2024-2025学年人教版九年级数学上册暑假-第9讲-圆与垂径定理

第6讲 圆与垂径定理 课程目标 1. 理解圆的有关概念和圆的对称性； 2. 能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，�圆的对称性进行计算或证明； 3. 养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 4. 理解圆的对称性； 5. 掌握垂径定理及其推论； 6. 学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题． 精讲精练 模块一 圆的相关概念 知识概述 一、圆的定义及性质 1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做 . 以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“圆O”． 要点诠释： 1 圆心确定圆的 ，半径确定圆的 ；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内 的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 图形，对称中心是 ； 2 圆是 图形：任何一条直径 都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条 都是圆的对称轴. 要点诠释： 1 圆有 条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是 ，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 二、与圆有关的概念 1. 弦 弦： 叫做弦. 直径：经过 叫做直径. 弦心距： 叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中 ，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧： 叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 都叫做半圆； 优弧： 的弧叫做优弧； 劣弧： 的弧叫做劣弧. 要点诠释： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 4.等弧 　　在同圆或等圆中， 叫做等弧. 要点诠释： 　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 例题精讲 【例1】 判断： （1）直径是弦，弦是直径 （ ） （2）半圆是圆弧 （ ） （3）长度相等的弧是等弧 （ ） （4）能够重合的弧是等弧 （ ） （5）圆弧分为优弧和劣弧 （ ） （6）优弧一定大于劣弧 （ ） （7）半径相等的圆是等圆 （ ） 【例2】 车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（ ） A.同弧所对的圆周角相等 B.直径是圆中最大的弦 C.圆上各点到圆心的距离相等 D.圆是中心对称图形 【例3】 设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（ ） A.你只能塞过一张纸 B.你只能塞过一只书包 C.你能钻过铁丝 D.你能直起身体走过铁丝 【例4】 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上. 【例5】 圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？ 【例6】 如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 . 【练1】 下列说法中，结论错误的是（ ） A.直径相等的两个圆是等圆 B.长度相等的两条弧是等弧 C.圆中最长的弦是直径 D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 【练2】 过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 【练3】 如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则 ． 【练4】 如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依的顺序沿着圆周上的段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这段路径上不断地爬行，直到行走后才停下来，请问这只蚂蚁停在哪一个点？ 【练5】 如图，点、、、、在一条直线上，是半圆的直径，是半圆的直径，两半圆相交于点，连接，，若，则 【练6】 平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（ ）. A.2.5cm B.6.5cm C. 2.5cm或6.5cm D. 5cm或13cm 【练7】 已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___ ____． 模块二 垂径定理 知识概述 一、垂径定理 1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： 　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 例题精讲 【例1】 半径为8的圆内，垂直平分半径的弦长是________． 【例2】 如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是________． 【例3】 如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（ ） A.6m B.8m C.10m D.12m 【例4】 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②，其中于点，求间径就是要求⊙的直径． 再次阅读后，发现________寸，________寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙的直径． 【例5】 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为________mm． 【例6】 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ． 【例7】 已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离. 【练1】 如图，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA=30°，OC=3cm，则弦AB的长为（　　） A.9cm B.3cm C.cm D.cm 【练2】 如图，内接于，为线段的中点，延长交于点，连接，，则下列五个结论，，正确结论的是 【练3】 如图，当圆形桥孔中的水面宽度AB为8米时，弧ACB恰为半圆．当水面上涨1米时，桥孔中的水面宽度为（ ） A.米 B.米 C.米 D.不能计算 【练4】 如图，在梯形中，，，，．以上一点为圆心的圆经过、两点，且，则圆心到弦的距离是多少？ 【练5】 如图，AD是⊙O的直径． （1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是____°，∠B2的度数是____°； （2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数； （3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）． 