2024-2025学年人教版九年级数学上册暑假-第11讲-与圆有关的位置关系

第11讲 与圆有关的位置关系 课程目标 1. 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念. 2. 理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题． 精讲精练 模块一 点与圆的位置关系 知识概述 一、点与圆的位置关系： 1.确定圆的条件 （1）圆心(定点)，确定圆的位置； （2）半径(定长)，确定圆的大小． 注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 2.点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （2）设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在上 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部 二、过已知点的圆： 1. 过已知点的圆 （1）过一点的圆有无数个；圆心为平面内除点以外的任意一点． （2）过两点的圆有无数个；这些圆的圆心在线段的垂直平分线上． （3）过三点的圆； 若点共线，则过三点的圆不存在；若点不共线，则存在唯一的圆过三点，且圆心为线段、、中垂线的交点。 （4）过（）个点的圆；可做个或个. 2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 （1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2）“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 例题精讲 利用数量关系推到点和圆的位置关系 【例1】 在平面直角坐标系中，如果⊙O是以原点为圆心，以为半径的圆，那么点（ ） A.在⊙O内 B.在⊙O外 C.在⊙O上 D.不能确定 【答案】 C 【解析】本题中，点到圆心的距离，即到原点的距离等于，而圆的半径也为，故点在圆上 【例2】 在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C_____；点B在⊙C________；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O_______． 【答案】上；外；上 【解析】∵⊙C的半径为2cm，而cm，cm， ∴点A在⊙C上；点B在⊙C外； ∵点C到AB的中点的距离等于， ∴点C在以AB为直径的⊙O上． 【例3】 如图，中，，，、分别是，的中点，，垂足为，以为圆心，为半径画圆，判断，，，，各点和的位置关系． 【答案】，，在上，，在外 【解析】中，，， ， 、分别是，的中点 在上，在外． 【例4】 已知：如图，△ABC中，，cm，cm，CM是中线，以C为圆心，以cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？ 【答案】点A在⊙O内，点B在⊙C外，M点在⊙C上． 【解析】根据勾股定理，有（cm）； ∵cmcm， ∴点A在⊙O内； ∵cmcm， ∴点B在⊙C外； ∵，CM是中线，∴cm ∴M点在⊙C上． 【练1】 在中，，，．若以点为圆心，画一个半径为的圆，则点与的位置关系为（ ） A.点在内 B.点在外 C.点在上 D.无法判断 【答案】 B 【解析】如图：∵，，∴在中， 【练2】 在中，．，，是斜边中线，以为圆心以长为半径画圆，则、、三点在圆外的是 ，在圆上的是 ． 【答案】； 【解析】，，， 是中线，； 在圆外的是点，在圆上的是． 【练3】 在△ABC中，，cm，cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径作圆，试判断点C和点B与⊙A的位置关系． 【答案】点C在圆内，点B在圆外． 【解析】∵，cm，cm， ∴； ∵，∴点C在圆内， ∵，∴点B在圆外． 【练4】 在等腰三角形中，，为的中点，以为直径作． （1）当等于多少度时，点在上？ （2）当等于多少度时，点在内部？ （3）当等于多少度时，点在外部？ 【答案】见解析 【解析】如右图所示，当，时， （1）当时，点在上； （2）当，点在内部； （3）当，点在外部． 【练5】 如图，在Rt△ABC中，，，，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定 【答案】 A 【解析】∵，，CD是斜边AB上的中线， ∴， ∵点O是AC中点，点P是CD中点， ∴OP是△CAD的中位线，， ∴， ∵，∴点P在⊙O内， 利用点和圆的位置关系求参数取值范围 【例1】 在中，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是 ． 【答案】 【解析】如图，设与相切于点，连接，作垂足为交于， 此时垂线段最短，最小值为，， ，， ，最小值为， 如图，当在边上时，与重合时，最大值， 长的最大值与最小值的和是． 【例2】 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M为AB的中点，以CD为直径画圆P． （1）当点M在圆P外时，求CD的长的取值范围； （2）当点M在圆P上时，求CD的长； （3）当点M在圆P内时，求CD的长的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）取CD的中点P，连接MP， ∵M为AB的中点， ∴MP是梯形ABCD的中位线． ∵，， ∴， ∵点M在圆P外， ∴，即， ∴； （2）∵点M在圆P上， ∴，即， ∴； （3）∵点M在圆P内， ∴，即， ∴． 【例3】 城市的正北方向的处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为，是一条直达城的公路，从城发往城的班车速度为． （1）当班车从城出发开往城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了的时候接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？（离发射塔越近，信号越强） （2）班车从城到城共行驶了，请你判断到城后还能接收到信号吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）能 【解析】（1）过点作于点，设班车行驶了的时候到达点． 根据此时接受信号最强，则，又， （2）连接，， 故城能接到信号． 【练1】 在Rt△ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为__________ 【答案】 【解析】如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，则，点B在圆C外，则，因而圆C半径r的取值范围为． 【练2】 如图，等边的边长为，是边上的动点，交边于点，在边上取一点，使，连接． （1）请直接写出图中与线段相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点在什么位置时，四边形是平行四边形？并判断四边形是什么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，根据与平行四边形四条边交点的总个数，求相应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）当E是BC的重点时，四边形是菱形；（3）见解析 【解析】 （1）如图，是等边三角形， 又 ， 是等边三角形， ． （2）当点是的中点时，四边形是菱形； 是的中点， 是等边三角形 又 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； （3）如图所示： 当点是的中点时，，则 当时，有两个交点；当时，有四个交点；当时，有六个交点 当时，有三个交点；当时，无交点． 