甘肃省临夏州康乐中学2024-2025学年高二下学期阶段测试（三）数学试题

阶段测试卷（三） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱锥中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架，上下水平纵向联结系，桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数图象的一个最高点及一个相邻的最低点都在直线上，若函数在上有3个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量X的数学期望，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D. 从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 10. 某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；； A. 这次考试等级分的标准差为5 B. 这次考试等级分超过80分的约有45人 C. 这次考试等级分在内的人数约为48人 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，且，，那么________． 13. 从含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，记为所抽取的次品数，则______． 14. 已知随机变量的概率分布列如下表，则______，若，则______. 2 3 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 16. 某地教育局为提升教师的业务能力，从当地中学教师中随机选取100人参加教学技能比赛，统计他们的得分（满分100分），其得分在各区间的人数比例如下表.规定得分不低于80分的为优秀教师. 得分区间 人数比例 0.25 0.35 0.20 （1）求的值并求参赛教师为优秀教师的频率； （2）以频率估计概率，若在当地中学教师中随机选取3人，其中优秀教师的人数记为，求的分布列与期望. 17. 一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 （1）若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； （2）若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 18. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． （1）若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； （2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 19. 随着巴黎奥运会的举办，中国义乌再度吸引全球目光，“义乌制造”再次被奥运“带火”．某义乌体育用品公司承接了部分巴黎奥运会体育产品的制造，假设该产品在试产阶段采用两种不同的方案进行生产，已知每种方案均有三道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品方能出厂进行销售，若某道加工工序不合格，则该产品停止加工．已知方案：每道加工工序合格的概率均为；方案：第一、二、三道加工工序合格的概率分别为． （1）若分别采用两种方案各自生产一件产品，求生产的两件产品中只有一件产品可以出厂销售的概率； （2）若方案：每件产品每道工序的加工成本为10元，销售时单价为100元；方案：每件产品的第一、二、三道工序的加工成本分别为5元，10元和15元，销售时单价为100元．若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产． 阶段测试卷（三） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】##0.5 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 3 ②. ## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）分布列： 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 【17题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为 【18题答案】 【答案】（1）（i）的分布列为： 2 3 ，；（ii） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）公司应采用方案进行加工生产． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $阶段测试卷（三） 数学参考答案及评分意见 1.D【解析】设事件A:甲射中10环，事件B:乙射中10环，事件C:10环被射中，则P(A)=0.5,P(B)=0.4,所以 P(C)=1-P(AB)=1-(1-0.5)×(1-0.4)=0.7. 