第04讲 基本不等式及其应用（11大题型精讲精练）讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考地区适用）

第04讲 基本不等式及其应用 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：基本不等式 考点2：几个重要不等式 考点3：基本不等式求最值 05必考题型精讲精练 题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接用基本不等式求和或积求最值 题型三：配凑法求最值 题型四：巧用“1”或常数关系求最值 题型五：消参法求最值 题型六：换元法求最值 题型七：构造不等式求最值 题型八：与、平方和、有关问题的最值 题型八：利用基本不等式判断或证明不等式 题型九:与不等式有关的恒（能）成立问题 题型十：基本不等式的实际应用 题型十一：基本不等式与其它知识交汇的最值问题 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴忽视基本不等式的应用条件； ⑵多次应用不等式的叠加，而忽略等号成立的条件致误； 复习目标 1.了解基本不等式的推导过程； 2.会用基本不等式解决简单的最值问题； 3.会求与基本不等式有关的恒成立问题； 4.理解基本不等式在实际问题中的应用； 5.掌握基本不等式在其他知识中的应用. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2025年上海卷 基本不等式“1”的妙用求最值 高考对基本不等式单独考查的题目虽然不多，但基本不等式及其应用几乎可以渗透到高考的每一个考点，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题. 2022年全国Ⅱ卷 由已知条件判断所给不等式是否正确、条件等式求最值 2022年全国甲卷 基本不等式求和的最值 2021年全国Ⅰ卷 基本不等式求积的最大值、椭圆定义 2021天津卷 基本不等式求和的最小值 2021年全国乙卷 基本不等式求和的最小值 、网络构建 必备基础知识梳理 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【常用结论】 几个重要的不等式 （1）. （2）如果，则（）. （3）（同号）. （4）. （5） 以上不等式等号成立的条件均为． 2、基本不等式求最值 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 必考题型突破 题型一：基本不等式及其应用 例1．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【答案】B 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克，则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 【解题方法总结】 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 练习：1．（多选）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 2．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，显然有，但，A不是； 对于B，当，时，，B不是； 对于C，，显然有，但，C不是； 对于D，当，则，即， 反过来，令，不等式成立，而， D是. 故选：D 3.（多选）（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（   ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】ABD 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误. 故选：ABD 题型二：直接用基本不等式求和或积求最值 例2．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 【解题方法总结】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 练习：1．（2026高三·全国·专题练习）若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为正实数，满足，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立． 故选：A. 2.（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【答案】A 【详解】，当且仅当， 即，等号成立，所以的最小值为6， 故选：A 3．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为正实数，满足， 所以 ，当且仅当，即、时等号成立. 故选：A 4．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 5.（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 6．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 题型三：配凑法求最值 例3．⑴（24-25高三下·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故答案为： ⑵（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 【解题方法总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 练习：（2025高三·全国·专题练习）对任意实数和，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以 ， 当且仅当即时等号成立． 故选：C． 题型四：巧用“1”或常数关系求最值 例4．⑴（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 【答案】6 【详解】由，得， 当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 故答案为：6 ⑵．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D 【解题方法总结】 “1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 练习：1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 【答案】C 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 3．（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【详解】，，，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为16. 故选：A． 4．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 5．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知，为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】∵，为正实数，∴，， 又， ∴ ， 当且仅当，即，即，时取等号， 故当，时，取得最小值. 故选：B 6．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，即， 所以， 则 ， 当且仅当时，即，即时， 也就是时，等号成立. 故选：C 题型五：消参法求最值 例5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】因为，，， 则，解得， 可得， 又因为，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 【解题方法总结】 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 练习：1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 2．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【详解】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 题型六：换元法求最值 例6．（2025高三·全国·专题练习）已知为正数，求的最大值（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】法一：令，则 当且仅当，即时取等号． 法二：令，则， ∴原式，当且仅当时，即时取等号． 法三： ，当且仅当时取等号． 法四： 当且仅当时，即时取等号． 故选：A． 