2024-2025学年人教版九年级数学上册暑假-第8讲-旋转与中心对称

第9讲 旋转与中心对称 课程目标 1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质． 2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形． 3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用． 4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计． 精讲精练 模块一 图形的旋转 知识概述 一．旋转的概念与性质 旋转的概念 （1）旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换 （2）旋转中心：点O （3）旋转角：转动的角 （4）对应点：如图上的点A经过旋转变为点A’，则A、A’为对应点 （1） （2）对应点到旋转中心的距离相等 （3）旋转角均相等 旋转的性质 （1）旋转前后的图形是全等的 （2）对应点到旋转中心的距离相等 （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转角均相等 易错点：题目中没有明确旋转方向的时候一定要考虑到顺时针和逆时针旋转两种情况 二．旋转作图 旋转作图的条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向 （3）旋转角度 将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90° 旋转作图的步骤 （1）连：将图形中每一个关键点或顶点与旋转中心连接； （2）转：把连线沿某一方向绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)； （3）截：在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连：连接所得到的各对应点． 一．考点：旋转的概念、性质和旋转作图． 二．重难点：研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 三．易错点： 1.注意对应点的对应关系以及作图顺序问题； 2.注意题目中没有明确旋转方向的时候一定要考虑到顺时针和逆时针旋转两种情况． 例题精讲 【例1】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是( ) ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； ②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等； ④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例2】 如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过______次旋转而得到，每一次旋转______度． 【例3】 如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为（－1，5），B点的坐标为（3，3），小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是________． 【例4】 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，如果△ABC绕点A逆时针旋转后能与△ADE重合，则旋转角度是（ ） A.90° B.60° C.45° D.30° 【例5】 如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（－1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过二次翻滚点A对应点记为A2……依次类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为（ ） A.（5，2） B.（6，0） C.（8，0） D.（8，1） 【练1】 如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（ ） A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45° 【练2】 将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ） A.96 B.69 C.66 D.99 【练3】 如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A.点M B.格点N C.格点P D.格点Q 【练4】 一个图形无论经过平移变换还是旋转变换，下列结论一定正确的是________（把所有你认为正确的序号都写上） ①对应线段平行； ②对应线段相等； ③对应角相等； ④图形的形状和大小都不变． 【练5】 在以下正多边形中，绕其中心旋转72°，能与自身重合的是（ ） A.正方形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形 【例6】 如图，A点的坐标为（－1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，－1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是________． 【例7】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别为、． （1）画出绕原点顺时针方向旋转后得到的△； （2）画出关于原点的中心对称图形△； （3）猜想：的度数为多少？不必说明理由． 【练6】 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，3）、B（－6，0）、C（－1，0）． （1）画出△ABC关于C点对称的△DEC，则点A的对应点D的坐标为________． （2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得△A'B'C，画出图形，则点A的对应点A'坐标为________． （3）△CDE与△A'B'C'重叠部分的面积为________． 【练7】 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，－4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 【练8】 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．将点绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到点，使，再将绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到点，使，……，如此继续下去．