【练6】 如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径． 【练7】 如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 【练8】 在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________． 附加题 【练1】 如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）证明：点E是OB的中点； （2）若AB=8，求CD的长． 【练2】 如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED． （1）求证：AB=CD； （2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值． 一课一练 【练1】 下列说法正确的有（ ） ①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点． A.①②③④⑤ B.①②⑤ C.①②③⑤ D.②④⑤ 【练2】 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm． 【练3】 如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=　　　　　　时，△PAD为等腰三角形． 【练4】 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm． 【练5】 如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径． 【练6】 如图，已知圆O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A.3 B.4 C. D. 【练7】 如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为____________． 【练8】 在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则两弦之间的距离为_______cm。 【练9】 如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝EC． 【练10】 在⊙O中，点C是劣弧AB的中点，则线段AB和线段AC的大小为（ ） A. B. C. D.无法确定 课后作业 【练1】 下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是弧 D．通过圆心的线段是直径 【练2】 下列语句中，不正确的个数是(　　) ①弦是直径　②半圆是弧　③长度相等的弧是等弧　④经过圆内一点可以作无数条直径 A．1 B．2 C．3 D．4 【练3】 如图，中，点，，以及点，，分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 【练4】 如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有______个． 【练5】 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a、b、c的大小是_________． 【练6】 如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于________． 【练7】 P为⊙O内一点，OP＝3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_____cm，最长弦长为_____cm． 【练8】 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数． 【练9】 如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【练10】 如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD （1）求证：∠C=∠D； （2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围． 【练11】 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=10cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 【练12】 如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长． 【练13】 如图，⊙的半径为，为弦，，交于点，交⊙于点，．求弦的长． 【练14】 如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12. 求线段EF的长. 【练15】 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 圆与垂径定理 课程目标 1. 理解圆的有关概念和圆的对称性； 2. 能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，�圆的对称性进行计算或证明； 3. 养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 4. 理解圆的对称性； 5. 掌握垂径定理及其推论； 6. 学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题． 精讲精练 模块一 圆的相关概念 知识概述 一、圆的定义及性质 1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 二、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 4.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 例题精讲 【例1】 判断： （1）直径是弦，弦是直径 （ ） （2）半圆是圆弧 （ ） （3）长度相等的弧是等弧 （ ） （4）能够重合的弧是等弧 （ ） （5）圆弧分为优弧和劣弧 （ ） （6）优弧一定大于劣弧 （ ） （7）半径相等的圆是等圆 （ ） 【答案】（2）（4） 【解析】（1）直径是弦，但弦不一定是直径，故（1）错误；（2）正确；（3）长度相等的弧可以不是等弧，故（3）错误；（4）正确；（5）圆弧分为优弧、劣弧、半圆 【例2】 车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（ ） A.同弧所对的圆周角相等 B.直径是圆中最大的弦 C.圆上各点到圆心的距离相等 D.圆是中心对称图形 【答案】 C 【解析】车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变， 是利用了圆上各点到圆心的距离相等． 【例3】 设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（ ） A.你只能塞过一张纸 B.你只能塞过一只书包 C.你能钻过铁丝 D.你能直起身体走过铁丝 【答案】 D 【解析】， 【例4】 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上. 