第6讲 二次函数y=ax^2+bx+c的图像与性质　暑假讲义-　2025—2026学年人教版数学九年级上册

第6讲 二次函数的图像与性质 课程目标 1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； 2. 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 3. 经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 4. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 5. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 精讲精练 模块一 二次函数图像与性质 知识概述 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 对照，可知, ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是 【要点诠释】 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 3.一般方法：列表、描点、连线； 4.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 5.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 6.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 例题精讲 【例1】 将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 试题分析：y=x2﹣4x﹣1=x2﹣4x+4﹣5=（x﹣2）2﹣5． 故选D． 考点：二次函数的顶点式． 【练1】 关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝1 C．与x轴没有交点 D．与y轴的交点坐标是（0，1） 【答案】C 【分析】 根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质依次判断各项即可解答． 【详解】 ∵抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴该函数图象开口向上，选项A正确， 对称轴是直线x＝1，选项B正确， 当x＝1时，y＝0，即抛物线与x轴的交点是（1,0）选项C错误 当x＝0时，y＝1，选项D正确， 故选C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【例2】 抛物线的图象先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得图象的解析式是，则 A．13 B．11 C．10 D．12 【答案】B 【分析】 因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c的值． 【详解】 ∵y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，当y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=（x﹣+3）2++2=x2+3x+7； ∴a+b+c=11． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 【练2】 抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为（ ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】 根据二次函数对称性可求出点（－3，0）关于对称轴x＝－1的对称点为（1，0），然后把（1，0）代入y＝ax2＋bx＋c即可求出答案． 【详解】 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－1， ∴根据二次函数的对称性得：点A（－3，0）的对称点为（1，0）， ∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点A关于对称轴的对称点，难度不大． 【例3】 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（　　） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误． 【答案】D． 【解析】 解：①∵函数开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧 ∴ab异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a， ∵对称轴为直线x=1 ∴=1，即b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a， ∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0 ∵8a＞0 ∴4ac﹣b2＜8a 故③正确 ④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c＜﹣1 ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴＞a＞； 故④正确 ⑤∵a＞0， ∴b﹣c＞0，即b＞c； 故⑤正确； 故选：D． 【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 【练3】 若二次函数（）的图象如图所示，则的值是 ． 【例4】 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16． （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的解析式及其对称轴； （3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG． 【答案与解析】 解：（1）∵A（2，0），B（6，0）， ∴AB=6﹣2=4． ∵S△ABC=16， ∴×4•OC=16， ∴OC=8， ∴点C的坐标为（0，8）； （2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0）， ∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣6）， 将C（0，8）代入，得8=12a， 解得a=， ∴y=（x﹣2）（x﹣6）=x2﹣x+8， 故抛物线的解析式为y=x2﹣x+8，其对称轴为直线x=4； （3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0， ∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上）， ∴D（4﹣m，﹣m），E（4+m，﹣m）． 将E（4+m，﹣m）代入y=x2﹣x+8， 得﹣m=×（4+m）2﹣×（4+m）+8， 整理得，m2+6m﹣16=0， 解得m1=2，m2=﹣8（不合题意舍去）， ∴正方形DEFG的边长为2， ∴S正方形DEFG=22=4． 【总结升华】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象与性质是解题综合题的前提.第（3）问中设出正方形DEFG的边长为m，根据二次函数与正方形的性质用含m的代数式正确表示点D与点E的坐标是解题的关键． 【练4】 一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1． （1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线； （2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离； (3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律． 【答案与解析】 (1)由已知可得抛物线的对称轴是． ∴ 最高点C的坐标为(4，1)． 则 解得 ∴ 所求抛物线的解析式为． 列表： -2 0 2 4 6 8 10 -8 -3 0 1 0 -3 -8 描点、连线，如图所示： （2）取点（-2，-8）为所要找的点P，如图所示，运用勾股定理求得ED＝5，PD＝10， 观察图象知AD＝2，CD＝1，点E、P、A、C到直线y＝2的距离分别是5、10、2、1． （3）抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y＝2的距离． 【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点． (2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形， 然后运用勾股定理求得． 【练5】 已知二次函数（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个 在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C. 【练6】 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大 C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0） 【答案】D 【分析】 利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可. 【详解】 由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确； 当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确； 图象的顶点坐标是（1，4），故选项C正确； 图象与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误. 故选D 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键. 模块二 二次函数的最值 知识概述 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 【要点诠释】 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内；若在此范围内，则当时，； 若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性； 如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，； 如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，； 如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 例题精讲 【例1】 二次函数，当________时，的最小值是_______. 【答案】-1， -4 【分析】 根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值． 【详解】 由于（x+1）2≥0， 所以当x=-1时，（x+1）2取得最小值， 则二次函数y=2（x+1）2-4最小值为-4． 故答案为：-1,-4． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，解题关键在于要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值． 【练1】 已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值； （2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 【解析】 【分析】 （1）根据二次项系数确定开口方向，根据顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴． （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝3，即求得与y轴的交点坐标为（0，3）． 【详解】 解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标是（1，4） 当x＝1时，y有最大值是4； （2）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3 当x＝0时，y＝3 ∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 故答案为(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用解析式求坐标轴的交点以及顶点坐标公式． 【例2】 分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3． 【答案与解析】 ∵ ， ∴ 顶点坐标为(1，-4)． (1)∵ x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0， ∴ 当x＝1时y有最小值，． ∵ x＝1是0＜x＜2范围的中点，在x＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值． (2)∵ x＝1不在2≤x≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x≤3)的图象是 抛物线的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴ 当x＝3时，；当x＝2时，． 【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线部分，易看出x＝3时，；x＝2时，． 【例3】 已知抛物线y＝a(x﹣2)2+1经过点A(m，y1)，B(m+2，y2)，若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是(　　) A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2 【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A和点B在对称轴两侧，从而可以得到m的取值范围，本题得以解决． 【解析】∵抛物线y＝a(x﹣2)2+1， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵点A(m，y1)，B(m+2，y2)在抛物线y＝a(x﹣2)2+1上，点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2， ∴1＜m＜2， 故选：C． 【例4】 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为(　　) A．1米 B．米 C．2米 D．米 【分析】由题意可得，抛物线经过点(0，1.5)和(3，0)，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【解析】由题意可得，抛物线经过点(0，1.5)和(3，0)， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：yx2+x， (x﹣1)2+2， ∵a＜0，故函数有最大值， ∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2， 答：水流喷出的最大高度为2米． 故选：C． 模块三 待定系数法求解析式 知识概述 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式： (a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式： (a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式： (，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 【要点诠释】 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式： ①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为； ②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时，可设函数的解析式为； ③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 例题精讲 【例1】 已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【答案与解析】 本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得： 解得 ∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5. 【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0). 【练1】 已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴． 【答案与解析】 解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得 解得 ， ∴抛物线解析式为y=2x2+x； ∴抛物线的对称轴x==． 【例2】 已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式． 【答案与解析】 解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2）， 设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a﹣2=3，即a=5， ∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 【练2】 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点. （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标. 【答案】（1）． （2）令，得，解方程，得，． ∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为. 【例3】 抛物线的图象如图，则它的函数表达式是　 　．当x　 　时，y＞0． 【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y＞0时，求x的取值范围，即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值． 【答案】y=x2﹣4x+3．x＜1，或x＞3 【解析】 解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3）， 由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3）， 将（0，3）代入， 3=a（0﹣1）（0﹣3）， 解得a=1． 故函数表达式为y=x2﹣4x+3． 由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0． 【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【例4】 已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)求△ABC的面积． 【答案与解析】 (1)设抛物线解析式为 (a≠0)，将(3，5)代入得， ∴ ． ∴ ． 即． (2)由(1)知C(0，8)， ∴ ． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式． 【练3】 已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】（1）y=x2-3x；（2）开口向上，直线x=，（，） 【分析】 （1）把点A、B的坐标代入函数解析式，根据待定系数法列式求解即可． （2）配成顶点式，再根据二次函数的性质求解． 【详解】 解：（1）∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式是：y=x2-3x； （2）， ∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上， 对称轴为直线x=，顶点坐标为（，）． 【点睛】 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二函数的性质，是基础题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 附加题 【练1】 如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____． 【答案】 【分析】 连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可. 【详解】 连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小， 点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点， 在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时， 当时，或 即 点P是抛物线对称轴上任意一点， 则PA=PB, PA+PC=AC, PB+PC= DE+DF的最小值为： 故答案为 【点睛】 考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键. 【练2】 二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为 _____．(填“”、“”或“”) 【答案】< 【分析】 由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可. 【详解】 当时，， 当时，， ， 即， 故答案为 【点睛】 本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键. 【练3】 如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_____． 【答案】-6或-6.25 【分析】 由y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，得：，进而画出函数的图象，即可得到答案. 【详解】 ∵y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3， ∴， 在平面直角坐标系中，画出图象，如图所示： ∵由图象可知：A(0，-6)，B(0.5，-6.25)，C(1，-6)，直线y=-6和直线y=-6.25与函数图象恰有三个交点， ∴b的可能值是：-6或-6.25. 故答案是：-6或-6.25. 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象，分类讨论，画出二次函数的图象，是解题的关键. 【练4】 如图，抛物线与x轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且． ⑴求此抛物线的解析式； ⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值； ⑶设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）8；（3）①（），（），（）；②6. 【分析】 （1）将点C（0，-3）代入y=（x-1）2+k即可； （2）易求A（-1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，-4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值； （3）①当0＜m≤1时，h=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m；当1＜m≤2时，h=-1-（-4）=1；当m＞2时，h=m2-2m-3-（-4）=m2-2m+1； ②当h=9时若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；若m2-2m+1=9，则m=4，则P（4，5），△BCP的面积=（4+1）×3=6； 【详解】 解：（1）因为抛物线与轴交于点， 把代入，得 ， 解得， 所以此抛物线的解析式为， 即； （2）令，得， 解得， 所以， 所以； 解法一： 由（1）知，抛物线顶点坐标为， 由题意，当点位于抛物线顶点时，的面积有最大值， 最大值为； 解法二 由题意，得， 所以 ， 所以当时，有最大值8； （3）①当时，； 当时，； 当时，； ②当h=9时 若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解； 若m2-2m+1=9，则m=4， ∴P（4，5）， ∵B（3，0），C（0，-3）， ∴△BCP的面积=（4+1）×3=6； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 【练5】 在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点． （1）直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式； （2）若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围； （3）过抛物线上动点（其中）作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】 （1）由题意可得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴上，由此可以得到D点坐标并求出c与a的关系式； （2）分a>0与a<0两种情况，根据二次函数的增减性进行求解； （3）把MN用a表示出来可以得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】 解：（1）由题意得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴x=1上， ∴D(1-3)，将其代入得-3=a-2a+c，化简得c=a-3； （2）当a>0时，二次函数图象开口向上， 如图，抛物线的开口向上，当，即， 此时：当时，满足， 当时，函数值最大，则 解得：，不合题意，舍去 当＜＜时，则＜＜，如图， 此时：当时，满足， 当时，函数值最大，则 解得：，不合题意，舍去 当时，则，如图， 此时：当时，满足， 当时，函数值最大， 则 恒成立， 当a<0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值，不满足，此情况不存在； 综上； （3）|MN|≥1即，即 ① (x≥3恒成立要求a＞0，其对称轴为x， 只需要求x=3时即9a-3a-a≥1， 解得； ② (x≥3恒成立要求a﹤0)， 只需要求x=3时即9a-3a-a≤-1， 解得． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及二次函数、一次函数与不等式的关系是解题关键． 一课一练 【练1】 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断． 【详解】 点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上， ∴x=ax2+bx+c， ∴ax2+（b-1）x+c=0； 由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点， ∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根． ∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点， 又∵-＞0，a＞0 ∴-=-+＞0 ∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0， ∴A符合条件， 故选A． 【练2】 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案． 