2024-2025学年高一下学期期末模拟数学试题(人教A版（2019）必修第二册)

2024～2025学年高一下学期期末模拟 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版（2019）必修第二册. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部为0，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（ ） A. 750 B. 300 C. 450 D. 150 3. 若a，b表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 6. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 的内角的对边分别为，若 则面积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生竞赛成绩的平均数为80 C．估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件三角形有两个 B. 若，则 C. 若，，则的最大值为 D. 若，且，则为等边三角形 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若为上一点，则线段长度的取值范围为 第II卷（选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则其体积为__________. 13. 某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能答对这3个问题，即可晋级下一轮，假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为 . 14. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，. （1）求 与 的夹角 ； （2）求 与 的夹角的余弦值． 16. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格. （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. （3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 17. 如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，. （1）求A； （2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O. （i）证明：. （ii）记和的面积分别为，，求的取值范围. 19. 定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点：过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆，截面称为大圆面；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，劣弧BC，劣弧CA所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A，，直径将大圆面一分为二，每一部分称为一个半平面.过球心O分别在两个半平面内作和，定义为两个半平面的夹角；若球面上A，B，C的对径点分别为，，，则球面球面全等.如图2，已知球O的半径为R，记劣弧AB和劣弧AC所在两半平面的夹角为，. （1）请写出，，的值，并猜测的表达式： （2）如图2，再记劣弧BA和劣弧BC所在两半平面的夹角为，劣弧CA和劣弧CB所在两半平面的夹角为.①若，请直接写出球面的面积；②求（用，，，R表示） ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年高一下学期期末模拟 数学试题 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D B A D B A AD ACD BCD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部为0，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【解析】C 依题意， 由的实部为0，，得. 2. 为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（ ） A. 750 B. 300 C. 450 D. 150 【解析】A 由题意可得：解得：， 所以高三年级抽取的人数为. 3. 若a，b表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【解析】D 对于A，设，，，则或相交，故A错误； 对于B，若，，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，则或相交，故C错误； 对于D，若，，则在存在直线垂直于， 所以，设，所以， 因为，所以，所以. 4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 在上的投影向量是. 5. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【解析】A ，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 6. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 【解析】D 记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 在正四棱台中，，，令上下底面中心分别为、，连接，如图， 则棱台的高为，由，解得， 在直角梯形中，， 取中点，连接，有，则平面，平面，所以， 所以，， 又平面，则是与平面所成的角， 所以，即四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为. 8. 的内角的对边分别为，若 则面积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【解析】A 由可得, ， 故， , 则同号，故为锐角，故，即，当且仅当时取等号， 故的最大值为， 故，故面积的最大值为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生竞赛成绩的平均数为80 C．估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 【解析】AD 对于A，由，得，A正确； 对于B，由频率分布直方图知，每组的频率依次为. 估计这200名学生竞赛成绩的平均数为，B错误； 对于C，成绩在的频率最大，因此这200名学生竞赛成绩的众数为75，C错误； 对于D，总体中成绩落在内的学生人数为，D正确. A班和B班5月份产生饮料瓶数在的频率均为， 故该校学生5月份产生饮料瓶数在的频率也为， 因为， 所以该校约有200人5月份产生饮料瓶数在之间，故C错误． 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件三角形有两个 B. 若，则 C. 若，，则的最大值为 D. 若，且，则为等边三角形 【解析】ACD A选项，若，，， 则，所以， 所以满足条件的三角形有两个，所以A选项正确. B选项，若，如，，，， 则，，故，所以B选项错误. C选项，，， 余弦定理得，故， ， 即，当且仅当时等号成立， 由于三角形中，，所以， 则，又， 即，整理得， 解得，所以的最大值为，所以C选项正确. D选项，因为， 所以，即，所以三角形是等腰三角形. 而，所以为锐角，且， 所以是等边三角形. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若为上一点，则线段长度的取值范围为 【解析】BCD 对于A，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 因正方体的棱长为2，则其外接球的直径为， 故三棱锥的外接球表面积为，故A错误； 对于B，如图，分别取的中点，连接， 因为的中点，易得，则得， 故，因平面，平面，故平面， 又因，则得，故， 因，故，同理可得平面， 且平面，故平面平面， 又因平面，故平面，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，由B项分析，点的轨迹为线段，因面，故平面， 则点到平面的距离为定值，而的面积也是定值， 则三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D，如图，设平面与平面交于，点在上， 因平面平面，平面平面，故， 同理可证，即得，故点为的中点. 在四棱锥中，显然侧棱最长，其长度为； 设四棱锥的高为，因，故四边形是菱形， 则的边上的高为面对角线长的一半，为，又， 故，而， 由可得：，代值解得， 综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则其体积为__________. 【解析】在该四棱台中：， 所以. 13. 某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能答对这3个问题，即可晋级下一轮，假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为 . 【解析】记“答对0个问题”为事件A,“答对1个问题”为事件B,“答对2个问题”为事件C,“答对3个问题（即晋级下一轮）”为事件D,则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件, 显然, 故. 14. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________. 【解析】如图所示， 在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体， 连接、，易知四边形是菱形， 设在平面的射影为， 由正三棱锥可知，点是△的外心， ，则， 由，得， 所以，再结合，得， 从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆， 同理，在平面（即平面上的射影为的外心， 连接，则在平面上的射影为， 进而即为直线与平面所成角，记， 则，其中为定值， 而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时， 取得最小值，记相交于Q,易知， 则， 此时取得最大值为． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，. （1）求 与 的夹角 ； （2）求 与 的夹角的余弦值． 【解析】（1）由已知，得， 因为，所以. 又， 所以cos， 因为，所以. （2）因为，所以， 因为，所以. 所以. 16. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格. （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. （3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 【解析】（1）由，解得， 因为小时， 所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时. （2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格， 由题意知，即求60百分位数，又，， 所以60百分位数位于18~22之间， 设60百分位数为，则，解得小时. 故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀. （3）易知，5名学生中， 优秀有人，设为， 良好有人，设为， 合格有人，设为. 任选3人，总共有，10种情况， 其中符合的有，共4种， 故概率为. 17. 如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 【解析】（1）由题意可知：∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 又因为∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面. （2）因为为正方形，则， 因为，则， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，平面，可得平面， 由平面，所以平面平面. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，. （1）求A； （2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O. （i）证明：. （ii）记和的面积分别为，，求的取值范围. 【解析】（1）由题意得，即， 由余弦定理得，又，所以. （2）（i）由， 因O为外接圆圆心，即外心，所以，， 由余弦定理得，， 所以 （ii）设外接圆半径为R，则，且，即， 因为，，所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，令， 则， ，，即为所求. 19. 定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点：过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆，截面称为大圆面；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，劣弧BC，劣弧CA所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A，，直径将大圆面一分为二，每一部分称为一个半平面.过球心O分别在两个半平面内作和，定义为两个半平面的夹角；若球面上A，B，C的对径点分别为，，，则球面球面全等.如图2，已知球O的半径为R，记劣弧AB和劣弧AC所在两半平面的夹角为，. （1）请写出，，的值，并猜测的表达式： （2）如图2，再记劣弧BA和劣弧BC所在两半平面的夹角为，劣弧CA和劣弧CB所在两半平面的夹角为.①若，请直接写出球面的面积；②求（用，，，R表示） 【解析】（1）， ， ． 猜测． （2）① 因为， 所以， 即． 代入，可得此时； ②由①可知，. ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$