2024-2025学年人教版九年级数学上册 暑假-第2讲-配方法与因式分解法

第2讲 配方法与因式分解法 课程目标 1. 了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2. 掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3. 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 4. 掌握因式分解法解方程的原理和常见方法； 5. 掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。 精讲精练 模块一 一元二次方程的解法-配方法 知识概述 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【知识拓展】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式。 例题精讲 【例1】 解方程：． 【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解． 【答案与解析】 解：∵ ∴x2+4x=1 ∴x2+4x+4=1+4 ∴（x+2）2=5 ∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 【点睛】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【练1】 用配方法解方程. (1)； (2) . 【答案】 (1)方程变形为x2-4x=2． 两边都加4，得x2-4x+4=2+4． 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6． 解这个方程，得x-2= 或x-2= ． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8． 两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1． 用直接开平方法，得x+3=±1， ∴ x=-2或x=-4． 【例2】 用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为(　　) A．(x﹣2)2 B．2(x﹣2)2 C．(x﹣1)2 D．(2x﹣1)2＝1 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，然后把方程两边加上1即可． 【解析】∵2x2﹣4x+1＝0， ∴2x2﹣4x＝﹣1， x2﹣2x， x2﹣2x+1＝1， ∴(x﹣1)2． 故选：C． 【练2】 把一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0配方后可得(　　) A．(x)2 B．(x)2 C．(x)2 D．(x)2 【分析】先把二次项系数化为1，然后利用配方法可对各选项进行判断． 【解析】2x2﹣3x﹣1＝0， 两边同除以2得x2x0， 移项，两边加上()2得x2x+()2)2， 配方得(x)2． 故选：C． 【练3】 下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可． 【解析】解方程x2﹣x﹣2＝0， 去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4， 配方得：x2﹣2x+1＝5，即(x﹣1)2＝5， 开方得：x﹣1＝±， 解得：x＝1±， 则四个步骤中出现错误的是④． 故选：D． 模块二 配方法的应用 知识概述 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【知识拓展】 “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 例题精讲 【例1】 若代数式，，则的值（ ） Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数 【答案】B； 【解析】 （作差法） ．故选Ｂ． 【点睛】 本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小. 【例2】 用配方法证明：二次三项式的值一定小于0． 【解析】 解： =﹣8（x2﹣x）﹣5 =﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2 =﹣8（x﹣）2﹣ ， ∵（x﹣）2≥0， ∴﹣8（x﹣）2≤0， ∴﹣8（x﹣）2﹣＜0， 即 的值一定小于0． 【点睛】 利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【例3】 求代数式的最小值 【答案】 ∵（x+4）2≥0， ∴当（x+4）2=0时，代数式x2+8x+17的最小值是1. 【例4】 已知，求的值． 【分析】 解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式． 【解析】 将原式进行配方，得 ， 即， ∴ 且， ∴ ，． ∴ ． 【点睛】 本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出 的值． 【练1】 若Pm﹣2，Q＝2m2m+1，则P，Q的大小关系是(　　) A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定 【分析】利用求差法比较大小，计算Q﹣P＝2m2m+1﹣(m﹣2)，利用配方法得到Q﹣P＝2(m)2，然后利用非负数的性质可确定P与Q的大小． 【解析】Q﹣P＝2m2m+1﹣(m﹣2) ＝2m2﹣m+3 ＝2(m2m)+3 ＝2(m)2， ∵2(m)2≥0， ∴2(m)20， ∴Q﹣P＞0， 即Q＞P． 故选：B． 已知a2b2＝2a﹣b﹣2，则3ab的值为(　　) A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【分析】先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入代数式求得结果． 【解析】∵a2b2＝2a﹣b﹣2， ∴a2﹣2a+1b2+b+1＝0， ∴， ∴a﹣1＝0，b+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴3ab＝3+1＝4． 故选：A． 【练2】 对于实数p、q．我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此min{﹣π+2，)＝　　；若min{(x+1)2，x2}＝4，则x＝　2或﹣3　． 【分析】根据新定义运算即可求出答案． 