模块二 直线与圆的位置关系 知识概述 直线与圆的位置关系： 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点． 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 直线与相交 例题精讲 【例1】 ⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是________． 【答案】相切 【解析】∵⊙O的直径为8， ∴半径＝4， ∵圆心O到直线l的距离为4， ∴圆心O到直线l的距离＝半径 ∴直线l与⊙O相切． 【例2】 已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d－3|＋（6－2r）2＝0，则直线l与⊙O的位置关系是________．（填“相切、相交、相离”中的一种） 【答案】相切 【解析】∵|d－3|＋（6－2r）2＝0， 又∵|d－3|≥0，（6－2r）2≥0， ∴d＝3，r＝3， ∴d＝r， ∴直线l是⊙O的切线 【例3】 圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则（ ） A.当d＝8cm时，直线与圆相交 B.当d＝4.5cm时，直线与圆相离 C.当d＝6.5cm时，直线与圆相切 D.当d＝13cm时，直线与圆相切 【答案】 C 【解析】已知圆的直径为13cm，则半径为6.5cm， 当d＝6.5cm时，直线与圆相切，d＜6.5cm直线与圆相交，d＞6.5cm直线与圆相离，故A、B、D错误，C正确． 【例4】 直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　） A.r＜6 B.r=6 C.r＞6 D.r≥6 【答案】 C 【解析】 ∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6， ∴r＞6． 故选C． 【例5】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第________秒． 【答案】4 【解析】根据题意，则作O′D⊥BC于D，则O′D＝． 在Rt△O′CD中，∠C＝60°，O′D＝， ∴O′C＝2， ∴O′A＝6－2＝4， ∴以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒． 【练1】 如图，在Rt△ABC中，，，，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？ 【答案】①当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相离； ②当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相切； ③当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相交． 【解析】作CD⊥AB于D， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得AB=10，则； ①当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相离； ②当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相切； ③当时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相交． 【练2】 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由． （3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积． 【答案】（1）BC所在直线与小圆相切（2）AC+AD=BC（3）16π 【解析】（1）BC所在直线与小圆相切． 理由如下： 过圆心O作OE⊥BC，垂足为E； ∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O， ∴OA⊥AC； 又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC， ∴OE=OA， ∴BC所在直线是小圆的切线． （2）AC+AD=BC． 理由如下： 连接OD． ∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E， ∴CE=CA； ∵在Rt△OAD与Rt△OEB中， ， ∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL）， ∴EB=AD； ∵BC=CE+EB， ∴BC=AC+AD． （3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm， ∴AC=6cm； ∵BC=AC+AD， ∴AD=BC﹣AC=4cm， ∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2）， 又∵OD2﹣OA2=AD2， ∴S=42π=16π（cm2）． 【练3】 如图：已知点，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是（ ） A. B.且 C. D.且 【答案】 B 【解析】作PA⊥x轴，连结OP，如图， ∵点P的坐标为， ∴，， ∴ ∴当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，r的取值范围为且． 【练4】 如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）． （1）求x为何值时，PQ⊥AC； （2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式； （3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积； （4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）． 【答案】（1）x=；（2）y=﹣x²+x；（3）证明见解析；（4）当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交． 【解析】（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC， 当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°； 若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4﹣x=2×2x，∴x=； （2）y=﹣x²+x， 如图，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N； ∵∠C=60°，QC=2x，∴QN=QC×sin60°=x；∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=2， ∴DP=2﹣x，∴y=PD•QN=（2﹣x）•x=﹣x²+x； （3）当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；∴NC=x，∴BP=NC， ∵BD=CD，∴DP=DN；∵AD⊥BC，QN⊥BC，∴AD∥QN，∴OP=OQ，∴S△PDO=S△DQO， ∴AD平分△PQD的面积； （4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离， 由（1）可知，当x=时，以PQ为直径的圆与AC相切； 当点Q在AB上时，8﹣2x=，解得x=，故当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切， 当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交． 