2025—2026学年人教版数学九年级上册-暑假讲义第12讲-切线定理与切线长定理

第12讲 切线定理与切线长定理 课程目标 1. 理解圆的切线性质与判定方法； 2. 了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义； 3. 掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 精讲精练 模块一 切线的性质与判定 知识概述 1．切线的判定定理： 　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 　　圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 例题精讲 切线的性质 【例1】 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（　　） A.20° B.25° C.40° D.50° 【答案】 D 【解析】如图，连接OA， ∵AC是⊙O的切线， ∴∠OAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=20°， ∴∠AOC=40°， ∴∠C=50°． 【例2】 如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ） A.25° B.40° C.50° D.65° 【答案】 B 【解析】连接OC， ∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°， ∴AB是直径， ∵∠A＝25°， ∴∠BOC＝2∠A＝50°， ∵CD是圆O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠D＝90°－∠BOC＝40°． 【例3】 如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F． （1）求证：∠ABC＝2∠CAF； （2）已知，EB＝4CE，求⊙O的直径 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】（1）如图，连接BD． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＋∠ABD＝90°． ∵AF是⊙O的切线， ∴∠FAB＝90°， 即∠DAB＋∠CAF＝90°． ∴∠CAF＝∠ABD． ∵BA＝BC，∠ADB＝90°， ∴∠ABC＝2∠ABD． ∴∠ABC＝2∠CAF． （2）如图，连接AE， ∴∠AEB＝90°， 设CE＝x， ∵CE：EB＝1：4， ∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x， 在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2， 即， ∴x＝2． ∴BA＝10． 【例4】 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E为AB上一点，∠C＝∠BEO，O是BC上一点，以D为圆心，OB长为半径作⊙O，AC是⊙O的切线． （1）求证：OE＝OC；（2）若BE＝4，BC＝8，求OE的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】（1）设AC切⊙O于Q，连接OQ， ∵AC是⊙O的切线， ∴∠CQO＝90°， 在△OQC和△OBE中， ∵∠B＝∠CQO＝90°∠C＝∠BEO BO＝OQ， ∴△OQC≌△OBE， ∴OC＝OE； （2）设OE＝OC＝x，则BO＝8－x， 在Rt△OQC中 OQ2＋QC2＝OC2， ∴42＋（8－x）2＝x2， ∴x＝5． 【练1】 如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠P=26°，则∠ABC的度数为（ ） A.26° B.64° C.32° D.90° 【答案】 C 【解析】连接OA． ∴∠PAO=90°， ∵∠O=90°﹣∠P=64°， ∴∠B=∠O=32°． 【练2】 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（ ） A. B. C.5 D. 【答案】 A 【解析】过点D作OD⊥AC于点D， ∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A， ∴AB⊥AP， ∴∠BAP=90°， ∵∠P=30°， ∴∠AOP=60°， ∴∠AOC=120°， ∵OA=OC， ∴∠OAD=30°， ∵AB=10， ∴OA=5， ∴OD=AO=2.5， ∴AD=， ∴AC=2AD=， 【练3】 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】 A 【解析】根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM=PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数． 解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B， ∴B（0，4）， ∴OB=4， 在RT△AOB中，∠OAB=30°， ∴OA=OB=×4=12， ∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB， ∴PM=PA， 设P（x，0）， ∴PA=12﹣x， ∴⊙P的半径PM=PA=6﹣x， ∵x为整数，PM为整数， ∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数， ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6． 切线的判定 【例1】 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ） A. B. C. D.AC∥OD 【答案】 A 【解析】当时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴， ∵， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． 所以B正确． 当时，，∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC ∵DE⊥AC ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线． 所以C正确． 当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD． ∴DE是⊙O的切线． 所以D正确． 【例2】 如图，是的直径，是切线，是垂直于的弦，垂足为点，过点作的平行线与相交于点，已知，． （1）求的长； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）连接， ∵是的直径，， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 在中，； （2）连接、， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 即， ∵点在上， ∴是的切线． 【例3】 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE． （1）说明点D在△ABE的外接圆上； （2）若∠AED＝∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）直线CD与△ABE的外接圆相切，理由见解析 【解析】（1）证法一：∵∠B＝90°， ∴AE是△ABE外接圆的直径． 取AE的中点O，则O为圆心，连接OB、OD． 在△AOB和△AOD中， ， ∴△AOB≌△AOD． ∴OD＝OB． ∴点D在△ABE的外接圆上． 证法二：∵∠B＝90°， ∴AE是△ABE外接圆的直径． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE． ∴∠ADE＝∠B＝90°． 取AE的中点O，则O为圆心，连接OD，则． ∴点D在△ABE的外接圆上． （2）证法一：直线CD与△ABE的外接圆相切． ∵AB∥CD，∠B＝90度．∴∠C＝90°． ∴∠CED＋∠CDE＝90°． 又∵OE＝OD， ∴∠ODE＝∠OED． 又∠AED＝∠CED， ∴∠ODE＝∠DEC． ∴∠ODC＝∠CDE＋∠ODE＝∠CDE＋∠CED＝90°． ∴CD与△ABE的外接圆相切． 证法二：直线CD与△ABE的外接圆相切． 理由：∵AB∥CD，∠B＝90度．∴∠C＝90°． 又∵OE＝OD， ∴∠ODE＝∠OED． 又∠AED＝∠CED， ∴∠ODE＝∠DEC． ∴OD∥BC． ∴∠ODC＝90°． ∴CD与△ABE的外接圆相切． 【练1】 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）证明：连结OA、OD，如图， ∵D为BE的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BE， ∴∠D+∠DFO=90°， ∵AC=FC， ∴∠CAF=∠CFA， ∵∠CFA=∠DFO， ∴∠CAF=∠DFO， 而OA=OD， ∴∠OAD=∠ODF， ∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°， ∴OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵圆的半径R=5，EF=3， ∴OF=2， 在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2， ∴DF==． 【练2】 如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形． （1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，请说明理由； （2）若⊙O半径为1，求AD的长． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）2 【解析】（1）是，理由如下： 如图，连接OB． ∵四边形BCOE为平行四边形， ∴ED∥BC，OE＝BC， ∵OE＝OD， ∴OD＝BC， ∴四边形ODCB是平行四边形， ∵AD为圆O的切线， ∴OD⊥AD， ∴四边形BCDO为矩形， ∴OB⊥BC， 则BC为圆O的切线． （2）∵四边形BCDO为矩形，OD＝OB， ∴四边形BCDO是正方形， ∴OD＝DC＝1， ∵C为AD的中点， ∴AD＝2CD＝2． 模块二 切线长定理 知识概述 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 例题精讲 【例1】 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ） A.8 B.6 C.12 D.10 【答案】 C 【解析】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC＋CD＋PD＝PC＋CE＋DE＋PD＝PA＋AC＋PD＋BD＝PA＋PB＝6＋6＝12， 即△PCD的周长为12． 【例2】 如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ） A.3 B. C.6 D. 【答案】 D 【解析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB， 由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC， ∴∠OAB=60°， 在Rt△ABO中，， ∴光盘的直径为． 【例3】 如图，⊙O与△ADE各边所在的直线分别相切于B、F、C，DE⊥AE，AD＝10，AE＝6． （1）求BE＋CD的值； （2）求⊙O的半径r． 【答案】（1）8 （2）6 【解析】（1）连接OF，OB， 则四边形OFEB是正方形， ∵O与△ADE各边所在的直线分别相切于B、F、C， ∴CD＝DF，EF＝BE， ∴DE＝DF＋EF＝CD＋BE＝8； （2）设圆的半径是x，则EF＝BE＝x，设DF＝y，则DF＝CD＝y． 在直角△ADE中，， 则x＋y＝8，， 解方程组：；， 解得：． 即⊙O的半径是6． 【例4】 如图所示，⊙O内切△ABC，切点分别为M，G，N，DE切0D于F点，交AC，AB于点D，E，若△ABC的周长为l2，BC=2，则△ADE的周长是______． 【答案】8 【解析】依据切线长定理可得到BM=BG、CG=CN、EM=EF、DF=DN，然后由BC的长和△ABC的周长可求得AM+AN的长，最后将△AED的周长转化为AM+AN的长求解即可． 解：∵⊙O内切△ABC， ∴BM=BG、CG=CN、EM=EF、DF=DN． ∵BC=2， ∴BM+CN=2． 又∵△ABC的周长为12， ∴AM+AN=△ABC的周长﹣MB﹣BC﹣NC=12﹣4=8． ∵EF=EM，DF=DN， ∴△ADE的周长=AM+AN=8． 【练1】 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P＝70°，则∠C的大小为（ ）度 A.45 B.50 C.55 D.60 【答案】 C 【解析】连接OA，OB， ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠P－∠PBO＝360°－90°－70°－90°＝110°， ∴.所以C选项是正确的． 【练2】 如图所示，直线PA，PB是⊙O的两条切线，A，B分别为切点，∠APB=120°，OP=10cm，则弦AB的长为（ ） A.5cm B.5cm C.10cm D.cm 【答案】 A 【解析】连OA，OB， ∵直线PA，PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∵∠APB=120°， ∴∠AOB=60°， ∵OA=OB， 则△AOB为等边三角形， 由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得： PA=5cm， 再由勾股定理OA==5cm， 从而得AB=5（cm）． 模块三 三角形的内切圆 知识概述 1．三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．直角三角形内切圆的半径与三边的关系： 设分别为中的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则． 例题精讲 【例1】 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为，则其内切圆半径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】∵等腰直角三角形外接圆半径为， ∴此直角三角形的斜边长为2，两条直角边分别为2， ∴它的内切圆半径为：R=（2+2﹣2）=2﹣． 