轴为直线，不符合题意； B、的对称轴为直线，不符合题意； C、的对称轴为直线，不符合题意； D、的对称轴为直线，符合题意； 故选D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ． 【答案】＜ 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数的性质是解题关键．根据，抛物线的开口向上，对称轴的左侧随的增大而减小，对称轴的右侧随的增大而增大． 【详解】解：抛物线，， 抛物线开口向上，对称轴为轴， 当时，随的增而减小， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 【题型六】y=a（x-h）²的图象和性质 【例6】（24-25九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）若一个二次函数的对称轴为直线，则该二次函数的解析式可以是 （写出一个符合题意的解析式）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的图象的对称轴为直线，写出二次函数的顶点式即可． 【详解】解：由题意，对称轴为直线， 这个二次函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 【题型七】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【例7】（23-24九年级上·广西河池·期中）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据抛物线的顶点式即可得出答案． 【详解】抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最大值2 D．当时，随增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、二次函数的图象的顶点为，故本选项说法错误； B、令，则，该方程没有实数解 ， ∴二次函数的图象与x轴没有交点，故本选项说法错误； C、∵二次函数的图象开口向上，顶点为， ∴函数y有最小值，为，本选项说法错误； D、∵二次函数的图象开口向上，故对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确． 故选：D 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大； (3)当时，有最小值为． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 【详解】（1）解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 【题型八】二次函数图象的平移 【例8】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线是． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线先向右平移2个单位长度，解析式为：， 再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为， 故选：C 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若将函数的图象先向上平移5个单位，再向右平移1个单位后，得到抛物线的表达式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】考查二次函数的平移情况；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式． 【详解】解：函数的顶点为， 向上平移5个单位，再向右平移1个单位的顶点为， 将函数的图象向上平移5个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为， 故答案为． 3．（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）已知函数． (1)函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______． (2)当______时，随的增大而减小． (3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ (4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 【答案】(1)向下，， (2) (3)当时，函数能取到最大值，最大值为． (4)抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数的平移变换等知识点，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． （1）根据二次函数图象的性质写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标即可； （2）直接根据二次函数的增减性即可解答； （3）根据二次函数的性质解答即可； （4）根据二次函数图象的平移变换即可解答． 【详解】（1）解：∵函数， ∴该函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为． 故答案为：向下，，． （2）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而减小． 故答案为：． （3）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为， ∴当时，函数能取到最大值，最大值为． （4）解：抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线． 好题必刷 一、单选题 1．抛物线y＝2（x﹣1）2+c上有点A（﹣1，y1）和B（4，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1≤y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝2（x﹣1）2+c（c为常数）的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：由抛物线y＝2（x﹣1）2+c可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵点A（﹣1，y1）和B（4，y2）在抛物线y＝2（x﹣1）2+c上，且1﹣（﹣1）＜4﹣1， ∴y1＜y2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（　　） A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1 【答案】A 【分析】由抛物线的对称轴找到E点的对称点，抛物线开口向下，y1＜y2时结合图象求解； 【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1， E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2）， ∵抛物线开口向下， ∴y1＜y2时，n＞3或n＜﹣1， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质；找到E点关于对称轴的对称点是解题的关键． 3．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答． 【详解】A、中含有分式，故不是二次函数； B、=2x-1，不符合定义，故不是二次函数； C、符合定义，故是二次函数； D、中a不确定不等于0，故不是二次函数； 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键． 4．对于函数的图象，下列说法不正确的是（　　　） A．开口向下 B．时，随增大而增大 C．最大值为0 D．与轴交点在轴下方 【答案】B 【分析】由二次函数解析式中的符号结合函数图象逐一分析A，B，C，再把代入解析式求解与轴交点坐标，可判断D，从而可得答案. 【详解】解： ， 函数图象的开口向下，函数有最大值0，故A，C不符合题意； 而函数的对称轴方程为： 当时，随增大而减小，故B符合题意； 当时， 所以与轴交点坐标为，在轴下方，故D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟悉二次函数的开口方向，对称轴方程，顶点坐标，增减性，函数的最值是解题的关键. 5．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，故A错误； ∵当时，函数的最大值是，故B正确； ∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误； ∵， ∴抛物线与x轴没有交点，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键． 6．是二次函数，则m的值为（      ） A．0,-3 B．0,3 C．0 D．-3 【答案】D 【详解】试题解析：∵是关于x的二次函数， ∴m≠0，m2+3m+2=2， 解得：m=-3． 故选D. 7．下列函数中，对于任意实数x，y随x的增大而减小的是(   ). A．y=x B．y= C．y=－x+2 D．y=2x2 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，可得答案． 【详解】A、y=x, y随x的增大而增大，故A错误； B、y=，当x<0或x>0时，y随x的增大而减小，故B错误； C、y=－x+2，对于任意实数x，y随x的增大而减小，故C正确； D、y=2x2，x＞0时，y随x的增大而增大，故D错误； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质y=kx+b,k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小；y=ax2，a＞0时，对称轴的左侧y随x的增大而减小，对称轴的右侧y随x的增大而增大． 8．若y=（m﹣1） 是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在 【答案】A 【分析】已知一个函数是二次函数求字母的取值的解题步骤是：先令二次项的次数等于2，求出字母的值，再把使二次项系数等于零的值舍去就可得到答案. 【详解】因为y＝（m﹣1）是关于x的二次函数， 所以m2＋m＝2，m－1≠0， 所以m＝－2 故选A. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质. 9．下列关系中，是二次函数关系的是（ ） A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系； B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系； C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系； D．正方形的周长C与边长a之间的关系； 【答案】C 【详解】A.路程=速度×时间,所以当路程一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间是一次函数的关系; B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的,是一次函数关系; C.圆的面积=πr2,所以圆的面积S与圆的半径r之间是二次函数关系; D. 正方形的周长C=边长a×4, 故C与边长a之间是一次函数关系； 故选C. 点睛：本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键. 10．已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 二、填空题 11．已知二次函数的图像开口向上，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据题意：的最高次数为2，由开口向上知二次项系数大于0，据此求解即可. 【详解】∵是二次函数， ∴，即 解得：， 又∵图象的开口向上， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了二次函数的性质及定义，要注意二次项系数的取值范围． 12．已知二次函数的图象开口向上，则实数a可以为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次项系数大于0，二次函数图象开口向上是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴实数a可以为2， 故答案为：2． 13．已知函数图象上两点，，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数解析式得到其增减性，再根据其增减性即可判断、的大小． 【详解】解：函数解析式为，其中， 函数图象开口向下， 函数的对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 14．函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ． 【答案】 向上 y轴 （0，0） 【分析】牢记二次函数的图象的性质即可得到答案． 【解答】解：二次函数的， 图象开口向上，对称轴是轴，顶点坐标是； 故答案为：上，轴，． 15．抛物线的图像一定经过 象限． 【答案】一、二 【分析】根据二次项系数大于0，二次函数图象开口向上解答． 【详解】∵a＞0， ∴抛物线的图象经过坐标原点，且开口方向向上， ∴一定经过第一、二象限. 故答案为一、二. 【点睛】此题考查二次函数的图象，解题关键在于判断图象的开口方向 16．将二次函数化为的形式： ． 【答案】 【分析】由于二次项系数为1，故运用配方法，即等式右边直接同时添加和减去一次项系数一半的平方，将原二次函数化为顶点式形式，通过位置的一一对应确定参数数值. 【详解】， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数解析式中一般式和顶点式之间的关系. 17．点是二次函数图像上一点，则的值为 【答案】6 【分析】把点代入即可求得值，将变形，代入即可． 【详解】解：∵点是二次函数图像上， ∴则． ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键． 18．将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ； 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ． 【答案】 y=2（x+1）2+1 y=2（x﹣1）2﹣1 【详解】（1）∵将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同，只有开口方向变了， ∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为：； （2）∵抛物线绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称，新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y轴对称，开口方向和原来开口方向相反， ∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为：. 【点睛】（1）抛物线关于其顶点对称的抛物线的解析式为； （2）抛物线关于原点对称的抛物线的解析式：. 三、解答题 19．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案． 【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)． （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)． （3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6) 【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系． 20．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 【答案】 【分析】根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm， ∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m， ∴. 【点睛】本题主要考查了从实际问题出抽象出二次函数，解题的关键在于能够熟练掌握矩形面积公式． 21．画出二次函数y＝x2的图象． 【答案】图像见解析. 【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可． 【详解】函数y＝x2的图象如图所示： 【点睛】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用． 22．已知是关于的二次函数，试确定的值． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义：最高次数是2，二次项系数不能是0，求出m的值． 【详解】解：根据题意得，，解得，， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是二次函数的定义． 23．（1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值． 【答案】（1）m≠0且m≠1；（2）m的值为3． 【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可． 【详解】解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数， 即m2﹣m≠0， 即m≠0且m≠1， ∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数； （2）由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0， 解得：m1=3，m2=﹣1（不合题意舍去）， 所以m的值为3． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键． 24．已知函数是关于x的二次函数． （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小 【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案； （2）利用二次函数的性质得出m的值； （3）利用二次函数的性质得出m的值. 【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数， ∴m2+m﹣4=2， 解得：m1=2，m2=﹣3； （2）当m=2时，抛物线有最低点， 此时y=4x2+1， 则最低点为：（0，1）， 由于抛物线的对称轴为y轴， 故当x＞0时，y随x的增大而增大； （3）当m=﹣3时，函数有最大值， 此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1， 由于抛物线的对称轴为y轴， 故当x＞0时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键． 25．已知二次函数． 将化成 的形式； 指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）；（2）对称轴为，顶点坐标为；（3）当时，y随x的增大而增大． 【分析】(1)用配方法进行变形；（2）根据二次函数顶点和对称轴的公式求解；（3）从抛物线两侧进行分析即可. 【详解】解：，即； 根据的函数解析式知，对称轴为，顶点坐标为； 根据、的结论画出二次函数的大致图象如图所示，从图象中可知，当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考核知识点：二次函数的基本性质. 解题关键点：熟记二次函数的基本性质（顶点坐标，函数值的增减性）. 26．已知，关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的两实根为且满足，求k的值． (3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值． 【答案】(1) (2)k=2 (3)当，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据方程有两个实数根可得，解不等式即可求得； （2）由根与系数的关系可得，，代入中求解出k即可； （3）由，，将进行变形，再代入根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由题意可得：， ∴， ， 解得； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴k=2； （3）∵，， ∴， =， =， =， ∵， ∴当，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了(a，a，b，c为常数)的根的判别式和其根与系数的关系、二次函数的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$