2024-2025学年人教版七年级上册暑假-第6讲 整式(学生版+教师版)

第6讲 整式 课程目标 1.理解字母表示数的意义，会用字母表示数. 2.理解单项式、多项式、整式的意义，会求单项式的系数与次数，会求多项式次数. 3.能利用整式的概念解决一些常见的问题. 课程内容 知识点一 用字母表示数 （1）用字母表示数，可以理解为用字母可以表示任意一个有理数，也可以表示一个式子、图形的面积公式、体积公式等，并且用字母表示的数与具体的数一样可以参与运算. （2）实际上，用字母表示数时，所表示的数不仅仅是一个数，而是具有相同特征的一类数. 易错警示：用字母表示数时，其书写格式具有规定性，主要表现为下列几个方面： （1）当数字与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示，数字要写在前面，如果数字是带分数，要把带分数化为假分数； （2）当字母与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示，其中，相同字母相乘要写成幂的形式； （3）相除关系一般用分数表示； （4）带有单位的代数式，若代数式是由加减符号连接而成，要把代数式括起来再写单位，这是书写代数式时最容易出现的一个错误. 题型一 用字母表示式子的书写格式 例1 下列各式符合代数式书写规范的是（　　）. A． B．a×7 C．2m－1元 D． 【思路分析】根据代数式的书写要求判断各选项即可． 【解】 A、代数式书写规范，故A符合题意； B、数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，乘号省略或用“·”表示，故B不符合题意； C、代数式作为一个整体，应该加括号，故C不符合题意； D、带分数要写成假分数的形式，故D不符合题意. 故选A． 【总结提示】本题考查了代数式，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；（4）带分数要写成假分数的形式． 练1 下列式子，符合代数式书写格式的是（　　）. A．a÷3 B． C．a×3 D． 【解】 A、 a÷3应写为，故A不符合题意； B、应写为，故B不符合题意； C、a×3应写为3a，故C不符合题意； D、正确，故D符合题意. 故选D． 题型二 用字母表示代数型问题中的数 例2 (1)买单价为6元的钢笔a支，共需 元； (2)一台电视机的标价为a元，则打八折后的售价为 元； (3)温度由30 ℃下降t ℃后是 ℃； (4)大圆的面积为R cm,小圆的面积为r cm,则圆环的面积是 cm2. 【思路分析】用宇母表示数时要严格按照书写规则书写. 【解】 (1)根据“总价=单价×数量”，得共需6a元； (2)根据“”，得打八折后的售价为0.8a元； (3)根据“原温度－下降的温度=下降后的温度”，得下降后的温度为(30-t)℃，本题需要注意代数式作为一个整体，要加括号； (4)根据“圆环面积=大圆面积－小圆面积”，得圆环的面积是(πR2-πr2 )cm2，同样需要注意加括号. 故填(1)6a；(2)0.8a；(3)(30-t)；(4)(πR2-πr2 ). 【总结提示】用字母表示日常生活中的数或数量关系，仅仅是把具体数用字母代替了，其实际意义与具体数是一致的，这是将个别数量关系转变为一般数量关系. 练2 小王加工了m个零件，小张比小王多加工了5个零件，请问小张加工了 个零件. 【思路分析】根据“小王加工的零件个数+5=小张加工的零件个数”，即可得出答案. 【解】因为小张比小王多加工了5个零件，所以小张加工了（m+5）个，故填（m+5）. 题型三 用字母表示特征数 例3 (1)若m为整数，则2m为 数，2m－1为 数(填“奇”或“偶”)； (2)三个连续偶数,若中间一个为2n,则其余两个分别为 ； (3)若k为整数,以被4除所得的结果作为分类标准，则整数可分为 共4类； (4)若一个两位数,其个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数为 . 【思路分析】紧扣各类数的特征进行解答. 【解】 (1)根据奇偶数的定义知，2m为偶数，2m－1为奇数； (2)三个连续偶数中，最小的比中间一个小2，即为2n－2， 最大的比中间一个大2，即为2n+2； (3)可分为被4整除，被4除余1，被4除余2，被4除余3，这4类， 可分别便是为4k,4k+1,4k+2,4k+3； (4)十位上是几就表示几个十，个位上是几就表示几个一， 所以这个两位数为10b+a. 