【解题方法总结】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 练习：1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二：，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 3．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，为正数，且， 两边平方得：， 所以. 设，则，解得， ，整理得：，即. 所以 . 当且仅当：即时取“”. 即的最小值为. 故答案为： 题型七：构造不等式求最值 例7．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即， 所以的取值范围为. 【解题方法总结】 ⑴前提：“一正”、“二定”、“三等”. ⑵要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 练习：1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】由题意可知，当时等号成立， 即，令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 2．（多选）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为正实数满足， 设，则， 因为， 即，整理可得得， 将其看为关于的一元二次方程，则，解得， 即，故A正确； 对于选项D：因为，且，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 对于选项B：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为 ， 因为，则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立 所以，故C正确； 故选：ACD. 题型八：与、、有关问题的最值 例8．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，因为，当且仅当时，等号成立，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由，，，知，，所以，所以，D正确. 故选：ACD 【解题方法总结】此类问题往往用到常用的无缝不等式： （1）. （2）如果，则（）. （3）（同号）. （4）. （5） 以上不等式等号成立的条件均为． 练习：1.（（多选）24-25高三下·福建泉州·阶段练习）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，正数，满足， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 故，当且仅当时，等号成立，B错误； C选项，，当且仅当，即时，等号成立， 由A知，，故，当且仅当时，等号成立， 等号成立的条件一致，故，C正确； D选项，正数，满足，故，解得，故， 所以，又在R上单调递增， 故，D正确. 故选：ACD 2.（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误； B.由题意可知，，则，当时等号成立， 则的最小值为，故B正确； C. ，当，即时等号成立， 则的最小值为，故C正确； D.， 当，均单调递增，且时，， 则在区间上单调递增， ∴当时取得最大值5，且时，， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 3．（多选）（2025·江西上饶·二模）若正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：ABC 4．（多选）（2025·山东·一模）若正数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．ab有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最小值 【答案】ABD 【详解】因为正数a，b满足， 对于A，，当且仅当时取等号，取得最大值，故A正确； 对于B，， 当且仅当且，即时取等号，取得最小值4，故B正确； 对于C，由A知有最大值，则有最大值， 则， 当且仅当时取等号 ，取得最大值，故C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 题型八：利用基本不等式判断或证明不等式 例8．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若实数，满足则下列选项一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，满足，但是，A选项错误； 因为，所以，当且仅当时取等号，B选项正确； 因为，又因为，所以，C选项正确； 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，且， 所以 故选：BCD. 【解题方法总结】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明 练习：1.（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·四川成都·模拟预测）命题“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若， ，即， ，即， 则充分性成立； 若且， 当时，， 当时，， 则必要性成立； 综上所述：“”是“，且”的充分必要条件. 故选：C. 3．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 【答案】D 【详解】当时，，A错误； 令，则，， 若，即，则四个数相等，B错误； 不妨取， 则，C错误； 记为四个数中最大的数， 当时， 故， 当时，，（时的条件不唯一）； 当时， 不妨设，则只需考虑且的情况， 此时，故，故当时，， 综上所述，，D正确； 故选：D. 4．（24-25高三上·山西吕梁·期中）若实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，可化为，， ∵（当且仅当时取等号）， ∴，∴ ∴，选项A正确. 对于B，由得， ∴，∴，选项B错误. 对于C，由得，∴， ∵（当且仅当时取等号）， ∴，∴， ∴，选项C正确. D. 由得，∴， ∴. 由得， ∴， ∴，选项D正确. 故选：ACD. 题型九:与不等式有关的恒（能）成立问题 例9．（2024高三·全国·专题练习）已知．满足恒成立，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为，，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为10， 因为恒成立，所以， 解得． 【解题方法总结】 与不等式有关的恒成立问题或有解问题，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究最值的问题. 练习：1．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由，解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 4．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 题型十：基本不等式的实际应用 例10．（2026高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 【答案】 【详解】设直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 当直角梯形的高为时，用纸量最少． 故答案为： 【解题方法总结】 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 练习：1．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，行车的总费用为，其中， 由基本不等式可得（元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，经济的车速是. 故选：C. 2．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【答案】A 【详解】由可知，且， 故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：A. 3．（24-25高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示：最佳视角,且当最大时，最大，     且最大，又， 又设所以 当且仅当时取等号， 此时 解得： 故选：A. 4．（2024高三·全国·专题练习）某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量万件与年促销费用万元之间满足与成反比.如果不搞促销活动.保健品的年销量只能是1万件.