【解析】∵﹣π+2， ∴min{﹣π+2，}， 由于(x+1)2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1， 当2x+1＞0时， 即x， ∴min{(x+1)2，x2}＝x2， ∴x2＝4， ∴x＝2或x＝﹣2(舍去)， 当2x+1＜0时， ∴x， ∴min{(x+1)2，x2}＝(x+1)2， ∴(x+1)2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x＝1(舍去)或x＝﹣3， 当2x+1＝0时， 此时x， ∴min{(x+1)2，x2}＝(x+1)2＝x2， 此时x2≠4，不符合题意， 综上所述，x＝2或x＝﹣3． 故答案为：，2或﹣3． 【练3】 阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值． ∵x2+6x+5＝x2+2×(3x)+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4，且(x+3)2≥0， ∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若x2+4x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是　﹣10　； (2)求证：无论x取何值，二次根式都有意义； (3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值． 【分析】(1)将x2+4x﹣1配方，然后与x2+4x﹣1＝(x+a)2+b比较，可得a与b的值，则问题得解； (2)将根号下的部分配方，然后根据偶次方的非负性及非负数加上一个正数等于一个正数，可得被开方数大于零，从而可证得结论； (3)二次项系数为1的二次三项式配方时，常数项为一次项系数一半的平方，故先将代数式提取公因数2，再配方，然后根据代数式2x2+kx+7的最小值为2，可得关于k的方程，求解即可． 【解析】(1)∵x2+4x﹣1＝(x+2)2﹣5， 而x2+4x﹣1＝(x+a)2+b， ∴a＝2，b＝﹣5， ∴ab＝﹣10， 故答案为：﹣10． (2)证明：∵， 又∵， ∴， ∴无论x取何值，x2+x+4的值都是正数， ∴无论x取何值，二次根式都有意义． (3)原式， ∵，代数式2x2+kx+7的最小值为2， ∴， ∴k2＝40， ∴． 模块三 一元二次方程的解法-因式分解法 知识概述 因式分解法的原理为：如果 ，那么 或 ；推广到一元二次方程中： 若一元二次方程 ，那么或，解得两个实数根。 1.c特殊因式分解法解一元二次方程： 我们已知中，c=0时，方程必有一根为 0 ： 因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。 2.常用的因式分解法 提公因式分法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 提公因式法 使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式； 完全平方公式法 使用场景： 等号一侧为完全平方式（即计算△=0） 平方差公式法 使用场景： 平方减平方形式：例如 十字相乘法 使用场景： 前两种方法都不能用时； 【知识拓展】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 例题精讲 【例1】 ； 【答案】 （1）或； 【详解】 解：（1）原方程可化为： 解得：， 【例2】 【答案】x1=3，x2=-1； 【分析】（1）移项，再利用因式分解法求解可得． 【详解】解：（1）， 移项化简可得：， ∴x-3=0，x+1=0， 解得：x1=3，x2=-1． 【练1】 【答案】x1=2，x2=3 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】， ∴， ∴， ∴4-2x=0或x-3=0， 解得：x1=2，x2=3． 【练2】 3x（x﹣1）＝2﹣2x 【答案】x1＝1，x2＝． 【分析】将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解, 【详解】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0, (x﹣1)(3x+2)＝0, x﹣1＝0或3x+2＝0, 所以x1＝1,x2＝﹣． 【练3】 【答案】. 【分析】把x-1看做一个整体，先移项，再利用因式分解法，化为ab=0的形式解方程即可. 【详解】 移项得-x（x-1）=0 （x-1）[4（x-1）-x]=0 即x-1=0或3x-4=0 解得 【例3】 ． 【答案】或． 【分析】利用直接开平方法把方程化为：从而可得答案． 【详解】 原方程可化为： 由此得出： 或 解得： ，． 【点睛】 本题考查的是因式分解法，直接开平方法解一元二次方程，掌握以上解一元二次方程的方法是解题的关键． （x+2）2+6（x+2）﹣91=0； 【答案】(1) x1=5, x2=﹣15 【解析】（x+2）2+6（x+2）﹣91=0； 设y=x+2，则原方程可变形为： y2+6y﹣91=0， 解得：y1=7，y2=﹣13， 当y1=7时，x+2=7， x1=5； 当y2=﹣13时，x+2=﹣13， x2=﹣15； 【例4】 【答案】x1＝0，x2＝； 【分析】 将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解； 【详解】 3x﹣1＝±(x﹣1), 即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1), 所以x1＝0,x2＝； 【点睛】 本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法. 【练4】 ； 【答案】； 【分析】先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可； 【详解】， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 模块四 十字相乘法解一元二次方程 知识概述 若一元二次方程 有两个实数根，那么可以将一元二次方程写成： ，化简得；有对应相等得： 可得：当二次项系数为1时，一次项系数b为两实数根和的相反数；常数项c为两实数根的积； 对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。 【即学即练】 序号 一元二次方程 十字相乘法分解结果 ① ② ③ ④ ⑤ 例题精讲 【例1】 【答案】 【分析】根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可； 【详解】， ∴ ， ∴ ； 【练1】 【答案】 【分析】利用因式分解法解方程得出答案； 【详解】 解得： 【练2】 【答案】， 【分析】把方程左边进行因式分解得到（x-9）（x-1）=0，再解两个一元一次方程即可； 【详解】∵， ∴， ∴或， ∴，； 附加题 【练1】 阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当，时，有，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． （2）当时，求的最小值． （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为9和16，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）2；；（2）11；（3）49 【分析】 （1）当x＞0时，直接根据公式a+b≥2计算即可；当x＜0时，先将x+ 变形为-（-x-），再根据公式a+b≥2计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式a+b≥2计算的形式，计算即可； （3）根据等高三角形的性质计算即可． 