【答案与解析】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OC=OB=OD， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上. 【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 【例5】 圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？ 【答案与解析】 如图所示,分两种情况: （1）当点P为圆O内一点（如图1），过点P作圆O的直径，分别交圆O于A、B两点， 由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10， 所以圆O的半径为. 图1 图2 （2）当点P在圆外时（如图2），作直线OP，分别交圆O于A、B，由题可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O的半径. 综上所述，所求圆的半径为6或4. 【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P做圆的直径，得到圆的半径.通常情况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.体现分类讨论的思想. 【例6】 如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 . 【答案】3≤OP≤5. 【解析】OP最长边应是半径长，为5； 根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短． ∵直径为10，弦AB=8 ∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4， 由勾股定理得OP=，∴OP最短为3. ∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5. 【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短. 【练1】 下列说法中，结论错误的是（ ） A.直径相等的两个圆是等圆 B.长度相等的两条弧是等弧 C.圆中最长的弦是直径 D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 【答案】 B 【解析】A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意； B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意； C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意； D、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意， 【练2】 过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 【答案】 A 【解析】过圆上一点只能做一条最长的弦为直径． 【练3】 如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则 ． 【答案】 【解析】连接，共能得到两个等腰三角形，为的2倍，继而由外角得到． 【练4】 如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依的顺序沿着圆周上的段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这段路径上不断地爬行，直到行走后才停下来，请问这只蚂蚁停在哪一个点？ 【答案】D点 【解析】利用周长公式计算，再根据相邻两点间的路程计算走了整圈后，又走了几个点． 【练5】 如图，点、、、、在一条直线上，是半圆的直径，是半圆的直径，两半圆相交于点，连接，，若，则 ． 【答案】 【解析】是的一个外角，欲求即求，连接利用圆中的等腰三角形即可求出． 【练6】 平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（ ）. A.2.5cm B.6.5cm C. 2.5cm或6.5cm D. 5cm或13cm 【答案】C. 【练7】 已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___ ____． 【答案】 OP最大为半径，最小为O到AB的距离．所以5≤OP≤13. 模块二 垂径定理 知识概述 一、垂径定理 1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： 　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 例题精讲 【例1】 半径为8的圆内，垂直平分半径的弦长是________． 【答案】 【解析】连接OA，如图所示： 在直角△OAD中， ∵OA＝4cm，OD＝2cm， ∴， ∵OC⊥AB， ∴． 【例2】 如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是________． 【答案】4 【解析】连接OA， 设CD＝x， ∵OA＝OC＝10， ∴OD＝10－x， ∵OC⊥AB， ∴由垂径定理可知：AB＝16， 由勾股定理可知：102＝82＋（10－x）2 ∴x＝4， ∴CD＝4 【例3】 如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（ ） A.6m B.8m C.10m D.12m 【答案】 C 【解析】如图， 设OA＝r，则OD＝r－4， ∵AB＝16m， ∴AD＝8m． 在Rt△AOD中， ∵OD2＋AD2＝OA2，即（r－4）2＋82＝r2，解得r＝10（m）． 【例4】 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②，其中于点，求间径就是要求⊙的直径． 再次阅读后，发现________寸，________寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙的直径． 【答案】1；10；连接；26寸 【解析】根据题意得：寸，寸； 连接，如图所示： ∵， ∴． 设寸，则寸， 在中，， ∴． ∴． 解得：， ∴⊙的直径为26寸． 【例5】 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为________mm． 【答案】8 【解析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD＝3mm， 在Rt△AOD中， ∵mm， ∴AB＝2AD＝2×4＝8mm． 【例6】 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ． 【答案】. 【解析】 作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA， ∵AB=CD，CE=1，ED=3， ∴OM=EN=1，AM=2， ∴OA=. 【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 【例7】 已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离. 