已知2015年生产保健品的固定费用为5万元，每生产1万件保健品需要再投入40万元的生产费用，若将每件保健品的售价定为“其生产成本的150%”与“平均每件促销费用的80%”之和，则当年生产的保健品正好销完. (1)将2015年的年利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数； (2)该企业2015年的年促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入－生产成本－促销费用，生产成本＝固定费用＋生产费用） 【答案】(1)（）；(2)18万元. 【分析】（1）先根据已知条件求得与之间的关系式，进而可列出年利润与年促销费用之间的函数关系式. （2）根据题意，由所得的函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意， 因为年销量万件与年促销费用万元之间满足与成反比， 所以可设. 由题意知，当时，，代入上式得，解得. 所以，即.① 由题意知2015年的生产成本为， 销售收入为， 所以2015年的利润. 将①代入上式得（）. （2）由（1）知，所以. （当且仅当，即时取等号）. 所以. 所以当年促销费用投入18万元时，年利润取得最大值为万元. 题型十一：基本不等式与其它知识交汇的最值问题 例11．⑴（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，可得，故，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A ⑵（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】，解得， 由于为正项等差数列，则，解得， ，等号成立当且仅当， 所以的最大值为8. 故选：C. 【解题方法总结】 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式解决其中的最值问题. 练习：1.（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·重庆九龙坡·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 即，由余弦定理得，又，所以， 由知， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D   4．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】令的公差为，成等比数列， ，，，． ， 当且仅当，即时取等号． 故答案为： 5．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由随机变量，且，得，而， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】已知是奇函数，则. 因为，所以. 又因为在上单调递增，所以，即. 由可得. 则. 将展开可得： . 因为，所以，. 根据基本不等式，则，当且仅当时等号成立. 所以. 故答案为： . 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图， 因为O是的外心，所以， 又G是的重心，所以为的中点，则， 则 ， 又，所以，即， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 则的最小值为. 故答案为：. 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2025年上海卷）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 2．（2022·全国甲卷高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即.  3．（多选）（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 5．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 6．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 易错分析 ⑴忽视基本不等式的应用条件； 例．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【易错警示】此题以错选B或D，错选B忽略了等号成立的条件，错选D忽而略了必须是正数的条件. 【提示】利用基本不等式求最值时，一定要注意应用基本不等式成立的条件，即：“一正”、“二定”、“三等”. ⑵多次应用不等式，而忽略等号成立的条件致误； 例．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】5 【错解】因为，，，解得，所以，所以的最小值为. 【正解】由，可得， 则， 当且仅当，即，时等号成立． 因此，的最小值为5． 故答案为：5． 【易错警示】错解的错误原因是多次应用基本不等式，而忽略了等号成立的条件，两次不等式等号需满足，无解，所以不能取等号. 【提示】若在同一题目中两次或两次以上利用基本不等式，等号应同时成立，否则不能用. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 基本不等式及其应用 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：基本不等式 考点2：几个重要不等式 考点3：基本不等式求最值 05必考题型精讲精练 题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接用基本不等式求和或积求最值 题型三：配凑法求最值 题型四：巧用“1”或常数关系求最值 题型五：消参法求最值 题型六：换元法求最值 题型七：构造不等式求最值 题型八：与、平方和、有关问题的最值 题型八：利用基本不等式判断或证明不等式 题型九:与不等式有关的恒（能）成立问题 题型十：基本不等式的实际应用 题型十一：基本不等式与其它知识交汇的最值问题 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴忽视基本不等式的应用条件； ⑵多次应用不等式的叠加，而忽略等号成立的条件致误； 复习目标 1.了解基本不等式的推导过程； 2.会用基本不等式解决简单的最值问题； 3.会求与基本不等式有关的恒成立问题； 4.理解基本不等式在实际问题中的应用； 5.掌握基本不等式在其他知识中的应用. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2025年上海卷 基本不等式“1”的妙用求最值 高考对基本不等式单独考查的题目虽然不多，但基本不等式及其应用几乎可以渗透到高考的每一个考点，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题. 2022年全国Ⅱ卷 由已知条件判断所给不等式是否正确、条件等式求最值 2022年全国甲卷 基本不等式求和的最值 2021年全国Ⅰ卷 基本不等式求积的最大值、椭圆定义 2021天津卷 基本不等式求和的最小值 2021年全国乙卷 基本不等式求和的最小值 、网络构建 必备基础知识梳理 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【常用结论】 几个重要的不等式 （1）. （2）如果，则（）. （3）（同号）. （4）. （5） 以上不等式等号成立的条件均为． 2、基本不等式求最值 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 必考题型突破 题型一：基本不等式及其应用 例1．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【解题方法总结】 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 练习：1．（多选）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（   ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 题型二：直接用基本不等式求和或积求最值 例2．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 练习：1．（2026高三·全国·专题练习）若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 2.（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 3．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 4．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 题型三：配凑法求最值 例3．⑴（24-25高三下·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 ． ⑵（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 练习：（2025高三·全国·专题练习）对任意实数和，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：巧用“1”或常数关系求最值 例4．