【详解】 （1）当时，， ∴的最小值为2， 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． （2）∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴最小值为11． （3）设， ∵与同高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为49． 【点睛】 本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． 【练2】 阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不 是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)， 再例如求代数式2x2+4x-6的最小值． 解： 2x2+4x-6=2（x2+2x-3）=2[(x2+2x+1)-4]=2[(x+1)2-4]=2(x+1)2-8 可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：  （1）分解因式： m2-4m-5 （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）；（2）时有最小值，最小值为5． 【分析】 （1）根据材料，利用配方可将原式变为，再根据完全平方式可得，最后利用平方差公式分解即可． （2）利用配方可将原多项式改为，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】 （1）原式 （2）多项式 即当时，有最小值为5． 【点睛】 本题考查配方法，利用平方差公式因式分解，偶次方的非负性．注意配方的步骤和式子的变形过程不要改变原式子的值． 【练3】 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 例如：，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）．）阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； （2）将配方（至少两种形式）； （3）已知，求的值． 【答案】（1），，；（2），；（3）4 【分析】 （1）（2）根据题中所给的已知材料可得x2-4x+2和a2+ab+b2的多种配方形式； （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【详解】 解：（1）的三种配方分别为： ， ， ； （2）， ； （3） ， ， =0， 从而有，，， 即，，， ． 【点睛】 本题考查了根据完全平方公式：进行配方的能力． 一课一练 【练1】 一元二次方程配方后可变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先移项，再方程两边同加上16，即可得到答案． 【详解】 ， ， ， ， 故选C． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方法是解题的关键． 【练2】 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 【答案】A 【分析】 把常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【详解】 解：由原方程移项，得 x2﹣6x＝7， 等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32， x2﹣6x+32＝7+32， ∴（x﹣3）2＝16； 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方． 【练3】 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A．2（x-1）2=1 B．2（x-1）2=5 C．（x-1）2= D．（x-2）2= 【答案】C 【解析】 【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后根据等式的性质，方程两边都除以2，将二次项系数化为1，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方1，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案. 【详解】2x2-4x-2=1，  2x2-4x=3， x2-2x=， x2-2x+1=+1， ， 故选C. 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键. 【练4】 用配方法解方程 ，则方程可变形为（ ） A．（x-2）2= B．2（x-2）2= C．（x-1）2= D．（2x-1）2=1 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程配方法可直接排除选项． 【详解】 解：，则， ， ， 即． 故选C． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 【练5】 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】C 【分析】 根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案． 【详解】 A、由原方程，得， 等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得； 故本选项正确； B、由原方程，得， 等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得，， 故本选项正确； C、由原方程，得， 等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x＋4）2＝7； 故本选项错误； D、由原方程，得3x2−4x＝2， 化二次项系数为1，得x2−x＝ 等式的两边同时加上一次项系数−的一半的平方，得； 故本选项正确． 故选：C． 