精品解析：广东省肇庆四校2024-2025学年高二下学期第二次教学质量检测数学试题

2024-2025学年第二学期高二年级第二次教学质量检测 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入求值即可． 【详解】函数，求导得， 所以． 故选：B. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A 3. 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ） A. －1 B. 1 C. ±1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值. 【详解】的展开式通项为， ∴令，解得， ∴的展开式的常数项为， ∴ ∴ 故选：B. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 5. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【详解】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：D. 6. 贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 18种 【答案】A 【解析】 【分析】利用插空法可求不同的排列方法. 【详解】先排饮食文化展板，有一种放置方法； 再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法； 再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法， 故共有种放置方法， 故选：A. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值. 【详解】. 当时，； 当时，由， 可得， 两式相减，可得，故， 因为也适合上式，所以. 依题意，， 故. 故选：C. 【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 8. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 五一假期即将来临，甲、乙、丙、丁、戊五名同学决定到济南的著名景点“大明湖”，“趵突泉”、“千佛山”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 C. 若每个景点必须有同学去，且甲和乙不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 D. 甲同学去大明湖的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据分步乘法计数原理分析判断；对于B：利用间接法，讨论这5人去的景点个数，结合组合数运算求解；对于C：利用间接法，讨论甲和乙去同一个景点去的人数，结合排列数、组合数运算求解,对于D,利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】对于选项A：因为每个人均有3个景点可以选择，所以所有可能的方法有种，故A错误； 对于选项B： 若5个人都去一个景点，不同的安排方法有种； 若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安排方法有种；所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有种，故B正确； 对于选项D：若每个景点必须有同学去，且甲和乙去同一个景点，则有： 若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有种； 若这个景点有3人去，不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，且甲和乙不去同一个景点，则不同的安排方法有种，故C正确； 对于D, 甲同学从“大明湖”，“趵突泉”、“千佛山”中选择一个景点游玩，则去大明湖的概率为，D正确 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极大值 B. 当时， C. ，恒成立 D. 当有且仅有两个零点时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号确定函数的单调区间，再分析函数的极值，可判断A的真假；求导，判断函数在上的单调性，可判断B的真假；举特例，可判断C的真假；利用分离参数法，把问题转化成方程有两解的问题，再设，利用导数分析函数的单调性，求出极值，画出草图，数形结合，可求的值，可判断D的真假. 【详解】对于选项A，当时，．则. 令．解得．则当时．，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在有取得极大值，A正确． 对于选项B，，当，时，， 故在单调递增，则，B正确． 对于选项C，若，当时，，C错误． 对于选项D，令，则， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，当时，恒成立． 画出的大致图象，如下： 可知当有两个零点时，，D正确． 故选：ABD 11. 记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在正整数，对于任意的正整数，均有 C. 对于任意的正整数，均有 D. 存在正整数，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】各取等差和等比数列的前三项，由等差和等比中项构成方程求出，再讨论其取值得出等差和等比数列可判断A正确；利用数列单调性法解出最大项可得B错误；变形将，记，可得，再求和可得C正确，D错误. 【详解】对于A，因为为等差数列，取前3项知成等差数列，即. 因为为等比数列，取前3项知成等比数列，即， 代入，得，即，也即，所以或. 若，那么，所以，但不为等比数列，所以假设不成立，则，得，检验得为等差数列，为等比数列，故A正确. 对于B，也就是验证数列是否存在唯一的最大项， 令，即解得， 令，解得， 又，所以，即最大项不唯一､因此不存在符合题意的正整数，故B错误. 对于C，D，因为. 记，注意到，所以， 于是，因此对于任意的正整数，均有，故C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用二项展开式通项公式计算即可. 【详解】二项展开式通项为， 则其，，则的展开式中的系数为. 故答案为：2. 13. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，根据切线方程为计算出切点，代入切线方程即可求解. 【详解】由，可得，． 设切点为，则，解得， 故切点为，将该点坐标代入直线方程得，解得． 故答案为：. 14. 已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设数列的公比为，根据，，成等差数列，列方程，解得，进而得，分是偶数或是奇数讨论，利用单调性求最值即可. 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，又， 可得，解得，所以， 所以． 当为偶数时，由，得， 所以对任意的偶数成立， 因为单调递减，所以当时取最大值， 故； 当为奇数时，由，得， 所以对任意的奇数成立， 因为单调递增，且当时，，故． 综上所述，． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 16. 景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名．景德镇瓷器以其精美的工艺、独特的风格和高质量的品质而闻名于世．景德镇瓷器的历史可以追溯到唐代，经过宋、元、明、清等朝代的发展，逐渐形成了独特的风格．景德镇瓷器的制作过程非常复杂，需要经过多道工序，包括制坯、彩绘、烧制等．其中，彩绘是景德镇瓷器的一大特色，采用的是传统的釉下彩和釉上彩技法，色彩鲜绝、图案精美．假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花瓷的成品率依次为0.5，0.8，0.9． （1）若从这10个青花瓷中任取1个，求取出的青花瓷是成品的概率； （2）若每件青花瓷成品的收入为600元，每件青花瓷废品的收入为0元，记随机变量为乙烧制的这3个青花瓷的总收入，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. （2）求出的可能值，借助独立重复试验的概率求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 记事件为“取出的青花瓷是甲烧制的”，事件为“取出的青花瓷是乙烧制的”， 事件为“取出的青花瓷是丙烧制的”，设事件为“取出的青花瓷是成品”， 则，，，，，， 所以 ． 【小问2详解】 的所有可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 600 1200 1800 数学期望． 17. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，求数列的前2n项和. 