精品解析：湖北省黄石市部分学校2025届高三五月适应性考试数学试题

2025年5月高三年级高考考前适应性练习 数学 本试卷共5页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为，所以, 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 3. 设向量，且，则等于（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可. 【详解】由题意得，又， 所以，可得. 故选：A 4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解，计算可估计身高． 【详解】头顶至脖子下端的长度为26cm， 说明头顶到咽喉的长度小于26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618， 可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是， 可得肚脐至足底的长度小于＝110， 即有该人的身高小于110+68＝178cm， 又肚脐至足底的长度大于105cm， 可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm， 即该人的身高大于65+105＝170cm， 即人的身高大于170小于178, 故选：B． 5. 设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， 若， 当时，由得， 解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递减数列. 当时，由得， 解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时此时为递减数列. 反之，若为递减数列，则， 所以“对于任意的，”是“为递减数列”的充分必要条件. 故选：C 6. 若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和分析函数内外层的单调性，列不等式求解 【详解】函数在区间 内有意义， 则函数（且）在区间大于零恒成立， 又因为函数（且）在区间内单调递增， 所以， 设则 ， ( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使在区间内内单调递减， 则需使 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为， 所以， 又，所以. 综上，的取值范围是 故选：B 7. 已知直线（a，b是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A. 60条 B. 66条 C. 72条 D. 78条 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆上的整点的个数后分类讨论可求直线的条数. 【详解】圆上的整点为：， 共12个整点，过其中任意两点的直线有， 其中：过的直线、过的直线、过的直线、过的直线的斜率不存在； 过的直线、过的直线、过的直线、过的直线的截距方程不存在； 过的直线、过的直线，过的直线、过的直线过原点、过的直线、过的直线均过原点， 故共有14条直线的截距式方程不存在， 另外，各自以为切点的直线的截距式方程也存在，共8条， 故满足条件的直线条数为：. 故选：A 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与，有关齐次式即可得离心率． 【详解】由双曲线的对称性可知，，则四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则， 因为，所以，故， 则有， 即，即，则，由，故． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于，，之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出，与的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与，有关齐次式，即可得解． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 10. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】 对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 11. 若函数为函数的导函数，且对于任意实数，函数值，，均为递增的等差数列，则（ ） A. 函数不可能为奇函数 B. 函数存在最大值 C. 函数存在最小值 D. 函数有且仅有一个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过分析函数的一次导数和二阶导数，得出函数的单调区间和最值，以及函数的零点，即可得出答案. 【详解】因为函数为函数的导函数，设，则，由题意可知：， 得，即，故，则存在正实数满足即，即，故，存在实数满足，故，，， 故， 所以当时；当时， 故在上单调递减；在上单调递增， 由得单调性可知函数不可能为奇函数，故A正确； 由单调性可知存在最小值，没有最大值，故B错误，C正确； 因为所以令则，所以函数有且仅有一个零点，故D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于_________． 【答案】20π 【解析】 【详解】 13. 若的面积是外接圆面积的，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理表示外接圆的面积，由的面积是外接圆面积的得出，又，化简即可得出结果. 【详解】由正弦定理得，则， 又的面积是外接圆面积的， 所以，即. . 故答案为：. 14. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】分析可知，要只改变的状态，则只有在及周边按动开关才可以实现开关的次数最少，利用表格分析即可. 【详解】根据题意可知：只有在及周边按动开关，才可以使按开关的次数最少，具体原因如下： 假设开始按动前所有开关均为闭合状态，要只改变的状态，在按动后，，也改变， 下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边的，也改变，因此会按动开关更多的次数；所以接下来逐一恢复，至少需按开关次； 这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动次可以满足要求. 如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以） 按动 开 开 关 开 关 关 关 关 关 按动 开 关 开 开 关 开 关 关 关 按动 开 关 关 开 开 关 关 关 开 按动 开 关 关 开 关 关 开 开 关 按动 开 关 关 关 关 关 关 关 关 则需按开关的最少次数为. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，． （1）证明：； （2）若，为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接，作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定线线垂直即可. （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量求法解决即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，，两两垂直，以A为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，， 所以． 由（1）知，平面，所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 16. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验. 【解析】 【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；方法二：根据所求式子特征，利用基本不等式求最值，并根据等号成立条件求. （2）先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候，先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 【小问1详解】 （1）方法一： 件产品中恰有件不合格品的概率为. 