【点睛】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【练6】 方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 运用配方法求解即可． 【详解】 解： 把方程的常数项移到等号的右边，得． 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得． 配方得． 解得，． 故选C． 【点睛】 此题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 【练7】 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 【答案】A 【分析】 根据配方法步骤解题即可． 【详解】 解： 移项得， 配方得， 即， ∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 【练8】 用配方法解方程 ，则方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2= C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2= 【答案】D 【分析】 方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形即可得到结果． 【详解】 3x2﹣6x+1=0方程变形得：x2−2x＝−， 配方得：x2−2x＋1＝，即（x−1）2＝， 故选：D． 【点睛】 本题考查解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【练9】 用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ） A．，∴或 B．，∴或 C．，∴或 D．，∴ 【答案】A 【解析】 分析: 用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0． 详解: 用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对， 第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0． 所以第一个正确． 故选A． 点睛: 此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力． 【练10】 若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（　　） A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6） 【答案】B 【分析】 根据题意，把x=5和x=-6分别代入方程，构成含m、n的二元一次方程组，解出m、n的值，然后可得二次三项式，再根据“十字相乘法”因式分解即可. 【详解】 根据题意可得 解得 所以二次三项式为x2+x-30 因式分解为x2+x-30=（x﹣5）（x+6） 故选B. 【点睛】 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程的应用，关键是利用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行解答. 【练11】 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A．12 B．9 C．13 D．12或9 【答案】A 【详解】 因式分解可得：(x－2)(x－5)=0，解得：=2，=5， 当2为底，5为腰时，则三角形的周长为12； 当5为底，2为腰时，则无法构成三角形， 故选A. 【练12】 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值（ ） A．0 B．1或2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】 把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0． 【详解】 解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0， 解得：m=1或m=2， 又m-1≠0，即m≠1， ∴m=2， 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件． 【练13】 若 ，则 的值为（    ）. A．－3 B．－1或4 C．4 D．无法计算 【答案】C 【解析】 把看做一个整体，则方程可看作，然后分解因式为（+1）（-4）=0，解得=-1（舍去）或=4. 故选C. 【练14】 已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____． 【答案】1 【分析】 利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解． 【详解】 解 （x-3m）（x-m）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 解得x1=3m,x2=m， ∴3m-m=2 解得m=1 故答案为：1． 【点睛】 此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 【练15】 方程和方程同解，________． 【答案】 【解析】 【分析】 分别求解两个方程的根即可. 【详解】 解：，解得x=3或m；，解得x=3或-1，则m=-1， 故答案为：-1. 【点睛】 本题考查了运用因式分解法解一元二次方程. 【练16】 已知实数满足，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】 把看作一个整体，利用因式分解法把方程分解为，由此即可求得的值. 【详解】 ， ， ，, ∴m2-m=7或m2-m=-3． ∵，△=1-12=-11＜0， ∴方程无解， ∴. 故答案为7. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 【练17】 已知方程x2＋x﹣＝2，则2x2＋2x＝_____． 【答案】6． 【分析】 利用换元法，设x2＋x＝y，解分式方程，解得y后，再求得x． 【详解】 设x2＋x＝y， 则原方程变为y﹣＝2， 整理得：y2﹣2y﹣3＝0， 分解因式得：（y﹣3）（y＋1）＝0， 则y﹣3＝0，y＋1＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣1， 经检验：y1＝3，y2＝﹣1是原分式方程的根， 所以x2＋x＝3或﹣1， 因为x2＋x＝﹣1无解， 故2x2＋2x＝6， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查复杂分式方程的解法，通常采用换元法使分式方程简化，需要注意的是换元得到的根也需要验根． 【练18】 已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则方程x2+3x﹣c=0的解是______． 【答案】x1=0，x2=﹣3． 【解析】解：设方程x2﹣3x+c=0一个根为t，则t2﹣3t+c=0①，因为﹣t为方程x2+3x﹣c=0的一个根，所以t2﹣3t﹣c=0②，由①②得：c=0，解方程x2+3x=0得：x1=0，x2=﹣3．故答案为：x1=0，x2=﹣3． 课后作业 【练4】 方程的根是（ ） A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D． x1=0，x2=2 【答案】C 【解析】 试题解析：x（x+2）=0， ⇒x=0或x+2=0， 解得x1=0，x2=-2． 故选C． 【练5】 若关于 x的方程 的一个根是0，则另一个根是（    ） A．1 B．－1 C．5 D． 【答案】C 【解析】 根据方程的解，可直接把x=0代入，可得k=0，则原方程为，因式分解为x（x-5）=0，解得x=0或x=5，另一个解为x=5. 故选C. 【练6】 若方程，则的值为 A． B． C． D．7或 【答案】D 【分析】 根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值． 【详解】 方程，可得或，解得：，当时，；当时，． 故选D． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【练7】 方程的解是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ．故选D． 【练8】 一元二次方程的根是 A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2 【答案】D 【分析】 先移项得到，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可. 【详解】 , 故选D. 【练9】 经计算整式 x+1与 x-4的积为 ，则 =0的所有根为（    ） A． B． C． D．​ 【答案】B 【解析】 根据整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则方程x2-3x-4=0，即是（x+1）（x-4）=0，根据两个式子的积是0，则两个式子中至少有一个是0，即可得到x+1=0或x-4=0，解得x1=-1，x2=4. 故选：B 点睛：利用因而分解法解一元二次方程的关键是正确分解因式，理解因式分解法的依据． 【练10】 解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（　　） A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【解析】 试题解析： 即用了因式分解法， 故选D． 【练11】 方程 正确解法是（     ） A．直接开方得 B．化为一般形式 ​ C．分解因式得 D．直接得 x+1=0或 x-1=0 【答案】C 【解析】 A：直接开平方应得到两个方程：3（x+1）=2（x-1）和3（x+1）=-2（x-1），所以A不正确； B：化成一般形式应是：5x2+26x+5=0；所以B不正确； C：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3（x+1）+2（x-1）][3（x+1）-2（x-1）]=0，所以C正确． D：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D不对． 故选：C． 点睛：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的结构特点，用平方差公式因式分解． 【练12】 选择适当的方法解下列方程： (1)x2－4x－3＝0； 　(2)x(x＋2)＝3(x＋2)． 【答案】(1)x1＝2＋，x2＝2－；(2)x1＝3，x2＝－2. 【解析】 【分析】 第一题利用配方法解方程；第二题先移项再利用因式分解求解即可. 【详解】 (1)x2－4x－3＝0； 配方得(x－2)2＝7， x－2＝±， ∴x1＝2＋，x2＝2－；　　　 (2)x(x＋2)＝3(x＋2)． 移项得(x－3)(x＋2)＝0， x－3＝0或x＋2＝0， ∴x1＝3，x2＝－2. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的常见解法，熟练掌握并运用这些方法解方程是解答本题的关键. 【练13】 方程（x+1）（x-3）=5的解是 A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2 C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2 【答案】B 【解析】 (x+1) (x-3) =5，x²-3x+x-3-5=0，x²-2x-8=0，(x+2)(x-4)=0，x1=-2，x2=4，故选B. 【练14】 方程的根的个数是( ) A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】 对方程分两种情况进行计算即可. 【详解】 当时，原方程可化为， 解得， (舍去)； 当时，原方程可化为， 解得， (舍去)． ∴原方程有2个根． 故选B． 【点睛】 本题考查了绝对值的意义及因式分解法解一元二次方程. 【练15】 方程的解是________． 【答案】或 【解析】 【分析】 分两种情况：①x＞-；②x≤-；先化为一般形式，再根据方程的特点选用合适的方法求解即可. 【详解】 分两种情况： ①x＞-时，原方程可变形为：x2-2x-5=0， ∴x1=1+，x2=1-（舍去）； ②x≤-时，原方程变形为：x2+2x-3=0，即（x+3）（x-1）=0， ∴x1=-3，x2=1（舍去）， 因此本题的解为x=1+或x=-3， 故答案为：x=1+或x=-3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法和绝对值的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法与因式分解法． 【练16】 填空，将左边的多项式配成完全平方式： (1) _____ =_____； (2) _____ =_____； (3) _____=_____. 【答案】4 2 1 1 【分析】 利用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行解题即可 【详解】 （1）4 =2； （2） =； （3） 【点睛】 本题考查完全平方公式的应用，熟悉完全平方公式是解题关键 【练17】 若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______． 【答案】-7 【分析】 利用配方法把变形为（x-2）-9，则可得到m和k的值，然后计算m+k的值． 【详解】 x−4x−5=x−4x+4−4−5 =(x−2) −9， 所以m=2，k=−9， 所以m+k=2−9=−7. 