为P(AB)C)=P(AB)=(1-0.5)×0,4=0.2,所以P(AB)C)1C)=。77.故选 2.A【解析】令X=k表示前k个球为白球，第k十1个球为红球，则k=0,1,2. PX=0=号-有Px=1-音×号-言px=2》-g×名×号-言 则P(X<2)=PX=0+PXD+PX=2)=了+专+号-放选A 3.D【解析】如图所示，连接BM. 因为Pi=M,B时=2N心，则BN=号BC,BM=2(Bi+B时)， 所以-B时-Bd=号BC-名(B赋+驴)=号(P心-PE)-号(P成-P店+B时)=号(e-b) 3 a-bb)=a+6+ 1 3c.故选D. 4.A【解析】令函数g(x)=f(x)-2=x3-sinx十x,其定义域为R, g(-x)=(-x)3-sin(-x)十(-x)=-(x3-sinx十x)=-g(x),函数g(x)是奇函数. 求导得g'(x)=3x2-cosx+1≥0，当且仅当x=0时取等号，因此函数g(x)在R上单调递增. 不等式f(x)十f(2-3x)<4台f(x)-2<-[f(2-3x)-2]台g(x)<-g(2-3x)=g(3x-2), 则x<3x一2，解得x>1,所以所求x取值范围是(1，十∞).故选A. 5.B【解析】由题意可知，A(√2，√2,0)，D(√2,0,0)，B(0,√2,0)，E(0,0,1), 设M(入，A,1),则DE=(-√2,0,1)，BE=(0,-√2,1)，AM=(a-√2，λ-√2,1). DE·n=-√2x十x=0, 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则 BE·n=-2y十之=0， 令之=√2，则x=y=1,可得n=(1,1,W2). 因为AM∥平面BDE,所以AM⊥n, 即Aa-名+材一区+复-0，条府头-号即M点的金标为侣号小故法以 6.D【解析】如图，以E为坐标原点，EB,ED,EI所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立空间直角坐标系. 数学答案第1页（共5页） 设AB=BH=a,则A(a,-a,0),H(a,0,a),I(0,0,a),G(a,a,a),可得Ai=(0,a,a),IG=(a,a,0). 设直线AH与直线G所成角为9，则c0s0=|cos{Ai,心1=A.7店-a2-】 AHIIG2a-2 故直线AH与直线IG所成角的余弦值为2故选D. 7.C【解析】设A(x1,e1-2)(x1>1),B(x2,lnx2). 因为f'(x)=e,g'(x)=士所以函数fx)=e的图象在点A处的切线方程为)-e-=e(x-x 即y=e21-2x十(1-x1)e1-2, 函数g()=1n工的图象在点B处的切线方程为y一1n,-（红一，)，即y= 1 x+In x2-1. e1-2=1 ①， 因为直线1是两函数图象的公切线，所以 x2 (1-x1)e1-2=lnx2-1②， 由①可得2-x1=lnx2,代入②得(1-x1)e1-2=1-x1, 因为x>1,所以区=2，月 所以A(2,1),B(1,0),所以|AB|=√(2-1)2+(1-0)7=√2.故选C. x2=1, 8.B 【解析】方法一：因为f(x)的图象的一-个最高点及一个相邻的最低点都在直线2x一y一=0上， 所以该直线与x轴的交点在f(x)的图象上 对于2x一y置=0，令y=0,得x=至令y=2,得x=, 所以石=4x便)=，解得w=名所以f)=2sn合：t9(受<g<引 由f（)-2sim(8+9-0及-2<9<得9=-客， 所以)=2n(一 由0<<a,得-<-<a 8<2x-8<2a-8 易知两氨y=如：在0，中)上的前4个根位点分别为号经受。 所以<<即<< 29π 4 方法二：根据/x)的图象的一个最高点及一个相邻的最低点都在直线2x一一晋-0上，令y=2,得x-5, 4 令y=-2,得x=-3π 4’ 所以了：在0，一)止的前4个极值点分期为平1经2,2空所以21<a<设放连取 4 9.ACD【解析】对于A,因为E(X)=4,所以E(2X一1)=2E(X)一1=2×4一1=7，故A正确；对于B,因为 D(Y)=3,所以D(2Y+5)=4D(Y)=4×3=12,故B错误；对于C,根据二项分布的概念可知随机变量X服从 二项分布B(3,),故C正确：对于D,根据超儿何分布的概念可知随机变量X服从超几何分布，故D正确放 数学答案第2页（共5页） 选ACD. 10.AD【解析】从12件产品中任意抽取4件，样本点个数为C12,其中恰好有1件二等品包含的样本点个数为 CC,所以恰好有1件二等品的概率P=CC C42 抽取的4件产品中，有2件二等品包含的样本点个数为CC。,有0件二等品包含的样本点个数为CC,由对 立事件的概率计算公式得，恰好有1件二等品的概率P=1-C+CSC,故选AD C12 11.ABD【解析】对于A,因为X~N(80,25),所以σ=√25=5，故A正确. 对于B,因为X~N(80,25),所以4=80，o=5,所以P(65<X<75)=P(μ-3o≤X≤4-o) -Pg-3a≤X<+3a)-Pu-≤x<+o] =7×0.973-0.6827)=0.1573,故B正确， 对于C,因为X~N(80,25),所以4=80，所以这次考试等级分超过80分的学生约占一半，约为50人，故C 错误。 对于D,因为P(70≤X≤80)=P(μ-2o≤X≤0) =Pu-2a≤X<+2a)=7×0.95450.48, 所以这次考试等级分在[70,80]内的人数约为0.48×100=48，故D正确.