【例2】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（　　） A.3步 B.5步 C.6步 D.8步 【答案】 C 【解析】根据勾股定理得：斜边为=17， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步， 【练1】 △ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ） A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 【答案】 D 【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OD=OE=OF， ∴点O是△DEF的外心， ∴O是△DEF三边垂直平分线的交点； 故选D． 【练2】 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=____． 【答案】2 【解析】 如图； 在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8； 根据勾股定理AB==10； 四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°； ∴四边形OECF是正方形； 由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF； ∴CE=CF=（AC+BC-AB）； 即：r=（6+8-10）=2． 【练3】 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠A＝80°，点P为⊙O上任意一点（不与E、F重合），则∠EPF＝________． 【答案】50°或130° 【解析】有两种情况： ①当P在弧EDF上时，∠EPF＝∠ENF， 连接OE、OF， ∵圆O是△ABC的内切圆， ∴OE⊥AB，OF⊥AC， ∴∠AEO＝∠AFO＝90°， ∵∠A＝80°， ∴∠EOF＝360°－∠AEO－∠AFO－∠A＝100°， ∴∠ENF＝∠EPF＝∠EOF＝50°， ②当P在弧EMF上时，∠EPF＝∠EMF， ∠FPE＝∠FME＝180°－50°＝130°． 附加题 【练1】 【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长． 【答案与解析】 证明：（1）如图1，连接FO， ∵F为BC的中点，AO=CO， ∴OF∥AB， ∵AC是⊙O的直径， ∴CE⊥AE， ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE， ∴OF所在直线垂直平分CE， ∴FC=FE，OE=OC， ∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE， ∵∠ACB=90°， 即：∠0CE+∠FCE=90°， ∴∠0EC+∠FEC=90°， 即：∠FEO=90°， ∴FE为⊙O的切线； （2）如图2，∵⊙O的半径为3， ∴AO=CO=EO=3， ∵∠EAC=60°，OA=OE， ∴∠EOA=60°， ∴∠COD=∠EOA=60°， ∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3， ∴CD=， ∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°， CD=，AC=6， ∴AD=． 【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键． 【练2】 想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知，则点为的准外心（如图）． 如图，为正三角形的高，准外心在高上，且，求的度数． 如图，若为直角三角形，，，，准外心在边上，试探究的长． 【答案】∠APB=90°；（2）PA=或6． 【解析】 【分析】 （1）利用分类讨论：①若PB=PC，②若PA=PC，③若PA=PB，进而求出即可； （2）利用分类讨论：①若PB=PA，②若PA=PC，③若PC=PB，进而求出即可． 【详解】 （1）①若PB=PC，连结PB，则∠PCB=∠PBC． ∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB． 与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC． ②若PA=PC，连结PA， 则∠PCA=∠PAC． ∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCA=30°， ∴∠PAD=∠PAC=30°，∴PD=DA=AB． 与已知PD=AB矛盾，∴PA≠PC． ③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD， ∴∠BPD=45°， 故∠APB=90°； （2）①若PB=PA，设PA=x， ∵∠C=90°，AB=13，BC=5， ∴AC=12，则CP=12-x， ∴x2=（12-x）2+52， ∴解得：x=，即PA=． ②若PA=PC，则PA=6． ③若PC=PB，由图知， 在Rt△PBC中，不可能， 故PA=或6． 【点睛】 考查了勾股定理以及三角形外心的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 一课一练 【练1】 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（　　） A.55° B.60° C.65° D.70° 【答案】 C 【解析】∵∠A=100°，∠C=30°， ∴∠B=50°， ∵∠BDO=∠BEO， ∴∠DOE=130°， ∴∠DFE=65°． 【练2】 如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（　　） A.5 B.6 C. D. 【答案】 B 【解析】 连接OM、ON， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=11，∠A=90°， ∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切， ∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A， ∵OM=ON， ∴四边形ANOM是正方形， ∴AM=OM=5， ∵AD和DE与圆O相切，圆O的半径为5， ∴AM=5，DM=DE， ∴DE=11﹣5=6， 故选B． 【练3】 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ） A.9 B.10 C.12 D.14 【答案】 D 【解析】根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14． 【练4】 如图，AC是⊙O的切线，C是切点，线段OA交⊙O于点B，且，点P是⊙O上的一个动点，那么∠CAP的最大值是（ ） A.90° B.30° C.120° D.60° 【答案】 D 【解析】连接OC，则， 又∵，， ∴，即， ∴， 当∠CAP最大时，AP和圆相切， 则． 【练5】 如图，等边三角形ABC的内切圆的面积9π，则△ABC的周长为 　． 【答案】18． 【解析】设圆和BC的切点是D，连接OB，OD，则： ∵内切圆的面积是9π， ∴内切圆的半径OD=3； ∵∠OBD=30°， ∴BD=3， ∴BC=6， ∴△ABC的周长是18． 【练6】 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为________． 【答案】 【解析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F． ∵AB、BC是⊙O的切线， ∴点E、F是切点， ∴OE、OF是⊙O的半径； ∴OE＝OF； 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴由勾股定理，得BC＝4； 又∵D是BC边的中点， ∴S△ABD＝S△ACD， 又∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD， ∴，即5×OE＋2×OE＝2×3， 解得， ∴⊙O的半径是． 【练7】 如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C， （1）求证：OD∥BE； （2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长． 【答案】（1）见解析（2）10cm 【解析】（1）证明：连接OE， ∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径， ∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，…（2分） ∴∠AOD=∠EOD=∠AOE， ∵∠ABE=∠AOE， ∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE； …（5分） （2）由（1）得：∠AOD=∠EOD=∠AOE， 同理，有：∠BOC=∠EOC=∠BOE， ∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°， ∴∠EOD+∠EOC=90°， ∴△DOC是直角三角形，…（7分） ∴CD==10（cm）．…（9分） 【练8】 如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE． （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线． 【答案】证明见解析 【解析】（1）连接CD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， 即CD⊥AB， ∵AD=DB，OC=5， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴AC=BC=2OC=10； （2）证明：连接OD，如图所示， ∵∠ADC=90°，E为AC的中点， ∴DE=EC=AC， ∴∠1=∠2， ∵OD=OC， ∴∠3=∠4， ∵AC切⊙O于点C， ∴AC⊥OC， ∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°， 即DE⊥OD， ∴ED是⊙O的切线． 【练9】 如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB． （1）求BC的长； （2）求证：PB是⊙O的切线． 【答案】（1）2（2）见解析 【解析】 （1）解：连接OB， ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴弧BC与弧AC的度数为：60°，∴∠BOC=60°， ∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OC=2； （2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP，∴∠CBP=∠CPB， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OBC=∠OCB=60°， ∴∠CBP=30°， ∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°， ∴OB⊥BP， ∵点B在⊙O上， ∴PB是⊙O的切线． 补：证明：∵OC=CP=2，∴OP=4， 由（1）可知：BC=OC=2，∴BC=OP，∠BOC=60°， ∴△OBP是直角三角形，∴∠OBP=90°，∴OB⊥BP， ∴PB是⊙O的切线． 【练10】 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的直线分别交AB，AC的延长线于点E，F，AF⊥EF． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）小强同学通过探究发现：AF＋CF＝2AO，请你帮助小强同学证明这一结论． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1）连接OD，如图， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AF， 而AF⊥EF， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线； （2）连接CD、BD，作DH⊥AB于H，如图， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AF，DH⊥AB， ∴DF＝DH， 在Rt△ADF和△ADH中 ， ∴Rt△ADF≌△ADH， ∴AF＝AH， ∵∠BAD＝∠DAC， ∴， ∴CD＝BD， 在Rt△DCF和Rt△DBH中 ， ∴Rt△DCF≌Rt△DBH， ∴CF＝BH， ∴AF＋CF＝AH＋BH＝AB＝2OA． 课后作业 【练1】 下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 【答案】C 【分析】 根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果． 【详解】 由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确； 由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确； 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确； 由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D正确． 故选C． 【点睛】 本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键． 【练2】 △ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（ ） A．（a＋b＋c）r B．2（a＋b＋c） C．（a＋b＋c）r D．（a＋b＋c）r 【答案】A 【分析】 首先根据题意画出图，观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算． 【详解】 如图，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=ABr+BCr+ACr=（AB+BC+AC）r =（a+b+c）r ， 故选A. 【点睛】 本题考查三角形的内切圆与内心．解决本题的关键是将求△ABC转化为求S△AOB、S△BOC、S△AOC． 【练3】 如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ ） A．150° B．130° C．155° D．135° 【答案】B 【详解】 试题分析：根据切线的性质可得：∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形的内角和定理可得：∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°，则∠AOB=360°－90°－90°－50°=130°． 