2024—2025学年人教版数学九年级上册暑假讲义-第3讲-公式法与韦达定理

第3讲 公式法与韦达定理 课程目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念； 2. 能熟练应用公式法解一元二次方程； 3. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 精讲精练 模块一 公式法解一元二次方程 知识概述 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，推导过程： 【知识拓展】 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为 ； ②确定a、b、c的值（要注意系数前的符号）； ③求出 的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则 . 【注意】任意一元二次方程都可以用公式法求解。 【微点拨】 （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 例题精讲 【例1】 用公式法解下列方程． (1) ； (2)； (3) ． 【练1】 用公式法解方程： ． 【例2】 用公式法解下列方程： (1) ； (2) ； （3） ． 【练2】 用公式法解下列方程：； 模块二 根的判别式的应用 知识概述 在推导过程中，出现的代数式称为一元二次方程根的判别式； 1、根的判别式是判断一个一元二次方程根的情况的关键公式： 根的判别式△的正负性 一元二次方程根的情况 原方程有两个不等的实数根：， 原方程有两个相等的实数根 2、已知方程跟的情况，判断参数取值范围，会将根的情况转化为根的判别式的取值范围（不等式）： 一元二次方程根的情况 判别式的取值范围 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个实数根 有实数根 【注意】当二次项系数中含有字母时，要考虑二次项系数不为零。 例题精讲 【例1】 关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【练1】 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 【练2】 一元二次方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【例2】 关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【练3】 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【练4】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【练5】 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A．m≤ B．m＞ C．m≤且m≠1 D．m＜且m≠1 【例3】 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【练6】 若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________. 模块三 根与系数的关系（韦达定理） 知识概述 1、根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为 . 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2、根与系数的关系常见应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为，则 当△≥0且时 当△≥0且，时 当△≥0且，时 当△＞0且时 当△＞0且，时 当△＞0且，时 【知识拓展】 （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 例题精讲 【例1】 已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 【练1】 已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值． 【例2】 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【例3】 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是_____． 【练2】 设是一元二次方程的两个根，则＝_______. 【例4】 已知实数，满足条件，，则________． 【例5】 关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根． 【练3】 关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值． 附加题 【练1】 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　） A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 【练2】 已知实数满足，则代数式的值是( ) A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3 【练3】 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长． 【练4】 关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根． 【练5】 设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x12+x22=6，求m值； （2）令T=，求T的取值范围． 【练6】 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 【练7】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若原方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 一课一练 【练1】 用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是( ) A．16 B．24 C．8 D．4 【练2】 用公式法解方程，其中求得的值是（ ）. A．16 B． C．32 D．64 【练3】 一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． 【练4】 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 【练5】 下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0 【练6】 关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A．q<16 B．q>16 C．q≤4 D．q≥4 【练7】 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 【练8】 设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（　　） A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5 【练9】 若a≠b，且则的值为（ ） A． B．1 C．.4 D．3 【练10】 若为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（      ） A．-13 B．12 C．14 D．15 【练11】 若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（　　） A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D． 【练12】 若，是方程的两个实数根，则的值为 A．2015 B． C．2016 D．2019 【练13】 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则m的值为_____________ 【练14】 如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=_____________． 【练15】 已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为__________． 【练16】 已知关于x的一元二次方程. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 课后作业 【练1】 一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．0 【练2】 已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( ) A． B． C． D． 【练3】 已知是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【练4】 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　） A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5 【练5】 设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( ) A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【练6】 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10 【练7】 一元二次方程的两个根为，则的值是（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【练8】 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关 【练9】 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A． B． C． D． 【练10】 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0 【练11】 若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k=0 B．k≥﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1 【练12】 已知关于x的方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　) A．k＞且k≠2 B．k≥且k≠2 C．k＞ D．k≥ 【练13】 方程有两个实数根，则的取值范围（ ） A． B．且 C． D．且 【练14】 已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6 +k+2=0的两个根，则k的值等于(　　) A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6 【练15】 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限． A．四 B．三 C．二 D．一 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 公式法与韦达定理 课程目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念； 2. 能熟练应用公式法解一元二次方程； 3. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 精讲精练 模块一 知识概述 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，推导过程： 当时，. 【知识拓展】 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意系数前的符号）； ③求出根的判别式 的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 【注意】任意一元二次方程都可以用公式法求解。 【微点拨】 （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 例题精讲 【例1】 用公式法解下列方程． (1) ； (2)； (3) ． 【解析】 (1) a=1，b=3，c=1 ∴x==． ∴x1=，x2=． (2)原方程化为一般形式，得． ∵，，， ∴． ∴，即，． (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1 ∴b2﹣4ac=17＞0 ∴x= ∴x1=，x2=． 【点睛】 用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解． 【练1】 用公式法解方程： ． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2； ∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17； ∴x= =， ∴x1=，x2=． 【例2】 用公式法解下列方程： (1) ； (2) ； （3） ． 【分析】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可. 【解析】 解：(1)∵2x2+x﹣2=0， ∴a=2，b=1，c=﹣2， ∴x===， ∴x1=，x2=． (2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2， ∴b2﹣4ac=36+24=60＞0， ∴x=， ∴x1=，x2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7． ∴b2﹣4ac=9+28=37. x= = ， 解得 x1=，x2=． 【总结升华】 首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 【练2】 用公式法解下列方程：； 【答案】 解：移项，得． ∵ ，，，， ∴ ， ∴ ，． 模块二 根的判别式的应用 知识概述 在推导过程中，出现的代数式称为一元二次方程根的判别式； 1、根的判别式是判断一个一元二次方程根的情况的关键公式： 根的判别式△的正负性 一元二次方程根的情况 原方程有两个不等的实数根：， 原方程有两个相等的实数根 原方程没有实数根 2、已知方程跟的情况，判断参数取值范围，会将根的情况转化为根的判别式的取值范围（不等式）： 一元二次方程根的情况 判别式的取值范围 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个实数根 有实数根 【注意】当二次项系数中含有字母时，要考虑二次项系数不为零。 例题精讲 【例1】 关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】 根据根的判别式即可得出答案． 【详解】 解： 原方程没有实数根， 故选C． 【点睛】 本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 【练1】 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别计算每个一元二次方程的根的判别式，从而可得答案． 【详解】 解：， 方程有两个相等的实数根，故不符合题意； ， 方程没有实数根，故符合题意； ， 方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； ， 则 方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选： 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“利用一元二次方程根的判别式的值大于或等于，原方程有两个实数根，判别式的值小于 原方程没有实数根．”是解题的关键． 【练2】 一元二次方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】D 【分析】 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】 解： ∴一元二次方程有两个相等的实数根 故选：D 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【例2】 关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△≥0，然后解不等式组，即可得到k的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴k≠0，且△＝（−6）2−4k×3＝−12k＋36， ∵方程有实数解， ∴△≥0， ∴−12k＋36≥0， ∴k≤3， ∴k的取值范围是：k≤3且k≠0． 故选：D． 【点睛】 此题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2−4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 【练3】 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接根据一元二次方程根的判别式的值的符号来判断即可． 【详解】 ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数． 【练4】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， ． 故选：B． 【点睛】 此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根． 【练5】 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A．m≤ B．m＞ C．m≤且m≠1 D．m＜且m≠1 【答案】C 【分析】 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=12-4(m-1)×1≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】 解：∵，，， ， 根据题意得m-1≠0且， 解得且． 故选：C． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【例3】 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1． 【详解】 试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 试题解析：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 考点：一元二次方程的应用． 【练6】 若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________. 【答案】3＜m≤4 【分析】 根据原方程可知x-2=0，和x2-4x+m=0，因为关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，所以x2-4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围 【详解】 解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根， ∴①x-2=0，解得x1=2； ②x2-4x+m=0， ∴△=16-4m≥0，即m≤4， ∴x2=2+ x3=2- 又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长， 且最长边为x2， ∴x1+x3＞x2； 解得3＜m≤4， ∴m的取值范围是3＜m≤4． 故答案为3＜m≤4 模块三 根与系数的关系（韦达定理） 知识概述 1、根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2、根与系数的关系常见应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为，则 当△≥0且时 两根同号 当△≥0且，时 两根同为正数 当△≥0且，时 两根同为负数 当△＞0且时 两根异号 当△＞0且，时 两根异号且正根的绝对值较大 当△＞0且，时 两根异号且负根的绝对值较大 【知识拓展】 （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 例题精讲 【例1】 已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 【分析】 根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【解析】 方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，，从而解得：，k＝-7． 方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7． 设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，从而， 故方程的另一根为，k的值为-7． 【点睛】 根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值． 【练1】 已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值． 【答案】另一根为-1；的值为-3．　 