模块三 圆与圆的位置关系 知识概述 1．圆与圆的五种位置关系的定义 　　两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 　　两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 　　两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切d=r1+r2 　　两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2) (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 例题精讲 【例1】 如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为多少?(2)当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少? 【答案与解析】 (1)当⊙P与⊙O外切时，则有5+r＝8， ∴ r＝3． 当⊙P与⊙O内切时，则有r-5＝8， ∴ r＝13． ∴ 当r＝3或13时，⊙O与⊙P相切． (2)当⊙P与⊙O相交时，则有| r-5|＜8＜r+5， 解得3＜r＜13， 即当3＜r＜13时，⊙P与⊙O相交． 【总结升华】 两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d＝R+r和d＝R-r(R＞r)，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为： 【练1】 已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( ) A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm 【答案】C 提示：两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．故选C. 附加题 【练1】 如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），⊙P与x轴相交于原点O和点A，又B、C两点的坐标分别为（0，b），（﹣1，0）． （1）当b＝2时，求经过B、C两点的直线解析式； （2）当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙P位置关系如何？并求出相应位置b的值 【答案】（1）y＝2x+2；（2）当b＝±时，直线BC与⊙P相切；当b＞或b＜﹣时，直线BC与⊙P相离；当﹣＜b＜时，直线BC与⊙P相交． 【解析】 【分析】 （1）由待定系数法求一次函数解析式； （2）分直线BC与⊙O相切，相交，相离三种情况讨论，可求b的取值范围． 【详解】 解：（1）设BC直线的解析式：y＝kx+b 由题意可得： ∴解得：k＝2，b＝2 ∴BC的解析式为：y＝2x+2 （2）设直线BC在x轴上方与⊙P相切于点M，交y轴于点D，连接PM，则PM⊥CM． 在Rt△CMP和Rt△COD中， CP＝3，MP＝2，OC＝1，CM＝ ∵∠MCP＝∠OCD ∴tan∠MCP＝tan∠OCP ∴＝，b＝OD＝×1＝ 由轴对称性可知：b＝± ∴当b＝±时，直线BC与⊙P相切； 当b＞或b＜﹣时，直线BC与⊙P相离； 当﹣＜b＜时，直线BC与⊙P相交． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，待定系数法求解析式，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d＜r，②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．关闭 【练2】 已知是上一点，. （Ⅰ）如图①，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小及的长； （Ⅱ）如图②，为上一点，延长线与交于点，若，求的大小及的长. 【答案】（Ⅰ），PA＝4；（Ⅱ）， 【分析】 （Ⅰ）易得△OAC是等边三角形即∠AOC=60°，又由PC是○O的切线故PC⊥OC，即∠OCP=90°可得∠P的度数，由OC=4可得PA的长度 （Ⅱ）由（Ⅰ）知△OAC是等边三角形，易得∠APC=45°；过点C作CD⊥AB于点D，易得AD=AO=CO，在Rt△DOC中易得CD的长，即可求解 【详解】 解：（Ⅰ）∵AB是○O的直径，∴OA是○O的半径. ∵∠OAC=60°，OA=OC，∴△OAC是等边三角形. ∴∠AOC=60°. ∵PC是○O的切线，OC为○O的半径， ∴PC⊥OC，即∠OCP=90°∴∠P=30°. ∴PO=2CO=8. ∴PA=PO-AO=PO-CO=4. （Ⅱ）由（Ⅰ）知△OAC是等边三角形， ∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°∴∠AQC=30°. ∵AQ=CQ，∴∠ACQ=∠QAC=75° ∴∠ACQ-∠ACO=∠QAC-∠OAC=15°即∠QCO=∠QAO=15°. ∴∠APC=∠AQC+∠QAO=45°. 如图②，过点C作CD⊥AB于点D. ∵△OAC是等边三角形，CD⊥AB于点D， ∴∠DCO=30°，AD=AO=CO=2. ∵∠APC=45°，∴∠DCQ=∠APC=45° ∴PD=CD 在Rt△DOC中，OC=4，∠DCO=30°，∴OD=2，∴CD=2 ∴PD=CD=2 ∴AP=AD+DP=2+2 【点睛】 此题主要考查圆的综合应用 【练3】 如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． (1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； (2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围． 【答案】（1）AB＝AC（2）≤r<5 【解析】 【分析】 （1）连接，根据切线的性质和垂直得出，推出，求出，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）根据已知得出在的垂直平分线上，作出线段的垂直平分线，作，求出，求出范围，再根据相离得出，即可得出答案. 【详解】 (1)AB＝AC，理由如下： 如图1，连结OB. ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA＝∠OAC＝90°， ∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°， ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB， ∵∠OPB＝∠APC， ∴∠ACP＝∠ABC， ∴AB＝AC；　 (2)如图2，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出； 又∵圆O与直线MN有交点， ∴， ， ， r2≥5， ∴， 又∵圆O与直线l相离， ∴r<5， 即. 