⑴（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . ⑵．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 “1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 练习：1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 3．（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 4．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知，为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 6．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 题型五：消参法求最值 例5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【解题方法总结】 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 练习：1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 题型六：换元法求最值 例6．（2025高三·全国·专题练习）已知为正数，求的最大值（    ） A． B．1 C． D． 【解题方法总结】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 练习：1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 3．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 题型七：构造不等式求最值 例7．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【解题方法总结】 ⑴前提：“一正”、“二定”、“三等”. ⑵要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 练习：1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（多选）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型八：与、、有关问题的最值 例8．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】此类问题往往用到常用的无缝不等式： （1）. （2）如果，则（）. （3）（同号）. （4）. （5） 以上不等式等号成立的条件均为． 练习：1.（（多选）24-25高三下·福建泉州·阶段练习）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 2.（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 3．（多选）（2025·江西上饶·二模）若正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 4．（多选）（2025·山东·一模）若正数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．ab有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最小值 题型八：利用基本不等式判断或证明不等式 例8．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若实数，满足则下列选项一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明 练习：1.（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·四川成都·模拟预测）命题“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 4．（24-25高三上·山西吕梁·期中）若实数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型九:与不等式有关的恒（能）成立问题 例9．（2024高三·全国·专题练习）已知．满足恒成立，求的取值范围． 【解题方法总结】 与不等式有关的恒成立问题或有解问题，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究最值的问题. 练习：1．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型十：基本不等式的实际应用 例10．（2026高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 【解题方法总结】 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 练习：1．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）. A． B． C． D． 2．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 3．（24-25高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量万件与年促销费用万元之间满足与成反比.如果不搞促销活动.保健品的年销量只能是1万件.已知2015年生产保健品的固定费用为5万元，每生产1万件保健品需要再投入40万元的生产费用，若将每件保健品的售价定为“其生产成本的150%”与“平均每件促销费用的80%”之和，则当年生产的保健品正好销完. (1)将2015年的年利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数； (2)该企业2015年的年促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入－生产成本－促销费用，生产成本＝固定费用＋生产费用） 题型十一：基本不等式与其它知识交汇的最值问题 例11．⑴（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． ⑵（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解题方法总结】 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式解决其中的最值问题. 练习：1.（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·重庆九龙坡·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D．   4．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ． 5．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 . 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 . 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 ． 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2025年上海卷）设，则的最小值为 ． 2．（2022·全国甲卷高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．  3．（多选）（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 5．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 易错分析 ⑴忽视基本不等式的应用条件； 例．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】此题以错选B或D，错选B忽略了等号成立的条件，错选D忽而略了必须是正数的条件. 【提示】利用基本不等式求最值时，一定要注意应用基本不等式成立的条件，即：“一正”、“二定”、“三等”. ⑵多次应用不等式，而忽略等号成立的条件致误； 例．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 ． 【易错警示】错解的错误原因是多次应用基本不等式，而忽略了等号成立的条件，两次不等式等号需满足，无解，所以不能取等号. 【提示】若在同一题目中两次或两次以上利用基本不等式，等号应同时成立，否则不能用. 学科网（北京）股份有限公司 $$