求：（1）的坐标；（2）的坐标． 模块二 中心对称与中心对称图形 知识概述 一．中心对称的概念 中心对称的概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称 中心对称点，点O 关于中心的对称点：两个图形中的对应点 点A、点C 中心对称的特征 （1）对称点所连线段都经过点O，且被点O平分，CO=C’O （2）两个图形全等，△ABC≌△A'B'C' （3）对应线段平行（或在同一直线上）且相等； AB∥A'B' AB=A'B' （4）若对应点连线CC'、AA'、BB'交于一点O，且均被点O平分，则点O为中心对称点 易错点：中心对称是旋转的一个特例但是旋转不一定中心对称； 二．中心对称图形 中心对称图形 中心对称图形：一个图形绕着点O旋转180°，能够与自身重合 对称中心：点O 中心对称与中心对称图形 中心对称：指两个图形的关系 中心对称图形：指具有某种性质的一个图形 若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形 中心对称图形的判断 若一个图形中的每一个点均可以在自身图形中找到对应点，则该图形为中心对称图形 一．考点：中心对称与中心对称图形 二．重难点： 1．两个图形成中心对称是旋转角为定角()的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系； 2．中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 三．易错点： 1．注意中心对称图形与中心对称的区别与联系； 2．中心对称是旋转的一个特例但是旋转不一定中心对称； 3．中心对称图形的判断． 例题精讲 【例1】 下列结论中，错误的是（ ） A.形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称 B.关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等 C.关于成中心对称的两图形，对称中心在两对称点的连线上 D.关于成中心对称的两图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等 【例2】 如图，△ABC与△关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A.点A与点是对称点 B. C. D. 【例3】 已知点A（a，－3）是点B（－2，b）关于原点O的对称点，则a＋b＝________． 【例4】 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将A绕0逆时针旋转120°至OA′，则点A′的坐标为________． 【例5】 在如图所示的网格中，已知A（2，4），B（4，2），点C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形． （1）填空：C点的坐标是________．△ABC的面积是________； （2）将△ABC绕C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1，得四边形AB1A1B，则点A1的坐标是________；四边形AB1A1B面积是________；并画出旋转后的图形． 【练1】 在平面直角坐标系中，点A（3，4）关于原点的对称点的坐标为（ ） A.（3，4） B.（－3，－4） C.（3，－4） D.（－3，4） 【练2】 在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180°）后能与原字母重合的是____________ 【练3】 当一个图形在旋转中第一次与自身重合时，我们称此图形转过的角度为旋转对称角，将下图中图形按旋转对称角从小到大的顺序排列是___________（用“”连接） 【练4】 如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作圆，将正方形分成四部分． （1）这个图形_____旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点_____，最小旋转角是_____． （2）求图形OBC的周长和面积． 【例6】 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【例7】 下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例8】如图，是在直角坐标系中围棋子摆出的图案，若再摆放一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标是（ ） A.黑（3，3），白（3，1） B.黑（3，1），白（3，3） C.黑（1，5），白（5，5） D.黑（3，2），白（3，3） 【例8】 如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，，则BB′的长为（ ） A. B. C. D. 【练5】 下列电子显示器上的两位数组成的图形，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【练6】 写一个既是轴对称又是中心对称的（笔划为四划）的汉字________．（注意字体，把字写好哟！） 【练7】 下列命题中．①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【练8】 如图，四边形ABCD和ABEF是两个并排放置的正方形，ABCD绕平面上某点旋转可与ABEF重合，则平面上可以作为旋转中心的点有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上 【练9】 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是　　． 【练10】 有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵像正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竟得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 附加题 【练1】 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，在四边形BDEC中，DB＝DE，∠BDE＝2α，M为CE的中点，连接AM，DM． （1）在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形； （2）求证：AM⊥DM； （3）当α＝________，AM＝DM． 【练2】 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设． （1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标． （2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标． （3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由． （4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果） 一课一练 【练1】 在△ABC中，∠CAB＝26°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转α°到三角形AB'C'的位置使得CC'∥AB，则α＝（ ） A.138 B.128 C.118 D.108 【练2】 下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【练3】 现有如图1所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是（　　） A.A选项 B.B选项 C.C选项 D.D选项 【练4】 下列说法错误的是（ ） A.成中心对称的两个图形的对称点到对称中心的距离相等 B.在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心 C.如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么两个图形一定关于这个一点成中心对称 D.成中心对称的两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角也相等 【练5】 剪纸是我国传统的民间艺术，是数学文化中的瑰宝，下列剪纸作品，既是中心对称又是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【练6】 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【练7】 下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【练8】 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点都在由边长为单位1的小正方形组成的8×8的网格中的格点上，E（1，0）． （1）将四边形ABCD沿y轴翻折，画出翻折后对应的四边形A1B1C1D1； （2）将四边形ABCD以点E为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的四边形A2B2C2D2； （3）若将四边形A1B1C1D1；绕某一点旋转可以得到四边形A2D2C2B2；请直接写出旋转中心的坐标． 【练9】 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出点A、B两点的坐标； （2）作出△ABC关于坐标原点成中心对称的△A1B1C1． 课后作业 【练1】 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　） A.30° B.45° C.90° D.135° 【练2】 如图，△ABC≌△ADE，∠BAD=52°． （1）求∠EAC的度数． （2）△ADE可以看作是由△ABC绕着点　　，按　　（填顺时针或逆时针）方向，旋转　　度角形成的． 【练3】 将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2017秒时，点A的对应点A′的坐标为（ ） A.（0，4） B.（，－2） C.（，2） D.（0，－4） 【练4】 下列命题中是真命题的是（　　） A.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 B.一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点所连的线段相等 C.平行四边形的对角线相等 D.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等 【练5】 如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____次旋转而得到，每一次旋转____度． 【练6】 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（－5，－5），B（－1，－3），C（－3，－1）． （1）按要求画出变换后的图形： ①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； ②以原点O为旋转中心，把△A1B1C1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2； （2）若将△ABC向右平移m个单位，向上平移n个单位，使点C落在△A2B2C2内部，指出m、n的取值范围． 【练7】 课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．” （1）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程； （2）小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的． 【练8】 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在个点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-6，1），点B的坐标为（-3，1），点C的坐标为（-3，3）． （1）将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出的图形Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形． 【练9】 如图是一个等腰直角三角形经过若干次旋转而生成的，则每次旋转的角度最小是________ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 旋转与中心对称 课程目标 1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质． 2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形． 3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用． 4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计． 精讲精练 模块一 图形的旋转 知识概述 一．旋转的概念与性质 旋转的概念 （1）旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换 （2）旋转中心：点O （3）旋转角：转动的角 （4）对应点：如图上的点A经过旋转变为点A’，则A、A’为对应点 （1） （2）对应点到旋转中心的距离相等 （3）旋转角均相等 旋转的性质 （1）旋转前后的图形是全等的 （2）对应点到旋转中心的距离相等 （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转角均相等 易错点：题目中没有明确旋转方向的时候一定要考虑到顺时针和逆时针旋转两种情况 二．旋转作图 旋转作图的条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向 （3）旋转角度 将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90° 旋转作图的步骤 （1）连：将图形中每一个关键点或顶点与旋转中心连接； （2）转：把连线沿某一方向绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)； （3）截：在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连：连接所得到的各对应点． 一．考点：旋转的概念、性质和旋转作图． 二．重难点：研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 三．易错点： 1.注意对应点的对应关系以及作图顺序问题； 2.注意题目中没有明确旋转方向的时候一定要考虑到顺时针和逆时针旋转两种情况． 例题精讲 【例1】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是( ) ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； ②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等； ④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】根据旋转的性质可得②④正确． 【例2】 如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过______次旋转而得到，每一次旋转______度． 【答案】4；72 【解析】根据题意，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点， 这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过4次旋转而得到， 每次旋转的度数为360°除以5，为72度． 故答案为：4；72． 【例3】 如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为（－1，5），B点的坐标为（3，3），小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是________． 【答案】（1，1）或（4，4） 【解析】如图所示，分两种情形，旋转中心分别为（1，1）或（4，4）； 【例4】 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，如果△ABC绕点A逆时针旋转后能与△ADE重合，则旋转角度是（ ） A.90° B.60° C.45° D.30° 【答案】 C 【解析】∵△ABC绕点A逆时针旋转后能与△ADE重合， ∴AE的对应边为AE， ∴旋转角度等于∠CAE， ∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C＝∠AED＝90°， ∴∠CAE＝45°． 【例5】 如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（－1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过二次翻滚点A对应点记为A2……依次类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为（ ） A.（5，2） B.（6，0） C.（8，0） D.（8，1） 【答案】 D 【练1】 如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（ ） A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45° 【答案】 B 【解析】根据旋转的性质，要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．由图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE 【练2】 将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ） A.96 B.69 C.66 D.99 【答案】 B 【解析】现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69． 【练3】 如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A.点M B.格点N C.格点P D.格点Q 【答案】 B 【解析】如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心． 【练4】 一个图形无论经过平移变换还是旋转变换，下列结论一定正确的是________（把所有你认为正确的序号都写上） ①对应线段平行； ②对应线段相等； ③对应角相等； ④图形的形状和大小都不变． 【答案】②③④ 【解析】平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化； 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化； 结论一定正确的是②③④； 【练5】 在以下正多边形中，绕其中心旋转72°，能与自身重合的是（ ） A.正方形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形 【答案】 B 【例6】 如图，A点的坐标为（－1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，－1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是________． 【答案】（1，1）或（4，4） 【解析】①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示， ∵A点的坐标为（－1，5），B点的坐标为（3，3）， ∴E点的坐标为（1，1）； ②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示， ∵A点的坐标为（－1，5），B点的坐标为（3，3）， ∴M点的坐标为（4，4）． 综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）． 【例7】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别为、． （1）画出绕原点顺时针方向旋转后得到的△； （2）画出关于原点的中心对称图形△； （3）猜想：的度数为多少？不必说明理由． 【答案】（1）－（2）） （3） 【解析】（1）△如图所示； （2）△如图所示； （3）． 理由如下：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴点在直线上， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【练6】 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，3）、B（－6，0）、C（－1，0）． （1）画出△ABC关于C点对称的△DEC，则点A的对应点D的坐标为________． （2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得△A'B'C，画出图形，则点A的对应点A'坐标为________． （3）△CDE与△A'B'C'重叠部分的面积为________． 【答案】（1）画图见解析；（0，－3） （2）画图见解析；（－3，－2） （3） 【解析】（1）如图，△DEC为所作，点D的坐标为（0，－3）； （2）如图，△A'B'C为所作，点A'坐标为（－3，－2）； （3）∵△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得△A'B'C， ∴AC⊥A'C'， ∵点A和点D关于C点对称， ∴点D在AC的延长线上， ∴AD⊥A'C'， 设AD交A'C'于F， OC＝1，OD＝3，DC'＝2，， ∵∠FDC'＝∠ODC， ∴Rt△DFC'∽Rt△DOC， ∴，即， ∴，， ∴． 即△CDE与△A'B'C'重叠部分的面积为． 【练7】 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，－4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）（） （3）（－2，0） 【解析】（1）如图所示： （2）如图所示，连接各组对应点B1B2，A1A2，CC2，交点即为旋转中心，旋转中心的坐标为：； （3）作点B关于x轴的对称点，正好为点A2，坐标为（0，-4） 连接AA2，与x轴的交点即为点P ∴点P的坐标为（－2，0） 【练8】 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．将点绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到点，使，再将绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到点，使，……，如此继续下去．求：（1）的坐标；（2）的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据含角特殊直角三角形三边关系可以求得的坐标； （2）通过找规律可以得到这个点在轴负半轴上，根据题意可得坐标． 模块二 中心对称与中心对称图形 知识概述 一．中心对称的概念 中心对称的概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称 中心对称点，点O 关于中心的对称点：两个图形中的对应点 点A、点C 中心对称的特征 （1）对称点所连线段都经过点O，且被点O平分，CO=C’O （2）两个图形全等，△ABC≌△A’B’C’ （3）对应线段平行（或在同一直线上）且相等； AB∥A’B’ AB=A’B’ （4）若对应点连线CC’、AA’、BB’交于一点O，且均被点O平分，则点O为中心对称点 易错点：中心对称是旋转的一个特例但是旋转不一定中心对称； 二．中心对称图形 中心对称图形 中心对称图形：一个图形绕着点O旋转180°，能够与自身重合 对称中心：点O 中心对称与中心对称图形 中心对称：指两个图形的关系 中心对称图形：指具有某种性质的一个图形 若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形 中心对称图形的判断 若一个图形中的每一个点均可以在自身图形中找到对应点，则该图形为中心对称图形 一．考点：中心对称与中心对称图形 二．重难点： 1．两个图形成中心对称是旋转角为定角()的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系； 2．中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 三．易错点： 1．注意中心对称图形与中心对称的区别与联系； 2．中心对称是旋转的一个特例但是旋转不一定中心对称； 3．中心对称图形的判断． 例题精讲 【例1】 下列结论中，错误的是（ ） A.形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称 B.关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等 C.关于成中心对称的两图形，对称中心在两对称点的连线上 D.关于成中心对称的两图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等 【答案】 A 【解析】A、形状大小完全相同的两个图形不一定关于某点成中心对称，故本选项错误； B、关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等，本选项正确； C、关于成中心对称的两图形，对称中心在两对称点的连线上，本选项正确； D、关于成中心对称的两图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，本选项正确． 【例2】 如图，△ABC与△关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A.点A与点是对称点 B. C. D. 【答案】 D 【解析】A、正确； B、正确； C、根据，，，得到△AOB≌△．则，则，正确； D、两个角不是对应角，错误． 【例3】 已知点A（a，－3）是点B（－2，b）关于原点O的对称点，则a＋b＝________． 【答案】5 【解析】∵点A（a，－3）是点B（－2，b）关于原点O的对称点， ∴a＝2，b＝3， ∴a＋b＝5． 【例4】 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将A绕0逆时针旋转120°至OA′，则点A′的坐标为________． 【答案】 【解析】由图中可以看出，点A′的坐标与点A的坐标关于y轴对称， ∴点A′的坐标为． 【例5】 在如图所示的网格中，已知A（2，4），B（4，2），点C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形． （1）填空：C点的坐标是________．△ABC的面积是________； （2）将△ABC绕C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1，得四边形AB1A1B，则点A1的坐标是________；四边形AB1A1B面积是________；并画出旋转后的图形． 【答案】（1）（1，1）；4 （2）（0，－2）；16； 【解析】（1）如图，C点的坐标是（1，1）， △ABC的面积， ， ＝9－3－2， ＝4； （2）△A1B1C1如图所示，点A1（0，－2）， ∵CA＝CB＝CA1＝CB1， ∴四边形AB1A1B是矩形， 根据勾股定理，， ， 四边形AB1A1B面积． 【练1】 在平面直角坐标系中，点A（3，4）关于原点的对称点的坐标为（ ） A.（3，4） B.（－3，－4） C.（3，－4） D.（－3，4） 【答案】 B 【解析】点A（3，4）关于原点的对称点的坐标为（－3，－4）． 【练2】 在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180°）后能与原字母重合的是____________ 【答案】X、Z、H 【解析】字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180°）后能与原字母重合的最小的旋转角分别是180度，360度，180度，180度． 因而绕某点旋转（旋转度数不超过180°）后能与原字母重合的是X、Z、H． 【练3】 当一个图形在旋转中第一次与自身重合时，我们称此图形转过的角度为旋转对称角，将下图中图形按旋转对称角从小到大的顺序排列是___________（用“”连接） 【答案】 【解析】第一个图形的旋转对称角是，第二个图形的旋转对称角是90度，第三个图形的旋转对称角是，故旋转对称角从小到大的顺序排列是． 【练4】 如图，正方形ABCD边长为2cm，以各边中心为圆心，1cm为半径依次作圆，将正方形分成四部分． （1）这个图形_____旋转对称图形（填“是”或“不是”）；若是，则旋转中心是点_____，最小旋转角是_____． （2）求图形OBC的周长和面积． 【答案】（1）是；O；90°（2）图形OBC的周长为，面积为 【解析】（1）这个图形是旋转对称图形，旋转中心是点O，最小旋转角为90°． （2）图形OBC的周长圆的周长； 面积． 【例6】 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误， C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误， D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 【例7】 下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 B 【例8】 如图，是在直角坐标系中围棋子摆出的图案，若再摆放一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标是（ ） A.黑（3，3），白（3，1） B.黑（3，1），白（3，3） C.黑（1，5），白（5，5） D.黑（3，2），白（3，3） 【答案】 A 【解析】A、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、当摆放黑（3，1），白（3，3）时，此时是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、当摆放黑（1，5），白（5，5）时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误； D、当摆放黑（3，2），白（3，3）时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误． 【例9】 如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，，则BB′的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】依题意有， 再根据中心对称的性质得到． 【练5】 下列电子显示器上的两位数组成的图形，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误． 【练6】 写一个既是轴对称又是中心对称的（笔划为四划）的汉字________．（注意字体，把字写好哟！） 【答案】日 【解析】既是轴对称又是中心对称的（笔划为四划）的汉字：日（答案不唯一）． 【练7】 下列命题中．①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 B 1 【解析】中心对称图形不一定是轴对称图形，因此①错误； 2 有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形，因此②正确； 3 关于某一点为中心对称的两个三角形全等，根据旋转的性质得出，因此③正确； 4 两个能重合的图形一定为中心对称，不一定是旋转180°得到，因此④错误． 故正确的有2个． 【练8】 如图，四边形ABCD和ABEF是两个并排放置的正方形，ABCD绕平面上某点旋转可与ABEF重合，则平面上可以作为旋转中心的点有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上 【答案】 C 【解析】连AE、AC，如图， ∵四边形ABCD和ABEF是两个并排放置的正方形， ∴∠EAC＝90°， ∴把正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，AB旋转到AF，AC旋转到AE，AD旋转到AB，即得到正方形AFEB； 同理把正方形BADC绕点B逆时针旋转90°后，得到正方形BEFA； 连FC、ED，则它们交于AB于点O，且点O为AB的中点， 把正方形ABCD绕点O旋转180°后得到正方形ABEF， 所以正方形ABCD绕平面上点A或点B或点O旋转可与正方形ABEF重合． 【练9】 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是　　． 【答案】（4031，﹣） 【解析】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣， ∴点A2的坐标是（3，﹣）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣， ∴点A4的坐标是（7，﹣）， …， ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1， 当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是（4031，﹣）， 故答案为：（4031，﹣）． 【练10】 有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵像正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竟得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 【答案】 【解析】根据方阵的特点可知图中两个数的和等于的有组，再加上中间的，即可求得这组数的和． 附加题 【练1】 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，在四边形BDEC中，DB＝DE，∠BDE＝2α，M为CE的中点，连接AM，DM． （1）在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形； （2）求证：AM⊥DM； （3）当α＝________，AM＝DM． 【答案】（1） （2）见解析 （3）45° 【解析】（1）所画图形如下所示： （2）连接AD，AN，CD，EN， ∵DM＝MN，CM＝ME， ∴四边形DENC是平行四边形， ∴CN∥DE，CN＝DE， ∴∠E＝∠NCM， ∵DB＝DE， ∴BD＝CN， ∵∠CBD＋∠BDE＋∠E＋∠BCE＝360°， ∠ACB＋∠BCE＋∠NCE＋∠ACN＝360°， ∴∠CBD＋∠BDE＝∠ACB＋∠ACN ∵AB＝AC，∠ABC＝α， ∴∠ABC＝∠ACB＝α， ∵∠BDE＝2α， ∴∠CBD＋2α＝α＋∠ACN， ∴∠CBD＋α＝∠ACN． ∵∠ABC＝α， ∴∠ABD＝∠ACN， 在△ABD和△ACN中， ∴△ABD≌△ACN（SAS）， ∴AD＝AN， ∴AM⊥DM； （3）△ADM为等腰直角三角形， 如果AM＝DM，则∠ADM＝45°，∠AMD＝90°． ∵∠DAC＋∠CAN＝90°，∠CAN＝∠BAD， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝90°， ∴△ABC为等腰RT△． ∴α＝45°． 【练2】 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设． （1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标． （2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标． （3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由． （4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果） 【答案】（1）点A（-3，0），点B（0，4），点D（2+m，4-2m）；（2）点Q （3）的值为1或或；（4）． 【分析】 （1）分别根据、时求出B点和A点坐标，再根据点的平移规律求出点D坐标； （2）由三角形面积，列出关于m的方程即可求解； （3）两点距离公式用m表示出OD、BD的距离，再根据等腰三角形定义三种情况解方程求解m即可； （4）由对称的性质可知点Q是线段中点，根据中点坐标公式列方程求解即可． 【详解】 解：（1）当时，，即点B坐标为（0，4）， 当时，，解得：，即点A坐标为（-3，0）， ∵，， ∴，， ∵在平行四边形中，，， ∴点D坐标为（2+m，4-2m）， 综上所述：点A坐标为（-3，0），点B坐标为（0，4），点D坐标为（2+m，4-2m）； （2）由（1）可知：， ∴， ∴， ， ∴当与平行四边形的面积相等时，， 解得，（舍去）， 故点Q的坐标为 （3）由（1）可知：点B（0，4），点D（2+m，4-2m）， ∴， ， 以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形有三种可能： ①当时，则：， 解得： ②当时，则：， 解得：，（舍去）， ③当时，则：， 解得：，（此时，故舍去）， 综上所述：当等于1，，时，以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形； （4）当点恰好落在直线上时，设点坐标为， ∵点D关于点Q的对称点是点， ∴点Q是线段中点， ∵点D坐标为（2+m，4-2m），点Q坐标为（-m，0）， ∴ ， 解得：， 故填：． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与几何综合，涉及了一次函数图像上点的特征、平行四边形性质、平面直角坐标系中两点距离计算及等腰三角形的判定、中心对称的点坐标特征等，解题关键是掌握相关知识，利用点的坐标表示线段的关系，利用数形结合思想进行解题． 一课一练 【练1】 在△ABC中，∠CAB＝26°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转α°到三角形AB'C'的位置使得CC'∥AB，则α＝（ ） A.138 B.128 C.118 D.108 【答案】 B 【解析】∵AB∥CC′， ∴∠ACC′＝∠CAB＝26°， 又由旋转的性质可得AC＝AC′， ∴∠AC′C＝∠ACC′＝26°， ∴∠CAC′＝180°－26°－26°＝128°， ∴α＝128． 【练2】 下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确． 故选：D． 【练3】 现有如图1所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是（　　） A.A选项 B.B选项 C.C选项 D.D选项 【答案】 B 【解析】本题的关键是要仔细观察，找到各花色的细微之处，才能发现不同． 仔细观察可以从图中发现第一张梅花5中间的梅花一个头朝上，一个头朝下，所以是旋转的牌是梅花5． 从图中仔细观察会发现选B． 故选B． 【练4】 下列说法错误的是（ ） A.成中心对称的两个图形的对称点到对称中心的距离相等 B.在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心 C.如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么两个图形一定关于这个一点成中心对称 D.成中心对称的两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角也相等 【答案】 C 【解析】A、成中心对称的两个图形的对称点到对称中心的距离相等，此选项正确不合题意； B、在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心，正确，不合题意； C、如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么两个图形一定关于这个一点成中心对称，错误，有可能是位似，故此选项正确； D、成中心对称的两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角也相等，正确，不合题意； 【练5】 剪纸是我国传统的民间艺术，是数学文化中的瑰宝，下列剪纸作品，既是中心对称又是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 【练6】 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】既是轴对称图形又是中心对称图形的是． 【练7】 下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 B 【解析】第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误； 第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确． 