考点：切线的性质、四边形的内角和 【练4】 如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( ) A．70° B．90° C．60° D．45° 【答案】B 【分析】 由于AD、DC、CB都是⊙O的切线，根据切线长定理知：∠ADO=∠CDO，∠DCO=∠BCO；而AD∥BC，则2∠ODC和2∠OCD互补，由此可求得∠DOC的度数． 【详解】 ∵DA、CD、CB都与⊙O相切， ∴∠ADO=∠ODC，∠OCD=∠OCB； ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°； ∴∠ODC+∠OCD=90°，即∠DOC=90°； 故选B． 【点睛】 此题主要考查的是切线长定理及平行线的性质，准确的确定角的关系是解题关键． 【练5】 如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为 O P A A．1 B. C.2 D.4 【答案】C 【解析】解：连接AO，则∠OAP=90°，又因为∠APO=30°，所以AO=1/2PO， 设AO=x，则PO=2X，根据勾股定理，(2X)² -X² =(2）² 解得x=2，即半径为2，故选C。 【练6】 如图:⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点，若∠DEF=50º，则∠A等于（ ） A．40º B．50º C．80º D．100º 【答案】C 【详解】 连接OD、OF；∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OF⊥AC； 又∵⊙O中，∠DOF=2∠DEF=100°，四边形DOFA中，∠ODA=∠OFA=90°， ∴∠A=180°-∠DOF=80°，故选C． 【练7】 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________． 【答案】52 【分析】 利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得． 【详解】 根据圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍， ∴AB+BC+CD+AD=52 故填：52 【点睛】 此题主要考查了圆外切四边形的性质，对边和相等． 【练8】 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度． 【答案】115° 【解析】 试题分析：由三角形内切定义可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的值． 解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣50°）=65°， ∴∠BOC=180°﹣65°=115°． 考点：三角形的内切圆与内心． 【练9】 如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为、，线段ED的长为，则的值为___ 【答案】8π 【解析】 过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，根据垂径定理及勾股定理可得的值，再根据两个半圆相切的性质即可求得结果． 【练10】 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点. 求证：直线EF是半圆O的切线. 【答案】证明见解析. 【分析】 连接OF，CF，由直径所对的圆周角是直角可得∠AFC=∠BFC=90°，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EF=EC，进而得到∠EFC=∠ECF，然后利用等量代换求证∠EFO=90°，得出OF⊥EF即可得证. 【详解】 证明：如图，连接OF，CF， ∵AC是直径， ∴∠AFC=90°， ∴∠BFC=90°， 又∵E是BC的中点， ∴EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF， ∵OC=OF， ∴∠OFC=∠FCO， ∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°， ∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°， ∴OF⊥EF， ∴EF是⊙O的切线. 【点睛】 本题考查圆的切线证明，熟练掌握“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”是解决此类问题的关键. 【练11】 在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证： （1）DE是⊙O的切线； （2）AB＝AC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）连接OD，根据题意可得OD是△ABC的中位线，即OD∥AC，进而可证DE⊥OD，根据切线的判定即可得证； （2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，再根据垂直平分线的性质即可得证. 【详解】 证明：（1）连接OD， ∵O是AB的中点，D是BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵D是BC的中点， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC． 【点睛】 本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，中位线等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 【练12】 如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长． ​ 【答案】16cm. 【分析】 直接利用切线长定理进而求出PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，即可得出答案． 【详解】 解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点， ∴PA=PB，EA=EQ，FB=FQ， ∵PA=8cm， ∴△PEF的周长为：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16（cm） 【点睛】 考查了切线长定理，根据题意得出PE+EF+PF=PA+PB是解题关键． 【练13】 我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形． （1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)； （2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)； （3）用文字叙述上面证明的结论： ； （4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长． 【答案】（1）=；（2）答案见解析；（3）圆外切四边形的对边之和相等；（4）4；10；12；6 【分析】 （1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； （3）由（2）可得出答案； （4）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论． 