【思路点拨】 在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离. 【答案与解析】 (1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M， 并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. 　　　　 ∵AB∥CD 　　　　 ∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距. 　　　　 ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， 　　　　 　　　　 　　　　 　 =8+6 　　　　 　 =14(cm) 　　　　 图1 图2 (2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时， 　　　　 　同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) 　　　　 　∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm. 【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解. 【练1】 如图，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA=30°，OC=3cm，则弦AB的长为（　　） A.9cm B.3cm C.cm D.cm 【答案】 A 【解析】∵∠CBA=30°， ∴∠AOC=2∠CBA=60°， ∵AB⊥OC， ∴∠ADO=90°， ∴∠OAD=30°， ∴OD=OA=×3=（cm）， 由勾股定理得：AD==4.5cm， ∵AB⊥OC，OC过O， ∴AB=2AD=9（cm）， 【练2】 如图，内接于，为线段的中点，延长交于点，连接，，则下列五个结论，，正确结论的是 【答案】①②⑤ 【解析】∵是的半径，且是的中点，，；（故①⑤正确）∴；（故②正确） 【练3】 如图，当圆形桥孔中的水面宽度AB为8米时，弧ACB恰为半圆．当水面上涨1米时，桥孔中的水面宽度为（ ） A.米 B.米 C.米 D.不能计算 【答案】 B 【解析】设圆的圆心是O，作弦的弦心距OE，连接． 根据题意，得在直角三角形中，，． 根据勾股定理得． 再根据垂径定理得． 【练4】 如图，在梯形中，，，，．以上一点为圆心的圆经过、两点，且，则圆心到弦的距离是多少？ 【答案】 【解析】如图，作，垂足为，，垂足为，则四边形是矩形。 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴∴ ∵四边形是矩形 ∴ 又∵ ∴在中， 又∵在 ∴是等腰直角三角形 又∵ ∴ 【练5】 如图，AD是⊙O的直径． （1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是____°，∠B2的度数是____°； （2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数； （3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）． 【答案】（1）22.5 ；67.5（2）∠B1=15°；∠B2=45°；∠B3=75°（3）∠Bn=（90-）° 【解析】（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（4分） （2）∵圆周被6等分 ∴（1分） ∵直径AD⊥B1C1 ∴==30°， ∴∠B1==15°（1分） ∠B2==×（30°+60°）=45°（1分） ∠B3==×（30°+60°+60°）=75°；（1分） （3）BnCn把圆周2n等分，则弧的度数是：， 则∠BnAD=， 在直角△ABnD中，∠Bn=90°-=（90-）° 【练6】 如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径． 【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB， ∴ ， ， ∴ 在Rt△BOM中，． 【练7】 如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD， ∴F为CD的中点，即CF=DF， ∵AE=2，EB=6， ∴AB=AE+EB=2+6=8， ∴OA=4， ∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2， 在Rt△OEF中，∠DEB=30°， ∴OF=OE=1， 在Rt△ODF中，OF=1，OD=4， 根据勾股定理得：DF==， 则CD=2DF=2． 【练8】 在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________． 【答案】2或8． 附加题 【练1】 如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）证明：点E是OB的中点； （2）若AB=8，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可； （2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长． 【详解】 （1）证明：连接AC，如图 ∵直径AB垂直于弦CD于点E， ∴，AC＝AD， ∵过圆心O的线CF⊥AD， ∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线， ∴AC＝CD， ∴AC＝AD＝CD． 即：△ACD是等边三角形， ∴∠FCD＝30°， 在Rt△COE中，OE＝OC， ∴OE＝OB， ∴点E为OB的中点； （2）解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4， 又∵BE＝OE， ∴OE＝2， ∴CE＝， ∴CD＝2CE＝． 【点睛】 本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 【练2】 如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED． （1）求证：AB=CD； （2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【详解】 试题分析：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD； （2）由（1）可得，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM，继而可得NE=ME， 从而得AE=CE， DE-AE=DE-CE=DN+NE-CE=CN+NE-CE=2NE，在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，即可求出NE． 试题解析：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1， ∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD； （2）如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵，∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），∴NE=ME，∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON=OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE﹣AE=2NE=2． 