故填(1)偶，奇；(2)2n-2,2n+2；(3)4k,4k+1,4k+2,4k+3；(4)10b+a. 【总结提示】奇、偶数的区别在于能否被2整除.偶数能被2整除，奇数被2除余1；整数被4除可能的情况只有4种:整除、余1、余2、余3；两位数的表示方法:十位数字×10+个位数字. 练3 三个连续奇数，若中间的一个为2n－1，那么最大的一个是 . 【解】因为三个连续奇数中，最大的一个比中间的一个大2，所以最大的一个是2n－1+2=2n+1， 故填2n+1. 题型四 用字母表示图形型问题中的数 例4 设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请你分别用图中标注的字母表示S1与S2． 【思路分析】观察图形看出，图1中的阴影部分可以看做在一个长为a、宽为b的长方形内剪去一个长为b、宽为x的长方形后剩余的部分；图2中的阴影部分可以看做在一个边长为R的正方形内剪去一个半径为R的圆后剩余的部分. 【解】 对于图1：根据“阴影部分的面积=大长方形的面积－小长方形的面积”，得S1=ab－bx； 对于图2：根据“阴影部分的面积=正方形的面积－圆的面积”，得． 【总结提示】本题的求解过程提醒我们，用字母表示某个图形的面积，与我们在小学所学的求某个图形的面积相比较，其解题思路基本相同，所不同的是，一个是具体的数，一个是用字母表示的数. 练4 用字母表示图中阴影部分的面积： 【思路分析】根据“阴影部分的面积=大长方形的面积－两个小长方形的面积”，即可得出答案. 【解】根据图形和长方形的面积公式，得阴影部分的面积为mn－ab－ab. 知识点二 单项式 定义 单项式的系数 单项式的次数 由数与字母的乘积或字母与字母的乘积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 单项式中的数字因数，叫做单项式的系数，当系数为1时，系数可省略不写 单项式中所有字母指数之和叫做单项式的次数，当单项式中没有字母时，其次数为0 题型一 求单项式的系数、次数 例5 指出下列各式中的单项式及单项式的系数与次数. ①2m3n2 ；②－a；③；④0.5s；⑤；⑥x+1；⑦2πr；⑧8. 【思路分析】根据单项式、单项式的系数、单项式的次数等概念求解，注意“π”是一个数而不是字母. 【解】 ①是单项式，它的系数为2，次数为5； ②是单项式，它的系数为－1，次数为1； ③是单项式，它的系数是，次数是2； ④是单项式，系数是0.5，次数是1； ⑤不是单项式； ⑥不是单项式； ⑦是单项式，系数是2π，次数是1； ⑧是单项式，系数是8，次数是0. 【总结提示】判断一个式子是否是单项式，关键是看式子中的数与字母、字母与字母之间是否只有乘法运算和乘方运算，若是，则为单项式；否则，不是. 练5 单项式－x3y2的系数与次数分别为（　　）. A．－1，5 B．－1，6 C．0，5 D．1，5 【思路分析】根据单项式系数及次数的定义来求解． 【解】 根据单项式系数与次数的定义，得：单项式－x3y2的系数是－1，次数是3+2=5．故选A． 题型二 利用单项式的概念求某个字母的值 例6 若－mx2yn-3z是关于x，y，z的11次单项式，且系数是8，求m+n的值． 【思路分析】根据该单项式的系数为8，可以求得m的值；根据该单项式的次数为11，可以求得n的值，进而即可求得m+n的值. 【解】 因为mx2yn-3z是关于x，y，z的11次单项式，且系数是8， 所以－m =8，2+n－3+1=11. 由－m =8，解得m=－8. 由2+n－3+1=11，解得n=11. 所以m+n=－8+11=3. 【总结提示】本题求解的关键是正确理解单项式的概念，在确定单项式的次数时，要注意防止两类错误的发生：①“漏”：即不要漏掉次数为1的字母的次数，如如本题中z的次数；②“增”：即不要随意增加单项式的次数，例如本题中的单项式是关于x，y，z的单项式，则m，n都是常数，因此在计算单项式的次数时不要把m，n的次数计算在内. 练6 已知（m+2）a｜m-3｜b是关于a，b的单项式，其次数与单项式3x6的次数相同，则m的值为（ ）. A.－2 B.5或8 C.8 D.－2或8 【思路分析】根据单项式（m+2）a｜m-3｜b的次数为6且系数不等于0，即可求得m的值. 【解】 因为单项式3x6的次数为6，所以（m+2）a｜m-3｜b的次数为6， 所以｜m-3｜+1=6，即｜m-3｜=5，解得m=-2或m=8. 又因为（m+2）a｜m-3｜b的系数不等于0，所以m+2≠0，所以m=-2舍去. 综上所述，m的值为8，故选C. 知识点三 多项式 定义 多项式的项 多项式的次数 由几个单项式的和组成的式子叫做多项式 多项式里，每个单项式叫做多项式的项，且多项式有几项就叫做几项式.其中每个单项式的次数是几，该项就叫做几次项，不含字母的项叫做常数项 一个多项式里，次数最高的项的次数，叫做多项式的次数 题型一 多项式的概念 例7 指出下列多项式各是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？并把多项式按x的次数由高到低排列. （1）7x－3x4y－y3－3x2y2+1； （2）10x+xy3－0.5－2x2． 【思路分析】根据多项式次数与项数的定义，结合单项式系数与次数的定义，即可解得本题. 【解】 （1）因为多项式7x－3x4y－y3－3 x2y2+1由五个单项式7x、－3x4y、－y3、－3 x2y2、1组成， 各单项式的次数依次为1、5、3、4、0， 所以多项式7x－3x4y－y3－3 x2y2+1是五次五项式， 最高次项是－3x4y，最高次项的系数是－3，常数项是1. 该多项式按x的次数由高到低排列为－3x4y－3x2y2+7x－y3 +1. （2）因为多项式10x+xy3－0.5－2x2由四个单项式10x、xy3、－0.5、－2x2组成，各单项式 的次数依次为1、4、0、2， 所以多项式10x+xy3－0.5－2x2是四次四项式，最高次项是xy3，最高次项的系数是1， 常数项是－0.5． 该多项式按x的次数由高到低排列为－2x2+xy3+10x－0.5. 【总结提示】确定多项式的次数的方法是：①求出多项式中各项的次数；②通过比较找到次数最高的项；③次数最高的项的次数即为该多项式的次数，简记为：相加几个单项式，得到一个多项式；单项式个数是项数，单多的次数有关系；求多项式次数怎么办？单项式中老大说了算. 练7 按某种标准把多项式进行分类时，3x3－4和a2b+ab2+1属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类（　　）. A．xyz－1 B．x2－2 C．3x2+2xy4 D．m2p+2m2np+n2 【思路分析】从多项式的次数的角度分析求解． 【解】 3x3－4和a2b+ab2+1属于同一类，都是3次多项式， A、xyz－1是3次多项式，符合题意； B、x2－2是2次多项式，排除； C、3x2+2xy4是5次多项式，排除； D、m2p+2m2np+n2是4次多项式，排除． 故选A． 题型二 根据多项式的概念求某个字母的值 例8 已知多项式是六次四项式，求3m+2n的值. 【思路分析】该多项式中，第二、三、四、五项的次数分别是5、4、2、0次，所以只能是第一项的次数是6，由此可求得m的值；由于该多项式是四项式，且只有第四项的系数不是具体的数，则该项的系数为0，由此可求得n的值，进而得到3m+2n的值. 【解】根据题意，得2+m+1=6，n－2=0， 所以m=3，n=2. 当m=3，n=2时，3m+2n=3×3+2×2=13. 【总结提示】本题求解的关键是挖掘题目中隐含的已知条件，由此根据“次数”的条件得到m的值，根据“项数”的条件求得n的值，这两个值一旦得到，求3m+2n的值则水到渠成. 练8 已知多项式（a－2）m2+（2b+1）mn－m+n－7是关于m，n的多项式，若该多项式不含二次项，求3a3+2b2的值. 【思路分析】先根据多项式的概念找到题目中的二次项，利用二次项系数为0，即可得出a，b的值，进而即可得出答案． 【解】 因为多项式（a－2）m2+（2b+1）mn－m+n－7是关于m，n的多项式，且该多项式不含二次项， 所以a－2=0，2b+1=0， 解得a=2，. 所以． 知识点四 整式 整式：单项式和多项式统称为整式. 规律总结：根据整式的概念可知，任意一个单项式或多项式，它们一定都是整式；而任意一个整式，它或者是单项式或者是多项式，二者必居其一. 题型 整式的分类 例9 把下列各式分类：3+a，，0，，－a，，2m=3n，， 3x2－2x+1，a2－b2，a3b2． 单项式： ； 多项式： ； 整式： ； 既不属于单项式也不属于多项式： ． 【思路分析】根据单项式、多项式、整式的概念进行分类． 【解】 根据根据单项式、多项式、整式的概念，得 单项式：0，－a，，a3b2； 多项式：3+a，，3x2－2x+1，a2－b2； 整式：3+a，0，－a，，，3x2－2x+1，a2－b2，a3b2； 既不属于单项式也不属于多项式：，，2m=3n． 故填0，－a，，a3b2；3+a，，3x2－2x+1，a2－b2；3+a，0，－a，，，3x2－2x+1，a2－b2，a3b2；，，2m=3n． 【总结提示】根据整式的概念，可知不是整式的式子，一定不是单项式或多项式，因此整式之外的式子，即为既不属于单项式也不属于多项式的式子. 练9 下列各式中：①－2xy；②；③；④；⑤m；⑥.其中，单项式是 ；多项式是 ；整式是 . 【思路分析】根据单项式、多项式、整式以及的概念进行识别． 【解】 根据整式的概念可知单项式为①③⑤，多项式为②⑥，整式为①②③⑤⑥， 故填①③⑤，②⑥，①②③⑤⑥. 附加题 1.观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…－37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路． （1）这组单项式的系数的符号，绝对值规律是什么？ （2）这组单项式的次数的规律是什么？ （3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？ （4）请根据你的猜想，写出第2018个、第2019个单项式． 【思路分析】 （1）所有式子均为单项式，先观察数字因数，可得规律； （2）利用已知得出单项式的次数的规律； （3）利用（1）（2）中所求，得出规律，即可写出第n个单项式； （4）根据（3）中所求，代入求值即可． 【解】 （1）单项式的系数的符号是：（－1）n（或：负号正号依次出现；）， 绝对值规律是：2n－1（或：从1开始的连续奇数）. （2）次数的规律是：从1开始的连续自然数． （3）第n个单项式是：（－1）n（2n－1）xn． （4）第2018个单项式是4035x2018； 第2019个单项式是－4037x2019． 【总结提示】此题主要考查了单项式的概念，解答此题的关键是根据所给的单项式找出其系数与次数的规律，再根据所得规律解决（3）（4）． 2.如图所示的容器由一个长方体与一个圆柱体组合而成，已知圆柱的底面半径为r，高为h，长方体的长为4a，宽为，高为p，把一部分水倒入容器中，水面到达圆柱高度的处，如果容器的厚度不计： （1）求圆柱与长方体的体积； （2）求容器中水的体积； （3）你列出的式子是否为整式？如果是，是单项式还是多项式？其次数分别是多少？ 【思路分析】 （1） 因为圆柱的底面半径与高都已知，根据“圆柱的体积=底面积×高”，即可得出圆柱的体积，因为长方体的长、宽、高都已知，根据“长方体的体积=长×宽×高”，即可得出长方体的体积； （2）根据“水的体积=长方体的体积+圆柱的体积的”，即可得出答案； （3）利用整式、单项式、多项式的定义对照所列出的式子即可得出答案. 【解】 （1）根据圆柱的体积公式，得圆柱的体积为πr2·h=h r2π； 根据长方体的体积公式，得长方体的体积为. （2）容器中水的体积为. （3）h r2π是整式并且是单项式，其次数是3； 9ap是整式并且是单项式，其次数是2； 是整式并且是多项式，其次数是3. 【总结提示】由本题的求解过程可以看出，根据实际问题列出整式，与小学时求容器体积的方法基本相同，所不同的是后者为具体的数，而前者为具体的数或字母表示的数. 3.历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x=－1时，多项式f（x）=x2+3x－5的值记为 f（－1），则f（－1）=（－1）2+3×（－1）－5=－7． 已知f（x）=ax6+bx4+3x+c，且f（0）=－1，求： （1）c= ； （2）若f（1）=2，求a+b的值； （3）若f（2）=9，求f（－2）的值． 【思路分析】 （1） 把x=0代入f（x）= ax6+bx4+3x+c，即可求得c； （2）把x=1代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，即可求得a+b； （3）把x=2代入f（x）= ax6+bx4+3x+c，利用整体代入的思想即可求得f（－2）的值. 【解】 （1）因为f（x）= ax6+bx4+3x+c，且f（0）=－1， 所以a·06+b·04+3·0+c =－1，得c=－1，故填－1. （2）因为f（1）=2，c=－1， 所以a·16+b·14+3×1+（－1）=2，即a+b+3－1=2， 所以a+b=0. （3）因为f（2）=9，c=－1， 所以a·26+b·24+3×2+（－1）=9，即64a+16b+6－1=9，得64a+16b=4. 所以f（－2）=a·（－2）6+b·（－2）4+3×（－2）+（－1）=64a+16b－6－1=4－6－ 1=－3. 【总结提示】本题求解的关键是理解f（a）的意义，由此即可解得（1）（2），在（3）中，注意整体思想的运用.需要注意的是，在今后的学习中，与本题类似的整体代入的方法会经常遇到． 一课一练 1．用字母表示有理数的运算律：①有理数加法的交换律：a+b=b+a；②有理数加法的结合律：a+（b+c）=（a+b）+c；③有理数乘法的交换律：ab=ba；④有理数乘法的结合律：a（bc）=（ab）c；⑤有理数乘法的分配律：a（b+c）=ab+bc.其中，正确的有（ ）. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解】由有理数的运算律可得，正确的有5个，故选D. 2．有下列说法： （1）单项式x的系数、次数都是0； （2）多项式－3x2+x－1的系数是－3，它是三次二项式； （3）单项式－34x2y与都是七次单项式； （4）单项式和的系数分别是－4和； （5）是二次单项式； （6）与都是整式. 其中正确的说法有（　　）. A．0个 B．1个 C．3个 D．4个 【解】根据单项式和多项式的概念可知，单项式的系数是字母前的数字，次数是字母的指数和；多项式是若干个单项式的和．故（1）（2）（3）（4）（5）（6）都错． 其中（1）单项式x的系数、次数都是1； （2）－3x2+x－1是多项式，不能说多项式的系数，且它是二次三项式； （3）单项式－34x2y是3次单项式，是6次单项式； （4）单项式和的系数分别是和； （5）是多项式； （6）是整式，不是整式． 故选A. 3.欢欢在做题时不小心把墨水洒在了纸上，盖住了关于x的多项式x■+xy+a－5第一项中x的次数，如果这个多项式是一个关于x的四次三项式，设盖住的数字为m，则m与a的值分别是（ ） A.m=3，a=5 B.m=4，a=5 C.m=3，a≠5 D.m=4，a≠5 【解】因为这个多项式的次数为四，所以第一项中x的次数为4，即m=4； 因为这多项式有三项，所以a－5≠0，即a≠5. 故选D. 4.每包书有12册，m包书有 册. 【解】根据“每包书的册数×包数=书的总册数”，得书的总册数为12m册，故填12m. 5．若三位数的个位数是a，十位数字是b，百位数字是c，则此三位数可表示为__________. 【解】根据“三位数的表示方法为100×百位数字+10×十位数字+个位数字”，得此三位数可表示为100a+10b+c， 故填100a+10b+c. 6.下列图形中，每个图形都比它前一个图形多一个正方形，由此得到一些三角形. （1）填写下表： 图形序号 1 2 3 4 5 6 三角形的个数 （2）如果按这个规律排列，用n表示第n个图形中有多少个三角形.. 【思路分析】观察图形得出，第1个图形中有4个三角形，以后每增加一个正方形，三角形的个数则增加4个，根据这个规律，即可完成本题. 【解】 （1）如下表： 图形序号 1 2 3 4 5 6 三角形的个数 4 8 12 16 20 24 （2）由（1）中表格总结得，第n个图形中有4n个三角形. 7.操作与探究. 列代数式： 比x的2倍少4的数记作A，则A= ， 比的相反数多2的数记作B，则B= ． （1）根据所给x的值求上述代数式的值并填入表格： x … 0 1 2 3 4 … A … … B … … （2）观察归纳：代数式A的值随x的增大而 ，代数式B的值随x的增大而 （填“增大”或“减小”）当A＞B时，整数x的最小值是 ． 【解】 根据题意，得A=2x－4，，故填2x－4，. （1） 填表如下： x … 0 1 2 3 4 … A … －4 －2 0 2 4 … B … 2 1 0 … （2）由题意，得代数式A的值随x的增大而增大，代数式B的值随x的增大而减小， 当A＞B时，整数x的最小值是3． 故填增大，减小，3. 家庭作业 1.设n为整数，下列式子中表示偶数的是（　　）. A．2n B．2n+1 C．2n－1 D．n+2 【解】由偶数的定义，知只有2n一定是偶数，故选A. 2.下列各式中，是二次三项式的是（　　）. A． B．x2+3+1 C．32+a+ab D．x2+y2+x－y 【解】A、不是多项式，错误；B、是二次二项式，错误；C、是二次三项式，正确；D、是二次四项式，错误． 故选C． 3.多项式－26x2y－3x8+x2y2+25的最高次项的系数是 ，它是 次 项式． 