【详解】 （1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H， ∴猜想AB＋CD＝AD＋BC， 故答案为：＝． （2）已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H， 求证：AD＋BC＝AB＋CD， 证明：∵AB，AD和⊙O相切， ∴AG＝AH， 同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH， ∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝AG＋BG＋CE＋DE＝AB＋CD， 即：圆外切四边形的对边和相等． （3）由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等． 故答案为：圆外切四边形的对边和相等； （4）∵相邻的三条边的比为2：5：6， ∴设此三边为2x，5x，6x， 根据圆外切四边形的性质得，第四边为2x＋6x−5x＝3x， ∵圆外切四边形的周长为32， ∴2x＋5x＋6x＋3x＝16x＝32， ∴x＝2， ∴此四边形的四边的长为2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6． 即此四边形各边的长为：4，10，12，6． 【点睛】 此题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切四边形的性质，四边形的周长，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． 【练14】 如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E． （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE为⊙O的切线． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】 （1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC； （2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可． 【详解】 （1）连接AD； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． 又∵DC=BD， ∴AD是BC的中垂线． ∴AB=AC． （2）连接OD； ∵OA=OB，CD=BD， ∴OD∥AC． ∴∠ODE=∠CED． 又∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°． ∴∠ODE=90°，即OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线． 考点：切线的判定 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 切线定理与切线长定理 课程目标 1. 理解圆的切线性质与判定方法； 2. 了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义； 3. 掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 精讲精练 模块一 切线的性质与判定 知识概述 1．切线的判定定理： 　　经过半径的 并且 的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆 ，二是直线与过交点的半径 ，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 　　圆的切线 . 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 例题精讲 切线的性质 【例1】 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（　　） A.20° B.25° C.40° D.50° 【例2】 如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ） A.25° B.40° C.50° D.65° 【例3】 如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F． （1）求证：∠ABC＝2∠CAF； （2） 已知，EB＝4CE，求⊙O的直径 【例4】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E为AB上一点，∠C＝∠BEO，O是BC上一点，以D为圆心，OB长为半径作⊙O，AC是⊙O的切线． （1）求证：OE＝OC；（2）若BE＝4，BC＝8，求OE的长． 【练1】 如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠P=26°，则∠ABC的度数为（ ） A.26° B.64° C.32° D.90° 【练2】 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（ ） A. B. C.5 D. 【练3】 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 切线的判定 【例1】如图，是⊙的直径，交⊙于点，⊥于点，要使是⊙的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ） A. B. C. D.∥ 【例2】如图，是的直径，是切线，是垂直于的弦，垂足为点，过点作的平行线与相交于点，已知，． （1）求的长； （2） 求证：是的切线． 【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE． （1）说明点D在△ABE的外接圆上； （2） 若∠AED＝∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由． 【练1】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2） 已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长． 【练2】如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形． （1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，请说明理由； （2）若⊙O半径为1，求AD的长． 模块二 切线长定理 知识概述 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线， 的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分 . 要点诠释： 　　切线长定理包含两个结论： 相等和 相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的 相等. 例题精讲 【例1】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ） A.8 B.6 C.12 D.10 【例2】如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ） A.3 B. C.6 D. 【例3】如图，⊙O与△ADE各边所在的直线分别相切于B、F、C，DE⊥AE，AD＝10，AE＝6． （1）求BE＋CD的值； （2） 求⊙O的半径r． 【例4】如图所示，⊙O内切△ABC，切点分别为M，G，N，DE切0D于F点，交AC，AB于点D，E，若△ABC的周长为l2，BC=2，则△ADE的周长是______． 【练1】如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P＝70°，则∠C的大小为（ ）度 A.45 B.50 C.55 D.60 【练2】如图所示，直线PA，PB是⊙O的两条切线，A，B分别为切点，∠APB=120°，OP=10cm，则弦AB的长为（ ） A.5cm B.5cm C.10cm D.cm 模块三 三角形的内切圆 知识概述 1．三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．直角三角形内切圆的半径与三边的关系： 设分别为中的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则． 例题精讲 【例1】若等腰直角三角形的外接圆半径的长为，则其内切圆半径的长为（ ） A. B. C. D. 【例2】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（　　） A.3步 B.5步 C.6步 D.8步 【练1】△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ） A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 【练2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=____． 【练3】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠A＝80°，点P为⊙O上任意一点（不与E、F重合），则∠EPF＝________． 附加题 【练1】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长． 【练2】想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知，则点为的准外心（如图）． 如图，为正三角形的高，准外心在高上，且，求的度数． 如图，若为直角三角形，，，，准外心在边上，试探究的长． 一课一练 【练1】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（　　） A.55° B.60° C.65° D.70° 【练2】如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（　　） A.5 B.6 C. D. 【练3】如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ） A.9 B.10 C.12 D.14 【练4】如图，是⊙的切线，是切点，线段交⊙于点，且，点是⊙上的一个动点，那么∠的最大值是（ ） A.90° B.30° C.120° D.60° 【练5】如图，等边三角形ABC的内切圆的面积9π，则△ABC的周长为 　． 【练6】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为________． 【练7】如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C， （1）求证：OD∥BE； （2） 如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长． 【练8】如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE． （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2） 求证：ED是⊙O的切线． 【练9】如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB． （1）求BC的长； （2） 求证：PB是⊙O的切线． 【练10】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的直线分别交AB，AC的延长线于点E，F，AF⊥EF． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）小强同学通过探究发现：AF＋CF＝2AO，请你帮助小强同学证明这一结论． 课后作业 【练1】 下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 【练2】 △ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（ ） A．（a＋b＋c）r B．2（a＋b＋c） C．（a＋b＋c）r D．（a＋b＋c）r 【练3】 如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ ） A．150° B．130° C．155° D．135° 【练4】 如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( ) A．70° B．90° C．60° D．45° 【练5】 如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为 O P A A．1 B. C.2 D.4 【练6】 如图:⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点，若∠DEF=50º，则∠A等于（ ） A．40º B．50º C．80º D．100º 【练7】 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________． 【练8】 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度． 【练9】 如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为、，线段ED的长为，则的值为___ 【练10】 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点. 求证：直线EF是半圆O的切线. 【练11】 在△中，以为直径作⊙，⊙交的中点，过点作⊥，垂足为．求证： （1）是⊙的切线； （2）＝． 【练12】 如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长． ​ 【练13】 我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形． （1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)； （2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)； （3）用文字叙述上面证明的结论： ； （4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长． 【练14】 如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E． （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE为⊙O的切线． 学科网（北京）股份有限公司 $$