【例2】 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【解析】 解：（1）△=（m+2）2﹣8m =m2﹣4m+4 =（m﹣2）2， ∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0， ∴△≥0， ∴方程总有实数根； （2）解方程得，x= ， x1=，x2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，m=2不合题意， ∴m=1． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根． 【例3】 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是_____． 【答案】4 【分析】 根据根与系数的关系结合已知条件可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值，进而可得答案． 【详解】 解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2， ∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k， ∵x12+x22=4， ∴（x1+x2）2-2x1x2=4， （2k）2﹣2（k2﹣k）=4， 2k2+2k﹣4=0， k2+k﹣2=0， k=﹣2或1， ∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0， k≥0， ∴k=1， ∴x1•x2=k2﹣k=0， ∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4， 故答案为4． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键． 【练2】 设是一元二次方程的两个根，则＝_______. 【答案】5 【详解】 试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2， ∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5 考点：根与系数的关系 【例4】 已知实数，满足条件，，则________． 【答案】 【分析】 由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】 由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题． 【例5】 关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根． 【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或 【解析】 试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解. 试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0， ∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2， ∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+， ∴△＞0， 则方程有两个不相等的实数根； （2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3， ∴x1，x2异号， 又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2， 若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2， ∴m﹣3=﹣2，即m=1， 方程化为x2+2x﹣1=0， 解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣， 若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2， ∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5， 方程化为x2﹣2x﹣25=0， 解得：x1=1﹣，x2=1+． 【练3】 关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值． 【答案】（1）k﹥；（2）k=2． 【分析】 （1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ Δ＝（2k+1）2－4（k2+1）=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0 解得：k﹥； （2）∵k﹥， ∴x1+x2 =－（2k+1）＜0 又∵x1·x2=k2+1﹥0 ∴x1＜0，x2＜0， ∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2 =－（x1+x2）=2k+1 ∵｜x1｜+｜x2｜=x1·x2 ∴2k+1=k2+1， ∴k1=0,k2=2 又 ∵k﹥ ∴k=2． 考点：根的判别式；根与系数的关系． 附加题 【练1】 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　） A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 【答案】D 【分析】 根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根． 【详解】 ∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根， ∴， ∴b=a+1或b=-（a+1）． 当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根； 当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根． ∵a+1≠0， ∴a+1≠-（a+1）， ∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根． 故选D． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 【练2】 已知实数满足，则代数式的值是( ) A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3 【答案】A 【分析】 将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可. 【详解】 ∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0， ∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6； 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解； 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7， 故选A． 【点睛】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体． 【练3】 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长． 【答案】（1）k＞；（2）. 【分析】 （1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可； （2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】 解：（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0， ∴k＞； (2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0， 设方程的两个根为m，n， ∴m＋n＝5，mn＝5， ∴矩形的对角线长为：. 【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根． 【练4】 关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根． 【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或 【解析】 试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解. 试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0， ∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2， ∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+， ∴△＞0， 则方程有两个不相等的实数根； （2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3， ∴x1，x2异号， 又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2， 若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2， ∴m﹣3=﹣2，即m=1， 方程化为x2+2x﹣1=0， 解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣， 若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2， ∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5， 方程化为x2﹣2x﹣25=0， 解得：x1=1﹣，x2=1+． 【练5】 设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x12+x22=6，求m值； （2）令T=，求T的取值范围． 【答案】（1）m=；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】 【分析】 由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m＜1，根据根与系数的关系可得x1+x2=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；（1）把x12+x22=6化为（x1+x2）2﹣2x1x2=6，代入解方程求得m的值，根据﹣1≤m＜1对方程的解进行取舍；（2）把T化简为2﹣2m，结合﹣1≤m＜1且m≠0即可求T得取值范围. 【详解】 ∵方程由两个不相等的实数根， 所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3） =﹣4m+4＞0， 所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m＜1 ∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3； （1）∵x12+x22=6， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6， 即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6 整理，得m2﹣5m+2=0 解得m=； ∵﹣1≤m＜1 所以m=． （2）T=+ = = = = =2﹣2m． ∵﹣1≤m＜1且m≠0 所以0＜2﹣2m≤4且m≠0 即0＜T≤4且T≠2． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【练6】 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 【答案】（1）（2）（3）-4 【分析】 （1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】 （1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0， （x+3）（x﹣4）=0， x+3=0或x﹣4=0， ∴x1=﹣3，x2=4； （2）∵方程有两个实数根， ∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0， 解得； （3）∵是方程的两个实数根，． ∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9， ∴， 把代入， 得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9， 解得：a=﹣4，a=2（舍去）， 所以a的值为﹣4． 点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系． 【练7】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若原方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）且；（2） 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可. （2）利用根与系数的关系得到， ，加上且，则可判断，，所以，，然后解方程求出m即可得到满足条件的m的值. 【详解】 （1）因为方程有两个不相等的实数根， ，解得； 又因为是一元二次方程，所以，． 的取值范围是且． （2），为原方程的两个实数根，， 且，，，，． ，， ，，解得，， 且，不合题意，舍去，． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键. 一课一练 【练1】 用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是( ) A．16 B．24 C．8 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 将a、b、c的值代入b2﹣4ac可得答案. 【详解】 解:由题意得：a=1,b=-4,c=-2, b2﹣4ac= =16+8=24 所以B选项是正确的. 【点睛】 本题主要考查公式法解一元二次方程. 【练2】 用公式法解方程，其中求得的值是（ ）. A．16 B． C．32 D．64 【答案】D 【分析】 先将方程化为一般形式，然后计算即可. 【详解】 解：方程整理得：， ∴，，， ∴， 故选D. 【点睛】 此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【练3】 一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先观察再确定方法解方程，此题可以采用公式法或配方法．采用公式法时首先要将方程化简为一般式． 【详解】 将化为一般形式得， 所以， 所以方程的解是．故选A． 【点睛】 此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于把方程转化为一般形式. 【练4】 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 【答案】B 【解析】 分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可． 详解：A、x2+6x+9=0. △=62-4×9=36-36=0， 方程有两个相等实数根； B、x2=x. x2-x=0. △=（-1）2-4×1×0=1＞0. 方程有两个不相等实数根； C、x2+3=2x. x2-2x+3=0. △=（-2）2-4×1×3=-8＜0， 方程无实根； D、（x-1）2+1=0. （x-1）2=-1， 则方程无实根； 故选B． 点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 【练5】 下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0 【答案】D 【分析】 分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可． 【详解】 A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误； B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误； C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误； D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确． 故选D． 【练6】 关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A．q<16 B．q>16 C．q≤4 D．q≥4 【答案】A 【详解】 ∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根， ∴△>0，即82-4q>0， ∴q<16， 故选 A. 【练7】 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 【答案】C 【详解】 根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1． 故选C 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 【练8】 设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（　　） A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5 【答案】B 【分析】 根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】 解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7， ∴原式＝m2+3m+m+n ＝7﹣3 ＝4， 故选B． 【点睛】 本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型． 【练9】 若a≠b，且则的值为（ ） A． B．1 C．.4 D．3 【答案】B 【解析】 【详解】 解：由得： ∴ 又由可以将a，b看做是方程 的两个根 ∴a+b=4，ab=1 ∴ 故答案为B. 【点睛】 本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解。 【练10】 若为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（      ） A．-13 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【详解】 根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-，α·β=，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×+3×（-）+1=12. 故选B. 点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x1+x2=-，x1·x2=，然后变形代入即可. 【练11】 若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（　　） A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D． 【答案】C 【分析】 分两种情况进行讨论：①当a=b时，可直接得出答案；②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，根据根与系数的关系列出关于a，b的等式即可求解． 【详解】 解：①当a=b时，原式=2； ②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，∴a+b=8，ab=5． 则= =， 把a+b=8，ab=5代入得： = =﹣20． 综上可得：的值为2或﹣20． 故选C． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，然后根据根与系数的关系解题． 【练12】 若，是方程的两个实数根，则的值为 A．2015 B． C．2016 D．2019 【答案】C 【解析】 【分析】 根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论． 【详解】 是方程的两个实数根，，即，则． 故选C． 【点睛】 本题考查了方程的解的概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键． 【练13】 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则m的值为_____________ 【答案】4 【解析】 【分析】 由韦达定理得出x1+x2=6，x1·x2=m+4，将已知式子3x1= | x2|+2去绝对值，对x2进行分类讨论，列方程组求出x1、x2的值，即可求出m的值. 【详解】 由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4， ①当x2≥0时，3x1=x2+2， ，解得， ∴m=4； ②当x2＜0时，3x1=2﹣x2， ，解得，不合题意，舍去. ∴m=4. 故答案为4. 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x2分类讨论去绝对值是解题的关键. 【练14】 如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=_____________． 【答案】2026 【详解】 由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3， 所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3， 又n2=n+3， 则2n2-mn+2m+2015 =2（n+3）-mn+2m+2015 =2n+6-mn+2m+2015 =2（m+n）-mn+2021 =2×1-（-3）+2021 =2+3+2021 =2026． 【练15】 已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为__________． 【答案】1 【详解】 分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案． 详解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4， ∴at2+bt+1=0， 由题意可知：t1=1，t2=2， ∴t1+t2=3， ∴x3+x4+2=3 故答案为1 点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 【练16】 已知关于x的一元二次方程. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1）证明见解析（2）1或2 【解析】 试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可； （2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值． 试题解析：（1）证明：∵，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵，方程的两实根为，，且，∴ ， ，∴，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2． 课后作业 【练1】 一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．0 【答案】D 【详解】 分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解． 详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2， ∴x1x2=0． 故选D． 点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 【练2】 已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可. 【详解】 x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根， 这里a=1，b=-2，c=0， b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0， 所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； ，故D选项错误，符合题意， 故选D. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 【练3】 已知是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根， ∴α+β=﹣1，αβ=﹣2， ∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1， 故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键． 【练4】 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　） A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5 【答案】B 【分析】 根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决． 【详解】 ∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m， ∴-2+m=−， 解得，m=-1， 故选B． 【练5】 设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( ) A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】C 【详解】 分析：由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解． 解答：解：∵a是方程x2+x-2009=0的根， ∴a2+a=2009； 由根与系数的关系得：a+b=-1， ∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009-1=2008． 故选C． 【练6】 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10 【答案】C 【详解】 解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a． ∵，即， ∴，解得：a=﹣4． 故选C． 【练7】 一元二次方程的两个根为，则的值是（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】 利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】 为一元二次方程的根， ， ． 根据题意得，， ． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【练8】 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关 【答案】A 【分析】 先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】 解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【练9】 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的求根公式解答即可． 【详解】 解：对于一元二次方程，方程的根为：． 因为，所以，，， 所以对应的一元二次方程是：． 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的求根公式，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 【练10】 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0 【答案】A 【分析】 把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值． 【详解】 解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0， 解得：k＝﹣1， 故选A． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【练11】 若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k=0 B．k≥﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1 【答案】B 【分析】 讨论: ①当k=0时,方程化为一次方程, 方程有一个实数解; 当k≠0时,方程为二次方程 ，Δ≥0,然后求出两个中情况下的的公共部分即可. 【详解】 解:①当k=0时,方程化为-3x-=0,解得x=; 当k≠0时,Δ=≥0,解得 k≥-1,所以k的范围为k≥-1. 故选B. 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，注意讨论k的取值. 【练12】 已知关于x的方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　) A．k＞且k≠2 B．k≥且k≠2 C．k＞ D．k≥ 【答案】D 【解析】 【分析】 分类讨论：当k-2=0，解k=2，原方程为一元一次方程，有一个实数根；当k-2≠0，即k≠2，当△=(2k+1)2-4(k-2)2≥0方程有实数根，然后综合两种情况得到k的取值范围． 【详解】 当k﹣2＝0，即k＝2时，原方程为5x+1＝0， 解得：x＝﹣， ∴k＝2符合题意； 当k﹣2≠0，即k≠2时，△＝(2k+1)2﹣4×1×(k﹣2)2＝20k﹣15≥0， 解得：k≥且k≠2， 综上所述：k≥， 故选D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，一元一次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的关系是解题的关键. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 【练13】 方程有两个实数根，则的取值范围（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，，，然后解不等式组即可． 【详解】 解：根据题意得 ， ， ， 解得m≤且m≠2． 故选B． 【练14】 已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6 +k+2=0的两个根，则k的值等于(　　) A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6 【答案】B 【分析】 当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论． 【详解】 当m=4或n=4时，即x=4， ∴方程为42﹣6×4+k+2=0， 解得：k=6； 当m=n时，﹣6 +k+2=0 ∵，，， ∴， 解得：， 综上所述，k的值等于6或7， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键． 【练15】 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】D 【详解】 ∵一元二次方程x2- 2x - m = 0无实数根 ∴△=4+4m<0,即m<-1 ∴一次函数的比例系数m+1<0,图像经过二四象限 截距m-1<0，则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限 ∴一次函数y =(m+1)x + m - 1的图像不经过第一象限，故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$