【解】根据多项式项数与系数的定义可知，最高次项为－3x8，其系数为－3，多项式的次数为8，项数为4， 故填－3，八，四． 4. 已知2kx2yn是关于x，y的一个单项式，且系数是7，次数是5，那么k= ，n= . 【解】 由单项式的次数是5，可知x，y的指数和为5，即n +2=5，所以n=3； 由单项式的系数是7，可知2k=7, 所以. 故填，3. 5.观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2018个单项式是 ． 【解】观察可知，单项式的系数按正奇数依次递增，其次数按自然数依次递增，所以第2018个单项式的次数是2018，系数是2018×2－1=4035. 故填4035x2018. 6.观察下列关于自然数的等式： （1）32－4×12=5； （2）52－4×22=9； （3）72－4×32=13； … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：92－4×（ ）2=（ ）； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）. 【解】 （1） 观察各式可知，等号左边为一个数的平方减去另一个数平方的4倍，其中前一个数等 于其序号的2倍加1，后一个数与序号相等，等号右边的数为其序号的4倍加1. 则第四个等式为92－4×42=17. 故填4，17. （2）根据（1）中总结出的规律，可得第n个等式为（2n－1）2－4×n2 =4n+1. 7.如图，在一个长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若花坛的半径为r米，广场的长为a米、宽为b米. （1）请列式表示广场空地的面积； （2）若休闲广场的长为500米，宽为200米，花坛的半径为20米，求广场空地的面积.（计算结果保留π） 【解】 (1)根据“广场空地的面积=长方形面积－4个四分之一圆面积”，得 广场空地的面积为(ab－πr2)平方米. (2)当a＝500，b＝200，r＝20时，ab－πr2＝(100 000－400π)平方米． 8.（1）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与多项式的次数相同，求m，a的值； （2）已知多项式mx4+（m－2）x3+（2n+1）x2－3x+n不含x2和x3的项，试写出这个多项式，再求当x=－1时多项式的值． 【解】 （1）由题意，得2+m+1=6，3a+3=6， 解得m=3，a=1. （2）因为多项式mx4+（m－2）x3+（2n+1）x2－3x+n不含x2和x3的项， 所以m－2=0，2n+1=0， 解得m=2，，此时多项式可化简为. 当x=－1时，原式=2+3－． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 整式 课程目标 1.理解字母表示数的意义，会用字母表示数. 2.理解单项式、多项式、整式的意义，会求单项式的系数与次数，会求多项式次数. 3.能利用整式的概念解决一些常见的问题. 课程内容 知识点一 用字母表示数 （1）用字母表示数，可以理解为用字母可以表示任意一个有理数，也可以表示一个式子、图形的面积公式、体积公式等，并且用字母表示的数与具体的数一样可以参与运算. （2）实际上，用字母表示数时，所表示的数不仅仅是一个数，而是具有相同特征的一类数. 易错警示：用字母表示数时，其书写格式具有规定性，主要表现为下列几个方面： （1）当数字与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示，数字要写在前面，如果数字是带分数，要把带分数化为假分数； （2）当字母与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示，其中，相同字母相乘要写成幂的形式； （3）相除关系一般用分数表示； （4）带有单位的代数式，若代数式是由加减符号连接而成，要把代数式括起来再写单位，这是书写代数式时最容易出现的一个错误. 题型一 用字母表示式子的书写格式 例1 下列各式符合代数式书写规范的是（　　）. A． B．a×7 C．2m－1元 D． 练1 下列式子，符合代数式书写格式的是（　　）. A．a÷3 B． C．a×3 D． 题型二 用字母表示代数型问题中的数 例2 (1)买单价为6元的钢笔a支，共需 元； (2)一台电视机的标价为a元，则打八折后的售价为 元； (3)温度由30 ℃下降t ℃后是 ℃； (4)大圆的面积为R cm,小圆的面积为r cm,则圆环的面积是 cm2. 练2 小王加工了m个零件，小张比小王多加工了5个零件，请问小张加工了 个零件. 题型三 用字母表示特征数 例3 (1)若m为整数，则2m为 数，2m－1为 数(填“奇”或“偶”)； (2)三个连续偶数,若中间一个为2n,则其余两个分别为 ； (3)若k为整数,以被4除所得的结果作为分类标准，则整数可分为 共4类； (4)若一个两位数,其个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数为 . 练3 三个连续奇数，若中间的一个为2n－1，那么最大的一个是 . 题型四 用字母表示图形型问题中的数 例4 设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请你分别用图中标注的字母表示S1与S2． 练4 用字母表示图中阴影部分的面积： 知识点二 单项式 定义 单项式的系数 单项式的次数 由数与字母的乘积或字母与字母的乘积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 单项式中的数字因数，叫做单项式的系数，当系数为1时，系数可省略不写 单项式中所有字母指数之和叫做单项式的次数，当单项式中没有字母时，其次数为0 题型一 求单项式的系数、次数 例5 指出下列各式中的单项式及单项式的系数与次数. ①2m3n2 ；②－a；③；④0.5s；⑤；⑥x+1；⑦2πr；⑧8. 练5 单项式－x3y2的系数与次数分别为（　　）. A．－1，5 B．－1，6 C．0，5 D．1，5 题型二 利用单项式的概念求某个字母的值 例6 若－mx2yn-3z是关于x，y，z的11次单项式，且系数是8，求m+n的值． 练6 已知（m+2）a｜m-3｜b是关于a，b的单项式，其次数与单项式3x6的次数相同，则m的值为（ ）. A.－2 B.5或8 C.8 D.－2或8 知识点三 多项式 定义 多项式的项 多项式的次数 由几个单项式的和组成的式子叫做多项式 多项式里，每个单项式叫做多项式的项，且多项式有几项就叫做几项式.其中每个单项式的次数是几，该项就叫做几次项，不含字母的项叫做常数项 一个多项式里，次数最高的项的次数，叫做多项式的次数 题型一 多项式的概念 例7 指出下列多项式各是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？并把多项式按x的次数由高到低排列. （1）7x－3x4y－y3－3x2y2+1； （2）10x+xy3－0.5－2x2． 练7 按某种标准把多项式进行分类时，3x3－4和a2b+ab2+1属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类（　　）. A．xyz－1 B．x2－2 C．3x2+2xy4 D．m2p+2m2np+n2 题型二 根据多项式的概念求某个字母的值 例8 已知多项式是六次四项式，求3m+2n的值. 练8 已知多项式（a－2）m2+（2b+1）mn－m+n－7是关于m，n的多项式，若该多项式不含二次项，求3a3+2b2的值. 知识点四 整式 整式：单项式和多项式统称为整式. 规律总结：根据整式的概念可知，任意一个单项式或多项式，它们一定都是整式；而任意一个整式，它或者是单项式或者是多项式，二者必居其一. 题型 整式的分类 例9 把下列各式分类：3+a，，0，，－a，，2m=3n，， 3x2－2x+1，a2－b2，a3b2． 单项式： ； 多项式： ； 整式： ； 既不属于单项式也不属于多项式： ． 练9 下列各式中：①－2xy；②；③；④；⑤m；⑥.其中，单项式是 ；多项式是 ；整式是 . 附加题 1.观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…－37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路． （1）这组单项式的系数的符号，绝对值规律是什么？ （2）这组单项式的次数的规律是什么？ （3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？ （4）请根据你的猜想，写出第2018个、第2019个单项式． 2.如图所示的容器由一个长方体与一个圆柱体组合而成，已知圆柱的底面半径为r，高为h，长方体的长为4a，宽为，高为p，把一部分水倒入容器中，水面到达圆柱高度的处，如果容器的厚度不计： （1）求圆柱与长方体的体积； （2）求容器中水的体积； （3）你列出的式子是否为整式？如果是，是单项式还是多项式？其次数分别是多少？ 3.历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x=－1时，多项式f（x）=x2+3x－5的值记为 f（－1），则f（－1）=（－1）2+3×（－1）－5=－7． 已知f（x）=ax6+bx4+3x+c，且f（0）=－1，求： （1）c= ； （2）若f（1）=2，求a+b的值； （3）若f（2）=9，求f（－2）的值． 一课一练 1．用字母表示有理数的运算律：①有理数加法的交换律：a+b=b+a；②有理数加法的结合律：a+（b+c）=（a+b）+c；③有理数乘法的交换律：ab=ba；④有理数乘法的结合律：a（bc）=（ab）c；⑤有理数乘法的分配律：a（b+c）=ab+bc.其中，正确的有（ ）. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2．有下列说法： （1）单项式x的系数、次数都是0； （2）多项式－3x2+x－1的系数是－3，它是三次二项式； （3）单项式－34x2y与都是七次单项式； （4）单项式和的系数分别是－4和； （5）是二次单项式； （6）与都是整式. 其中正确的说法有（　　）. A．0个 B．1个 C．3个 D．4个 3.欢欢在做题时不小心把墨水洒在了纸上，盖住了关于x的多项式x■+xy+a－5第一项中x的次数，如果这个多项式是一个关于x的四次三项式，设盖住的数字为m，则m与a的值分别是（ ） A.m=3，a=5 B.m=4，a=5 C.m=3，a≠5 D.m=4，a≠5 4.每包书有12册，m包书有 册. 5．若三位数的个位数是a，十位数字是b，百位数字是c，则此三位数可表示为__________. 6.下列图形中，每个图形都比它前一个图形多一个正方形，由此得到一些三角形. （1）填写下表： 图形序号 1 2 3 4 5 6 三角形的个数 （2）如果按这个规律排列，用n表示第n个图形中有多少个三角形.. 7.操作与探究. 列代数式： 比x的2倍少4的数记作A，则A= ， 比的相反数多2的数记作B，则B= ． （1）根据所给x的值求上述代数式的值并填入表格： x … 0 1 2 3 4 … A … … B … … （2）观察归纳：代数式A的值随x的增大而 ，代数式B的值随x的增大而 （填“增大”或“减小”）当A＞B时，整数x的最小值是 ． 家庭作业 1.设n为整数，下列式子中表示偶数的是（　　）. A．2n B．2n+1 C．2n－1 D．n+2 2.下列各式中，是二次三项式的是（　　）. A． B．x2+3+1 C．32+a+ab D．x2+y2+x－y 3.多项式－26x2y－3x8+x2y2+25的最高次项的系数是 ，它是 次 项式． 4. 已知2kx2yn是关于x，y的一个单项式，且系数是7，次数是5，那么k= ，n= . 5.观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2018个单项式是 ． 6.观察下列关于自然数的等式： （1）32－4×12=5； （2）52－4×22=9； （3）72－4×32=13； … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：92－4×（ ）2=（ ）； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）. 7.如图，在一个长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若花坛的半径为r米，广场的长为a米、宽为b米. （1）请列式表示广场空地的面积； （2）若休闲广场的长为500米，宽为200米，花坛的半径为20米，求广场空地的面积.（计算结果保留π） 8.（1）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与多项式的次数相同，求m，a的值； （2）已知多项式mx4+（m－2）x3+（2n+1）x2－3x+n不含x2和x3的项，试写出这个多项式，再求当x=－1时多项式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$