故答案为-7 【点睛】 此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握运算法则. 【练18】 代数式x2＋4x＋7的最小值为____． 【答案】3 【分析】 配方可求最小值. 【详解】 x2＋4x＋7=(x+2)2+3,故(x+2)2+3.故最小值是3. 【点睛】 配方法把代数式化为只含一个变量的式子，再利用平方的非负性求最值. 【练19】 将二次三项式x2＋4x＋5化成(x＋p)2＋q的形式应为____. 【答案】(x＋2)2＋1 【详解】 试题分析：原式=+4x+4+1= 故答案为： 考点：配方法 【练20】 用配方法解方程时，可配方为，其中________． 【答案】-6 【分析】 把方程左边配成完全平方，与比较即可. 【详解】 ， ， ， 可配方为， . 故答案为. 【点睛】 本题考查用配方法来解一元二次方程，熟练配方是解决此题的关键. 【练21】 t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2－2x＋t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值是____． 【答案】－3 【分析】 a，b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1=0的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简（a2-1）（b2-1）即可求解． 【详解】 ∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1=0的两个非负实根， ∴可得a+b=2，ab=t-1≥0， ∴t≥1， 又△=4-4（t-1）≥0，可得t≤2， ∴2≥t≥1， 又（a2-1）（b2-1）=（ab）2-（a2+b2）+1=（ab）2-（a+b）2+2ab+1， ∴（a2-1）（b2-1）， =（t-1）2-4+2（t-1）+1， =t2-4， 又∵2≥t≥1， ∴0≥t2-4≥-3， 故答案为-3． 【练22】 “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值； （3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3 【分析】 （1）直接配方即可； （2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再求x＋y的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】 解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1； （2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0， （x﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x﹣2＝0，y+1＝0， 解得x＝2，y＝﹣1， 则x+y＝2﹣1＝1； （3）x2﹣1﹣（2x﹣3） ＝x2﹣2x+2 ＝（x﹣1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+1＞0， ∴x2﹣1＞2x﹣3． 【点睛】 本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 【练23】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+1的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值． 【答案】（1）；（2）5． 【分析】 （1）根据题中的解法即可得到答案； （2）同理（1）. 【详解】 （1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥， 则m2+m+1的最小值是； （2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5， 则4﹣x2+2x的最大值是5． 【点睛】 本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利用非负数的性质即可得解. 【练24】 阅读：我们知道一个分式有意义的条件是字母的取值使得分母不为零，所以分式中取值往往会受到限制，但分式中b却可以取任意实数，理由是b2+3≥3，所以不可能为0且分母的最小值为3，根据你的理解回答下列问题： （1）多项式x2+2x﹣3有最大值还是最小值？如果有，请求出这个最值； （2）已知关于x的多项式A＝4x2﹣3x+a2（a为常数）和多项式B＝3x2+5x﹣17，试比较A和B的大小，并说明理由； （3）已知关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3（m为常数）的最大值为2，求x和m的值． 【答案】（1）有最小值，最小值是﹣4；（2）A＞B，见解析；（3）x的值为1，m的值为﹣． 【分析】 （1）原式配方后，利用非负数的性质确定出最值即可； （2）利用作差法判断即可； （3）先将关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3配方，再根据最大值为2，得出关于m的方程，解得m的值，然后可求得x的值． 【详解】 解：（1）∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴多项式x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4； （2）∵A＝4x2﹣3x+a2，B＝3x2+5x﹣17， ∴A﹣B＝4x2﹣3x+a2﹣（3x2+5x﹣17） ＝x2﹣8x+a2+17 ＝（x﹣4）2+a2+1， ∵（x﹣4）2≥0，a2+1≥1， ∴（x﹣4）2+a2+1≥1， ∴A＞B； （3）﹣x2﹣4mx+4m+3 ＝﹣（x2+4mx）+4m+3 ＝﹣（x+2m）2+4m2+4m+3， ∵最大值为2， ∴4m2+4m+3＝2， ∴（2m+1）2＝0， ∴m1＝m2＝﹣， ∴x＝﹣2m＝1． ∴x的值为1，m的值为﹣． 【点睛】 本题考查了配方法在最值问题以及多项式比较大小中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 【练25】 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：分解因式 ； （2）把写成后，求出的值； （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】 （1）直接利用完全平方公式变形得出答案； （2）通过配方后，化为的形式，再=，即可得出答案； （3）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出a，b，c的关系，进而得出△ABC的形状． 