【详解】 解：根据题意，把点、、代入，则 ， 消去c，则得到， 解得：， ∴抛物线的对称轴为：， ∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上， ∴； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题． 【练3】 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④ (为实数)．其中结论正确的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 ①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误； ②把代入中得，所以②正确； ③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确； ④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】 解：①∵抛物线开口向上，∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，，∴， ∵，∴， 把代入中得，所以②正确； ③当时，，∴， ∴， ∵，，， ∴，即，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 故选C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 【练4】 已知抛物线的顶点坐标为，它与轴有两个交点，两交点间的距离为6，则此抛物线的解析式为__________． 【答案】y=-（x-1）2+9 【分析】 利用顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标分别为（-2，0）或（4，0），由题意设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】 解：由题意设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-2，0）或（4，0）， 把点（4，0）代入0=9a+9，解得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+9． 故答案为：y=-（x-1）2+9． 【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数解析式．能结合顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标是解题关键． 【练5】 如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为　(0，)　． 【分析】首先确定点A和点B的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标． 【解析】， 解得，或， ∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(4，5)， ∴AB3， 作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小， 点A′的坐标为(﹣1，2)，点B的坐标为(4，5)， 设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b， ，得， ∴直线A′B的函数解析式为yx， 当x＝0时，y， 即点P的坐标为(0，)， 故答案为：(0，)． 【练6】 关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点 （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的对称轴和顶点坐标. 【答案】（1）（2）对称轴：直线；顶点坐标为. 【分析】 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入求得a的值可得到抛物线的解析式； （2）把抛物线的解析式配方即可 【详解】 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）， 将C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3． （2）y=-x2+2x+3=-． ∴对称轴：直线；顶点坐标为. 【点睛】 本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式以及对称轴和顶点坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键 【练7】 已知二次函数的图象经过两点． （1）求的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 【答案】（1）p=-3，q=1；（2）不在 【分析】 （1）把两点代入即可得出p，q的值； （2）把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案． 【详解】 解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q， 得， 解得：， ∴p，q的值分别为-3，1； （2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5， ∴点P（-1，2）不在此函数的图象上． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键． 【练8】 已知抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标． 【答案】（1）；（2），开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）． 【分析】 （1）直接将，代入得到二元一次方程组，再求得a、b即可； （2）根据抛物线的平移规律“上加下减”以及二次函数图象的特征解答即可． 【详解】 解：（1）把，代入 得解得， ∴抛物线解析式为． （2）抛物线向上平移3个单位长度的解析式为， 故平移后得解析式为 ∴开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）． 【点睛】 本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象的性质等知识点，掌握二次函数图象的平移规律和二次函数图象的特征是解答本题的关键． 【练9】 已知二次函数的图象经过两点，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】 将（1,0）、（0,5）两点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可． 【详解】 解：把（1,0）、（0,5）代入 得， 解得， 所以二次函数的解析式为 【点睛】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 【练10】 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. (1)求k的值： (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5). 【分析】 (1)根据抛物线的对称轴是y轴以及对称轴公式可得关于k的方程，解方程后再根据抛物线与x轴的交点个数即可确定答案； (2)由点P到y轴的距离即可确定出点P的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P的纵坐标即可得答案. 【详解】 (1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴， ∴， 即k2+k－6=0， 解得k=－3或k=2， 当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去， 当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意， ∴k=－3； (2)∵P到y轴的距离为2， ∴点P的横坐标为－2或2， 当x=2时，y=－5； 当x=－2时，y=－5， ∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5). 【点睛】 本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键. 【练11】 已知点A（1，1）在抛物线y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上 （1）求m、n的关系式； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求出它的解析式． 【答案】（1）n＝2m；（2）y＝x2或y＝x2﹣4x+4． 【分析】 (1)把A(1,1)代入抛物线即可得到n与m的关系式；（2）根据顶点在x轴上则顶点纵坐标是0，=0，根据公式求出n和m的值，即可求出表达式. 【详解】 解：（1）将点A（1，1）代入y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1得： 1＝12+（2m+1）×1﹣n﹣1， 整理得：n＝2m， 故m、n的关系式为：n＝2m； （2）∵抛物线的顶点在x轴上， ∴=0， ∵n＝2m， ∴代入上式化简得，4m2+12m+5＝0， 解得m＝﹣或m＝﹣， 当m＝﹣时，n＝﹣5，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+4， 当m＝﹣时，n＝﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2， ∴抛物线的解析式为y＝x2或y＝x2﹣4x+4． 【点睛】 本题考查二次函数的解析和二次函数的顶点坐标（-，），学生们要灵活运用. 【练12】 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-4，0）两点. （1）求该抛物线的解析式； （2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标； （3） 若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标为（-1，9）；（3）存在，Q(-1，6) 【分析】 （1）将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c中，解方程组即可求解； （2）将抛物线方程化为顶点式，即可求得对称轴和顶点坐标； （3）由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，所以直线BC与对称轴的交点即为Q点，此时周长最小，求出直线BC的解析式，令x=1，求出y值，即可知点Q的坐标． 【详解】 解：（1）将A（2，0），B（-4，0）代入y=-x2+bx+c中， 得：， 解得：， ∴抛物线的方程为； （2）∵， ∴对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，9）； （3）存在，理由： ∵△QAC的周长=AC+QA+QC, ∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小， 根据题意，A、B两点关于对称轴x=﹣1对称， ∴直线BC与直线x=﹣1的交点即为Q点，此时QA+QC最小，即△AQC周长最小， 对于，令x=0，则y=8， ∴C(0，8)， 设直线BC的解析式为y=kx+8(k≠0)， 将点B(﹣4，0)代入，得：﹣4k+8=0，解得：k=2, ∴直线BC的解析式为y=2x+8， 当x=﹣1时，y=2×（﹣1）+8=6， ∴Q(﹣1，6)． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、利用二次函数的对称性求最短路径问题，解答的关键是认真审题，找寻相关联信息，利用数形结合思想进行推理、探究和计算． 课后作业 【练1】 抛物线y＝x2+2x+2的对称轴是(　　) A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线y＝﹣1 D．直线y＝1 【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x可求出答案． 【解析】y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x，代入数值求得对称轴是直线x＝﹣1； 故选：B． 【练2】 对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是(　　) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．函数最大值为4 【分析】将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得． 【解析】∵y＝x2﹣2x+3＝(x﹣1)2+2， ∴由a＝1＞0知抛物线开口向上，顶点坐标是(1，2)，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，函数有最小值为2，无最大值， ∴C选项正确； 故选：C． 【练3】 函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c(a，b，c均为常数，且a≠0)在同一直角坐标系内的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【解析】当a＞0时，二次函数的图象开口向上， 一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A、D不正确； 由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x0，且a＞0，则b＜0， 但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B． 故选：C． 【练4】 抛物线y＝﹣x2+mx+4﹣m2的图象如图所示，则m的值为(　　) A．±2 B．4 C．2 D．﹣2 【分析】根据图形可知，函数图象经过原点，然后把(0，0)代入函数解析式进行计算求得m的值，再根据0，求得m的符号即可得解． 【解析】由图可知二次函数图象经过点(0，0)， 所以，4﹣m2＝0， 解得m＝±2， ∵0，即0， 解得m＜0， ∴m＝﹣2， 故选：D． 【练5】 已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围，从而可以得到该抛物线顶点所在的象限，本题得以解决． 【解析】∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣(x)22m，当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴该抛物线的对称轴是直线x，开口向下， ∴1， 即m≥2， ∴2m＞0， ∴该抛物线的顶点(，2m)在第一象限， 故选：A． 【练6】 一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致． 【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意． 故选：B． 【练7】 已知二次函数y＝x2﹣bx+1(﹣1≤b≤1)，当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象(　　) A．先往左上方移动，再往左下方移动 B．先往左下方移动，再往左上方移动 C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．向往右下方移动，再往右上方移动 【分析】先分别求出当b＝﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案． 【解析】当b＝﹣1时，此函数解析式为：y＝x2+x+1，顶点坐标为：(，)； 当b＝0时，此函数解析式为：y＝x2+1，顶点坐标为：(0，1)； 当b＝1时，此函数解析式为：y＝x2﹣x+1，顶点坐标为：(，)． 故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动． 故选：C． 【练8】 若抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，且过点A(a，b)，B(a+6，b)，则b的值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．0 【分析】根据抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，可知△＝0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值． 【解析】∵抛物线y＝x2+mx+n顶点在x轴上， ∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0， ∴nm2， ∵抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a+6，b)， ∴b＝a2+ma+n，b＝(a+6)2+m(a+6)+n， ∴a2+ma+n＝(a+6)2+m(a+6)+n， 化简，得 a， ∴b＝a2+ma+n＝()2+mm2＝9， 故选：A． 【练9】 若二次函数y＝mx2+(m﹣2)x+m的顶点在x轴上，则m＝　﹣2或　． 【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可． 【解析】∵二次函数y＝mx2+(m﹣2)x+m的顶点在x轴上， ∴0， 解得m＝﹣2或． 故答案为：﹣2或． 【练10】 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 若点P(m2﹣2，y1)、Q(m2+4，y2)在抛物线上，则y1　＞　y2．(选填“＞”、“＜”或“＝”) 【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可． 【解析】∵x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝6， ∴抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向下， ∵点P(m2﹣2，y1)、Q(m2+4，y2)在抛物线上，且|m2﹣2|＜|m2+4|， ∴y1＞y2， 故答案为＞． 【练11】 抛物线y＝x2+bx+c经过点A(﹣2，0)、B(1，0)两点，则该抛物线的顶点坐标是　(，)　． 【分析】利用待定系数法确定b、c的值，然后求得顶点坐标即可． 【解析】∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A(﹣2，0)、B(1，0)两点， ∴， 解得：， ∴y＝x2+x﹣2＝(x)2， ∴顶点坐标为(，)， 故答案为：(，)． 【练12】 某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y的值，则这个错误的数值是　﹣5　． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． 【解析】由函数图象关于对称轴对称，得 (﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，﹣2)在函数图象上， 把(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，﹣2)代入函数解析式，得 ， 解得， 函数解析式为y＝﹣3x2+1 x＝2时y＝﹣11， 故这个错误的数值是﹣5， 故答案为﹣5． 【练13】 点P1(﹣2，y1)，P2(0，y2)，P3(1，y3)均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是　y1＝y2＞y3　． 【分析】先根据二次项系数为负，得出函数图象开口向下；再求出其对称轴，根据横坐标离对称轴的远近即可作出判断． 【解析】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c 的二次项系数a＝﹣1， ∴函数图象开口向下 又∵对称轴为x＝﹣1， ∴y1＝y2＞y3 点故答案为：y1＝y2＞y3． 【练14】 已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3． (1)与x轴的交点坐标是　(﹣1，0)，(3，0)　，顶点坐标是　(1，﹣4)　； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … (3)结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3　． 【分析】(1)根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点； (2)根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可； (3)根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案． 【解析】(1)令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3． 解得x1＝﹣1，x2＝3． 抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为(﹣1，0)，(3，0)． y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)x2﹣4， 所以它的顶点坐标为(1，﹣4)； (2)列表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 图象如图所示： ； (3)当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5； 当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3． 【练15】 已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣6(a≠0) (1)将其化成y＝a(x﹣h)2+k(a≠0)的形式　y＝﹣2(x﹣2)2+2　； (2)顶点坐标　(2，2)　对称轴方程　直线x＝2　； (3)用五点法画出二次函数的图象； (4)当0＜x≤3时，写出y的取值范围　﹣6＜y≤2　． 【分析】(1)直接利用配方法写成顶点式的形式即可； (2)根据顶点式即可求得； (3)利用顶点坐标以及对称轴以及图象与坐标轴交点画出图象即可； (4)利用函数图象得出y的取值范围． 【解析】(1)y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2(x﹣2)2+2， 故答案为y＝﹣2(x﹣2)2+2； (2)顶点为(2，2)，对称轴为直线x＝2， 故答案为(2，2)，直线x＝2； (3)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣6 0 2 0 ﹣6 … 描点、连线，画出函数图象如图： (4)由图象可知，当0＜x≤3时，﹣6＜y≤2， 故答案为﹣6＜y≤2． 【练16】 把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2． (1)直接写出抛物线C2的函数关系式； (2)动点P(a，﹣6)能否在抛物线C2上？请说明理由； (3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 【分析】(1)根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解； (2)根据二次函数的最小值即可判断； (3)根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小． 【解析】(1)∵y＝x2+2x+3＝(x+1)2+2， ∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝(x+1﹣4)2+2﹣5，即y＝(x﹣3)2﹣3， ∴抛物线C2的函数关系式为：y＝(x﹣3)2﹣3． (2)动点P(a，﹣6)不在抛物线C2上，理由如下： ∵抛物线C2的函数关系式为：y＝(x﹣3)2﹣3， ∴函数的最小值为﹣3， ∵﹣6＜﹣3， ∴动点P(a，﹣6)不在抛物线C2上； (3)∵抛物线C2的函数关系式为：y＝(x﹣3)2﹣3， ∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3， ∴当x＜3时，y随x的增大而减小， ∵点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3， ∴y1＞y2． 【练17】 在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点． (1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由； (2)求a，b的值； (3)平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 【分析】(1)根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B(2，3)在直线y＝x+m上； (2)因为直线经过A、B和点(0，1)，所以经过点(0，1)的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b； (3)设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为(，q)，根据题意得出q1，由抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q1(p﹣1)2，从而得出q的最大值． 【解析】(1)点B是在直线y＝x+m上，理由如下： ∵直线y＝x+m经过点A(1，2)， ∴2＝1+m，解得m＝1， ∴直线为y＝x+1， 把x＝2代入y＝x+1得y＝3， ∴点B(2，3)在直线y＝x+m上； (2)∵直线y＝x+1经过点B(2，3)，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点(0，1)，点(0.1)，A(1，2)，B(2，3)在直线上，点(0，1)，A(1，2)在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点 且B、C两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A、C两点， 把A(1，2)，C(2，1)代入y＝ax2+bx+1得， 解得a＝﹣1，b＝2； (3)由(2)知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1， 设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为(，q)， ∵顶点仍在直线y＝x+1上， ∴q1， ∴q1， ∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q， ∴q1(p﹣1)2， ∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为． 【练18】 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD． (1)求此抛物线的解析式. (2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积. 【答案】（1）y＝－x2＋2x＋4；（2）12. 【解析】 试题分析：（1）根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式； （2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可． 试题解析：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4）， 把B与C坐标代入y=-x2+bx+c得：， 解得：b=2，c=4， 则解析式为y=-x2+2x+4； （2）∵y=-x2+2x+4=-（x-2）2+6， ∴抛物线顶点坐标为（2，6）， 则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12． 考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象上点的坐标特征． 【练19】 如图，抛物线的图象与轴交于和两点，交轴于点，点、是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点、． （1）请直接写出D点的坐标． （2）求抛物线的解析式． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】 （1）根据抛物线的对称性，利用点A、B求出抛物线的对称轴，即点C和点D关于抛物线的对称轴对称，即可求出点D坐标； （2）设抛物线的解析式为，把点A、B、C的坐标代入解析式中，列出关于、、的方程组，通过解方程组即可求出它们的值，即可求出抛物线的解析式； （3）根据题意要使的周长要最小，即的和要最小，因为点C和点D是抛物线上两对称点，则，即的和要最小，当B、P、D三点共线时的周长最小，此时直线BD与抛物线的对称轴的交点P即为所求，先求出直线BD的解析式，把代入直线BD解析式即可求出P点坐标． 【详解】 （1）抛物线与轴交于点A(-3、0),和点B(1、0), 抛物线的对称轴为：， C、D是抛物线上一对对称点，点C(0、3), （2）设抛物线的解析式为（，a、b、c常数）， 根据题意得 解得 所以抛物线的解析式为 （3）根据题意要使的周长要最小，的和要最小，因为点C和点D是抛物线上两对称点，则，即的和要最小， 如图：直线BD与抛物线的对称轴相交点P即为所求， 设直线BD的解析式为 ∵经过，, ∴ 解得： 直线BD的解析式为 抛物线的对称轴为直线，点P在抛物线对称轴上， 当时，， 为所求． 【点睛】 本题主要考查了二次函数和一次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，及利用对称性求点的坐标，解题关键是灵活运用这些知识解决问题，利用对称解决最值问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 二次函数的图像与性质 课程目标 1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； 2. 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 3. 经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 4. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 5. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 精讲精练 模块一 二次函数图像与性质 知识概述 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 对照，可知, ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是 【要点诠释】 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 3.一般方法： ； 4.简易画法： . 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 5.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记： 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记： 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最 值， 抛物线有最高点，当时，y有最 值， 6.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a 开口向上 开口向下 b 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 c 图象过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 b2-4ac 与x轴有唯一交点 与x轴有两个交点 与x轴没有交点 例题精讲 【例1】 将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 【练1】 关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝1 C．与x轴没有交点 D．与y轴的交点坐标是（0，1） 【例2】 抛物线的图象先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得图象的解析式是，则 A．13 B．11 C．10 D．12 【练2】 抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为（ ） A． B．1 C．0 D． 【例3】 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（　　） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【练3】 若二次函数（）的图象如图所示，则的值是 ． 【例4】 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16． （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的解析式及其对称轴； （3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG． 【练4】 一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1． （1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线； （2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离； (3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律． 已知二次函数（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个 在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【练5】 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大 C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0） 模块二 二次函数的最值 知识概述 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 时， ． 【要点诠释】 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内；若在此范围内，则当时，； 若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性； 如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，； 如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，； 如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 例题精讲 【例1】 二次函数，当________时，的最小值是_______. 【练1】 已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值； （2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标． 【例2】 分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3． 【例3】 已知抛物线y＝a(x﹣2)2+1经过点A(m，y1)，B(m+2，y2)，若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是(　　) A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2 【例4】 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为(　　) A．1米 B．米 C．2米 D．米 模块三 待定系数法求解析式 知识概述 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式： (a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式： (a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式： (，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设： ； 第二步，代： ； 第三步，解： ； 第四步，还原： ． 【要点诠释】 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式： ①当已知 ，可设函数的解析式为； ②当已知 ，可设函数的解析式为； ③当已知 ，可设函数的解析式为． 例题精讲 【例1】 已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【练1】 已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴． 【例2】 已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式． 【练2】 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点. （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标. 