故选ABD, 12.2 【解析】由题意可知P(X=0)+P(X=1)-a+a=1,解得a=名或a=-1,因为a>0,所以a=2 1 1号【程片超喜的有可信聚值方61,28X-0-鸳-号P-》-5-名 C。=2,P(X= 2)-CICi_3 C%10P(X=3)=CC1 C-0所以EX)-0x日+1x号+2x8+3×动-g 14.32【解析】由随机变量分布列的性质，得a十b+a=2a+b=1,所以E()=2a十3b十4a=6a十36= 1 32a+6)=8,D(=(2-3a+(8-306+(4-3a=2a=号解得a=,代入2a+6=1,得6= 15.解：1)由f(r)=1nx十ac,得f'()=1+a,z>0. 当a≥0时，f'(x)>0恒成立，则f(x)在(0，十∞)上单调递增；…3分 当a<0时，令f')=0,解得x=日 当x0,-时，f'e)>0,则f)在0，-上单调递指： 当（日+时，f')0,则f)在（日+e小上单调通演 …6分 (2)由题意lnx+ax≤x+1恒成立， 因为x>0,所以a≤+1-l血“恒成立，即a≤+1-n工） ,x>0. …8分 x min 记gx)=x+1-1血，x>0,则g'x)=n2 x2 令g'(x)=0,得x=e2,令g'(x)<0,得0<x<e2,即g(x)在(0，e)上单调递减， 数学答案第3页（共5页） 令g'(x)>0,得x>e2,即g(x)在(e,十∞)上单调递增， 10分 所以ge)a=ge)=1-合， 所以a≤1一 ,即实数a的取值范围为(-，1一】 …13分 16.解：(1)由表可知，x十0.25+0.35+0.20十x=1,解得x=0.10, …3分 参赛教师为优秀教师的频率为0,20十x=0.3。…5分 (2)由(1)可知，当地中学教师是优秀教师的概率估计值为0.3， X的取值可能为0,1,2,3.……8分 P(X=0)=(1-0.3)3=0.343,P(X=1)=C3×0.3×(1-0.3)2=0.441, P(X=2)=C号×0.32×(1-0.3)=0.189，P(X=3)=0.33=0.027,… …12分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 …13分 P 0.343 0.441 0.1890.027 所以X的数学期望E(X)=0×0.343+1×0.441十2×0.189十3×0.027=0.9. (另解：由题意得X~B(3,0.3),所以E(X)=3X0.3=0.9)……15分 17.解：(1)有放回地抽取2次，所有等可能的情况有4×4=16种，…2分 小球得分之和大于6的情况有第一次抽中白球，第二次抽中黑球；第一次抽中黑球，第二次抽中白球；两次都抽 中黑球，共3种，…5分 所以抽中的小球对应的得分之和大于6的概率P=3 …6分 16 (2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7，… …7分 11 P(X=3)= …12分 所以X的分布列为 4 6 7 …13分 6 所以X的期望E(X)=3×日+4×日+5 3+6 6+7× =5.…15分 6 18.解：(1)由题意，每局比赛乙获胜的概率约为4 1分 (1)由比赛规则可知，X的所有可能取值为2,3.…2分 PX=2=()+()=gPX=)=1-P(X=2》=1 …4分 所以X的分布列为 2 3 P 3 …5分 8 所以X的数学期望E(X)=2×5 3×319 8 88 …7分 数学答案第4页（共5页） (ⅱ)乙最终获胜的情况包括：前两局乙都获胜，前两局中乙获胜一局且第三局乙获胜， 所以乙最终获胜的概率P= ()+exx-5 4X4=32 …11分 (2)设事件A=“甲最终获胜”，事件B=“共进行了5局比赛”.…I2分 则事件A包含的情况有：前三局甲都获胜，前三局中乙获胜一局且第四局甲获胜，前四局中乙获胜两局且第五 局甲获，所以ra)-()+e)')°+c)()-2 …15分 PaB)=-c()('- 故P(B|A)= P(AB)3 PA=7,在甲获胜的条件下，比赛进行了5局的概率是7 …17分 27 19.解：(1)由题意，采用方案A生产的产品可以出厂销售的概率为 641 采用方案B生产的产品可以出厂销售的概率为 ……………2分 4 5 所以生产的两件产品中只有一件可以出厂销售的概率P一 ×1-)+(-网)×号-器 …5分 (2)用X表示方案A生产的每件产品的利润，则X的所有可能取值为一10，一20，-一30,70， PX=-01=1-PX=-0-xf-）=0 P(X=-30)= 3、3、327 4 4 ×464 所以X的分布列为 -10 -20 -30 70 1 3 27 4 16 64 64 所以X的数学期望E(X)=-10×+(-20)X号+(-30)×0+70×程-80阳 64-16 …10分 用Y表示方案B生产的每件产品的利润，则Y的所有可能取值为一5，一15，一30,70， PY=-5)=1-专3PY=-15)=g×-)- PY=-30)=×号×(-)-=PY=0)= 2 32 X4=5' 3 所以Y的分布列为 -5 -15 -30 70 1 4 15 所以Y的数学期望E(Y)=一5× 2 2 5+(15X+(-30)☒15+70X59 …15分 因为E(X)>E(Y),所以该公司应采用方案A进行生产.…17分 数学答案第5页（共5页）