期末复习专题七：统计与概率解答题常见题型梳理-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期末复习专题七：统计与概率解答题常见题型梳理 题型1：统计与概率综合问题 题型2：古典概型 题型3：相互独立事件的概率问题 题型4：概率与其他知识交汇问题 题型1：统计与概率综合问题 1. 在知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题： (1)求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数； (2)从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数. 【解析】（1）由频率分布直方图得：， 解得，所以分数内的频率为. 本次竞赛中不及格考生的人数为：（人）. （2）由题意得：因为成绩在的频率最大，又，所以众数为75分； 设中位数为，则，解得，所以中位数为分. 2. 某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在. (1)求居民月收入在的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； (3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？ 【解析】（1）月收入在的频率为： ∴居民月收入在的频率为0.15. （2）， ， ， ， ∴样本数据的中位数为 ∴样本数据的中位数为2400元. （3）居民月收入在的频率为： ， ∴10000人中月收入在的人数为： ， 再从10000人中分层抽样方法抽出100人， 则月收入在的这段应抽取： ， ∴月收入在的这段应抽25人. 3. 为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【解析】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得. 所以中位数为67.69. 这次数学考试的平均成绩为 . （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 所以第70的分位数为. 4. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格. （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. （3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 【解析】（1）由，解得， 因为小时， 所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时. （2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格， 由题意知，即求60百分位数，又，， 所以60百分位数位于18~22之间， 设60百分位数为，则，解得小时. 故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀. （3）易知，5名学生中， 优秀有人，设为， 良好有人，设为， 合格有人，设为. 任选3人，总共有，10种情况， 其中符合的有，共4种， 故概率为. 5. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【解析】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. （2）平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 6. 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 【解析】（1）（岁）． （2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为： ， ， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以． （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为． 题型2：古典概型 7. 在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 【解析】（1）样本空间Ω={（蓝球，蓝球），（蓝球，红球），（蓝球，绿球），（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球）（绿球，蓝球）（绿球，红球）（绿球，绿球）}． （2）设“第一次取出的是红球”为事件A． 事件A包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球），共3个， 由（1）知基本事件总数， 所以． （3）设“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”为事件B． 事件B包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，绿球），共2个， 由（1）知基本事件总数， 所以. 8. 高一某班数学学习小组有3名男生，2名女生，现从中随机抽3名学生去参加学校组织的数学竞赛（被选到的可能性相同）. (1)求参赛学生中至少有2名男生的概率； (2)求参赛学生中恰有2名男生和1名女生的概率. 【解析】（1）记3名男生为，，，2名女生为，， 则从5名学生中选取3名学生参赛可能的结果有： ， 共10种. 设“参赛学生中至少有2名男生”，则事件A包含的基本事件有： ，共7个， 故参赛学生中至少有2名男生的概率为. （2）设“参赛学生中恰有2名男生和1名女生”，则事件B包含的基本事件有：共6个， 故参赛学生中恰有2名男生和1名女生的概率为. 9. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【解析】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. （2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同. ②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6. 根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 10. 问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序： 已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）． 第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道） 第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下： 如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211． (1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率： (2)试估计某高校吸烟的人数． 【解析】（1）设两个骰子的点数之和是4或5或6的事件为，则掷两个骰子共有种不同结果， 其中之和是4或5或6的有（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共有12种， 所以. （2）设被测试中的一个学生吸烟的概率为，则被计数器计数的学生人数为211， 所以，解得， 所以估计某高校吸烟的人数为人． 11. 某班6名同学的数学、语文成绩（满分为150分）对应如下表： 数学成绩 122 105 113 127 130 135 语文成绩 116 121 127 135 130 140 规定成绩不低于120分的为优秀． (1)现从这6名同学中抽2人，问这2人的数学成绩都为优秀的概率是多少？ (2)从这6名同学中抽3人，求恰有1人两科成绩均为优秀的概率． 【解析】（1）记事件“这2人的数学成绩都为优秀”． 由表可知这6人中有4人的数学成绩为优秀， 设数学成绩优秀的4名同学分别为1，2，3，4， 数学成绩不优秀的2名同学分别为a，b， 则样本空间为： ， 共有15个样本点， ，共有6个样本点， 所以． （2）由表知两科成绩均为优秀的有3人，设这3名同学分别为5，6，7，两科成绩不都优秀的3名同学分别为A，B，C． 记事件“抽取的3人中，恰有1人两科成绩均为优秀”，则样本空间为： ， 共有20个样本点， ， 共有9个样本点， 所以． 12. 一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论? 【解析】（1）设三个红球记为：，，，一个黄球记为：. 从中不放回地依次随机摸出3个球，该实验的样本空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个基本事件. 第一次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个. 所以第一次摸到红球的概率为：. （2）第二次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有18个. 所以第二次摸到红球的概率为：. 第三次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个. 所以第三次摸到红球的概率为：. 结论：抽签的概率与抽签顺序无关. 13. 某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， (1)现分别采用分层挂样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率： (2)根据检测结果确定该指标的一个临界值，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产型手机、型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片会导致每部手机损失300元： 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元：请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由． 【解析】（1）由频率分布直方图及分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和 任取两件的样本空间，共15个样本点， 记事件：指标在和各1件，则，有3个样本点， 所以指标在和内各1件的概率． （2）设将甲、乙两种型号芯片应用于型、型手机时，该科技公司损失为（万元）， ，， 因此当时，；当时，；当时，， 所以当临界值时，选择方案二；当临界值时，选择方案一和方案二均可； 当临界值时，选择方案一． 题型3：相互独立事件的概率问题 14. 甲､乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲､乙每局比赛的结果互不影响. (1)求三局比赛结束的概率； (2)求四局比赛结束且甲获胜的概率； (3)若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率. 【解析】（1）比赛三局，甲获胜的概率；乙获胜的概率， 所以三局比赛结束的概率为. （2）四局比赛结束且甲获胜，则前3局甲输1局，第4局胜，其概率为. （3）第一局甲获胜，最终乙赢得比赛的事件为，乙连赢3局的概率为， 第2，3，4局乙输1局，第5局赢的概率为， 所以. 15. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率； (2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； (3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，） 【解析】（1）记甲投篮一次命中为事件，乙投篮一次命中为事件，丙投篮一次命中为事件， 依题意，，，则， ，解得， 所以乙投篮一次命中的概率为，丙投篮一次命中的概率为. （2）记甲、乙、丙各投篮一次恰有两人命中为事件，则， 则 ， 所以甲、乙、丙各投篮一次恰有一人命中的概率. （3）设乙投篮次，则至少有一命击中的概率为， 由，得，两边取常用对数得， 因此，则， 所以乙至少要投篮次. 16. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【解析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得， 解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以 因为，所以此游戏不公平. 17. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【解析】（1） 若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； （2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 18. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小鼠随机均分为两组：对照组（不含药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量（单位：g），并对数据进行分析，得到如下频率分布直方图： (1)估计实验组小鼠体重增加量的80%分位数； (2)将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级： 体重增加量/g 等级 较轻 中等 较重 假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率. 【解析】（1）因为的频率为，且的频率为， 所以在内，所以，所以. （2）对照组较轻的概率为，中等的概率为，较重的概率为； 实验组较轻的概率为，中等的概率为，较重的概率为； 设抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级为事件， 则. 所以抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率为. 19. 某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 【解析】（1）由题知，解得， 估计本次竞赛的平均成绩为 ． （2）因成绩在、内的学生人数之比为， 则从成绩在内的学生中抽取人，设为， 从成绩在内的学生中抽取人，设为， 设事件“从这人中随机抽取人，这人成绩都在内”， 则样本空间， 则， 事件包含的基本事件有，有， 则， 故从这人中随机抽取人，这人成绩都在内的概率为. （3）设，分别表示事件甲在两轮答题中答对题，题，，分别表示事件乙在两轮答题中答对题，题， 则，， ，， 设“两轮活动甲、乙共答对题”，则， 又与互斥，与，与分别相互独立， 则， 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对题的概率为． 题型4：概率与其他知识交汇问题 20. “科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 【解析】（1）由题意每个员工“优秀”的概率 ， 则估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数为个， 按去尾法取整，有人； （2）设调出人， 调整前的利润为（万元）， 调整后的利润为， 要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润， 则，解得， 因为为整数，所以最大值为， 即部门最多可以调人到其他部门. 21. 有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 【解析】（1）乙盒中的4个函数 ，，，分别记为， 从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种， 又函数，的定义域均为，函数的定义域为， 函数的定义域为， 所取函数的定义域不同的取法有，共5种， 所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为． （2）把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减， 则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4）， （偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3）， （增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4）， 共16种取法． 又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数， 恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种， 所以“奇遇”的概率为． 22. 已知函数,且是常数. (1)若是从-2,-1,0,1,2五个数中任取的一个数,是从0,1,2三个数中任取的一个数,求函数为奇函数的概率; (2)若是从区间中任取的一个数,是从区间中任取的一个数,求函数有零点的概率. 【解析】（1）由题为奇函数, 即任取, 即b=0, 所有的基本事件共15个:,, 其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值, 设事件A为“函数为奇函数”, 包含的基本事件有5个:, 事件A发生的概率为. （2）设事件B为“函数有零点”, 为直线, 根据零点存在定理, 只需, 即 试验的全部结果所构成的区域为, 区域面积为4×2=8. 构成事件B的区域为, 即或, 记为,为画图象如下: 阴影部分即为事件所满足的条件, 阴影区域面积为, 事件B发生的概率为. ( 第 1 页 共 21 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题七：统计与概率解答题常见题型梳理 题型1：统计与概率综合问题 题型2：古典概型 题型3：相互独立事件的概率问题 题型4：概率与其他知识交汇问题 题型1：统计与概率综合问题 1. 在知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题： (1)求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数； (2)从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数. 2. 某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在. (1)求居民月收入在的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； (3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？ 3. 为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 4. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格. （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. （3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 5. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 6. 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 题型2：古典概型 7. 在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 8. 高一某班数学学习小组有3名男生，2名女生，现从中随机抽3名学生去参加学校组织的数学竞赛（被选到的可能性相同）. (1)求参赛学生中至少有2名男生的概率； (2)求参赛学生中恰有2名男生和1名女生的概率. 9. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 10. 问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序： 已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）． 第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道） 第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下： 如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211． (1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率： (2)试估计某高校吸烟的人数． 11. 某班6名同学的数学、语文成绩（满分为150分）对应如下表： 数学成绩 122 105 113 127 130 135 语文成绩 116 121 127 135 130 140 规定成绩不低于120分的为优秀． (1)现从这6名同学中抽2人，问这2人的数学成绩都为优秀的概率是多少？ (2)从这6名同学中抽3人，求恰有1人两科成绩均为优秀的概率． 12. 一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论? 13. 某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， (1)现分别采用分层挂样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率： (2)根据检测结果确定该指标的一个临界值，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产型手机、型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片会导致每部手机损失300元： 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元：请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由． 题型3：相互独立事件的概率问题 14. 甲､乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲､乙每局比赛的结果互不影响. (1)求三局比赛结束的概率； (2)求四局比赛结束且甲获胜的概率； (3)若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率. 15. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率； (2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； (3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，） 16. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 17. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 18. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小鼠随机均分为两组：对照组（不含药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量（单位：g），并对数据进行分析，得到如下频率分布直方图： (1)估计实验组小鼠体重增加量的80%分位数； (2)将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级： 体重增加量/g 等级 较轻 中等 较重 假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率. 19. 某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 题型4：概率与其他知识交汇问题 20. “科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 21. 有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 22. 已知函数,且是常数. (1)若是从-2,-1,0,1,2五个数中任取的一个数,是从0,1,2三个数中任取的一个数,求函数为奇函数的概率; (2)若是从区间中任取的一个数,是从区间中任取的一个数,求函数有零点的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$