一课一练 【练1】 下列说法正确的有（ ） ①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点． A.①②③④⑤ B.①②⑤ C.①②③⑤ D.②④⑤ 【答案】 B 【解析】①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧正确； ②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合，正确； ③度数相等的弧叫做等弧，错误； ④同圆中优弧大于劣弧，故原命题错误； ⑤直角三角形的外心是其斜边中点，正确． 【练2】 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm． 【答案】3；5 【解析】 过点O作OE⊥AB于点E，连接OB， ∵AB=8cm， ∴AE=BE=AB=×8=4cm， ∵⊙O的直径为10cm， ∴OB=×10=5cm， ∴OE===3cm， ∵垂线段最短，半径最长， ∴3cm≤OP≤5cm． 【练3】 如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=　　　　　　时，△PAD为等腰三角形． 【答案】或4或 【解析】①当PA=PD时， 此时P位于四边形ABCD的中心， 过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M， 则四边形EAMP是正方形， ∴PM=PE=AB=2， ∵PM2=AM•BM=4， ∵AM+BM=4， ∴AM=2， ∴PA=2， ②当PA=AD时，PA=4； ③当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P． 连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G， 则△ADO≌△PDO， ∴DO⊥AP，AG=PG， ∴AP=2AG， 又∵DA=2AO， ∴AG=2OG， 设AG为2x，OG为x， ∴（2x）2+x2=4， ∴x=， ∴AG=2x=， ∴PA=2AG=； ∴PA=2或4或， 故答案为：2或4或． 【练4】 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm． 【答案】3；5 【解析】 过点O作OE⊥AB于点E，连接OB， ∵AB=8cm， ∴AE=BE=AB=×8=4cm， ∵⊙O的直径为10cm， ∴OB=×10=5cm， ∴OE===3cm， ∵垂线段最短，半径最长， ∴3cm≤OP≤5cm． 【练5】 如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径． 【答案】（1）见解析 （2）26 【解析】（1）∵AB⊥CD， ∴， ∴∠A＝∠BCD， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA－BE＝r－8， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DE＝CD＝×24＝12， 在Rt△OCE中，122＋（r－8）2＝r2，解得r＝13， ∴⊙O的直径＝2r＝26． 【练6】 如图，已知圆O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A.3 B.4 C. D. 【答案】 C 【练7】 如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为____________． 【答案】 【练8】 在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则两弦之间的距离为_______cm。 【答案】1或7 【练9】 如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝EC． 【答案】见解析 【解析】如图，连接AD， ∵AB＝CD， ∴， ∴，即， ∴∠BAD＝∠CDA， ∴AE＝DE， 又∵AB＝CD， ∴AE＝CE． 【练10】 在⊙O中，点C是劣弧AB的中点，则线段AB和线段AC的大小为（ ） A. B. C. D.无法确定 【答案】 C 【解析】∵在⊙O中，点C是劣弧AB的中点， ∴， ∵， ∴． 课后作业 【练1】 下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是弧 D．通过圆心的线段是直径 【答案】C 【解析】试题解析：A、弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误； B、弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误； C、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的． D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误． 故选C． 【练2】 下列语句中，不正确的个数是(　　) ①弦是直径　②半圆是弧　③长度相等的弧是等弧　④经过圆内一点可以作无数条直径 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 直径是弦，但弦不一定是直径故①不正确，弧包括半圆，优弧和劣弧故②正确，等弧是能够重合的弧故③不正确，而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心，故④不正确．) 【练3】 如图，中，点，，以及点，，分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】 根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】 解：图中的弦有AB，BC，CE共三条． 故选B． 【点睛】 理解弦的定义是解决本题的关键． 【练4】 如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有______个． 【答案】3 【分析】 过O点作OE⊥AB，交⊙O于D，由OE＝3，OA＝5，得到DE＝2，即点P到到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，则还有两个点到直线AB的距离为3． 【详解】 如图，OD＝OA＝OB＝5，OE⊥AB，OE＝3， ∴DE＝OD−OE＝5−3＝2cm， ∴点D是圆上到AB距离为2cm的点， ∵OE＝3cm＞2cm， ∴在OD上截取OH＝1cm， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点， 则有HE⊥AB，HE＝OE−OH＝2cm， 即GF到AB的距离为2cm， ∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点． 故答案为3． 【点睛】 本题考查了垂径定理，当圆心到直线的距离小于圆的半径，这条直线与圆相交．注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个． 【练5】 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a、b、c的大小是_________． 【答案】a=b=c 【详解】 连接OA，OD，OM．因为四边形ABOC、DEOF、HMON均为长方形，长方形的对角线相等，所以OA=BC，OD=EF，OM=HN．所以BC=EF=HN，即a=b=c． 【练6】 如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于________． 【答案】80° 【详解】 试题分析：利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数． 解：∵OM=ON， ∴∠N=∠M=50°， ∴∠MON=180°-∠M-∠N=80°， 故答案为80°． 考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形的内角和定理；3．圆的定义． 【练7】 P为⊙O内一点，OP＝3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_____cm，最长弦长为_____cm． 【答案】8 10 【解析】 试题分析：当弦与OP垂直时，弦最短，最短弦为8cm，过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm． 考点：点与圆的位置关系. 【练8】 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数． 【答案】10°． 【分析】 先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余，从而求得∠ACD的度数． 【详解】 解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠B=50°， ∵CD=CB， ∴∠BCD=180°-2×50°=80°， ∴∠ACD=90°-80°=10°． 故答案为10°． 【点睛】 本题考查三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质，是基础知识比较简单，求出∠BCD的度数是解题的关键． 【练9】 如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【答案】的最大值为. 【解析】 【分析】 由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求. 【详解】 连结，， ∵ ∴ ∴为等边三角形， ∵点，分别是，的中点 ∴，∵ 为的一条弦 ∴最大值为直径14 ∴的最大值为. 【点睛】 利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题. 【练10】 如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD （1）求证：∠C=∠D； （2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）r＜CE+ED＜2r 【分析】 （1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′，由已知求得∠AEC=60°，进而求得∠DEO=∠D′EO=60°，根据圆是轴对称图形即可证得∠D=∠D′，ED=ED′，然后根据等腰三角形的性质求得∠D′=∠C，从而证得结论； （2）证得∠COD′＞60°，从而证得CD′＞OC=OD′，由CD′＜OC+OD′，CE+ED=CE+ED′=CD′，从而得出r＜CE+ED＜2r． 【详解】 证明：（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′ ∵∠CED=∠OED=60°， ∴∠AEC=60°， ∴∠OED′=60°， ∴∠DEO=∠D′EO=60°， 由轴对称的性质可得∠D=∠D′，ED=ED′， ∵OC=OD′， ∴∠D′=∠C， ∴∠C=∠D； （2）∵∠D′EO=60°， ∴∠C＜60°， ∴∠C=∠D′＜60°， ∴∠COD′＞60°， ∴CD′＞OC=OD′， ∵CD′＜OC+OD′， ∵CE+ED=CE+ED′=CD′， ∴r＜CE+ED＜2r． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形三边之间的关系，圆是轴对称图形是本题的关键． 【练11】 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=10cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 【答案】AB=8． 【解析】 试题分析：连接OA，先根据CD=10cm得出OC的长，再由OM：OC=3：5得出OM的长，由勾股定理求出AM的长，进而可得出结论． 试题解析：连接OA，∵CD=10cm，∴OC=5cm．∵OM：OC=3：5，∴OM=3， ∴AM===4， ∴AB=2AM=8． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【练12】 如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长． 【答案】CD=8. 【解析】 试题分析：连接OC，先根据直径AB=10，求出OC的长，再根据勾股定理求出CE的长，由垂径定理即可得出结论. 试题解析：连接OC， ∵直径AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5； ∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE= =4，∴CD=2CE=8． 【练13】 如图，⊙的半径为，为弦，，交于点，交⊙于点，．求弦的长． 【答案】8 【解析】 【分析】 求出OD，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出AD，即可得出答案． 【详解】 解：∵⊙的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查垂径定理及其推论，勾股定理，解题关键在于得出 【练14】 如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12. 求线段EF的长. 【答案】4 【分析】 作OM⊥BC于M，连接OE，根据垂径定理求出EF=2EM，求出OE和OM长，根据勾股定理求出EM，即可求出EF． 【详解】 作OM⊥BC于M，连接OE， 则ME=MF=EF， ∵AD=12， ∴OE=6， 在矩形ABCD中，OM⊥BC， ∴OM=AB=4， ∵在△OEM中，∠OME=90°， ME===2 ， ∴线段EF的长度为4． 【点睛】 考查了勾股定理、垂径定理、矩形的性质等知识点，解题关键是构造直角三角形. 【练15】 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 【答案】不需要采取紧急措施，理由详见解析. 【分析】 连接OA′，OA．设圆的半径是R，则ON＝R−4，OM＝R−18．根据垂径定理求得AM的长，在直角三角形AOM中，根据勾股定理求得R的值，在直角三角形A′ON中，根据勾股定理求得A′N的值，再根据垂径定理求得A′B′的长，从而作出判断． 【详解】 设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示 设半径为则 由垂径定理可知， ∵，∴，且 在中，由勾股定理可得 即，解得 ∴ 在中，由勾股定理可得 ∴ ∴不需要采取紧急措施. 【点睛】 此类题综合运用了勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用. 学科网（北京）股份有限公司 $$