期末复习专项练习——二元一次方程组实际问题2024-2025学年人教版数学七年级下册

期末复习专项练习——二元一次方程组实际问题 1．小江在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯按图示的方式整齐地叠放在一起． (1)求一个纸杯的高度约为多少厘米？ (2)若小江要把这些纸杯摆高，那么最多可摆多少个？ 2．小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？ 3．神舟二十号载人飞船于2025年4月24日在我国酒泉卫星发射中心成功发射，某中学为提高学生对我国航天事业的认识，计划组织八年级师生前去观看，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 60 租金（元/辆） 200 300 问此次前去观看的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 4．宜昌秭归脐橙，皮薄多汁，酸甜适中，是中国国家地理标志产品．某果园售卖普通装秭归脐橙和礼盒装秭归脐橙，普通装每箱50元，礼盒装每箱80元，某天果园销售了普通装秭归脐橙和礼盒装秭归脐橙共30箱，且销售额为2100元，求普通装秭归脐橙和礼盒装秭归脐橙分别卖了多少箱？ 5．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 6．综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 7．某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 8．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？解题方案：设木条长x尺，绳子长y尺． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 答：木条长_______尺． 9．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 10．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 11．算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 12．已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 甲 2 1 110 乙 5 4 350      (1)求牛奶与咖啡每箱的原价； (2)五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选． 方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表： 单次购买数量（箱） 不超过20箱 20箱以上但不超过40箱 40箱以上 价格（元/箱） 不打折 打9.6折 打9折 方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受． ①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，求第二次购买的数量； ②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次 按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案） 13．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 14．某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 15．抚顺市某中学在今年11月份组织七年级学生去抚顺市素质教育基地进行实践活动学习，由胡主任和甲、乙两名同学到客车租赁公司洽谈租车事宜． (1)两同学向公司经理了解租车的价格．公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”胡主任说：“我们学校八年级昨天在这个公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？”请你求出来． (2)公司经理问：“你们准备怎样租车？”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，你知道七年级共有多少人去素质教育基地进行实践活动吗？ (3)胡主任在一旁听了他们的谈话说：考考你们七年数学学习的情况，“若从省钱角度考虑，还有别的方案吗？”如果是聪明的你，你该如何设计租车方案，请直接写出租车方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末复习专项练习——二元一次方程组实际问题2024-2025学年人教版数学七年级下册》参考答案 1．(1)一个纸杯的高度约为厘米 (2)最多可摆个 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设杯身高，杯口高，由此列方程组求解即可； （2）设最多可摆个，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：设杯身高，杯口高， ∴， 解得，， ∴设杯身高，杯口高， ∴一个纸杯的高度约为厘米； （2）解：设最多可摆个， ∴， 解得，， ∴最多可摆个． 2．9千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设平路为千米，坡路为千米，根据上山用了时，下山用了55分钟建立方程组求解即可． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米， 根据题意，得 解这个方程组，得 则（千米）． 答：从小宇家到西安植物园的路程是9千米． 3．此次前去观看的师生600人，原计划租用13辆45座客车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． 设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设师生人数是人，原计划租用辆45座客车 根据题意，得 解这个方程组，得 答：此次前去观看的师生600人，原计划租用13辆45座客车． 4．普通装秭归脐橙卖了10箱，礼盒装秭归脐橙卖了20箱 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设普通装秭归脐橙卖了x箱，礼盒装秭归脐橙卖了y箱，根据销售了普通装秭归脐橙和礼盒装秭归脐橙共30箱，且销售额为2100元建立方程组求解即可． 【详解】解：设普通装秭归脐橙卖了x箱，礼盒装秭归脐橙卖了y箱， 根据题意得， 解得， 答：普通装秭归脐橙卖了10箱，礼盒装秭归脐橙卖了20箱． 5．(1)本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆 (2)租用1辆型客车，7辆型客车，更划算 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程， （1）设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，根据原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．结合两种客车的载客量，列出二元一次方程组，解方程组即可； (2) 设租用型客车辆，型客车辆，根据同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，列出二元一次方程，解方程， 再根据两种客车的租金计算比较即可． 【详解】（1）解：设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，由题意，得： ，解得：； 答：本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆； （2）解：设租用型客车辆，型客车辆，由题意，得： ， 解得：， ∵均为正整数， ∴或或； 共3种租车方案： 方案一：租用9辆型客车，辆型客车，费用为：（元）； 方案二：租用5辆型客车，4辆型客车，费用为：（元）； 方案三：租用1辆型客车，7辆型客车，费用为：（元）； ∵， ∴租用1辆型客车，7辆型客车，更划算． 6．任务一：3，5；任务二：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组，解方程组即可． （1）根据原材料纸板纸板的尺寸和A、B两种型号纸板的尺寸进行解答即可； （2）设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板，根据有52张原材料纸板，有盖长方体纸盒有4个侧面，2个底面，列出方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板3张或裁得B型纸板5张； 故答案为：3，5； 任务二：设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板， 根据题意，得：， 解得， 能做纸盒的数量为：， 答：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒． 7．参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 【分析】本题主要考查根据题意列二元一次方程解应用题的问题，解答本题的关键是根据题意得到题中的等量关系要解答此题． 首先应该理清题意，读懂题干，再根据题中所给信息进行解答即可得出答案．此题属于简单题，解答时需要细心． 【详解】解：由题意，得， 解得． 答：参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 8．(1)， (2)6.5，11；6.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可； 【详解】（1）解：设木条长x尺，绳子长y尺，由题意，得： ； 故答案为：，； （2） 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：； 答：木条长6.5尺． 9．这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 10．无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 11． 【分析】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数，设个位数字为，十位数字为，由题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：依题意，百位数为，设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴这个三位数为． 12．(1)牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元 (2)①第二次购买咖啡35箱；②11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，再列出正确的方程组，然后解得，即可作答． （2）①先理解某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，再设第一次购买咖啡a箱，第二次购买咖啡b箱，，进行分类讨论，并列出相应的方程组，即可作答． ②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为，再算出打折牛奶价格以及打折咖啡价格，即打折咖啡价格与牛奶原价相同，设原价咖啡为n箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，再列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元， 由题意得， 解得， 答：牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元； （2）解：①∵某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量， ∴设第一次购买咖啡a箱，第二次购买咖啡b箱，， ∴当时，则， ∴（元） 有 解得：（不合题意，舍去）， 当时，则， ∴（元） 有 解得：， 当时，则， 有， 方程组无解． ∴第二次购买咖啡35箱． ②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为 打折牛奶价格为：（元），打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为n箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得： 整理得：， ∵a、b均为正整数，得或 ∵， ∴，， 即此次按原价采购的咖啡有11箱 故答案为：11． 13．(1)； (2)500吨 (3)790500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用从A地到工厂的铁路运费=铁路的运价×从A地到工厂的铁路长度×这批原料的质量，可用含x的代数式表示出从A地到工厂的铁路运费；利用从工厂到B地的公路运费=公路的运价×从工厂到B地的公路长度×生产成的产品的质量，可用含y的代数式表示出从工厂到B地的公路运费； （2）根据“两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用这批产品的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出w的值． 【详解】（1）解：∵公路的运价为1.5元/（吨•），铁路的运价为1.0元/（吨•），这批原料有x吨，生产成的产品有y吨， ∴从A地到工厂的铁路运费为（元），从工厂到B地的公路运费为（元）． 故答案为：；． （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：这批原料有500吨． （3）解：根据题意得： ． 答：w的值为790500元． 14．(1)3，1 (2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (3)共有2种方案可供选择，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； （2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 15．(1)45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元； (2)参加拓展训练的一共有240人； (3)租用4辆45座的客车，1辆60座的客车总费用最低 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设45座的客车每辆每天的租金为元，则60座的客车每辆每天的租金为元，根据“租2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设只租60座的客车需要辆，则只租45座的客车需要辆，根据总人数不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，进而可求出参加拓展训练的人数； （3）设租45座的客车辆，租60座的客车辆，根据总人数租用45座客车的辆数租用60座客车的辆数，即可得出，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求出费用更低的租车方案． 【详解】（1）设45座的客车每辆每天的租金为元，则60座的客车每辆每天的租金为元， 依题意，得：， 解得：， ． 答：45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元． （2）解：设只租60座的客车需要辆，则只租45座的客车需要辆， 依题意，得：， 解得：， ，即参加拓展训练的一共有240人． （3）解：设租45座的客车辆，租60座的客车辆， 依题意，得：， ． ，均为正整数， ，． 新方案：租用4辆45座的客车，1辆60座的客车 甲的费用：（元） 乙的费用：（元） 新方案的费用：（元） 租用4辆45座的客车，1辆60座的客车总费用最低． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$