图1 图2 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和判定、直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强，有一定的难度. 【练4】 在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． 例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． （1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ； （2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积； （3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ． 【答案】（1）（-1，0）；（2）；（3）5、（3，-2）或（-1，-2）． 【解析】 【分析】 （1）只需根据新定义画出图形就可解决问题； （2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（1，2）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“位置矩形”ABCD面积； （3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=10．由（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题 【详解】 （1）如图1， 点D的坐标为（-1，0）． 故答案为（-1，0）； （2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2． ∵点A的坐标为（1，2）， ∴AC=AO=，AF=1，OF=2． ∵点A（1，2）在直线y=kx+1上， ∴k+1=2， 解得k=1． 设直线y=x+1与y轴相交于点G， 当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1， ∴FG=OF-OG=2-1=1=AF， ∴∠FGA=45°，AG=． 在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=． 在Rt△ABC中，BC=． ∴所求“位置矩形”ABCD面积为AB•BC=； （3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y， 则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10． ∵（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0， ∴xy≤5． 当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形．  ①当点D在第四象限时，如图3， 过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N， ∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DAN， 在RtAMB和Rt△DNA中， ， ∴RtAMB≌Rt△DNA， 则有AN=BM=2，DN=AM=1， ∴点D的坐标为（1+2，-3+1）即（3，-2）． ②当点D在第三象限时，如图4， 过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M， 同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA， 则有DM=AN=1，AM=BN=2， ∴点D的坐标为（1-2，-3+1）即（-1，-2）．   故答案为5、（3，-2）或（-1，-2）． 【点睛】 此题是圆的综合题，主要考查了用待定系数法求直线的解析式、圆的定义、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想，运用公式（x-y）2=x2+y2-2xy推出当“位置矩形”是正方形时面积最大是解决第3小题的关键． 【练5】 等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5． （1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？ 【答案】（1）；（2） ；（3） 【解析】 分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案； （2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果； （3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离． 详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处， 如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F， 设⊙O与直线l切于点D，连接OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l， 由切线长定理可知C′E=C′D， 设C′D=x，则C′E=x， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°， ∴△EFC′是等腰直角三角形， ∴C′F=x，∠OFD=45°， ∴△OFD也是等腰直角三角形， ∴OD=DF， ∴x+x=1，则x=-1， ∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-（-1）=5-， ∴点C运动的时间为； 则经过秒，△ABC的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处， A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F， ∵CC′=2t，DD′=t， ∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t， 由（1）得：4-t=-1， 解得：t=5-， 答：经过5-秒△ABC的边与圆第一次相切； （3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t， 由（1）得：4-1.5t=-1， 解得：t=， ∴点B运动的距离为2×=． 点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力． 一课一练 【练1】 在Rt△ABC中，，，，CP、CM分别是AB上的高和中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ） A.点P，M均在圆A内 B.点P、M均在圆A外 C.点P在圆A内，点M在圆A外 D.点P在圆A外，点M在圆A内 【答案】 C 【解析】∵在Rt△ABC中，，，， ∴ ∵CP、CM分别是AB上的高和中线， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴点P在圆A内、点M在圆A外 【练2】 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，以点C为圆心的圆与AB相切． （1）求⊙C的半径； （2）O是AB的中点，请判断点O与⊙C的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）点O在⊙C外，理由见解析 【解析】（1）过C点作CD⊥AB，垂足为D， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴ ∴， 由题意，AB与⊙C相切，且CD⊥AB， ∴CD是⊙C的半径， 即； （2）点O在⊙C外，理由如下： 连接OC， 在Rt△ABC中，O是斜边AB的中点， ∴， ∴点O在⊙C外． 【练3】 在直角坐标系中，以点为圆心作圆，使圆经过点，如图所示，试判断、 、与的位置关系.若点在外，求的取值范围. 【答案】或 【解析】的半径为，在上、在内、在外 在外，的取值范围或 【练4】 已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是__________． 【答案】相交 【解析】∵圆心O到直线l的距离是2cm，小于⊙O的半径为3cm， ∴直线l与⊙O相交． 【练5】 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，，点P（P与O不重合）在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P所表示的实数为x，则x的取值范围是（ ） A.或 B. C.或 D. 【答案】 C 【解析】∵半径为1的圆，，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点， ∴当与圆相切时，切点为C， ∴OC⊥， ，， ∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即， 同理可得： 过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即 综上所述：或． 【练6】 如图，等边的边长为，是边上的动点，交边于点，在边上取一点，使，连接． （1）请直接写出图中与线段相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点在什么位置时，四边形是平行四边形？并判断四边形是什么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，根据与平行四边形四条边交点的总个数，求相应的的取值范围． 【答案】（1）\(EF=BE=PE=BF\)；（2）当E是BC的重点时，四边形是菱形；（3）见解析 【解析】 （1）如图，是等边三角形， 又 ， 是等边三角形， ． （2）当点是的中点时，四边形是菱形； 是的中点， 是等边三角形 又 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； （3）如图所示： 当点是的中点时，，则 当时，有两个交点；当时，有四个交点；当时，有六个交点 当时，有三个交点；当时，无交点． 【练7】 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，⊙P的半径为1cm，且OP＝6cm，如果⊙P以1cm／s的速度沿由A向B的方向移动，那么多少秒后⊙P与直线CD相切（ ） A.4或8 B.4或6 C.8 D.4 【答案】 A 【解析】如图； （1）当CD在⊙P右侧，且与⊙P相切时，设切点为E，连接PE； 在Rt△OEP中，∠EOP＝∠AOC＝30°，PE＝1cm， ∴OP＝2PE＝2cm， 故此时O点运动了6cm－2cm＝4cm， 运动的时间为：4÷1＝4s； （2）当CD在⊙P左侧，且与⊙P相切时，同理可求得OP＝2cm； 此时O点运动了6cm＋2cm＝8cm， 运动的时间为：8÷1＝8s， 因此经过4或8s后CD与⊙P相切． 【练8】 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ） A.1 B.1或5 C.3 D.5 【答案】 B 【解析】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 课后作业 【练1】 如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．均有可能 【答案】C 【解析】 试题解析：过点C作CD⊥AO于点D， ∴DC=3， ∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切. 故选：C. 【练2】 在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙O，则BC与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 【答案】A 【解析】 作AD⊥BC，如图所示： ∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙O， ∴BC=5， ∴AD×BC=AC×AB， 解得：AD=2.4，2.4＜3， ∴BC与⊙O的位置关系是：相交． 故选A． 【练3】 设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（　　） A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3 【答案】B 【解析】 因为直线l与⊙O至少有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和两个公共点两种情况，因此d≤r，即d≤3. 故选B． 【练4】 Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（ ） A．8 B．4 C．9．6 D．4．8 【答案】D 【解析】 作CD⊥AB于D,如图所示, 因为∠C=90°,AB=10,AC=6, 所以BC=8, 因为AC·BC=AB·CD, CD=, 因为⊙C与AB相切, 所以CD为⊙C的半径, 即的半径长为,故选D. 【练5】 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和3，圆心距为2，则两圆的位置关系是（　　） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【解析】 试题解析：∵和的半径分别为5和3，圆心距为2， 则5−3=2， ∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知和的位置关系是内切. 故选D. 【练6】 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（　　） A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定 【答案】A 【解析】 试题解析：根据勾股定理求得斜边 则 ∴点在圆外. 故选A. 点睛：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离． 则时，点在圆外； 当时，点在圆上； 当时，点在圆内． 【练7】 已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，PA=，那么点P与⊙O的位置关系是( ) A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【答案】D 【解析】 ∵⊙O的半径为1， ∴⊙O的直径为2， ∵PA=，且点A在⊙O上， ∴点P的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内． 故选D． 【练8】 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是______． 【答案】0＜x＜3 【分析】 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】 解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3， 则BD= =5． ∵点A、B、C三点都在圆外， ∴0＜x＜3． 故答案为0＜x＜3. 【点睛】 本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握勾股定理及点与圆的位置关系． 【练9】 已知RtABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程的两根，则此Rt的外接圆的面积为 ． 【答案】． 【解析】 首先解出一元二次方程的两根，再利用直角三角形的外接圆半径与斜边的关系可以解决． 解：解方程x2-5x+6=0， 得：x1=2，x2=3， 即两直角边AC、BC是2或3， 根据勾股定理得： 斜边长为：， 也就是Rt△ABC的外接圆直径为， ∴Rt△ABC的外接圆的面积为=． 故填：． 【练10】 如图，OA=OB,点A的坐标是（-2,0），OB与x轴正方向夹角为600， 请画出过A，O，B三点的圆，写出圆心的坐标是 . 【答案】 解：如图；过B作BE⊥x轴于E；Rt△OBE中，OB=OA=2，∠BOE=60°；则OE=1，BE=, 故B（1，）；以OA、OB为边作平行四边形AOBD，由于OA=OB，则四边形AOBD是菱形；所以点D一定在AB的垂直平分线上（菱形的对角线互相垂直平分）；连接OA；由于OA=OD，∠DAO=∠BOE=60°，则△AOD是等边三角形；所以点D也在AO的垂直平分线上；故点D为△OAB的外心，所以D的坐标为（-1，） 【解析】 试题分析：以OA、OB为边，AB为对角线作平行四边形AOBD，由于OA=OB，那么四边形AOBD是菱 形；由于菱形的对角线互相垂直平分，那么D点一定在AB的垂直平分线上；连接OD，易证得∠ DAO=60°，且AD=OA，所以点D也在OA的垂直平分线上；那么点D即为△AOB的外心，先求出B 点坐标，即可根据A、O、B三点坐标得到点D的坐标． 考点：三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质 点评：此题主要考查了三角形外心坐标的求法，能够发现点D与点A、B的坐标之间的关系，是解答此题的关键． 【练11】 一个点P到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________ 【答案】3cm或8cm 【分析】 点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解． 【详解】 解：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm； 当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm； 故答案为 3cm或8cm 【练12】 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 _____． 【答案】4秒或8秒 【分析】 ⊙P与CD相切应有两种情况，一种是在射线OA上，另一种在射线OB上，设对应的圆的圆心分别在M，N两点．当P在M点时，根据切线的性质，在直角△OME中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得OM的长，进而求得PM的长，从而求得由P到M移动的时间；根据ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移动的时间． 【详解】 ①当⊙P在射线OA上，设⊙P于CD相切于点E，P移动到M时，连接ME． ∵⊙P与直线CD相切， ∴∠OEM=90°， ∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠AOC=30°， ∴OM=2ME=2cm， 则PM=OP-OM=6-2=4cm， ∵⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动， ∴⊙P移动4秒时与直线CD相切； ②当⊙P的圆移动到直线CD的右侧，同理可求ON=2 则PN=6+2=8cm． ∴⊙P移动8秒时与直线CD相切． 故答案为：4秒或8秒． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 【练13】 如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A怎样的位置关系． 【答案】点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外． 【分析】 连接AC，根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系． 【详解】 连接AC， ∵AB＝3cm，BC＝AD＝4cm， ∴AC＝5cm， ∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外． 【点睛】 本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是要掌握勾股定理，及点与圆的位置关系． 【练14】 如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径. 【答案】 【分析】 连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可半径，进而求得直径． 【详解】 解：如图所示，是的外接圆，连接OA交BC于D， ∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC， ∴∠AOC=∠BOA， ∵OB=OC， ∴BD=DC，OA⊥BC， ∴由垂径定理得：BD=DC=5cm， ∠OAC=∠BAC=×120°=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC=60°， ∴∠DCO=90°-60°=30° ∴OC=2OD， 设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2， a=， ∴OC=2a=， ∴外接圆的直径=2OC=（cm）． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 与圆有关的位置关系 课程目标 1. 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念. 2. 理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题． 精讲精练 模块一 点与圆的位置关系 知识概述 一、点与圆的位置关系： 1.确定圆的条件 （1）圆心(定点)，确定圆的位置； （2）半径(定长)，确定圆的大小． 注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 2.点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （2）设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在上 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部 二、过已知点的圆： 1. 过已知点的圆 （1）过一点的圆有无数个；圆心为平面内除点以外的任意一点． （2）过两点的圆有无数个；这些圆的圆心在线段的垂直平分线上． （3）过三点的圆； 若点共线，则过三点的圆不存在；若点不共线，则存在唯一的圆过三点，且圆心为线段、、中垂线的交点。 （4）过（）个点的圆；可做个或个. 2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 （1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2）“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 例题精讲 利用数量关系推到点和圆的位置关系 【例1】 在平面直角坐标系中，如果⊙O是以原点为圆心，以为半径的圆，那么点（ ） A.在⊙O内 B.在⊙O外 C.在⊙O上 D.不能确定 【例2】 在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C_____；点B在⊙C________；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O_______． 【例3】 如图，中，，，、分别是，的中点，，垂足为，以为圆心，为半径画圆，判断，，，，各点和的位置关系． 【例4】 已知：如图，△ABC中，，cm，cm，CM是中线，以C为圆心，以cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？ 【练1】 在中，，，．若以点为圆心，画一个半径为的圆，则点与的位置关系为（ ） A.点在内 B.点在外 C.点在上 D.无法判断 【练2】 在中，．，，是斜边中线，以为圆心以长为半径画圆，则、、三点在圆外的是 ，在圆上的是 ． 【练3】 在△ABC中，，cm，cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径作圆，试判断点C和点B与⊙A的位置关系． 【练4】 在等腰三角形中，，为的中点，以为直径作． （1）当等于多少度时，点在上？ （2）当等于多少度时，点在内部？ （3）当等于多少度时，点在外部？ 【练5】 如图，在Rt△ABC中，，，，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定 【例1】 在中，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是 ． 【例2】 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，M为AB的中点，以CD为直径画圆P． （1）当点M在圆P外时，求CD的长的取值范围； （2）当点M在圆P上时，求CD的长； （3）当点M在圆P内时，求CD的长的取值范围． 【例3】 城市的正北方向的处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为，是一条直达城的公路，从城发往城的班车速度为． （1）当班车从城出发开往城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了的时候接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？（离发射塔越近，信号越强） （2）班车从城到城共行驶了，请你判断到城后还能接收到信号吗？请说明理由． 【练1】 在Rt△ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为__________ 【练2】 如图，等边的边长为，是边上的动点，交边于点，在边上取一点，使，连接． （1）请直接写出图中与线段相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点在什么位置时，四边形是平行四边形？并判断四边形是什么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，根据与平行四边形四条边交点的总个数，求相应的的取值范围． 模块二 直线与圆的位置关系 知识概述 直线与圆的位置关系： 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点． 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 直线与相交 例题精讲 【例1】 ⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是________． 【例2】 已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d－3|＋（6－2r）2＝0，则直线l与⊙O的位置关系是________．（填“相切、相交、相离”中的一种） 【例3】 圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则（ ） A.当d＝8cm时，直线与圆相交 B.当d＝4.5cm时，直线与圆相离 C.当d＝6.5cm时，直线与圆相切 D.当d＝13cm时，直线与圆相切 【例4】 直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　） A.r＜6 B.r=6 C.r＞6 D.r≥6 【例5】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第________秒． 【练1】 如图，在Rt△ABC中，，，，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？ 【练2】 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由． （3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积． 【练3】 如图：已知点，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是（ ） A. B.且 C. D.且 【练4】 如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）． （1）求x为何值时，PQ⊥AC； （2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式； （3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积； （4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）． 模块三 圆与圆的位置关系 知识概述 1．圆与圆的五种位置关系的定义 　　两圆外离：两个圆没有公共点，且 时，叫做这两个圆外离. 　　两圆外切：两个圆 ，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆相交：两个圆有 时，叫做这两圆相交. 　　两圆内切：两个圆 ，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆内含：两个圆 ，且一个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆内含. 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 　　两圆外切 　　两圆相交 　　两圆内切 　　两圆内含 (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 例题精讲 【例1】 如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为多少?(2)当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少? 【练1】 已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( ) A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm 附加题 【练1】 如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），⊙P与x轴相交于原点O和点A，又B、C两点的坐标分别为（0，b），（﹣1，0）． （1）当b＝2时，求经过B、C两点的直线解析式； （2）当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙P位置关系如何？并求出相应位置b的值 【练2】 已知是上一点，. （Ⅰ）如图①，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小及的长； （Ⅱ）如图②，为上一点，延长线与交于点，若，求的大小及的长. 【练3】 如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． (1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； (2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围． 【练4】 在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． 例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． （1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ； （2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积； （3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ． 【练5】 等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5． （1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？ 一课一练 【练1】 在Rt△ABC中，，，，CP、CM分别是AB上的高和中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ） A.点P，M均在圆A内 B.点P、M均在圆A外 C.点P在圆A内，点M在圆A外 D.点P在圆A外，点M在圆A内 【练2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，以点C为圆心的圆与AB相切． （1）求⊙C的半径； （2） O是AB的中点，请判断点O与⊙C的位置关系，并说明理由． 【练3】在直角坐标系中，以点为圆心作圆，使圆经过点，如图所示，试判断、 、与的位置关系.若点在外，求的取值范围. 【练4】如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，，点P（P与O不重合）在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P所表示的实数为x，则x的取值范围是（ ） A.或 B. C.或 D. 【练5】如图，等边的边长为，是边上的动点，交边于点，在边上取一点，使，连接． （1）请直接写出图中与线段相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点在什么位置时，四边形是平行四边形？并判断四边形是什么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，根据与平行四边形四条边交点的总个数，求相应的的取值范围． 【练6】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，⊙P的半径为1cm，且OP＝6cm，如果⊙P以1cm／s的速度沿由A向B的方向移动，那么多少秒后⊙P与直线CD相切（ ） A.4或8 B.4或6 C.8 D.4 【练7】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ） A.1 B.1或5 C.3 D.5 课后作业 【练1】 如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．均有可能 【练2】 在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙O，则BC与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 【练3】 设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（　　） A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3 【练4】 Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（ ） A．8 B．4 C．9．6 D．4．8 【练5】 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和3，圆心距为2，则两圆的位置关系是（　　） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【练6】 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（　　） A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定 【练7】 已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，PA=，那么点P与⊙O的位置关系是( ) A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【练8】 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是______． 【练9】 已知RtABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程的两根，则此Rt的外接圆的面积为 ． 【练10】 如图，OA=OB,点A的坐标是（-2,0），OB与x轴正方向夹角为600， 请画出过A，O，B三点的圆，写出圆心的坐标是 . 【练11】 一个点P到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________ 【练12】 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 _____． 【练13】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A怎样的位置关系． 【练14】如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径. 学科网（北京）股份有限公司 $$