精品解析：广东省深圳市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2024~2025学年度高二下学期期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修第二册第四章、第五章＋选择性必修第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的前项和，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. 5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 4. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 74 B. C. 64 D. 5. 已知为数列的前n项和，且，，则（ ） A. 34 B. 44 C. 56 D. 72 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 按如下方式构造等腰直角三角形：令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，…，依次类推，令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，则数列的前n项积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为4的等比数列 10. 将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ） A B E C D A. 若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B. 若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C. 若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D. 若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 11. 已知函数的极大值为，则（ ） A. 有1个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切的直线有2条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中各项系数的和为64，则展开式中常数项为______． 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 14. 若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，是的导函数. （1）求的值； （2）求的最值. 16. 已知等差数列的首项，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前n项和，若，求正整数n的值． 17. 某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人． （1）若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ （2）若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ 18. 已知数列的前n项和为，，是公比为3的等比数列． （1）求与； （2）设，求数列的前k项和； （3）判断是否存在正整数s，t，r（），使得，，成等差数列？若存在，写出s，t，r的一组值；若不存在，请说明理由． 19. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线C：，定义为曲线C在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线C：． （1）当时，求曲线C在点处的曲率； （2）已知曲线C在不同的两点，处的曲率均为0． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度高二下学期期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修第二册第四章、第五章＋选择性必修第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的前项和，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，所以． 故选：C. 2. 5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即可. 【详解】每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为. 故选：D 3. 已知函数，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用求导，赋值，即可求出. 【详解】求导得，令，得，解得． 故选：B. 4. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 74 B. C. 64 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式来求指定项系数即可. 【详解】由题知项的系数为． 故选：A. 5. 已知为数列的前n项和，且，，则（ ） A. 34 B. 44 C. 56 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】由题设易得是以为公差的等差数列，进而结合等差数列的通项公式及求和公式求解即可. 【详解】由，得，所以是以为公差的等差数列， 由，得，解得， 所以． 故选：D. 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 7. 按如下方式构造等腰直角三角形：令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，…，依次类推，令，以，为腰作出等腰直角三角形，记的面积为，则数列的前n项积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先推理得到时，，利用等比数列的定义求出通项，再利用等差数列的前项和的公式计算即可. 【详解】由题意可知，当时，， 则是以2为公比的等比数列，又，故， 则数列的前n项积为． 故选：D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用构造法求导可知是在上单调递增．然后再利用单调性即可解不等式. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递增． 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为4的等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出，再由等比数列通项公式及求和公式判断B、C，由等比数列的定义判断D. 【详解】因为，，所以，即A正确； 易知，可知B错误； 将首项和公比代入可得，故C正确； 又，，故数列是首项为，公比为的等比数列，故D正确． 故选：ACD 10. 将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ） A B E C D A. 若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B. 若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C. 若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D. 若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【解析】 【分析】根据所用颜色种数，以及各区域所用颜色的规定，运用两个计数原理逐一计算判断即可. 