因此. 令，得. 当时，；当时，. 所以的最大值点为； 方法二： 由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为． ， 当且仅当时，等号成立，即此时取得最大值， 则． 【小问2详解】 由（1）知，. （i）令表示余下的件产品中的不合格品件数， 依题意知，，即， 所以 . （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于，故应该对余下的产品作检验. 17. 如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）． （Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案； （Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值 【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为； （Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法 设， 由， ， 由在抛物线上，所以， 又， ，， . 由即 ， 所以，，， 所以，的最大值为，此时. [方法二]【最优解】： 设直线，. 将直线的方程代入椭圆得：， 所以点的纵坐标为. 将直线的方程代入抛物线得：， 所以，解得，因此， 由解得， 所以当时，取到最大值为. [方法三] ：点差和判别式法 设，其中． 因为所以． 整理得，所以． 又， 所以，整理得． 因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式． ① 由得． 因此，将此式代入①式解得． 当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为． [方法四]：参数法 设， 由，得． 令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得． 所以，此时M坐标为． 18. 已知、，函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若对，函数至多有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得出，可求出、的值，即可得解； （2）由已知得出对任意的，参变量分离得出，利用导数求出函数的最小值，由此可得出实数的取值范围； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合函数的零点个数可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得，， 解得，，故. 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，，可得， 令，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得，当时，函数在上单调递增， 则函数至多一个零点，符合题意； 当时，，当时，，且 当时，，作图所示： 由图可知，存在，使得， 且当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，对，函数至多有两个零点，符合题意； 当时，函数有两个零点， 设两个零点分别为、， 当或，，当时，， 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为， 且当时，；当时，. 故当时，即当时， 函数有三个零点，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 记表示有穷集合M的元素个数.已知m，n是正整数，集合.若集合序列Q：，，…，满足下列三个性质，则称Q是“平衡序列”： ①，其中，2，…，m； ②，其中，2，…，m； ③对于S中的任意两个不同元素i，j，都存在唯一的，使得. （1）设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） ：，，，， ：，，，， （2）已知且集合序列Q：，，…，是“平衡序列”，对于，2，…，n，定义：.证明： （ⅰ）当时，； （ⅱ）. 【答案】（1） 是平衡的， 不是平衡的; （2）（ⅰ）当 时，对于 中的每个元素 ，考虑 ， 由③知存在唯一的 ，满足 ，则 ， 将每一个 对应到 ， 若 ，就有 ，否则 且 与③矛盾. 所以 ， （ⅱ）对 中所有元素的总个数算两次 (重复出现的计多次)， 一方面总个数就是 ， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是 ， 所以 ， (*) 不妨设 中最小的 (之一) 为 ， 且 ，由② ③知 ， 再不妨设 ， 由 (i) 的证明方法可证： 当 时， ， 因为 ，所以 对 ，有 ，故又 ，故 . 又因为 ，所以 都不大于 ， 全部相加得 ， 由 的最小性知 ， 结合 (*)可得 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断 ，找到反例 ，即可判断 ； （2）（i）考虑 ，根据性质③知若 ，则会得到矛盾点，即可证明； （ii）设 中最小的 (之一) 为 ，且 ，设 ，根据（i）的证明方法知当 时， ，则 都不大于 ，最后相加即可证明. 【小问1详解】 是平衡的， 不是平衡的.理由如下： ， ，满足 ，显然 ，且对于 中的任意两个不同元素 ， 都存在唯一的 ，使得 ， 故 是平衡的， 并不是 的子集，故 不是平衡的. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月高三年级高考考前适应性练习 数学 本试卷共5页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，且，则等于（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 5. 设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线（a，b是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A. 60条 B. 66条 C. 72条 D. 78条 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 10. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 11. 若函数为函数的导函数，且对于任意实数，函数值，，均为递增的等差数列，则（ ） A. 函数不可能为奇函数 B. 函数存在最大值 C. 函数存在最小值 D. 函数有且仅有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于_________． 13. 若的面积是外接圆面积的，则______． 14. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，． （1）证明：； （2）若，为的中点，求与平面所成角的正弦值． 16. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 17. 如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）． （Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 18. 已知、，函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若对，函数至多有两个零点，求的取值范围． 19. 记表示有穷集合M的元素个数.已知m，n是正整数，集合.若集合序列Q：，，…，满足下列三个性质，则称Q是“平衡序列”： ①，其中，2，…，m； ②，其中，2，…，m； ③对于S中的任意两个不同元素i，j，都存在唯一的，使得. （1）设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） ：，，，， ：，，，， （2）已知且集合序列Q：，，…，是“平衡序列”，对于，2，…，n，定义：.证明： （ⅰ）当时，； （ⅱ）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $