2024-2025学年人教版九年级数学上册暑假-第10讲-圆周角定理

第10讲 圆周角定理 课程目标 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 精讲精练 模块一 弧、弦、圆心角 知识概述 一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： 　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. 　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 例题精讲 【例1】 已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC． 【答案与解析】 证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴ ． ∴ ，即， ∴ AD＝BC． 证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD， ∵ AB＝CD，∴ ∠AOB＝∠COD． ∴ ∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB， 即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC． 【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证或证∠AOD＝∠BOC即可． 【练1】 如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB． 求证：． 【答案】 证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD， ∵ OA＝OB，且，， ∴ OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB， ∴ Rt△COM≌Rt△DON， ∴ ∠COM＝∠DON， ∴ ． 证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD． ∵ M是AO的中点，且CM⊥AB， ∴ AC＝OC， 同理BD＝OD，又OC＝OD． ∴ AC＝BD， ∴ ． 模块二 圆周角 知识概述 二、圆周角 1.圆周角定义： 　　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 例题精讲 【例1】 如图，、、是⊙上的三点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】∵、、是⊙上的三点，， ∴． 【例2】 如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【解析】在中，，由垂径定理可得，，则． 【例3】 如图，的顶点均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】， ， ， ， ． 【例4】 如图：在中，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】连接，根据圆周角定理，得 ， 同理可得， 所以，． 【例5】 如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ） A.55° B.60° C.65° D.70° 【答案】 C 【解析】连接AC， ∵AB是半圆的直径， ∴∠C=90°． ∵∠ABC=50°， ∴∠BAC=90°﹣50°=40°，=50°， ∵D是弧AC的中点， ∴=25°， ∴∠DAC=25°， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=25°+40°=65°． 【例6】 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点（不与A、B重合），，，则_______ 【答案】 【解析】∵， 又∵AB是直径． ∴， ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴， ∴． 【例7】 如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，，，求∠DOE的度数． 【答案】 【解析】连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴， ∴AE⊥BC， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【例8】 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ） A.12个单位 B.10个单位 C.4个单位 D.15个单位 【答案】 B 【解析】连接EF， ∵OE⊥OF， ∴EF是直径， ∴． 【例9】 如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是（ ） A.20° B.15° C.35° D.70° 【答案】 A 【解析】连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝70°， ∴∠B＝90°－∠BAD＝20°， ∴∠ACD＝∠B＝20°． 【练1】 如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ） A.12.5° B.15° C.20° D.22.5° 【答案】 B 【解析】连接OB， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OC＝AB，又OA＝OB＝OC， ∴OA＝OB＝AB， ∴△AOB为等边三角形， ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB， ∴∠BOF＝∠AOF＝30°， 由圆周角定理得∠BAF＝∠BOF＝15°． 【练2】 如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ） A.45° B.30° C.75° D.60° 【答案】 D 【解析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图， ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴OD＝CD， ∴， ∴∠OAD＝30°， 又OA＝OB， ∴∠OBA＝30°， ∴∠AOB＝120°， ∴． 【练3】 已知：如图，是的外接圆，若，，则的直径长为 ． 【答案】4 【解析】解：连接并延长交于，连接．为的直径，，则，在中，，，． 【练4】 已知：中，，以为直径的交于点 ． （1）如图，当为锐角时，与交于点，连接，请问与有怎样的数量关系？并证明． O A D C B E （2）如图，若不动，绕点逆时针旋转，当为钝角时，的延长线与交于点，连接，（1）中结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． B A D C E O 【答案】（1）；（2）成立． 【解析】（1）与的关系是：． 理由如下：连接，是直径，，即． 又，，又，． （2）（1）中与的数量关系成立． 证明：连接，为的直径，， ，， ，， ，， 又，，． B A D C E O 模块三 圆内接多边形 知识概述 一.  三角形的外接圆及外心 1.  三角形的外接圆 （1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2.  三角形的外心的性质 （1） 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； （2）对于给定的三角形，其外心是唯一的;但一个圆的内接三角形有无数个，这些三角形的外心重合. 二. 圆内接四边形 1.  圆内接四边形的概念 如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆． 2.  圆内接四边形的性质 性质1：圆内接四边形的对角互补． 性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 3.  圆内接四边形的判定 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 补充说明：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 例题精讲 三角形外接圆 【例1】 下列给定的三点能确定一个圆的是（ ） A.线段AB的中点C及两个端点 B.角的顶点及角的边上的两点 C.三角形的三个顶点 D.矩形的对角线交点及两个顶点 【答案】 C 【解析】A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误； B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误； C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确； D、矩形的对角线交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本选项错误； 【例2】 如图所示的是A、B、C、D三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC=66°，则∠BPC等于（ ） A.100° B.120° C.132° D.140° 【答案】 C 【解析】由作法得MN垂直平分AB，GH垂直平分BC， 所以点P为△ABC的外心， 所以∠BPC=2∠BAC=2×66°=132°． 【例3】 已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长. 【答案与解析】 如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B， 　 则∠AC′B=∠C=60° 　 又∵AC′是⊙O的直径， 　 ∴∠ABC′=90° 　 　 　 　　即⊙O的直径为. 【点评】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解. 【练1】 下列说法正确的是（ ） A.一个点可以确定一条直线 B.两个点可以确定两条直线 C.三个点可以确定一个圆 D.不在同一直线上的三点确定一个圆 【答案】 D 【解析】A.根据两点确定一条直线可知说法错误；B.两点可以确定两条直线，故说法错误； C.不在同一直线上的三点确定一个圆，故说法错误；D.正确； 【练2】 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（ ）． A． B．4 C． D．5 【答案】A. 圆内接四边形 【例1】 下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 【答案】 D 【解析】①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确； ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确； ⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确． 【例2】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD内接于，对角线AC经过圆心，若∠BAD=45°，，则AB的长等于 ． 【答案】 【解析】如图，做辅助线DE、CE、DF； 设：，则根据条件易得，，，进而可得AD=，；根据面积关系可得：，解得，所以。 【例3】 如图，在中，，点是的中点，以为直径作分别交，于点，则 ；（填“”、“”、“”） 【答案】“=” 【解析】， ∵四边形是圆内接四边形，， ，同理证明：． 【例4】 如图，在的内接四边形中，，点为的中点，则的长是多少？． 【答案】 【解析】四点共圆，， ，平分，， 如图1， 将绕点逆时针旋转得，则， 三点共线，过作于，， 在中， ； 【例5】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝62°，则∠BCE等于（ ） A.28° B.31° C.62° D.118° 【答案】 C 【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝62°， ∴∠BCE＝∠A＝62°． 【练1】 下列语句中正确的个数是（ ） ①矩形的四边中点在同一个圆上；②菱形的四边中点在同一个圆上； ③等腰梯形的四边中点在同一个圆上；④平行四边形的四边中点在同一个圆上． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 A 【解析】①矩形的四边中点组成的图形是菱形，对角不一定互补，错误； ②菱形的四边中点组成的图形是矩形，对角互补，则四个点共圆，正确； ③等腰梯形的四边中点组成的图形是菱形，对角不一定互补，则不共圆，错误； ④平行四边形的四边中点组成的图形是平行四边形，对角不一定互补，则不共圆，错误． 【练2】 如图，、是的两条高,求证:. 【答案】见解析 【解析】如图所示 【练3】 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC=CD=AC=2，AB=，则BD的长为____． 【答案】 【解析】 以点C为圆心，BC的长为半径作圆，延长BC交圆C于点E，连结DE． ∵AD∥BC， ∴AB=DE， ∵BE为直径， ∴∠BDE=90°， 在Rt△BDE中， BD= 故答案为：． 【练4】 如图，外接于正方形，为弧上一点，且，，求的长． 【答案】 【解析】 如图所示延长到，使，连接． 圆内接四边形对角互补，则，又，则 易证，∴，，∴∴． 附加题(练1-3，建议学生必做) 【练1】 如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE． 【答案】证明详见解析． 【详解】 试题分析：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，由圆周角定理得，∠CBD=∠CAF，根据SAS可以利用已知条件证明△ACF≌△BCD⇒CF=CD，由于CE⊥AD，根据等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，EF=DE，则AE=AF+EF=BD+DE． 试题解析：证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD；在△ACF和△BCD中， ， ∴△ACF≌△BCD， ∴CF=CD， ∵CE⊥AD于E， ∴EF=DE， ∴AE=AF+EF=BD+DE． 考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【练2】 如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF． 【答案】讲明见解析 【分析】 连接BC，可得∠ACB＝90°，再根据∠ACF+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，可得∠ACF＝∠B，因为C为的中点，可得，可得∠B＝∠CAE，∠ACF＝∠CAE，即可得出结论. 【详解】 证明：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 即∠ACF+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACF＝∠B， ∵C为的中点， ∴， ∴∠B＝∠CAE， ∴∠ACF＝∠CAE， ∴AF＝CF． 【点睛】 本题考查圆周角相关的定理，在题中看到直径就可以想到，直径所对的圆周角是90°，题中有90°比较多的话，那么角之间的等量代换就可以用等角的余角相等，进行角之间的等量代换，虽然题中求证的是边相等，但是可以利用角相等进行转换. 【练3】 如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和AD的长． 【答案】6；． 【解析】 试题分析：①首先根据圆周角定理的推论得到△ACB是直角三角形，再利用勾股定理求出AB的长； ②首先根据圆周角定理得出：∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，再根据角平分线的性质得到：∠ACD=∠BCD=45°，即可得到∠DAB=∠DBA，进而得到AD=DB，再利用勾股定理求出AD的长． 试题解析：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵BC=，AC=2， ∴AB=； ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∵∠ABD=∠ACD， ∠BCD=∠BAD， ∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴AD=DB， ∵AD2+BD2=AB2， ∴AD=DB=． 考点：1．圆周角定理；2．勾股定理． 【练4】 在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连结FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，则线段DG的长为 　 　； ②如图2，点E不与点A，B重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，则＝　 　． 【答案】①；② 【分析】 ①过作于，先证明是等边三角形，求出长度，再证明，从而在中，求出，即得，在中，求出和，可得，中，即可得到； ②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，由，得、、、共圆，可得，从而可证，由、、、共圆可得，故，，可得，，在中，，中，，即可得到，进而可得结论． 【详解】 解：①过作于，如图： 线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，且的延长线过点， ，， 是等边三角形， ，， 等边，，， ，，， ， ， ， ， 中，，， ， ， 中，， ， ， ， 中，； 故答案为：； ②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，如图： 绕点逆时针旋转得到线段， 是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ， ， 、、、共圆， ， 而是等边三角形，， ，即， ， ， ①， ，， ，， ， 、、、共圆， ， ，， ， ②， 而③， 由①②③得， ， ，中点，， ， ， ， 中，， ， ，即， 中，， 中，， ， ， 则． 故答案为：． 【点睛】 本题属于三角形综合题，是中考题的压轴题，考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、含30度角的直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线． 【练5】 问题背景：如图①在四边形中，探究线段、、之间的数量关系． 小杨同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处点、分别落在点、处（如图②），，易证点，、、在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论 简单应用： （1）在图①中，直接利用小杨得出的结论，若，，则______． （2）利用小杨同学探究图②问题提供的思路，解决③图中的问题．如图③，已知是的直径点、在上，求证：． 拓展延伸： （3）如图④，，，是四边形的外接圆，若，，求的长（用含,的代数式表示） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）CD=． 【分析】 （1）代入结论：AC+BC=CD，直接计算即可； （2）连接BD、AD即可将问题转化为小杨同学的问题，利用题目所给出的证明思路即可证明； （3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度． 【详解】 （1）解：∵∠ACB=90°，AB=25，AC=24， ∴BC=， 由小杨得出的结论，得CD=； （2）∵，AB是⊙O的直径， ∴AD=BD，∠ADB=90°， 将△DAC绕点D，逆时针旋转90°到△DBE处，如图， ∴∠DBE=∠DAC， ∵∠DAC+∠DBC=180°， ∴∠DBE +∠DBC =180°， ∴E、B、C三点共线， ∴∠CBE为平角， 由旋转知，DE=DC，BE=AC，∠CDE=90°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CE=CD， ∵CE=BE+BC=BC+AC， ∴AC+BC=CD； （3）解：连接CO并延长交⊙O于点C1， 连接C1A，C1B，C1D，如图， 由（2）的证明过程可知：AD+BD=C1D， ∵AD=a，BD=b， ∴C1D=， 又∵C1C是⊙O的直径， ∴∠CDC1=90°， ∵AD=a，BD=b， ∴由勾股定理可求得：AB2=a2+b2， ∴C1C2=AB2=a2+b2， ∵C1D2+CD2=C1C2， ∴CD2= a2+b2-=， ∵b＜a， ∴CD=． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判断和性质，圆周角定理，旋转的性质等知识点，解本题的关键是就利用得出的结论来进行解决问题． 一课一练 【练1】 如图，是的外接圆，，则等于（ ） A B C O A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】如图连接和，则，，，，由三角形的内角和等于，即， ． 【练2】 如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=36°，则∠P的度数为（ ） A.144° B.72° C.60° D.36° 【答案】 B 【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=36°， ∴∠DOE=180°﹣36°=144°， ∴∠P=∠DOE=72°． 【练3】 如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠DAC＝20°，则∠ACD的度数为（ ） A.20° B.30° C.40° D.45° 【答案】 C 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠D＝180°－∠B＝120°， ∴∠ACD＝180°－∠DAC－∠D＝40°． 【练4】 如图，平分，且，长为 ． O B C D A E 【答案】 【解析】解：平分，，，，，，，，． 【练5】 如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为________． 【答案】 【解析】连接OA、OC， ∵AD⊥BC，AD＝BD， ∴∠ABC＝45°， 由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°， ∴． 【练6】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的度数为________． 【答案】29° 【解析】连结OA、OB，如图， ∵点A、B的读数分别为88°，30°， ∴∠AOB＝88°－30°＝58°， ∴． 【练7】 如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠BEC的度数为_____． 【答案】45° 【解析】连接OB，OC， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠BOC=90°， ∴∠BEC=∠BOC=45°． 【练8】 半径为1的圆的内接正三角形的边长为___________． 【答案】 【解析】如图所示． 在Rt△BOD中，OB=1，∠OBD=30°， ∴BD=cos30°×OB=×1=． ∵BD=CD， ∴BC=2BD=2×=． 故它的内接正三角形的边长为． 【练9】 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD＝__________°． 【答案】60 【练10】 如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D （1）求证：OD∥AC； （2）若AC=8，AB=10，求AD． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】（1）证明：∵AD平分∠CAB交⊙O于点D， ∴∠CAD=∠BAD， ∵OA=OD， ∴∠DAB=∠D， ∴∠CAD=∠D， ∴AC∥OD； （2）解：连接BC，BD， ∵AD平分∠CAB交⊙O于点D， ∴=， ∴CE=BE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠C=90°， ∴BC==6， ∴CE=BE=3， ∴OE==4， ∴DE=1， ∴BD==， ∴AD==3． 【练11】 在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：． 【答案】见解析 【解析】，，A、C、D、F这4点共圆，． 又，，，故． 【练12】 已知中，，是外接圆劣弧上的点(不与点重合)，延长至． （1） 求证：的延长线平分； （2） 若，中边上的高为，求外接圆的面积． 【答案】 （1）如图，设为延长线上一点 ∵在外接圆上(四点共圆) ∴ 又，∴， 且，∴，对顶角，故， 即的延长线平分． （2）设为外接圆圆心，连接交于，则．连接，由题意，，∴．设圆半径为，则，得，外接圆的面积为． 【解析】略 课后作业 【练1】 如图，AC是⊙O的直径，弦AB//CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（ ） A．64° B．48° C．32° D．76° 【答案】A 【分析】 由AB//CD，∠BAC＝32°，根据平行线的性质，即可求得∠ACD的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOD的度数． 【详解】 解：∵弦AB//CD，∠BAC=32°， ∴∠ACD＝∠BAD＝32°， ∴ ∠AOD=2∠ACD＝2×32°＝64°. 故选：A 【点睛】 此题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 【练2】 如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（ ） A．37° B．74° C．54° D．64° 【答案】B 【分析】 由∠BAC=27°，∠BEC=64°，根据三角形外角的性质，即可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOD的度数． 【详解】 解：∵∠BEC是△AEC的外角， ∴∠BEC=∠C+∠BAC， ∵∠BAC=27°，∠BEC=64°， ∴∠C=∠BEC-∠BAC=64°-27°=37°， ∴∠AOD=2∠C=2×37°=74°． 故选：B． 【点睛】 此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【练3】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于（ ） A．69° B．42° C．48° D．38° 【答案】A 【分析】 先根据圆周角定理得出∠BAD的大小，然后利用圆的内接四边形对角互补的性质，得出∠BCD的大小，从而得出∠DCE的大小． 【详解】 ∵∠BOD=138°， ∴， ∴∠BCD=180°﹣∠A=111°， ∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°． 故选A． 【点睛】 本题考查圆内接四边形对角互补的性质和圆周角定理，解题关键是得出∠BCD的大小． 【练4】 如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于（ ） A．70° B．110° C．90° D．120° 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵∠A=50°，∠ABC=60° ∴∠ACB=70° ∵BD是圆O的直径 ∴∠BCD=90° ∴∠ACD=20° ∴∠ABD=∠ACD=20° ∴∠AEB=180°﹣（∠BAE+∠ABE）=180°﹣（50°+20°）=110°． 故选B． 考点：1．圆周角定理；2．三角形内角和定理． 【练5】 如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（　　） A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠3＞∠1＞∠2   C．∠2＞∠1＞∠3 D．∠3＞∠2＞∠1 【答案】D 【分析】 作出如图所示辅助线，再根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”和“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角”，此题可解． 【详解】 如图，BD交圆于点G，连接CG，延长BE交圆于点F，连接CF， 则由圆周角定理知，∠A=∠BGC=∠F，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BGC=∠2=∠D+∠GCD=∠1+∠GCD，∠3=∠F+∠FCE=∠2+∠FCE， ∴ 故选D. 【点睛】 考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键. 【练6】 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠BCD的度数是（　　） A．35° B．46° C．55° D．70° 【答案】A 【分析】 连接BC，根据圆周角定理求得∠ABC的度数，然后根据直角三角形的锐角互余即可求解． 【详解】 连接BC， ∵∠AOC=110°， ∴∠ABC=∠AOC═55°， ∵CD⊥AB， ∴∠BEC=90°， ∴∠BCD=90°-55°=35°， 故选：A． 【点睛】 本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题． 【练7】 在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D= 度． 【答案】100． 【解析】 【分析】 根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=∠A+∠C=180°，再根据∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6分别计算出∠A、∠B、∠C的度数，进而可得∠D的度数． 【详解】 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°， ∵∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6， ∴∠A=180°×=60°，∠C=180°×=120°， ∠B=180°×=80°， ∴∠D=180°﹣80°=100°， 故答案为100． 【练8】 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为_____． 【答案】4． 【分析】 连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：连接， ，， ， ， ， 是直径， ， ∴∠CAD=30°， 又∵AD=8， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 【练9】 如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为_______． 【答案】 【详解】 连结AO. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCO=90°. ∵∠POM=45°， ∴∠CDO=45°， ∴CD=CO， ∴BO=BC+CO=BC+CD， ∴BO=2AB. ∵MN=10， ∴AO=5. 在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52， ∴AB=. 【练10】 如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度. ​ 【答案】90 【详解】 解：如图∠A，∠B，∠C可分别看成是的圆周角， 而， 所以∠A＋∠B＋∠C=90° 考点：圆周角与圆心角的关系 点评：本题考察圆周角与圆心角的关系，本题看出这三个角的圆心角是一个平角是解本题的关键 【练11】 如图所示，C，D是半圆O上的两点，AB是圆O的直径，且OD∥BC，OD与AC交于点E．AB=，BC=，求AD的长． 【答案】D=5． 【解析】 【分析】 根据题意可得△ACB为直角三角形，再根据勾股定理求出AC，再根据中位线的性质求出OE,DE，运用勾股定理即可得出结论. 【详解】 解:∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC=， ∵OD∥BC， ∴OD⊥AC， ∴AE=EC=4， ∵O是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE=CB=， ∴DE=OD﹣OE=﹣=3， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD=5． 【点睛】 本题考查了中位线的性质与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握中位线的性质与勾股定理. 【练12】 如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_________． 【答案】 【解析】 试题分析：连接AN，根据勾股定理可得MN=4，将点B作关于MN的对称点B′，连接AB′就是PA+PB的最小值，从而得出答案. 考点：轴对称问题 【练13】 如图，半圆O的直径AB＝10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD． （1）求证：EO＝OF； （2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长； （3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE＝x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论． 【答案】（1）详见解析；（2）线段EF的长等于或；（3）． 【分析】 （1）过点O作OH⊥CD于H，由垂径定理得出CH＝DH，证得EC∥OH∥FD，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，由平行线的性质得出∠ECO＝∠COH≠45°；分两种情况讨论： ①当∠EOC＝45°时，过点E作EM⊥OC于M，则△OEM是等腰直角三角形，得出EM＝OM，证明△ECM∽△COH，得出EM：CM＝CH：OH＝3：4．设EM＝3m，CM＝4m．则OM＝3m，EO＝OM＝m，由CM+OM＝OC，得出方程4m+3m＝5，解方程得出，即可得出，EF＝． ②当∠CEO＝45°时，过点O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．在Rt△EON中，．得出即可． （3）证明OH是梯形EFDC的中位线，由梯形中位线定理得出EC+FD＝2OH＝8，由梯形面积公式得出S＝（EC+FD）•CD＝OH•CD＝244×6＝24（0＜x＜8）；作FG⊥EC于G，则GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，求出EG＝EC﹣GC＝2x﹣8，由勾股定理得 ，得出四边形CDFE周长l＝EF+EC+CD+FD＝． 【详解】 （1）证明：过点O作OH⊥CD于H，如图所示： 则CH＝DH， ∵EC⊥CD，FD⊥CD，OH⊥CD， ∴EC∥OH∥FD， ∵CH＝DH， ∴EO＝FO； （2）解：∵OH⊥CD，， ∴， ∴， ∵EC∥OH， ∴∠ECO＝∠COH≠45°； ①当∠EOC＝45°时，过点E作EM⊥OC于M， 则△OEM是等腰直角三角形， ∴EM＝OM， ∵∠ECM＝∠COH，∠CME＝∠OHC＝90°， ∴△ECM∽△COH， ∴EM：CM＝CH：OH＝3：4． 在Rt△ECM中，设EM＝3m，CM＝4m．则OM＝3m， ， ∵CM+OM＝OC， ∴4m+3m＝5， 解得： ， ∴， ． ②当∠CEO＝45°时，过点O作ON⊥EC于N；． 在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4． 在Rt△EON中，． ∴． 综上所述，线段EF的长等于或． （3）解：四边形CDFE的面积S不随变量x的变化而变化，是一个不变量； 四边形CDFE的周长l随变量x的变化而变化．理由如下： 由①得：EO＝FO，CH＝DH， ∴OH是梯形EFDC的中位线， ∴EC+FD＝2OH＝8， ∴四边形CDFE面积为（是一个常值函数）； 作FG⊥EC于G，则GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6， ∴EG＝EC﹣GC＝x﹣（8﹣x）＝2x﹣8， ∴， ∴四边形CDFE周长 ， 即． 【点睛】 本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质、梯形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、梯形面积的计算，解题关键在于作辅助线和灵活运用各性质定义，本题综合性强，有一定难度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 圆周角定理 课程目标 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 精讲精练 模块一 弧、弦、圆心角 知识概述 一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样 叫做圆心角． 2.定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等． 3.推论： 　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等． 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等． 要点诠释： 　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. 　　(2)注意定理中不能忽视“ ”这一前提. 例题精讲 【例1】已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC． 【练1】 如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB． 求证：． 模块二 圆周角 知识概述 二、圆周角 1.圆周角定义： 　　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 　　在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 ． 3.圆周角定理的推论： 　　半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ． 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在 中. 例题精讲 【例1】 如图，、、是⊙上的三点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【例2】 如图，在中，，，则的度数为 ． 【例3】 如图，的顶点均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【例4】 如图：在中，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【例5】 如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ） A.55° B.60° C.65° D.70° 【例6】 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点（不与A、B重合），，，则_______ 【例7】 如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，，，求∠DOE的度数． 【例8】 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ） A.12个单位 B.10个单位 C.4个单位 D.15个单位 【例9】 如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是（ ） A.20° B.15° C.35° D.70° 【练1】 如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ） A.12.5° B.15° C.20° D.22.5° 【练2】 如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ） A.45° B.30° C.75° D.60° 【练3】 已知：如图，是的外接圆，若，，则的直径长为 ． 【练4】 已知：中，，以为直径的交于点 ． （1）如图，当为锐角时，与交于点，连接，请问与有怎样的数量关系？并证明． O A D C B E （2）如图，若不动，绕点逆时针旋转，当为钝角时，的延长线与交于点，连接，（1）中结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 模块三 圆内接多边形 知识概述 一.三角形的外接圆及外心 1.三角形的外接圆 （1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2.三角形的外心的性质 （1）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； （2）对于给定的三角形，其外心是唯一的;但一个圆的内接三角形有无数个，这些三角形的外心重合. 二.圆内接四边形 1.圆内接四边形的概念 如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆． 2.圆内接四边形的性质 性质1：圆内接四边形的对角互补． 性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 3.圆内接四边形的判定 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 补充说明：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 例题精讲 三角形外接圆 【例1】 下列给定的三点能确定一个圆的是（ ） A.线段AB的中点C及两个端点 B.角的顶点及角的边上的两点 C.三角形的三个顶点 D.矩形的对角线交点及两个顶点 【例2】 如图所示的是A、B、C、D三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC=66°，则∠BPC等于（ ） A.100° B.120° C.132° D.140° 【例3】 已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长. 　 【练1】下列说法正确的是（ ） A.一个点可以确定一条直线 B.两个点可以确定两条直线 C.三个点可以确定一个圆 D.不在同一直线上的三点确定一个圆 【练2】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（ ）． A． B．4 C． D．5 圆内接四边形 【例1】 下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 【例2】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD内接于，对角线AC经过圆心，若∠BAD=45°，，则AB的长等于 ． 【例3】 如图，在中，，点是的中点，以为直径作分别交，于点，则 ；（填“”、“”、“”） 【例4】 如图，在的内接四边形中，，点为的中点，则的长是多少？． 【例5】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝62°，则∠BCE等于（ ） A.28° B.31° C.62° D.118° 【练1】 下列语句中正确的个数是（ ） ①矩形的四边中点在同一个圆上；②菱形的四边中点在同一个圆上； ③等腰梯形的四边中点在同一个圆上；④平行四边形的四边中点在同一个圆上． A.1 B.2 C.3 D.4 【练2】 如图，、是的两条高,求证:. 【练3】 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC=CD=AC=2，AB=，则BD的长为____． 【练4】 如图，外接于正方形，为弧上一点，且，，求的长． 附加题(练1-3，建议学生必做) 【练1】 如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE． 【练2】 如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF． 【练3】 如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和AD的长． 【练4】 在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连结FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，则线段DG的长为 　 　； ②如图2，点E不与点A，B重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，则＝　 　． 【练5】 问题背景：如图①在四边形中，探究线段、、之间的数量关系． 小杨同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处点、分别落在点、处（如图②），，易证点，、、在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论 简单应用： （1）在图①中，直接利用小杨得出的结论，若，，则______． （2）利用小杨同学探究图②问题提供的思路，解决③图中的问题．如图③，已知是的直径点、在上，求证：． 拓展延伸： （3）如图④，，，是四边形的外接圆，若，，求的长（用含,的代数式表示） 一课一练 【练1】 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=40°，则∠OCB等于（ ） A B C O A. B. C. D. 【练2】 如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=36°，则∠P的度数为（ ） A.144° B.72° C.60° D.36° 【练3】 如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠DAC＝20°，则∠ACD的度数为（ ） A.20° B.30° C.40° D.45° 【练4】 如图，AD平分∠BAC，ADE//AC且AB=5，DE长为 ． O B C D A E 【练5】 如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为________． 【练6】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的度数为________． 【练7】 如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠BEC的度数为_____． 【练8】 半径为1的圆的内接正三角形的边长为___________． 【练9】 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD＝__________°． 【练10】 如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D （1）求证：OD∥AC； （2）若AC=8，AB=10，求AD． 【练11】 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D．自C作CG⊥AB交AD于E，交AB于G．自D作DF⊥AB于F，求证：CF⊥DE． 【练12】 已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E． （1） 求证： AD的延长线平分； （2） 若，中边上的高为，求△ABC外接圆的面积． 课后作业 【练1】 如图，AC是⊙O的直径，弦AB//CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（ ） A．64° B．48° C．32° D．76° 【练2】 如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（ ） A．37° B．74° C．54° D．64° 【练3】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于（ ） A．69° B．42° C．48° D．38° 【练4】 如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于（ ） A．70° B．110° C．90° D．120° 【练5】 如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（　　） A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠3＞∠1＞∠2  C．∠2＞∠1＞∠3 D．∠3＞∠2＞∠1 【练6】 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠BCD的度数是（　　） A．35° B．46° C．55° D．70° 【练7】 在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D= 度． 【练8】 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为_____． 【练9】 如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为_______． 【练10】 如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度. ​ 【练11】 如图所示，C，D是半圆O上的两点，AB是圆O的直径，且OD∥BC，OD与AC交于点E．AB=，BC=，求AD的长． 【练12】 如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_________． 【练13】 如图，半圆O的直径AB＝10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD． （1）求证：EO＝OF； （2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长； （3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE＝x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$