2024-2025学年人教版九年级数学上册暑假-第13讲-圆与正多边形

第13讲 圆与正多边形 课程目标 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 精讲精练 模块一 正多边形的概念与性质 知识概述 一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件： (1)各边相等； (2)各角相等；缺一不可. 如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释： 要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心； 当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 例题精讲 【例1】 下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为的六边形是正六边形；⑤边数相同的正边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________． 【答案】②⑤ 【解析】①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成 个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；③错误，正奇数边形不是中心对称图形；④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；⑤正确，相似的性质；⑥错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可． 【例2】 如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t=　 　s时，四边形PBQE为菱形； ②当t=　 　s时，四边形PBQE为矩形． （1） 【答案】答案见解析 （2） ①2；②0或4 【解析】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F， ∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t（s）， ∴AP=DQ=t，则PF=QC=4﹣t， 在△ABP和△DEQ中 ∴△ABP≌△DEQ（SAS） ∴BP=EQ， 同理可证，PE=QB， ∴四边形PEQB是平行四边形． （2）解：①当四边形PBQE为菱形时，PB=PE=EQ=QB， ∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB， ∴AP=PF=DQ=QC， 即t=4﹣t，得t=2， 故答案为：2； ②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°， ∴∠BPE=120°﹣30°=90°， ∴此时四边形PBQE为矩形； 当t=4时，∠ABP=∠APB=30°， ∴∠BPE=120°﹣30°=90°， ∴此时四边形PBQE为矩形． 故答案为：0或4． 【例3】 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M． (1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE． 【解析与答案】 (1)正多边形必有外接圆，作出正五边形的外接⊙O，则的度数为， ∵ ∠EAC的度数等于的度数的一半， ∴ ∠EAC＝， 同理，∠AED＝×72°×3＝108°， ∴ ∠EAC+∠AED＝180°， ∴ ED∥AC． (2)∵ ∠EMA＝180－∠AEB－∠EAC＝72°， ∴ ∠EAM＝∠EMA＝72°， ∴ EA＝EM． 【点评】辅助圆是特殊的辅助线，一般用得很少，当有共圆条件时可作出辅助圆后利用圆的特殊性去解决直线型的问题．要证AC∥ED和ME＝AE，都可用角的关系去证，而如果作出正五边形的外接圆，则用圆中角的关系去证比较容易． 【练1】 如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为　 　． 【答案】. 【解析】解：连接BD，DF，过点C作CN⊥BF于点F， ∵正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为， ∴BD=2， ∴AD=AB=BC=CD=2， ∵E为DC的中点， ∴CE=1， ∴BE=， ∴CN×BE=EC×BC， ∴CN×=2， ∴CN=， ∴BN=， ∴EN=BE﹣BN=﹣=， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BFD=90°， ∴△CEN≌△DEF， ∴EF=EN， ∴BF=BE+EF=+=， 故答案为． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及勾股定理以及三角形面积等知识，根据圆周角定理得出正多边形边长是解题关键． 【练2】 同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（　　） A．3：4 B．：2 C．2： D．1：2 【答案】B； 【解析】设圆的半径为1，如图（1），连接OA、OB过O作OG⊥AB； ∵六边形ABCDE为正六边形， ∴∠AOB==60°； ∵OA=OB，OG⊥AB， ∴∠AOG==30°， ∴AG=OA•sin30°=1×=，（或由勾股定理求） ∴AB=2AG=2×=1， ∴C六边形ABCD=6AB=6． 如图（2）连接OA、OB过O作OG⊥AB； ∵六边形ABCDE为正六边形， ∴∠AOB==60°， ∵OA=OB，OF⊥AB， ∴∠AOF==30°， ∴AG=OG•tan30°=，（或由勾股定理求） ∴AB=2AG=2×=， ∴C六边形ABCD=6AB=6×=4cm． ∴圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比=6：4=：2． 模块二 正多边形有关计算 知识概述 正多边形有关的计算 1. 正边形的每个内角都等于； 2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于； 3. 设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为；则： 例题精讲 【例1】 已知正六边形的边心距为，则它的半径为（ ） A.2 B.4 C. D. 【答案】 A 【解析】如图，在中，，， ∴． 【例2】 半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为________． 【答案】 【解析】由题意可得， 正三角形的边心距是：， 正四边形的边心距是：， 正六边形的边心距是：， ∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：． 【例3】 正五边形需要旋转（ ）后才能与自身重合． A.36° B.45° C.60° D.72° 【答案】 D 【解析】根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合， 即正五边形需要旋转72°后才能与自身重合． 【例4】 已知正n边形的中心角为60°，则n的值为________；若其边心距为；则它的边长为________；面积为________． 【答案】6；2； 【解析】∵正n边形的中心角为60°， ∴这个正多边形的边数：360°÷60°＝6． ∵边心距； ∴， 因而边长为， ∴面积为：。 【例5】 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线． （1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由； （2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积． 【答案与解析】 解：（1）连接BF，则有BF∥AG． 理由如下： ∵ABCDEFGH是正八边形， ∴它的内角都为135°． 又∵HA=HG， ∴∠1=22.5°， 从而∠2=135°﹣∠1=112.5°． 由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称， ∴ 即∠2+∠3=180°，故BF∥AG． （2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°， ∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°， ∴四边形PQMN是矩形． 又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE， ∴△PAH≌△QCB≌△MDE， ∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM， 故四边形PQMN是正方形． 在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AH=2， ∴PA= ∴． 故． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出PQ的长是解题关键． 【例6】 如图所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的． 【答案与解析】 (1)连OA、OB、OC，如图（2）所示， 图（2） 则OA＝OB＝OC，又AB＝BC＝CA．∴ △OAB≌△OBC≌△OCA， 又OD⊥BC于F，OE⊥AC于G，由垂径定理得AG＝AC，FC＝BC， ∴ AG＝CF．∴ Rt△AOG≌Rt△COF ∴ ． 【点评】首先连接OC，根据垂径定理的知识，易证得Rt△OCG≌Rt△OCF，设OG=a，根据直角三角形的 性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形OFCG的面积与△ABC的面积，继而求得答案． 【例7】 如图、、、…..、，、分别是的内接正三角形、正方形、五边形、…..、正边形…..的边、上的点，且，连接、． （1）求图中的度数； （2）图中的度数是____________，图中的度数是____________； （3）试探究的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）． 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】解：分别连接、，（1） ，是外接圆的圆心， ， （2）同（1）可得的度数是；图中的度数是 （3）由（1）可知，；在（2）中，；在（3）中…..，故当时，． 【练1】 已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】 C 【解析】∵正多边形的半径与边长相等， ∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形， ∴正多边形的中心角为60° ∵正多边形所有中心角的和为360°， ∴，∴正多边形的边数为6， 【练2】 如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　　　　　　． 【答案】2． 【解析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=4，∠ABC=90°， ∴AC是直径，AC=4， ∴OE=OF=2，∵OM⊥EF， ∴EM=MF， ∵△EFG是等边三角形， ∴∠GEF=60°， 在RT△OME中，∵OE=2，∠OEM=∠CEF=30°， ∴OM=，EM=OM=， ∴EF=2． 【练3】 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（　　） A.a4＞a2＞a1 B.a4＞a3＞a2 C.a1＞a2＞a3 D.a2＞a3＞a4 【答案】 B 【解析】 设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3 设正方形的边长是x，由勾股定理得： 对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828， 设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b， ∴正六边形的周率是a3==3， 圆的周率是a4==π， ∴a4＞a3＞a2． 故选B． 【练4】 如图，是的内接正方形，是半圆的内接正方形，那么正方形与正方形的面积之比为____________． 【答案】 【解析】 【练5】 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】如图1， ∵OC＝2， ∴OD＝2×sin30°＝1； 如图2， ∵OB＝2， ∴OE＝2×sin45°＝； 如图3， ∵OA＝2， ∴OD＝2×cos30°＝， 则该三角形的三边分别为：1，，， ∵， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是：． 【练6】 如下图，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC的面积的． 【答案】连接OA、OB、OC，由(1)知△OAB≌△OBC≌△OCA． ∴ ∠1＝∠2． 设OD交BC于F，OE交AC于G，则∠AOC＝∠3+∠4＝120°， ∠DOE＝∠5+∠4＝120°，∴ ∠3＝∠5． 在△OAG和△OCF中，∴ △OAG≌△OCF． ∴ ． 附加题 【练1】 如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动． （1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）； （2）写出图②中∠APN的度数和图 ③中∠APN的度数 （ 3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 【答案】（1）60°；（2）∠APN的度数为108°；（3）∠APN的度数为(n-2）*180/n° 【解析】 试题分析： 试题解析：(1）∠APN = 60°. 因为∠APN=∠ABP+∠BAP 有因为点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动． 所以弧AN=弧CM ∠ABN=∠MAC 所以∠APN=∠BAP+∠MAC 即∠APN=∠BAC=60° (2）按(1）的思路可得：图2中，∠APN的度数为90°；图3中，∠APN的度数为108°． (3）则∠APN的度数=所在多边形的内角度数=(n-2）*180/n° 考点: 1.正多边形和圆；2.三角形的外接圆与外心 【练2】 阅读下列材料： 已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：是定值． （1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整； 证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M． ∵△A1A2A3是等边三角形， ∴∠A3A1A2=60°， ∴∠A3A1P=∠A2A1M 又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P， ∴△A1A3P≌△A1A2M ∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1． ∴，是定值． （2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？ （3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则= 　（只写出结果）． 【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，理由见解析；（3） 【详解】 分析：（2）结论：是定值．在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．证明PA4=A4+PH=PA2+PA1，同法可证：PA3=PA1+PA2，推出（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，可得PA1+PA2=（-1）（PA3+PA4），即可解决问题； （3）结论：则．如图3-1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，如图3-2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，即可解决问题； 详解：（1）如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M． ∵△A1A2A3是等边三角形， ∴∠A3A1A2=60°， ∴∠A3A1P=∠A2A1M 又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P， ∴△A1A3P≌△A1A2M ∴PA3=MA2， ∵PM=PA1， ∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1． ∴，是定值． （2）结论：是定值． 理由：在A4P上截取AH=A2P，连接HA1． ∵四边形A1A2A3A4是正方形， ∴A4A1=A2A1， ∵∠A1A4H=∠A1A2P，A4H=A2P， ∴△A1A4H=△A1A2P， ∴A1H=PA1，∠A4A1H=∠A2A1P， ∴∠HA1P=∠A4A1A2=90° ∴△HA1P的等腰直角三角形， ∴PA4=HA4+PH=PA2+PA1， 同法可证：PA3=PA1+PA2， ∴（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4， ∴PA1+PA2=（-1）（PA3+PA4）， ∴． （3）结论：则． 理由：如图3-1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1． 由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形， ∴PH=PA4，即PA1+PA2=PA4， 如图3-2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3． 同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形， ∴PH=PA4，即PA5+PA3=PA4， ∴． 点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、正五边形的性质、全等三角形的判定和性质等正整数，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 一课一练 【练1】 如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是__________cm． 【答案】 【解析】已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30度，因而OM=OA•cos30°=cm． 正六边形的边心距是cm． 【练2】 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上任一点，则∠DEC的度数是（ ） A.30° B.45° C.60° D.80° 【答案】 B 【解析】连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝45°， ∴∠DEC＝∠DBC＝45°． 【练3】 正十二边形ABCDEFGHIJKL面积为36，则它的半径为________． 【答案】 【解析】正十二边形的半径将十二边形分成如图所示的十二个三角形， ∵正十二边形ABCDEFGHIJKL面积为36， ∴三角形OAB的面积为3， 其中心角为：， 即：∠O＝30°， 作BC⊥AO于点C， 设BC＝x，则OB＝OA＝2x， ∴ 解得：， ∴半径为． 【练4】 已知圆内接正方形的面积为，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积． 【答案】 【解析】如图，设是圆内接正方形的边长，是外切正三角形的边长，是外切正六边形的边长，连结． ∵是内接正方形的边长，内接正方形面积为，∴，∴．∵是外切正三角形的边长，∴，∴． ∵是外切正六边形的边长，∴，∴， ∴，∴． 【练5】 (1)已知：如图，是的内接正三角形，点为弧上一动点，求证： （2）如图，四边形是的内接正方形，点为弧上一动点，求证: （3）如图，六边形是的内接正六边形，点为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系，并给予证明. 【答案】见解析 【解析】（1）证明：延长至,使,连结. 是等边三角形.， 又 . （2）证明：过点作交于,, 又， . （3）答: 证明：在上截取,连结,,. 又， 【练6】 如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为_________. 【答案】100 -150 【分析】 此题是考查圆与正多边形结合的基本运算．阴影面积=总体面积-空白部分的面积． 【详解】 已知圆的半径为10，则面积为，空白正六边形为六个边长为2的正三角形，每个三角形面积为，则正六边形面积为，所以阴影面积为 故答案为： 【练7】 如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE的长为10，即PE+PF的最小值为10. 故答案为10. 【练8】 如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形)．若设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a=____；r：b=____；正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值是____．  【答案】1：1 ：2 3：4 【分析】 根据圆内接正六边形的边长等于它的半径可得r与a比值，在由圆的半径和正六边形的半边及正六边形对角线的一半组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得r与b的比值；根据相似多边形的面积比是相似比的平方，由r：a与r：b 可求a：b，继而即可求解． 【详解】 连接OE，OG，OF， ∵EF=a，T1为正六边形， ∴△OEF为等边三角形，OE为圆O的半径r， ∴a：r=1：1，即r：a=1：1①， 由题意可知：OG为∠FOE的平分线，即∠EOG=∠EOF=30°， 在Rt△OEG中，OE=r，OG=b， ∵==cos∠EOG=cos30°，即=， ∴r：b=：2②， ∴由①②得，a：b=：2，且两个正六边形T1，T2相似， ∴S1：S2=a2：b2=3：4， 故答案为：1：1；：2；3：4． 