【详解】 解：（1）4a2-4a+1=（2a-1）2； 故答案为：； （2）解： ， （3）解： ，， 即． 为等边三角形． 【点睛】 本题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 配方法与因式分解法 课程目标 1. 了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2. 掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3. 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 4. 掌握因式分解法解方程的原理和常见方法； 5. 掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。 精讲精练 模块一 一元二次方程的解法-配方法 知识概述 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【知识拓展】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式 例题精讲 【例1】 解方程：． 【练1】 用配方法解方程. (1)； (2) . 【例2】 用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为(　　) A．(x﹣2)2 B．2(x﹣2)2 C．(x﹣1)2 D．(2x﹣1)2＝1 【练2】 把一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0配方后可得(　　) A．(x)2 B．(x)2 C．(x)2 D．(x)2 【练3】 下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 模块二 配方法的应用 知识概述 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【知识拓展】 “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 例题精讲 【例1】 若代数式，，则的值（ ） Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数 【例2】 用配方法证明：二次三项式的值一定小于0． 【例3】 求代数式的最小值 【例4】 已知，求的值． 【练1】 若Pm﹣2，Q＝2m2m+1，则P，Q的大小关系是(　　) A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定 【练2】 已知a2b2＝2a﹣b﹣2，则3ab的值为(　　) A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【练3】 对于实数p、q．我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此min{﹣π+2，)＝　 　；若min{(x+1)2，x2}＝4，则x＝　 　． 【练4】 阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值． ∵x2+6x+5＝x2+2×(3x)+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4，且(x+3)2≥0， ∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若x2+4x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是　 　； (2)求证：无论x取何值，二次根式都有意义； (3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值． 模块三 一元二次方程的解法-因式分解法 知识概述 因式分解法的原理为：如果 ，那么 或 ；推广到一元二次方程中： 若一元二次方程 ，那么或，解得两个实数根。 1.c特殊因式分解法解一元二次方程： 我们已知中， 时，方程必有一根为 ： 因此，当一元二次方程中常数项 时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。 2.常用的因式分解法 提公因式分法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 提公因式法 使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式； 完全平方公式法 使用场景： 等号一侧为完全平方式（即计算△=0） 平方差公式法 使用场景： 平方减平方形式：例如 十字相乘法 使用场景： 前两种方法都不能用时； 【知识拓展】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 例题精讲 【例1】 ； 【例2】 【练1】 【练2】 3x（x﹣1）＝2﹣2x 【练3】 【例3】 ． 【例4】 【练4】 ； 模块四 十字相乘法解一元二次方程 知识概述 若一元二次方程 有两个实数根，那么可以将一元二次方程写成： ，化简得；有对应相等得： 可得：当二次项系数为1时，一次项系数b为两实数根和的相反数；常数项c为两实数根的积； 对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。 【即学即练】 序号 一元二次方程 十字相乘法分解结果 ① ② ③ ④ ⑤ 例题精讲 【例1】 【练1】 【练2】 附加题 【练1】 阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当，时，有，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． （2）当时，求的最小值． （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为9和16，求四边形面积的最小值． 【练2】 阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不 是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)， 再例如求代数式2x2+4x-6的最小值． 解： 2x2+4x-6=2（x2+2x-3）=2[(x2+2x+1)-4]=2[(x+1)2-4]=2(x+1)2-8 可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：  （1）分解因式： m2-4m-5 （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值． 【练3】 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 例如：，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）．）阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； （2）将配方（至少两种形式）； （3）已知，求的值． 一课一练 【练1】 一元二次方程配方后可变形为（ ） A． B． C． D． 【练2】 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 【练3】 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A．2（x-1）2=1 B．2（x-1）2=5 C．（x-1）2= D．（x-2）2= 【练4】 用配方法解方程 ，则方程可变形为（ ） A．（x-2）2= B．2（x-2）2= C．（x-1）2= D．（2x-1）2=1 【练5】 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【练6】 方程的解是（ ） A． B． C． D． 【练7】 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 【练8】 用配方法解方程 ，则方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2= C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2= 【练9】 用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ） A．，∴或 B．，∴或 C．，∴或 D．，∴ 【练10】 若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（　　） A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6） 【练11】 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A．12 B．9 C．13 D．12或9 【练12】 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值（ ） A．0 B．1或2 C．1 D．2 【练13】 若 ，则 的值为（    ）. A．－3 B．－1或4 C．4 D．无法计算 【练14】 已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____． 【练15】 方程和方程同解，________． 【练16】 已知实数满足，则代数式的值为________． 【练17】 已知方程x2＋x﹣＝2，则2x2＋2x＝_____． 【练18】 已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则方程x2+3x﹣c=0的解是______． 课后作业 【练4】 方程的根是（ ） A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D． x1=0，x2=2 【练5】 若关于 x的方程 的一个根是0，则另一个根是（    ） A．1 B．－1 C．5 D． 【练6】 若方程，则的值为（ ） A． B． C． D．7或 【练7】 方程的解是（ ） A． B． C． D． 【练8】 一元二次方程的根是（ ） A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2 【练9】 经计算整式 x+1与 x-4的积为 ，则 =0的所有根为（   ） A． B． C． D．​ 【练10】 解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（　　） A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【练11】 方程 正确解法是（  ） A．直接开方得 B．化为一般形式 ​ C．分解因式得 D．直接得 x+1=0或 x-1=0 【练12】 选择适当的方法解下列方程： (1)x2－4x－3＝0； 　(2)x(x＋2)＝3(x＋2)． 【练13】 方程（x+1）（x-3）=5的解是（ ） A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2 C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2 【练14】 方程的根的个数是( ) A．4 B．2 C．1 D．0 【练15】 方程的解是________． 【练16】 填空，将左边的多项式配成完全平方式： (1) _____ =_____； (2) _____ =_____； (3) _____=_____. 【练17】 若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______． 【练18】 代数式x2＋4x＋7的最小值为____． 【练19】 将二次三项式x2＋4x＋5化成(x＋p)2＋q的形式应为____. 【练20】 用配方法解方程时，可配方为，其中________． 【练21】 t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2－2x＋t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值是____． 【练22】 “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值； （3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小． 【练23】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+1的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值． 【练24】 阅读：我们知道一个分式有意义的条件是字母的取值使得分母不为零，所以分式中取值往往会受到限制，但分式中b却可以取任意实数，理由是b2+3≥3，所以不可能为0且分母的最小值为3，根据你的理解回答下列问题： （1）多项式x2+2x﹣3有最大值还是最小值？如果有，请求出这个最值； （2）已知关于x的多项式A＝4x2﹣3x+a2（a为常数）和多项式B＝3x2+5x﹣17，试比较A和B的大小，并说明理由； （3）已知关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3（m为常数）的最大值为2，求x和m的值． 【练25】 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：分解因式 ； （2）把写成后，求出的值； （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$