【例3】 抛物线的图象如图，则它的函数表达式是　 　．当x　 　时，y＞0． 【例4】 已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)求△ABC的面积． 【练3】 已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 附加题 【练1】 如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____． 【练2】 二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为 _____．(填“”、“”或“”) 【练3】 如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_____． 【练4】 如图，抛物线与x轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且． ⑴求此抛物线的解析式； ⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值； ⑶设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积． 【练5】 在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点． （1）直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式； （2）若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围； （3）过抛物线上动点（其中）作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围． 一课一练 【练1】 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【练2】 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【练3】 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④ (为实数)．其中结论正确的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练4】 已知抛物线的顶点坐标为，它与轴有两个交点，两交点间的距离为6，则此抛物线的解析式为__________． 【练5】 如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为　 　． 【练6】 关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点 （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的对称轴和顶点坐标. 【练7】 已知二次函数的图象经过两点． （1）求的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 【练8】 已知抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标． 【练9】 已知二次函数的图象经过两点，求此二次函数的解析式． 【练10】 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. (1)求k的值： (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 【练11】 已知点A（1，1）在抛物线y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上 （1）求m、n的关系式； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求出它的解析式． 【练12】 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-4，0）两点. （1）求该抛物线的解析式； （2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标； （3） 若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 课后作业 【练1】 抛物线y＝x2+2x+2的对称轴是(　　) A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线y＝﹣1 D．直线y＝1 【练2】 对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是(　　) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．函数最大值为4 【练3】 函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c(a，b，c均为常数，且a≠0)在同一直角坐标系内的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【练4】 抛物线y＝﹣x2+mx+4﹣m2的图象如图所示，则m的值为(　　) A．±2 B．4 C．2 D．﹣2 【练5】 已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【练6】 一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【练7】 已知二次函数y＝x2﹣bx+1(﹣1≤b≤1)，当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象(　　) A．先往左上方移动，再往左下方移动 B．先往左下方移动，再往左上方移动 C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．向往右下方移动，再往右上方移动 【练8】 若抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，且过点A(a，b)，B(a+6，b)，则b的值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．0 【练9】 若二次函数y＝mx2+(m﹣2)x+m的顶点在x轴上，则m＝　 ． 【练10】 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 若点P(m2﹣2，y1)、Q(m2+4，y2)在抛物线上，则y1　 　y2．(选填“＞”、“＜”或“＝”) 【练11】 抛物线y＝x2+bx+c经过点A(﹣2，0)、B(1，0)两点，则该抛物线的顶点坐标是　 　． 【练12】 某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y的值，则这个错误的数值是　 　． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 【练13】 点P1(﹣2，y1)，P2(0，y2)，P3(1，y3)均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是　 　． 【练14】 已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3． (1)与x轴的交点坐标是　 　，顶点坐标是　 　； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … (3)结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　 　． 【练15】 已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣6(a≠0) (1)将其化成y＝a(x﹣h)2+k(a≠0)的形式　 　； (2)顶点坐标　 　对称轴方程　 　； (3)用五点法画出二次函数的图象； (4)当0＜x≤3时，写出y的取值范围　 　． 【练16】 把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2． (1)直接写出抛物线C2的函数关系式； (2)动点P(a，﹣6)能否在抛物线C2上？请说明理由； (3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 【练17】 在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点． (1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由； (2)求a，b的值； (3)平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 【练18】 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD． (1)求此抛物线的解析式. (2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积. 【练19】 如图，抛物线的图象与轴交于和两点，交轴于点，点、是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点、． （1）请直接写出D点的坐标． （2）求抛物线的解析式． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$