【点睛】 本题考查正多边形与圆的有关知识，解题的关键是学会构造由正多边形半径，边心距、半边组成的直角三角形，掌握锐角三角函数，注意相似多边形的面积比即是相似比的平方． 【练9】 如图，在边长为3的正方形ABCD中，圆O1与圆O2外切，且圆O1分别与DA、DC边相切，圆O2分别与BA、BC边相切，则圆心距O1O2为_____． 【答案】 【详解】 连接BD，则圆心O1、O2在BD上，设⊙P与正方形的切点为H、G， 设圆O1的半径为R，圆O2的半径为r， ∵且O1分别与DA、DC边相切，∴O1G⊥AD、O1H⊥DC． 又∵O1G= O1H=R，∴四边形GO1HD为正方形． ∴． 同理，． ∵AB=AD=3cm，∴． ∴DO1+ O1O2+BO2=BD=，即：． ∴． ∴圆心距O1O2为． 课后作业 【练1】 若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【解析】 多边形的内角和可以表示成（n-2）×180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解。此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解。 解法一：设所求正n边形边数为n， 则120°n=（n-2）×180°， 解得n=6； 解法二：设所求正n边形边数为n， ∵正n边形的每个内角都等于120°， ∴正n边形的每个外角都等于180°-120°=60°。 又因为多边形的外角和为360°， 即60°×n=360°， ∴n=6． 故选C。 【练2】 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　） A．2 cm B．cm C． cm D．1cm 【答案】A 【分析】 根据正六边形的内角度数可得出∠1＝30°，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解． 【详解】 如图：∵正六边形的任一内角为120°， ∴∠1＝30° ∴a＝2cos∠1＝， ∴a＝2． 故选：A． 【点睛】 本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键． 【练3】 已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 试题分析：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3， 因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C． 【考点】正多边形和圆． 【练4】 中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（ ） A．50° B．100° C．180° D．200° 【答案】C 【解析】 如图， ∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，∠1+∠2+∠A=180°， ∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°． 即五角星五个锐角的度数和是180°. 故选C． 【练5】 将边长为3cm的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】B 【解析】 【分析】 可画出草图解题，新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的中点，连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积六个小正三角形的面积之和． 【详解】 解：∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的中点， ∴连接AH，CF，BN，可以看出新的正六边形EFGHMN的面积是六个小正三角形的面积之和， ∴小正三角形的边长为cm， ∴每个小正三角形的面积是cm2， ∴新的正六边形的面积等于×6＝． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了正三角形的性质及三角形的面积公式． 【练6】 如图，在△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOR=（ ） A．60° B．65° C．72° D．75° 【答案】D 【解析】 试题分析：作辅助线连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数． 连接OD，AR， ∵△PQR是⊙O的内接正三角形， ∴∠PRQ=60°， ∴∠POQ=2×∠PRQ=120°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∴∠AOD=90°， ∵BC∥RQ，AD∥BC， ∴AD∥QR， ∴∠ARQ=∠DAR， ∴， ∵△PQR是等边三角形， ∴PQ=PR， ∴， ∴， ∴∠AOP=∠AOD=45°， 所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°． 故选D． 考点: 正多边形和圆． 【练7】 已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 【答案】D 【解析】 试题分析：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD=OC+OD； 在直角△OCD中，∠DOC=60°，则OD：OC=1：2，因而OD：OC：AD=1：2：3， 所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选D． · 考点：正多边形和圆． · 【练8】 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为_____． 【答案】2：． 【分析】 从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线，构建直角三角形，解三角形即可． 【详解】 解：设正六边形的半径是r， 则外接圆的半径r， 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r， 因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：． 故答案为2：． 【点睛】 考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形． 【练9】 半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可． 【详解】 设圆的半径为R，  如图（一），  连接OB，过O作OD⊥BC于D，  则∠OBC=30°，BD=OBcos30°= R，  故BC=2BD=R；  如图（二），  连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，  则△OBE是等腰直角三角形，  2BE2=OB2，即BE= ，  故BC= R；  如图（三），  连接OA、OB，过O作OG⊥AB，  则△OAB是等边三角形，  故AG=OAcos60°= R，AB=2AG=R，  故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R= ：：1．  【点睛】 本题考查了圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键． 【练10】 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则这个正八边形的面积为 【答案】40 【解析】取AE中点I， 则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40． 【练11】 如图，正六边形的边长为，点为六边形内任一点．则点到各边距离之和是多少？ 【答案】18. 【分析】 过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，由正六边形的性质可求出BD的长，而点P到AF与CD的距离之和，P到EF、BC的距离之和均为BD的长，据此得出结论． 【详解】 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长． ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴∠DBH=120°－30°=90°，∴BD∥HK，且BD=HK． ∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2×=6，∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18． 【点睛】 本题主要考查的是正多边形及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用数形结合思想求解是解答此题的关键． 【练12】 如图，为等边的外接圆，半径为2，点 在劣弧上运动（不与点重合），连接，，． （1）求证：是的平分线； （2）四边形 的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值． 【答案】(1)详见解析；(2)是， ；(3) 【分析】 (1)根据等弧对等角的性质证明即可； (2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积； (3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出． 【详解】 (1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC， ∴,都为圆， ∴∠AOC=∠BOC=120°， ∴∠ADC=∠BDC=60°， ∴DC是∠ADB的角平分线． (2)是． 如图，延长DA至点E，使得AE=DB． 连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC． ∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC， ∴△EAC≌△DBC(SAS)， ∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°， 故△EDC是等边三角形， ∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为 ∴． (3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性 C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2． ∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2, 由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA, ∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°． ∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°， 在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2， 则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=， 同理D2H= ∴t=D1D2=． ∴x取最大值时,t取最大值． 即D与O、C共线时t取最大值,x=4． 所有t值中的最大值为． 【点睛】 本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 圆与正多边形 课程目标 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 精讲精练 模块一 正多边形的概念与性质 知识概述 一、正多边形的概念 相等， 也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件： (1) 相等； (2) 相等；缺一不可. 如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 ． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 ． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释： 要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的性质 1.正多边形都 外接圆，圆有 个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 个全等的直角三角形. 3.正多边形都是 图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心； 当边数是偶数时，它也是 图形，它的 就是对称中心. 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有 外接圆和 内切圆，这两个圆是 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 例题精讲 【例1】 下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为的六边形是正六边形；⑤边数相同的正边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________． 【例2】 如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t=　 　s时，四边形PBQE为菱形； ②当t=　 　s时，四边形PBQE为矩形． 【例3】 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M． (1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE． 【练1】 如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为　 　． 【练2】 同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（　　） A．3：4 B．：2 C．2： D．1：2 模块二 正多边形有关计算 知识概述 正多边形有关的计算 1. 正边形的每个内角都等于； 2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于； 3. 设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为；则： 例题精讲 【例1】 已知正六边形的边心距为，则它的半径为（ ） A.2 B.4 C. D. 【例2】 半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为________． 【例3】 正五边形需要旋转（ ）后才能与自身重合． A.36° B.45° C.60° D.72° 【例4】 已知正n边形的中心角为60°，则n的值为________；若其边心距为；则它的边长为________；面积为________． 【例5】 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线． （1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由； （2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积． 【例6】 如图所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的． 【例7】 如图、、、…..、，、分别是的内接正三角形、正方形、五边形、…..、正边形…..的边、上的点，且，连接、． （1）求图中的度数； （2）图中的度数是____________，图中的度数是____________； （3）试探究的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）． 【练1】 已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【练2】 如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　　　　　　． 【练3】 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（　　） A.a4＞a2＞a1 B.a4＞a3＞a2 C.a1＞a2＞a3 D.a2＞a3＞a4 【练4】 如图，是的内接正方形，是半圆的内接正方形，那么正方形与正方形的面积之比为____________． 【练5】 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【练6】 如下图，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC的面积的． 附加题 【练1】 如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动． （1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）； （2）写出图②中∠APN的度数和图 ③中∠APN的度数 （3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 【练2】 阅读下列材料： 已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：是定值． （1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整； 证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M． ∵△A1A2A3是等边三角形， ∴∠A3A1A2=60°， ∴∠A3A1P=∠A2A1M 又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P， ∴△A1A3P≌△A1A2M ∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1． ∴，是定值． （2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？ （3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则= 　（只写出结果）． 一课一练 【练1】 如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是__________cm． 【练2】 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上任一点，则∠DEC的度数是（ ） A.30° B.45° C.60° D.80° 【练3】 正十二边形ABCDEFGHIJKL面积为36，则它的半径为________． 【练4】 已知圆内接正方形的面积为，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积． 【练5】 (1)已知：如图，是的内接正三角形，点为弧上一动点，求证： （2）如图，四边形是的内接正方形，点为弧上一动点，求证: （3）如图，六边形是的内接正六边形，点为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系，并给予证明. 【练6】 如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为_________. 【练7】 如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【练8】 如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形)．若设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a=____；r：b=____；正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值是____．  【练9】 如图，在边长为3的正方形ABCD中，圆O1与圆O2外切，且圆O1分别与DA、DC边相切，圆O2分别与BA、BC边相切，则圆心距O1O2为_____． 课后作业 【练1】 若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【练2】 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　） A．2 cm B．cm C． cm D．1cm 【练3】 已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【练4】 中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（ ） A．50° B．100° C．180° D．200° 【练5】 将边长为3cm的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【练6】 如图，在△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOR=（ ） A．60° B．65° C．72° D．75° 【练7】 已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 【练8】 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为_____． 【练9】 半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为________． 【练10】 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则这个正八边形的面积为 【练11】 如图，正六边形ABCDEF的边长为，点为六边形内任一点．则点到各边距离之和是多少？ 【练12】 如图，为等边的外接圆，半径为2，点 在劣弧上运动（不与点重合），连接，，． （1）求证：是的平分线； （2）四边形 的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$