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求； (2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和； (3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【小问1详解】 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，，可得，， 解得：负的舍去， 则，； 【小问2详解】 数列的前n项和， ， 两式相减可得， 化为； 【小问3详解】 ， 则数列的前2n项和 . 18. 函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增，当时，函数 在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，按照，分类讨论函数的单调性； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，当时，不等式化为恒成立，令，则只需，通过求导研究函数的单调性进而求出最小值. 【小问1详解】 ，定义域为， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，所以函数 在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，对恒成立， 当时，不等式化为恒成立，令，则只需， ，因，所以 ， 所以当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 所以函数的最小值为， 所以，即的取值范围为． 19. 某大型超市为回馈广大顾客，开展消费抽奖活动，每消费满500元可参与一次抽奖（一个小盒里放入6个除颜色外其他都相同的小球，其中4个黑球和2个红球），顾客可自由选择抽奖方式．一次抽奖规则如下： 方案一：顾客一次性从中随机抽取2个小球． 方案二：顾客从中随机抽取1个小球，若取到红球，则将该红球放回盒中并再往盒中加入1个红球；若取出黑球，则将该黑球换成红球放回盒中，再从盒中随机抽取1个小球．奖励规则如下： 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 100元 80元 50元 （1）顾客参与一次抽奖，求两种方案所得奖金的期望，并比较选择哪个方案所得奖金的期望更大． （2）顾客甲消费了1500元，若他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，求他抽奖获得的奖金总额的期望． （3）若该超市对消费不足500元的顾客设置一个幸运抽奖环节（一个小盒里仍然是4个黑球和2个红球）：顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份，下一位顾客继续抽奖直至红球取完为止．求第位顾客抽奖时，恰好获得最后一份幸运礼品的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方案一运用超几何分布，方案二运用概率乘法公式，分别写出各自概率并计算其期望比较即可. （2）运用期望公式计算即可. （3）设第个顾客获得第一份幸运礼品，第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为，即前个顾客每次都取出的是黑球，第个顾客取出的是红球，此时将黑球替换该红球放回后，小盒里是5个黑球1个红球，此时又个顾客都取出的是黑球，第个顾客取出的是红球，至此红球取完.计算第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为中从1到取值累加求和即可. 【小问1详解】 选择方案一，设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为50，80，100． ；；． 故． 选择方案二，设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为50，80，100． ；；． 故． 故． 【小问2详解】 因为顾客甲消费了1500元，所以他有3次抽奖机会． 因为他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为， 所以他抽奖获得的奖金总额的期望为． 【小问3详解】 设第个顾客获得第一份幸运礼品，第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为，则， 则第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为中从1到取值累加求和， 即， 利用等比数列求和公式可得 所以第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二年级第二次教学质量检测 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.1 3. 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ） A. －1 B. 1 C. ±1 D. 2 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 18种 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 五一假期即将来临，甲、乙、丙、丁、戊五名同学决定到济南的著名景点“大明湖”，“趵突泉”、“千佛山”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 C. 若每个景点必须有同学去，且甲和乙不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 D. 甲同学去大明湖概率为 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极大值 B. 当时， C. ，恒成立 D. 当有且仅有两个零点时， 11. 记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在正整数，对于任意的正整数，均有 C. 对于任意的正整数，均有 D. 存在正整数，使得 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为__________． 13. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为________． 14. 已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 16. 景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名．景德镇瓷器以其精美的工艺、独特的风格和高质量的品质而闻名于世．景德镇瓷器的历史可以追溯到唐代，经过宋、元、明、清等朝代的发展，逐渐形成了独特的风格．景德镇瓷器的制作过程非常复杂，需要经过多道工序，包括制坯、彩绘、烧制等．其中，彩绘是景德镇瓷器的一大特色，采用的是传统的釉下彩和釉上彩技法，色彩鲜绝、图案精美．假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花瓷的成品率依次为0.5，0.8，0.9． （1）若从这10个青花瓷中任取1个，求取出的青花瓷是成品的概率； （2）若每件青花瓷成品的收入为600元，每件青花瓷废品的收入为0元，记随机变量为乙烧制的这3个青花瓷的总收入，求的分布列及数学期望． 17. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，求数列的前2n项和. 18 函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 19. 某大型超市为回馈广大顾客，开展消费抽奖活动，每消费满500元可参与一次抽奖（一个小盒里放入6个除颜色外其他都相同的小球，其中4个黑球和2个红球），顾客可自由选择抽奖方式．一次抽奖规则如下： 方案一：顾客一次性从中随机抽取2个小球． 方案二：顾客从中随机抽取1个小球，若取到红球，则将该红球放回盒中并再往盒中加入1个红球；若取出黑球，则将该黑球换成红球放回盒中，再从盒中随机抽取1个小球．奖励规则如下： 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 100元 80元 50元 （1）顾客参与一次抽奖，求两种方案所得奖金期望，并比较选择哪个方案所得奖金的期望更大． （2）顾客甲消费了1500元，若他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，求他抽奖获得的奖金总额的期望． （3）若该超市对消费不足500元的顾客设置一个幸运抽奖环节（一个小盒里仍然是4个黑球和2个红球）：顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份，下一位顾客继续抽奖直至红球取完为止．求第位顾客抽奖时，恰好获得最后一份幸运礼品的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$