【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法， 因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误． 故选：AB. 11. 已知函数的极大值为，则（ ） A. 有1个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切的直线有2条 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数说明函数的单调性，由极大值求出参数的值，即可判断A，结合单调性判断B，由判断C，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可求出，从而判断D. 【详解】对于A：函数的定义域为， 又，所以当时，， 当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，即，解得（负值已舍去）， 所以，则极小值为，所以有个零点，故A正确； 对于B：由，得，，所以， 又在上单调递增，所以，故B正确； 对于C：因为 ，所以曲线关于点对称，故C错误； 对于D：设过点的直线与曲线相切于点， 所以切线方程， 将点代入切线方程为，、 整理得，即，解得或， 过点的直线与曲线相切于点或， 因此过点与曲线相切的直线有条，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中各项系数的和为64，则展开式中常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，先求出，再根据二项式的展开式的通项公式求解即可. 【详解】令，得，解得， 的展开式的通项公式为， ， 令，得，所以展开式中常数项为． 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求导，将原函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式恒成立问题，通过参变分离，进一步化成求对应函数的最大值解决. 【详解】由求导得：， 依题意，在上恒成立，即在上恒成立． 设，易得在上单调递增，所以， 故得，即实数a的取值范围是． 故答案为：. 14. 若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可判断出为等差数列．利用等差数列性质可得，再利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列． 由，得，所以， 所以，故，故， 当且仅当或时取等号， 由于，当且仅当时取得最大值， 故的最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，是的导函数. （1）求的值； （2）求的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，无最大值 【解析】 【分析】（1）对函数求导得，将与代入即可求解； （2）由（1）知.令，通过求导研究的单调性与正负，进一步确定的单调性即可求解最值. 【小问1详解】 ∵，∴. ∴，，∴. 【小问2详解】 由（1）知. 令，则，∴在上单调递增. 又， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴在处取极小值也是最小值，无最大值， 即的最小值为，无最大值. 16. 已知等差数列的首项，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前n项和，若，求正整数n的值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，结合条件列出方程，利用等差数列的基本量运算求出，即可求得其通项； （2）写出数列的通项公式，利用裂项相消法求得，依题解方程即得正整数n的值即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，依题意，，因， 则，解得，所以， 故数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以． 由，即，解得， 故满足的正整数n的值为16． 17. 某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人． （1）若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ （2）若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ 【答案】（1）种 （2）种 【解析】 【分析】（1）应用排列数公式计算求解； （2）应用分组分类结合排列数及组合数公式计算解题. 【小问1详解】 由题知，甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，则另两名同学各在一家公司， 所以共有种不同的分配方法． 【小问2详解】 6名同学去四家不同的公司，每家公司至少1人，先将6名同学分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再分配去4家不同的公司， 则有种不同的分配方法． 若甲、乙在同一家公司，其他4人按2、1、1分去其他三家公司，或1、1、1、1去四家公司， 则有种不同的分配方法， 所以甲、乙不在同一家公司共有种不同的分配方法． 18. 已知数列的前n项和为，，是公比为3的等比数列． （1）求与； （2）设，求数列的前k项和； （3）判断是否存在正整数s，t，r（），使得，，成等差数列？若存在，写出s，t，r的一组值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 假设存在s，t，r（），使得，，成等差数列， 若，则， 是奇数，是偶数，与假设矛盾； 若，则， 两边同时除以，得， 因为，所以，与假设矛盾， 所以不存在正整数s，t，r（），使得，，成等差数列． 【解析】 【分析】（1）应用分计算求解； （2）应用等比数列求和公式计算数列的和； （3）应用反证法假设，，成等差数列，再计算得出矛盾即可证明. 【小问1详解】 因为是公比为3的等比数列，且， 所以， 当时，，所以 【小问2详解】 因为， 所以当时，是公比为9的等比数列， 因为，所以． 【小问3详解】 略 19. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线C：，定义为曲线C在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线C：． （1）当时，求曲线C在点处的曲率； （2）已知曲线C在不同的两点，处的曲率均为0． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由上可知，不妨设． 下面证明：当时，， 设，，则， 令，则， 所以在上单调递减，则， 所以在上单调递增，所以， 即，故，． 设点在直线上，则，即， 所以，即， 要证，需证，即证， 又，只需证，即证． 令，即证，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以成立， 故． 【解析】 【分析】（1）两次求导，再根据曲率公式计算即可； （2）（i）对求导，根据导数正负判断增减性，分析边界值与特殊值，方程有两根，意味着直线与图像有两个交点，得到.（ii）构造函数，通过求导，再对求导得到，进而得到单调性，得到，转化要证的不等式，进一步转化构造函数，得到单调性，证明，从而得出. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 故曲线C在点处的曲率． 【小问2详解】 易知，由题意可知，， 则关于x的方程有两个不同的根，， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又当时，，，且， （i）由题可知，直线与函数的图象有两个不同的交点，如下图所示： 时，满足题意， 故实数m的取值范围为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $