圆的综合题必考考点压轴练-2026年中考数学三轮复习备考

**基本信息** 聚焦圆的综合压轴题型，以题载法构建“判定-计算-动态”三阶解题体系，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明|3题|连半径证垂直、等角代换|圆周角定理→切线性质→判定推理链| |长度计算|5题|勾股定理、相似比、三角函数|直径性质→线段关系→方程求解| |动态与函数|4题|分类讨论、坐标建模|静态图形→动态变量→函数关系构建| |综合应用|3题|辅助线构造（如延长、作垂线）|圆与四边形/三角形综合→多知识点融合|

圆的综合题必考考点压轴练-2026年中考数学三轮复习备考 1.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0交AC于点D,交BC于点E,延长 AC至F,使得∠CBF=号∠CAB G B (I)求证：BF为⊙0O的切线； e过点4作4G1AC文oO于大后.首00的学2r多，AG-4求Ce的长. 2.在半径为4的⊙0中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC,垂足为D,点E 是射线AB上的任意一点，DF∥AB,DF与CE相交于点F,设EF=x,DF=y, B 图1 图2 (I)如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域： (2)如图2，当点F在⊙0上时，求线段DF的长： (3)如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长， 3.如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙0交AC于点D,∠CBD=∠E B (1)求证：BC为⊙0的切线： 试卷第1页，共3页 ②若E为中点，BD=12:sm∠BED 5,求BE的长 4.如图，8为O0的直径，C为圆须上一点，D为C的中点，过D点作©0的切线交 射线AC于点E,连接AD,BD, (I)求证：AE⊥DE: (2)若DE=4,BD=5,求AC长. 5.如图1，在正方形ABCD中，AB=6.以AB为直径在正方形内部作半圆⊙O,点O为 圆心.点卫在MD边上，且E=25.连接E,交半圆于点R点G为 E 上的动点. D D D F 0 图1 图3 (I)如图1，连接AF,求AF的长； (2)如图2，连接 G,Dc,当CG=DG时，求G的长， (3)如图3，连接BG,FG,求△BFG面积的最大值. 6.如图，AB是OO的直径，CD是⊙O的弦，连接BD,过点D作⊙O的切线，交CA的 延长线于点G,且∠CAB=2∠B 试卷第2页，共3页 (1)求证：DG⊥CG: (2)若⊙0的半径为5，GC=2DG,求DG的长. 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE,交CD 的延长线于点E,且AE⊥CD 0 (I)求证：DA平分∠BDE; (2)已知AE=4cm,⊙0的半径为5cm,求CD的长. 8.借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光… 已知∠A=45°，点D,E在AC上，DE=8,点P在AB上，连接PD,PE,作△PDE的 外接圆⊙0 B B B 0. E C D EC 图1 图2 图3 (1)当AD=6时， ①如图1，若PE是⊙0的直径，则OO的半径为_： ②如图2，若AP=12√2，求⊙0的半径. (2)当AD=8时，如图3，若⊙0与AB相切于点P,用直尺和圆规作出点P的位置.（要求： 不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明) (3)设AD=m,对于每一个m的值，⊙0的半径随着点P的位置的变化而变化，直接写出 ⊙0的半径的最小值及对应的m的取值范围（可用含m的式子表示）· 9.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且AC=BC,点P是劣弧BC上的一动点（不与 B C 、重合)，连 接PAPR,PC,BC与4P相交于点E,延长1C交B的延长线于点D. 试卷第3页，共3页 (I)求证：△ACE≌aBCD: (2)若⊙0半径为2，当运动点P恰使∠D=60°时，求CD的长. I0.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，点P是AB延长线上一点， AD⊥PC于点D,且AC平分∠PAD,点E是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接 PE交⊙O于点F,设⊙O的半径为r. 0 (①)当∠CAB=30°，求∠ABC: (2)求证：PC是⊙0的切线： (3)在点E的移动过程中，是否存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC+bPF2成立？若存 在，请直接写出一个a,b的值，并证明你写出的a,b的值，使EF·PF=aPC2+bPF2 成立；若不存在，请说明理由。 11.已知AB是⊙O的直径，AT是⊙0的切线，AT=10 B D A 图① 图② (1)如图①，若∠ATB=45°，求0T的长： 试卷第4页，共3页 (2)如图②，点C是OB上一点，若∠ATC=45°，TC与⊙0相交于点D,过点D作弦 DE∥AT,与AB相交于点F,DE=12,求OT的长. 12.己知AB,CD是圆的两条弦，CD⊥AB,垂足为E(点C在优弧上，点D在劣弧 上)，且AB=4. N B D D A(DB 图1 图2 图3 (1)如图1，CD是直径，O是圆心，且OE=3,求⊙0的半径： (2)如图2，连结CA并延长至点F,再连结AD,BC.若∠DAF=4∠DAB且∠ACB=36° 求∠B的度数： (3)如图3，若CD经过端点A,点M是弦AB上一点，点P,Q在圆上.连结CM,CP, co CP=CM=CO ,满足 连酷P交于点N,求4N+BM的最小值 13,如图，o0是△1BC的外接圆， 的半径为5,4C=BC,4B=8,D是C ⊙0 一点， 连结AD,BD,CD,并延长CD,BA交于点E,BD与AC交于点F. (I)求BC的长： (2)当BD是⊙O的直径，求CDAE的值： DF (3)求BF的最大值。 14.如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正 方形ABCD】 EA=EP 的内部， 连接AE,EP」 试卷第5页，共3页 图1 图2 备用图 (1)求证：△PAE是等腰直角三角形： (2)如图2，连接DE,过点E作EF L BC于点F,请探究线段DE与PF的数量关系，并说 明理由； (3)当点P是BC的中点时，DE=4.若点Q是△ABP外接圆上的动点，且位于正方形 ABCD AQ∠PAg,△ADE 的外部，连接·当 的一个内角相等时，请直接写出所有满足条 件的40的长。 15.已知AB是OO的直径，CD是垂直于AB的一条弦，且交AB于点H,CO的延长线交 ⊙O于点F,过F点作⊙O的切线交CD的延长线于点G,连接BF交CD于点E. (I)求证：GE=GF: (2)若E为CG的中点，AB=12, ①求△CFG的面积： ②探讨HE与ED之间的数量关系. 试卷第6页，共3页 参考答案 1.(1)见解析 .10 (2)3 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角、切线的判定定理、同角的余角相等、勾股定 理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键. (1)由AB=AC,得∠ABC=∠ACB, ∠CAB+2LABC=180°，所以 则 ∠CAB+5ABC=0,而∠CBF=∠CAB,所以0BF=∠C8F+乙ABC=0e,即可证明6F 为⊙O的切线： (2)连接BG,由AB为⊙O的直径，AG⊥AC,得∠G=∠GAC=∠ABF=90°，而 A0=B0=5 2,AG=4,所以AB=AC=5,则BG=√AB2-AG=3,再证明 AB B5,所以4F= sinF=sin∠BMG=BC_3 25 ∠F=∠BAG,则AF 3 =3,则 CF=AF-AC=-5=0 3· 【详解】(1)证明：，AB=AC, .∠ABC=∠ACB, ,∠CAB+∠ABC+∠ACB=∠CAB+2∠ABC=180°， )ZCAB+∠ABC=90吧 .·∠CBF=号∠CAB ,∠OBF=∠CBF+∠ABC=90°， OB是⊙O的半径，且BF⊥OB, .BF为⊙O的切线. (2)解：连接BG, 答案第1页，共2页 :AB为⊙O的直径，AG⊥AC, ∴.∠G=∠GAC=∠ABF=90°、 :40=B0= Γ2，AG=4: ∴.AB=AC=2A0=5, BG=AB2-AG=524=3 ∠F=∠BAG=90°-∠BAF, ·AF=sinF=sim∠BAG=BG_3 AB AB 5, :4F=4B=x5=25 3 3 3’ :CF=AF-4C=25-5=10 3 3 10 ·CF的长是3： 2.0y=-4+2x≥2) (22v3+2 14-2714+2727-2 (3)3或3或3 【分析】()连按OC,BC,根据垂径定理可得，4D=CD4C,由圆心角的性质可 2 DF CF CD 1 得，∠BOC=90°，利用平行可证明ACDFACAE,则AE=E=CA=2:在直角 △OCE,使用勾服定理求出OE,进面表示出化，根起DF-4,求出y关于x的睡 答案第2页，共2页 数解析式.由点E在射线OB上可得，CE>BC,从而求出定义域， (2)连接OC,0F,根据直角三角形的性质，CE=20F=8,从而得出x=4,代入 (1)中的函数关系式即可： (3)分为外切，内切且切点为B和内切且切点为A三种情况讨论，在直角△OCE中，利 用勾股定理构造方程，解出x的值后，求出DF的长 【详解】(1)解：如图，连接OC, C o 0 B :OD⊥AC, AD=CD=IAC DF∥AB .△CDFACAE, DF CF CD 1 AE=正=2 六CE=2EF=2xy=F=)A E ,点C为半圆AB的中点， :∠B0C=×180°=90 2 ,垂线段最短， .CE 2OC. .2x≥4，即x≥2， 在直角A0CE中，0E=VCE2-0C2=V(2x}-42=2r-4 ,点E在射线OB上 :AE=04+E=2X2-4+4 答案第3页，共2页 y=4E=-4+2x2到， (2)解：如图，连接OC、OF, A 由(1)可得，△OCE是直角三角形，点F是斜边CE的中点， .CE=20F=8, .2x=8,即x=4, 将=4代入y=-4+2,得， y=V42-4+2=23+2 :0r=23+2 (3)解：①当点E在⊙0外时，如图， D :⊙0与⊙E相切， .E CB EB B EF =4+x. 在直角△0CE中，CE=0C2+0E2, :(2x=4+(x+4 化简，得3x2-8x-32=0, 解0，名=445为，4-45 3, 3(负值舍去)， 答案第4页，共2页 *=4*4w5 3, :E=01+正=4+4+X= 28+4V7 3, :0r=3Ac=14+2N5 2 3: ②当点E在⊙O内，且切点为点B时，如图， B :⊙0与⊙E相切， .E B-EB B -EF 4-x, 在直角△OCE中，CE2=OC2+OE2, :(2w=4+(4-x 化简，得3x2+8x-32=0, 解得，名，=4+4 3, =4-45 3(负值舍去)， :水=4+4v5 3, :c=01+c=4+4-X=28-4W7 3， :r-)Ae=14-2V5 2 3: ③当点E在⊙O内，且切点为点A时， 答案第5页，共2页 D B .'AE=EF=x,OE=OA-AE=4-x. 在直角△OCE中，CE2=0C2+0E2, 2=华+4-小，解得×=4行 3(负值舍去)， :r-E=5x2w7-2 2 2 3； 综上所述，r-14-2714+252-2 3或3或3 【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆与圆的位置关系，勾股定理， 直角三角形的性质，公式法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键. 3.(1)证明见解析 (2)BE=10V2 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，推出∠DAB+∠DBA=90° 根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则∠DAB=∠E,等量代换，即可； (2)连接AE,直径所对的圆周角是直角，∠ADB=∠AEB=90°，据同弧或者等弧所对的 圆周角相等，则∠BED=∠DHB,根据n∠BED=s血∠D1B=D} AB5,求出直径，再根据 等腰三角形的判定， sin∠BAE=BE-V2 AB2,即可. 【详解】(1)解：证明如下： 答案第6页，共2页 :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90° .∠DAB+∠DBA=90° ,∠DAB=∠E,∠CBD=∠E, .∠DAB=∠CBD :∠CBD+∠DBA=90°，即∠ABC=90°， .OB⊥BC, OB是半径， .BC为⊙O的切线， (2)解：连接AE, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠AEB=90°， ,∠BED=∠DAB :.sin∠BED=sin∠DAB= BD 3 AB 5 123 ·AB5: .AB=20, ,E为AB中点， .AE=BE, :,△ABE是等腰直角三角形， .∠BAE=45° ,sin∠BAE= BE2 AB 2, :BE=10V2 答案第7页，共2页 E B 4.(1) 证明：如图，连接OD, :DE是⊙O的切线，D为切点， .OD⊥DE,即∠ODE=90°， :D为C的中点 BD-DC .∠BAD=∠CAD」 又.OA=OD .∠BAD=∠ODA, .∠CAD=∠ODA. .OD AE .∠E=∠ODE=90°，即AE⊥DE. 7 (2)3 【分析】(1)连接OD,得到OD⊥DE,再结合弧中点所对圆周角相等及等腰三角形底角 相等的性质推导出内错角相等，进而证明OD与AE平行，最终由垂直的传递性得到 AE⊥DE: (2)连接CD,利用弧中点的性质得到CD=BD,结合(1)的结论用勾股定理求出CE的 答案第8页，共2页 长度，再通过圆内接四边形的外角等于内对角及同角的余角相等证明△ECD与△DEA相似， 借助相似三角形的比例关系求出AE的长度，最后通过线段的差计算出AC的长度. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接CD, B :D为8 的中点， .CD=BD=5. 由(1)知∠E=90°. 在RtaCDE中，由勾股定理得CE=VCD-DP=VSF-4=3 :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90° .∠DAB+∠B=90° ,四边形ACDB内接于⊙O, ∠ECD=∠B 又.∠E=90° ∴.∠EDC+∠ECD=90° .∠EDC=∠DAB ∠DAB=∠EAD, .∠EDC=∠EAD .△ECD∽AEDA 六EAD,即，解得EBA- ED EC 43 3 :AC=AE-CE=6-3=7 3 3 5.(1)AF=3 答案第9页，共2页 22 93 (3)4 【分析】(1)根据特殊角锐角函数值可得∠ABE=30°，即可求解； (2)连接OG,OF,当CG=DG时，点G在CD的垂直平分线上，此时CD的垂直平分线 过圆心0.求出∠F0G=∠A0G-∠AOF=90°-60°=30°，再根据弧长公式，即可求解： BF (3)当点G为 中点时， 面积最大，连接OG交BF于点H,则 △BFG OG⊥BF ,且点H 为BF为中点，根据三角形中位线定理可得OH∥AF,可证明△BOG为等边三角形，即可 求解. 【详解】(1)解：在Rt△ABE中，AB=6,AE=2V5, :.an∠ABE= N3V3 63, .∠ABE=30° ,AB为直径， .∠AFB=90° 1 .AF=AB.sin30°=6x=3 2 (2)解：连接OG,OF G F 当CG=DG时，点G在CD的垂直平分线上，此时CD的垂直平分线过圆心O. ∴.OG⊥AB,∠AOG=90°， :∠AOF=2∠ABF=60°， 答案第10页，共2页 .∠FOG=∠AOG-∠AOF=90°-60°=30° 又：AB=6 圆的半径为3， 30×3π_元 .FG的长=180=2： BF (3)解：当点G为 中点时， ABFG 面积最大， 连接OG交BF于点H,则OG⊥BF,且点H为BF的中点， D BF=VAB-AF=3 :∠ABE=30°，∠AFB=90°， .∠BAF=60°， 点O为AB的中点， .OH∥AF, .∠BOG=∠BAF=60°，∠OHB=∠AFB=-90°， .OB=OG. .△BOG为等边三角形， :0H=0G=3 2 2 占aBFG面积最大值2F.Gh- 1 4. 6.(1) 证明：如图，连接OD, 答案第11页，共2页 .OD=OB .∠ODB=∠B .∠AOD=∠ODB+∠B=2∠B, :∠CAB=2∠B, .∠AOD=∠CAB, OD∥AC, :DG是⊙O的切线， .OD⊥DG, .DG⊥CG. (2)4 【分析】(1)连接OD,根据等边对等角得出∠ODB=∠B,结合三角形的外角性质得出 ∠AOD=2LB,推得∠AOD=∠CAB,根据平行线的判定得出OD∥AC,根据切线的定义 得出OD1DG,根据平行线的性质即可证明： (2)连接AD,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，根据在同圆中，等弧所 对的圆周角相等得出∠C=∠B,结合正切的定义得出BD=2AD,结合圆的概念和勾股定 AD=2 理，列出方程求出 ,求得BD=45 根据等角的余角相等得出 ∠GDA=∠ODB 根据相似三角形的判定和性质即可求出DG=4. 【详解】(1)略 (2)如图，连接AD, B :AB是⊙O的直径， 答案第12页，共2页 ∠ADB=90°， 4D-D .∠C=∠B, 在Rt△CDG中，GC=2DG, 故anC=GD、1 GC 2, 在Rt△ABD中， tanB=tanC=4D_1 BD2· .BD=2AD ⊙0的半径为5， .AB=10, 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2, 即AD2+(2AD)}=10 解得1D=2V5 BD=2x25=4N5 ,∠GDA+∠AD0=90°，∠AD0+∠ODB=90°， .∠GDA=∠ODB 又，∠G=∠ADB=90° .△ADG∽△ABD. DG AD BD AB' DG 25 即4510， 解得DG=4 7.(1)见解析 (2)6cm 【分析】(I)连接OA,利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可： (2)过点O作OF⊥CD,垂足为点F,根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解 答案第13页，共2页 答即可 【详解】(1)证明：连接OA, .OA=OD 图1 ∴.∠ODA=∠OAD :AE是⊙O的切线， .OA⊥AE :AE⊥CD, .EC∥OA, .∠OAD=∠EDA, .∠ODA=∠EDA, ,DA平分∠BDE: (2)解：过点O作OF⊥CD,垂足为点F, ,∠OAE=∠AED=∠OFD=90°， ∴四边形AOFE是矩形， ∴.OF=AE=4cm, D 图2 又，OF⊥CD,⊙0的半径为5cm 在Rt△ODF中，OD=VOF2+DF=5cm 答案第14页，共2页 :.DF=CD=3cm. 即CD=6cm. V185 8.(1)①5；②2 (②)作图见解析 (3)当 <m≤4V2-4 时， 最小值=4：当m>4W5-4 时，最小值 r=√2(m+4)-Vm2+8m 【分析】(1)①由圆周角定理得∠PDE=90°，进而可得△ADP是等腰直角三角形，即得 AD=PD=6,再利用勾股定理求出PE即可求解：②过点O、P作AC的垂线，垂足分别为 G、F,过点O作OH⊥PF,垂足为H,连接OPOD,由等腰直角三角形的性质可得 PF=AF-12,即得DF=AF-AD=6,EF=DE-DF-2,由垂径定理得DG=EG=4, 再根据矩形的性质得OH=GF=DF-DG=2,HF=OG,设HF=OG=x,则 11 PH=12-x'利用勾股定理可得0G2+DG2=OH?+PH2,即得x=2,再求出OD即可求 解； (2)作AE的垂直平分线交AB于点P,由AD=DE=8可知△APE是等腰直角三角形， 即可得△PDE是等腰直角三角形，故⊙O与AB相切于点P,点P即为所求： 当以DE为直径的网与8相切时，可得45-4，月分0<m≤45-4利 ,再分 m>4v2-4 两种情况解答即可求解。 【详解】(1)解：①，PE是⊙O的直径， .∠PDE=90°， .∠ADP=90°， ∠A=45°， ∴.△ADP是等腰直角三角形， .AD=PD=6, ,DE=8, 答案第15页，共2页 :PE=VPD+DE2=v6+8=-10 ,PE是⊙O的直径， .⊙0的半径为5， 故答案为：5； ②如图，过点OP作AC的垂线，垂足分别为G、F,过点O作OH⊥PF,垂足为H,连 接OP、OD, D G E C :PF⊥AF,AP=122,∠BAC=45°， .PF=AF=12. .DF=AF-AD=12-6=6, .EF=DE-DF=8-6=2, OG⊥DE, ..DG=EG=4. .∠OGF=∠GFH=∠OHF=90°. .四边形OGFH为矩形， :.OH=GF=DF-DG=6-4=2,HF=0G, 设HF=OG=x,则PH=12-x, 在Rt△ODG和RtAOHP中，由勾股定理得OD2=OG2+DG,OP2=OH+PH, .OD=OP, ..OG2+DG2=OH2+PH2. 即r+4=22+02-x 11 解得x=2, 答案第16页，共2页 OD=0G+DG V185 .⊙0的半径为2： (2)解：如图所示，点P即为所求： (3)解：如图.以pE为直径的圆与A相切，时0P=0D-0E=4,OPLP,即 2 ∠AP0=90°， B P D E :∠BAC=45°， :01=V20P=4N2 :4D=01-0D=4W2-4 即m=4V2-4 当0<m≤42-4 时，P=4 当m>45-4时，可知当O0与B相切时，半径最小，如图，过点作0G1DE于G GO的延长线交AB于点F,连接OP、OD,则OP⊥AB, 答案第17页，共2页 B 净O D E 一C ·∠0GD=∠0PF=90,DG=EG= DE=4 ,∠BAC=45°. .∠PF0=45°， ∴△OPF是等腰直角三角形，FG=AG=m+4, 设OP=0D=r,则0F=V20P=2, ,则 :0G=m+4-V5r 在Rt△OGD中，OG2+DG2=OD2, .(m+4-V2}'+4=2 解得=v2(m+4)-Vm2+8m 综上，当0<m≤45-4时，最小值厂=4，当m>45-4时 时，最小值 r=√2(m+4)-Vm2+8m 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，切线的性质， 勾股定理，矩形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键。 9.(1)见解析 ②CD36 3 【分析】(1)根据圆周角定理，三角形全等的判定，证明△ACE≌△BCD即可； (2)设CE=x,则4E=2x(2x-=(2,解得即可. 本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握定理和 性质是解题的关键。 答案第18页，共2页 【详解】(I)证明：：AB是直径 ∴.∠ACB=∠DCB=90° 又：AC=BC '△ABC是等腰直角三角形 ∴.∠CAB=∠CBA=45°. 由圆周角定理，且∠DBC=∠PAC(同弧PC所对圆周角)· 在△ACE和△BCD中： AC=BC,∠EAC=∠DBC,∠ACB=∠DCB=90° :.△ACE≌△BCD(ASA) (2)解：由(1)△ACE≌aBCD ∴CD=CE 又⊙0半径为2， .AB=4, 在等腰直角 △ABC 中，AC=BC=2V2 ∠D=60°， ∠CAP=30°， ∴在RtAACE中， 设CE=x,则AE=2x, (2x2-x2=(22)月 :x=26 3,(负值舍去) CD=CE= 6 3. 10.(1)∠ABC=60° (2)证明：连接OC, 答案第19页，共2页 E B AD⊥PC .∠ADP=90° .0A=OC, .∠OAC=∠OCA, :AC平分∠PAD .∠CAD=∠CAP, .∠CAD=∠OCA, .OC‖AD :∠ADP=90°， .∠OCP=∠ADP=90° .OC⊥PD. 又，OC是⊙0的半径， .PC是⊙O的切线： (3) 解：存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立，且a=l,b=-l,证明如下： 连接AE,BF, 0 四边形 是 的内接四边形， ABFE ⊙0 ∴.∠AEF+∠ABF=180° ∠PBF+∠ABF=180°， .∠AEF=∠PBF, ·∠FPB=∠EPA 答案第20页，共2页 .APBF∽△PEA, PF_PB PAPE· ∴PAPB=PF.PE, 在Rt△OCP中，∠OCP=90°， ∴0P2-r2=PC2 .PA-PB=(OP+r)(OP-r)=OP .PA.PB=PC2 .PF.PE PF (PF+EF)=PE2+PF.EF ∴.PC2=PF2+PF.EF ∴.PF·EF=PC2-PF2 EF.PF aPC2 +bPF2, a=1,b=-1 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可： (2)连接OC,结合角平分线证明OC‖AD,得到∠OCP=∠ADP,根据切线的判定定理 进行即可证明： PF PB (3)连接AE'BF,证明PBF6PEA,则PAPE,进一步得到PAPB=OP2-r2, 结合OP2-r2=PC2,PF,PE=PF2+PF,EF即可证明结论. 【详解】(1)解：：AB是OO的直径， ∴∠ACB=90°， ∠BAC=30°， ∠ABC=90°-∠BAC=60°； (2)略 答案第21页，共2页 (3)略 1.)55 V569 (2)2 【分析】(1)根据切线的性质可以推出∠BAT=90°，根据∠ATB=45°可以得到△ATB是 一个等腰直角三角形，从而求出AB和AO,再利用勾股定理即可求解： (2)连结OD,根据DE∥AT,可推出△DFC是等腰直角三角形，再结合垂径定理，可求 出DF,进而求出AF,然后设半径为r,在直角三角形DFO中，利用勾股定理可以列出方 程，求出”，最后再通过勾股定理可求出T0. 【详解】(I)解：：AT是⊙0的切线， AB⊥AT,即∠BAT=90°， ∠ATB=45°， ∠ABT=45°， .AB=AT=10. A0=5, .0T=V52+102=55 (2)如图，连接OD B A 图② ·∠ATC=45°，∠BAT=90° .∠ACT=45°=∠ATC, .AC=AT=10, DE∥AT, ∴.AB⊥DE,即∠CFD=90°」 ∠ACT=45°， 答案第22页，共2页 .∠CDF=45°=∠ACT, :CF=DF, AB是OO的直径，AB⊥DE, DF=IDE=6=CF. 2 .AF=AC-CF=4 设半径为r,则OF=r-4, 0F2+DF2=0D2 :(r-4)2+62=2 13 解得"=2· 1 OT- +102-V569 2 【点睛】本题考查了圆的切线性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理及勾股定理等，关 键是根据垂径定理构造出直角三角形，利用勾股定理列出关于半径的方程， 12.03 (2)69° (3)3 【分析】(1)借助垂径定理得半弦长，再在直角三角形里用勾股定理求出圆半径： (2)设未知角为x,结合角度倍数、圆周角性质列方程求出x,再利用直角互余算出∠B: (3)构造以C为圆心、CM为半径的辅助圆，结合垂径定理、相交弦定理建立线段关系 式，化简推导出AN与AM的数量关系，再配方转化为二次函数形式，进而求出AN+BM 的最小值 【详解】(1)解：连接OA, C 图1 答案第23页，共2页 :CD⊥AB且CD是直径， AE=14B 2 ,AB=4, AE=2, OE=3, :0A=V22+32=V3 3 圆的半径是 (2)解：设∠DAB=x,则∠DAF=4x, .∠BAF=5x, .CD⊥AB, .∠ACD=5x-90 :∠DAB=∠DCB, .∠DCB=x, ∠ACB=36°， .5x-90+x=36. x=21, ,CD⊥AB ∠B=90°-21°=69°： (3)解：以C为圆心，CM的长为半径作圆，交BA的延长线于点E, E B 图2 .CP=CM=CO P,Q两点在⊙C上， CD⊥AB」 .AM=AE .EN AM+AN,MN AM-AN 答案第24页，共2页 .PN.NO=AN.NB PN.NO=EN.MN ∴.EN.MW=AN.NB, AB=4, :(AM+AN)(AM-AN)=AN(4-AN) .AM2-AN2=4AN-AN2 .AN=IAM 4 N+8M-4n-AM+4=W-2+3, 4 .当AM=2时，AN+BM的最小值是3. 13.45 包245 55-5 (3)16 【分析】(1)连接CO并延长交AB于点M,连接OA、OB,由OA=OB,AC=BC得 CO垂直平分AB,在RtAOAM中用勾股定理求OM,进而得CM,再在RtABCM中求BC, (2)由BD是直径得∠BAD=∠BCD=90°，利用圆内接四边形外角等于内对角和同弧所 对圆周角相等，证明△EAD∽aBCD,得CDAE=ADBC,再用勾股定理求AD代入计算. DF DP (3)作DP⊥AC、BQ⊥AC,证ADPF∽ABOF得BF=BO;面积法求定长BQ:过圆心 DF 作OH⊥AC,利用圆半径求DP最大值，进而求BF最大值. 【详解】(1)解：连接CO并延长交AB于点M,连接OA、OB, 答案第25页，共2页 OA=OB=5,AC=BC. ∴.CO垂直平分AB 六4M=M=48=4 在Rt△OAM中， OA=5,AM=4, :OM=VO4-AM=52-4=3 0C=5, .CM=OC+OM=5+3=8 在Rt△BCM中， ,BM=4,CM=8, BC=BM+CM+8=45 (2)解：如图， E ,BD是OO的直径， ∴.∠BAD=∠BCD=90° ,四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ADC+∠ABC=180° :∠ADE+∠ADC=180°. ,∠ADE=∠ABC .AC=BC. .∠ABC=∠BAC ∠BAC=∠BDC, ∴.∠ADE=∠BDC. 答案第26页，共2页 又，∠EAD=∠BCD=90°， ∴.△EADr△BCD AE AD :BC CD .CD·AE=AD·BC, 在Rt△ABD中， BD=10,AB=8」 AD-BD2-4B-10-8=6 由（得8C=45 :CDAE=6x45=24N5 (3)解：连接OD,过D作DP⊥AC于P,过B作BO⊥AC于Q,连接CO并延长CO交 AB于M,过O作OH L AC于H,过O作OT⊥DP于点T.则四边形HOTP是矩形， E M .OH=PT, 由得OM⊥AB.CM=8AC=BC=4N5 :DP⊥ACBQ⊥AC ..DPlIBO ∴.ADPF∽△BOF DF DP ·BFBQ ·AB.CM S。ABc=2 答案第27页，共2页 5x-8x8=2 AC=BC=4N5,Sc=号4C-B0 45B0=2, ·B0=16v5 5. DF DP BF 16V5 5 DF .当DP最大时，BF的值最大， :OH⊥AC, cH-4c=25 在RtAOCH中： 0C=5,CH=25 .0H=V0C2-CH2=V52-(2N5)2=V5 :P7=OH=5 由垂线短最短可知DT≤D0即DT≤5， DP取最大值为5-PT=5-5 此时，点P与点H重合， DF 5-555-5)55-5 16 5 14.(1) 证明：如图1， 点E在△ABP的外接圆上， .∠AEP+∠B=180°， 答案第28页，共2页 在正方形ABCD中，∠B=90°， ∴.∠AEP=90° .∠EAP+∠EPA=90°， EA=EP ∴.∠EAP=∠EPA=45°， .AE=PE, ∴△PAE是等腰直角三角形： (2) DE=2PF 结论： 理由：如图2，延长FE交AD于点H, H D E P FC 图2 :EF⊥BCBC/∥AD .EH⊥AD,即∠AHE=∠EFP=9O° ∴.∠EAH+∠AEH=90°， ∠AEP=90°， ∠PEF+∠AEH=90, .∠EAH=∠PEF, 又EA=EP, .△EAH≌△PEF(AAS) ∴AH=EF,EH=PF, :四边形ABCD是正方形， ∴.AD=DC,∠ADC=∠BCD=90°， 又∠DHE=90°， 四边形DHFC是矩形， :AD=DC=HF,DH=CF, 答案第29页，共2页 .AH+HD=EF +HE :HD=HE PF, ∴.△DHE是等腰直角三角形， DE-DH+HE-HE=PF 66 或12 【分析】(1)如图1，在正方形ABCD中，∠B=90°，根据圆内接四边形的性质得到 ∠AEP+∠B=180°，求得∠EAP+∠EPA=90°.得到∠EAP=∠EPA=45°，于是得到结论： (2)如图2，延长FE交AD于点H.根据平行线的性质得到EH⊥AD,根据垂直的定义 得到∠AHE=LEFP=9O°，根据全等三角形的判定和性质定理得到AH=EF，EH=PF, 于是得到结论： DE=2PF PF =2V2 (3)由(2)知 .求得 2.根据是BC的中点，于是得到 BC=2PC=8V2 ∠PAQ=∠AED∠PAQ=∠EDA ，推出不存在 ，当 时，如图3， ∠PAQ=45°=∠PAE 根据圆周角定理得到1P是圆的直径，根据勾股定理得到 AO=AE=4V5 ∠PAQ=∠EAD PO 当 时，如图4，连接②.由第一种情况可知P是圆的直 径，根据相似三角形的性质即可得到结论. 【详解】(1)略 (2)略 DE =2PF (3)解：由(2)知 DE=4, PF-DE-2 2 PC=PF+FC=2PF=42 P是BC的中点， 答案第30页，共2页 .BC=2PC=82 DH=FC=HE=2√2 由①可知， AH=AD-DH-BC-CF-6 :∠B=90°」 ∴AP是圆的直径， AD ∠PAQ<90°<∠AED90° 当点Q在上方的弧上时， (时相切，不存在)；当点Q在 AB ∠PAQ<90°<∠AED90° BP 左侧的弧上时， (时相切，不存在)，当点Q在下方的弧 上时，∠PAQ<90°<∠AED ∠PAQ=∠AED 不存在 当∠PA0=∠EDA时，如图3，∠PA0=45°=∠PAE, D 图3 .PE=PO 连接P№，则∠AQP=90°， △APQ 是等腰直角三角形， A0=P0, .AO=PO=PE. .PE=AE=AH2+HE2=45 答案第31页，共2页 :40=PE=4V5 当∠PAQ=∠EAD时，如图4，连接P吧： H D 是圆的直径， P F 图4 .∵AP .∠AQP=90°=∠AHE ∴.△APO∽△AEH :4g、4P AH AE' △PAE是等腰直角三角形， AP =√2 AE .AO=2AH=12 综上所述， 的长是v5 AQ 或12， 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判 定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键， 15.(1)见解析 20243,@D6=2He 【分析】(1)由题意可得：OB=OF,易得∠OFB=∠OBF,再根据切线的性质以及同角 的余角相等可得∠EFG=∠HEB,再结合对顶角相等以及等量代换可得∠EFG=∠FEG, 最后根据等角对等边即可证明结论； (2)①根据切线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半易得△EFG是等边三角 答案第32页，共2页 形，即∠G=60° FG=43 ；再根据圆的基本性质以及解直角三角形可得 ，然后利用三角形 的面积公式求解即可；②先说明C0=OB=6,CF=AB=12,∠FCG=30°，如图：连接 FD'则∠FDC=90°，再根据含30度直角三角形的性质可得FD=)CF=6、 2 OH=C0=3,易符B=OB-OH=3:再证明AHBB○△DFE,利用相似三角形的性质 即可解答 【详解】(1)证明：由题意可得：OB=OF, .∠OFB=∠OBF, CD⊥AB, ∴.∠HEB+∠OBF=90°， :FG是⊙O的切线， .∠OFG=90°， ∴.∠EFG+∠OFB=90°， ∴.∠EFG=∠HEB」 ,∠FEG=∠HEB, ∴.∠EFG=∠FEG, ..GE=GF (2)解：①，FG是OO的切线， .∠OFG=90°， .E为CG的中点， :EF=)cG=EG」 2 .GE=GF, ..GE=GF=EF “.△EFG是等边三角形， ∴.∠G=60° ,AB是⊙O的直径，AB=12, .CF=AB=12, 答案第33页，共2页 :在Ri△CFG中，an∠G=C G FG,即FG=,12、12 ian60°= -tan60°V3 45 “ACPG的面积为5crG-x2x45=2w5 2 ②：AB是⊙O的直径，AB=12, .CO=OB=6.CF=AB=12 由(1)得：∠G=60°，∠OFG=90° ,∠FCG=30°， 如图：连接FD,则∠FDC=90°， .FD=CF=6」 2 CD⊥AB, ÷0H=2C0=3, ∴.HB=OB-OH=3, ∠FDC=90°，CD⊥AB. 又∠HEB=∠FED, .△HBE∽△DFE, HE HB 3 1 ·DE=DF=62,即DE=2HE: B 答案第34页，共2页