【练8】 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点都在由边长为单位1的小正方形组成的8×8的网格中的格点上，E（1，0）． （1）将四边形ABCD沿y轴翻折，画出翻折后对应的四边形A1B1C1D1； （2）将四边形ABCD以点E为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的四边形A2B2C2D2； （3）若将四边形A1B1C1D1；绕某一点旋转可以得到四边形A2D2C2B2；请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（1，－1） 【解析】（1）四边形A1B1C1D1如图所示； （2）四边形A2B2C2D2如图所示； （3）如图所示，旋转中心的坐标为（1，－1）． 【练9】 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出点A、B两点的坐标； （2）作出△ABC关于坐标原点成中心对称的△A1B1C1． 【答案】见解析 【解析】（1）由图形可知，A（﹣1，0），B（﹣2，﹣2）； （2）由图形知C（﹣4，﹣1），三点关于原点的中心对称坐标A1（1，0）， B1（2，2），C1（4，1），顺次连接三点A1B1C1，即得： 课后作业 【练1】 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　） A.30° B.45° C.90° D.135° 【答案】 C 【解析】如图，设小方格的边长为1，得， OC==，AO==，AC=4， ∵OC2+AO2=+=16， AC2=42=16， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC=90° 【练2】 如图，△ABC≌△ADE，∠BAD=52°． （1）求∠EAC的度数． （2）△ADE可以看作是由△ABC绕着点　　，按　　（填顺时针或逆时针）方向，旋转　　度角形成的． 【答案】（1）52° （2）A；顺时针；52 【解析】（1）∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC=∠DAE． ∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠EAC=∠BAD=52°． （2）∵∠BAD=52°， ∴△ADE可以看作是由△ABC绕着点 A，按顺时针方向，旋转 52°度角形成的． 故答案为：A；顺时针；52． 【练3】 将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2017秒时，点A的对应点A′的坐标为（ ） A.（0，4） B.（，－2） C.（，2） D.（0，－4） 【答案】 A 【解析】∵OA＝4，∠AOB＝30°，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°， ∴第1秒时，点A的对应点A′的坐标为（0，4）． ∵三角板每秒旋转60°， ∴点A′的位置6秒一循环． ∵2017＝336×6＋1， ∴第2017秒时，点A的对应点A′的坐标为（0，4）． 【练4】 下列命题中是真命题的是（　　） A.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 B.一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点所连的线段相等 C.平行四边形的对角线相等 D.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等 【答案】 D 【解析】A、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，错误，如SSA； B、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点所连的线段相等，错误； C、平行四边形的对角线互相平分但不相等，故错误； D、正确，为真命题， 故选：D． 【练5】 如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____次旋转而得到，每一次旋转____度． 【答案】（1）4 （2）72 【解析】 根据题意，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点， 这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过4次旋转而得到， 每次旋转的度数为360°除以5，为72度． 故答案为：4；72． 【练6】 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（－5，－5），B（－1，－3），C（－3，－1）． （1）按要求画出变换后的图形： ①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； ②以原点O为旋转中心，把△A1B1C1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2； （2）若将△ABC向右平移m个单位，向上平移n个单位，使点C落在△A2B2C2内部，指出m、n的取值范围． 【答案】（1）画图见解析 （2）4＜m＜8；2＜n＜6 【解析】（1）①△A1B1C1如图所示； ②△A2B2C2如图所示； （2）由图可知，4＜m＜8，2＜n＜6． 【练7】 课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．” （1）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2，并描述旋转过程； （2）小红通过研究发现，△ABC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1）如图所示，△A2B2C2即为所求，将△A2B2C2绕着点B1顺时针旋转90°，即可得到△A1B1C1． （2）如图所示，连接CC1，BB1，作CC1的垂直平分线，BB1的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心． 【练8】 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在个点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-6，1），点B的坐标为（-3，1），点C的坐标为（-3，3）． （1）将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出的图形Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形． 【答案】见解析 【解析】 （1）（2）所画图形如下所示，从图中可以看出点A1的坐标为（-1，1）． 【练9】 如图是一个等腰直角三角形经过若干次旋转而生成的，则每次旋转的角度最小是________ 【答案】45° 【解析】，所以，旋转45°的整数倍都能与原图形重合，故每次旋转的角度最小是45° 学科网（北京）股份有限公司 $$