专题01 特殊平行四边形中折叠求长度（5重难点题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版）

专题01 特殊平行四边形中折叠求长度 题型梳理 题型方法 题型一 把一个顶点折叠到一边上 题型二 把一个顶点折叠到对角线上 题型三 把一个顶点折叠到另一个顶点上 题型四 把一个顶点折叠到图形内和图形外 题型五 多次折叠 题型方法 【题型一】把一个顶点折叠到一边上 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，为边上一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在的中点处，则线段AM的长为（   ）． A．1 B． C．2 D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·广西玉林·期中）如图，在矩形中，E为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为6，的周长为12，则的长为（   ） A． B． C．2 D．2.5 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，将长方形折叠，使顶点恰好落在边上处，折痕交于点，已知，，则 ． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕尾·阶段练习）如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长． 【题型二】把一个顶点折叠到对角线上 【例2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使点B与对角线上的点F重合，折痕为，若，则的长等于（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为（  ） A．2 B． C． D．6 【变式2】（22-23九年级下·海南海口·期中）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线上的点G处（不与B、D重合），折痕为，则 ；若，则的长为 ．      【变式3】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，折叠矩形，使边与对角线重合，折痕是，点A的对应点是E，若，求． 【题型三】把一个顶点折叠到另一个顶点上 【例3】（24-25九年级下·湖南湘潭·期中）在矩形中，，，现将矩形折叠使点与点重合，则折痕的长是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使B，D两点重合，折痕与矩形的一边交于点，则A，P两点间的距离为 cm． 【变式3】（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使、两点重合．点落在点处．已知，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 【题型四】把一个顶点折叠到图形内和图形外 【例4】（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若，则的长为（    ） A． B．4 C． D．3 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，，E是边的中点，P是折线上任意一点．将矩形沿直线向上折叠，使点B落在点F处．若点F在边上，则的长为 ． 【变式3】（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的面积； (3)求的长． 【题型五】多次折叠 【例5】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）在数学活动课上，小明通过测量，发现规格矩形纸片的长宽有固定关系，于是按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（20-21八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，先将矩形沿着直线翻折，使点落在边上的点处，再将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，则线段的长为( ) A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，则： （1） ； （2）若，则 ， ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为边上的动点． (1)将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，且点D，E分别是边的中点，线段_________． (2)如图2，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，求的长． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．4 2．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，点 A 落在点 P 处，折痕为．若，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．6 4．（24-25八年级下·云南大理·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 5．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 6．（24-25八年级上·全国·期中）如图，长方形中，，如果将该长方形沿对角线折叠，其中点是折叠后点C所在的位置，那么 ．    7．（24-25九年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在矩形纸片中，点E在边上，点F在边上，将沿翻折，使点C落在处，为折痕；再将沿翻折，使点B恰好落在线段上的点处，为折痕，若，，，则的长度为 ． 三、解答题 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片，使边与对角线重合，折痕为，求及的长． 9．（22-23八年级下·广东清远·期中）如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处．若，，． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的长． 10．（24-25八年级下·福建南平·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将沿直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，求和的长． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的点处，点A的对应点为点，且，求的长． 12．（23-24八年级下·浙江台州·期中）在矩形中，将点A翻折到对角线上的点M处，折痕交于点E．将点C翻折到对角线上的点N处，折痕交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，且，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊平行四边形中折叠求长度 题型梳理 题型方法 题型一 把一个顶点折叠到一边上 题型二 把一个顶点折叠到对角线上 题型三 把一个顶点折叠到另一个顶点上 题型四 把一个顶点折叠到图形内和图形外 题型五 多次折叠 题型方法 【题型一】把一个顶点折叠到一边上 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，为边上一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在的中点处，则线段AM的长为（   ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，延长交的延长线于点，证明，可得，再通过折叠的性质可得，即可列出方程解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ， 四边形是菱形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 根据折叠可得，， ， ， ，即， ， 解得， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·广西玉林·期中）如图，在矩形中，E为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为6，的周长为12，则的长为（   ） A． B． C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边． 由的周长为6，的周长为12可知矩形的周长为18，继而可得，在中，由勾股定理得：，所以，即． 【详解】解：由折叠性质可知：，， 的周长为6，的周长为12， ，， ， ∴， ∴， ∵，即， 解得：， ∴ 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，将长方形折叠，使顶点恰好落在边上处，折痕交于点，已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解决问题的关键． 先根据长方形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则． 【详解】解：∵四边形为长方形， ， 由折叠可知，， 在中，， ， 故答案为：2． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕尾·阶段练习）如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，矩形与折叠问题，根据勾股定理列方程是解题的关键．在矩形中，，，设，则， 由折叠的性质知：，中，由勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，， 设，则， 由折叠的性质知：， 在中，，， ∴ 解得， 即的长为． 【题型二】把一个顶点折叠到对角线上 【例2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使点B与对角线上的点F重合，折痕为，若，则的长等于（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，正确理解勾股定理是解题关键．由矩形和折叠的性质，得到，，，进而得出，再利用勾股定理列方程，求出的长即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠的性质可知，，，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得：， 故选：C 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为（  ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据矩形的性质及题意，可求得，根据勾股定理求得，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】四边形是矩形 点O是矩形的中心 折叠 ，， ∴ ∴ 设，则 ∴在中， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【变式2】（22-23九年级下·海南海口·期中）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线上的点G处（不与B、D重合），折痕为，则 ；若，则的长为 ．      【答案】 【分析】作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可. 【详解】 解:作于,    由折叠的性质可知，，, ∵四边形 是菱形， ∴， ∴为等边三角形,， ∴， 设,则. 在中, ， 在 中,,即， 解得,即 . 故答案为. 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，折叠矩形，使边与对角线重合，折痕是，点A的对应点是E，若，求． 【答案】 【分析】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 已知，可知，在中用勾股定理求；设，由折叠的性质可知，，在中，用勾股定理列方程求即可． 【详解】解：根据题意，， ∴在中，． 由折叠可知：， 则， 设的长为x，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 即的长为． 【题型三】把一个顶点折叠到另一个顶点上 【例3】（24-25九年级下·湖南湘潭·期中）在矩形中，，，现将矩形折叠使点与点重合，则折痕的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口． 根据矩形的性质，可得，，再由折叠的性质可得：，，然后在中，根据勾股定理可得，，再证得，过点E作于点H，则，在根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：，， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点E作于点H，则， ∴， ∴． 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】设，则，首先得到，然后利用勾股定理求解即可． 此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：设，则 由折叠可得， ∵四边形是矩形 ∴ ∴，即 解得 ∴的长为4． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使B，D两点重合，折痕与矩形的一边交于点，则A，P两点间的距离为 cm． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理．设折痕为，当点在上和点在上时，两种情况讨论，作交于，由折叠的性质可得：，，，，由勾股定理分别求即可得到答案． 【详解】解：如图，设折痕为，当点在上时，作交于， ，四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：，，，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴； 当点在上时， 同理 ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， ， 综上，A，P两点间的距离为或． 故答案为：3或． 【变式3】（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使、两点重合．点落在点处．已知，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的折叠，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理等知识： （1）由折叠性质可知，由可得，所以，由等角对等边即可得证； （2）由折叠性质并结合（1）中结论可设，则，在中，根据勾股定理建立方程，即，解得，则． 【详解】（1）证明：由折叠性质可知． ， ． ． 是等腰三角形． （2）解：设，由折叠可知． ， ． 在中，由勾股定理得， ． 解得． 由（1）得， ． 【题型四】把一个顶点折叠到图形内和图形外 【例4】（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据折叠和平行线的性质得到，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】设，则 由折叠可知 因为 所以，则 所以 在中，根据勾股定理可得， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等角对等边等知识，解题的关键是证明出． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若，则的长为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】连接，由长方形纸片沿对折，得垂直平分，则有；由沿折叠知，，则是等边三角形，，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形纸片沿对折， ∴垂直平分， ∴； ∵沿折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； 由折叠知，， ∴； 由勾股定理得：， ∴；． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，判定是等边三角形是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，，E是边的中点，P是折线上任意一点．将矩形沿直线向上折叠，使点B落在点F处．若点F在边上，则的长为 ． 【答案】16或4/4或16 【分析】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 过点E作于点H，结合矩形性质可得四边形是矩形，四边形是矩形，得，根据中点性质得,得，由折叠知，由勾股定理得，得当点P在上时，；当点P在上时，． 【详解】解：过点E作于点H， 则， ∵矩形中，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵，E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠知，， ∵点B落在点F处．点F在边上， ∴， ∵点P是折线上任意一点， ∴当点P在上时， ； 当点P在上时， 设点A落在点G处， ． 故答案为 ：16或4． 【变式3】（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的面积； (3)求的长． 【答案】(1)等腰三角形；理由见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）利用等角对等边解决问题即可． （2）设，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （3）连接交BD于H，由折叠得到，然后利用勾股定理求出，然后利用面积法求解即可． 本题主要考查矩形的折叠、勾股定理，等腰三角形的性质和判定，熟记矩形的性质并根据勾股定理列方程求解是解题关键． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 由折叠可知，， ∵在长方形中，， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， ∴； （3）解：连接，交于H， 由折叠可得， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【题型五】多次折叠 【例5】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）在数学活动课上，小明通过测量，发现规格矩形纸片的长宽有固定关系，于是按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，根据翻折的性质可得，，，设，则，，在由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据翻折的性质可得，，， 设，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得或（舍去） ∴， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（20-21八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，先将矩形沿着直线翻折，使点落在边上的点处，再将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，则线段的长为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，设，，由勾股定理计算出，进而得到， 在中，根据勾股定理得，故可求解． 【详解】解：由翻折得，． ∵ 四边形是矩形， ∴ ，． 在中，根据勾股定理，得， ∴ ． 设，则， 由翻折得，，， 在中，由勾股定理， 得． ∴． 解得． 故选A． 【点睛】此题主要考查矩形与折叠，解题的关键是熟知折叠的性质、勾股定理的应用． 【变式2】（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，则： （1） ； （2）若，则 ， ． 【答案】 45 / 【分析】本题考查了矩形与折叠，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握矩形与折叠的性质是解题关键．根据矩形和折叠的性质，可得，是等腰直角三角形，进而得到，求出的长，再证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 由折叠的性质可知，， 故答案为：45； （2）四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可知，，，，，， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：，． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为边上的动点． (1)将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，且点D，E分别是边的中点，线段_________． (2)如图2，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得，再根据折叠的性质以及中位线的性质可得以及四边形是菱形，再证明四边形是矩形，最后根据矩形的性质即可解答； （2）先分、两种情况画出图形，再分别根据折叠的性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解： ∵在等腰直角三角形纸片中，，， ∴， ∵将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∵点D，E分别是边的中点， ∴，即； ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． （2）解：由翻折可知：要使的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图： ①当时， 由翻折可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知：， ； ②当， 由翻折可知：， ∴点E在的平分线上， 设，则， 在中，， ， ， ，解得， ． 综上所述：的长为或． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．先根据折叠的性质得到，设，再根据正方形的性质和勾股定理得到，，即可得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：连接，， 由折叠得四边形和四边形关于直线对称， ∴． 设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴在中，，在中，， ， ， 即， 解得，即． 故选：B 2．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，点 A 落在点 P 处，折痕为．若，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，， 设，则，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， 由折叠的性质得出，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则，． 故选：C 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，，由折叠的性质得到，则，再根据三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·云南大理·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定，掌握折叠的不变性，运用勾股定理建立方程求解是解题的关键． 根据矩形的性质以及折叠的性质得到，设，则，然后在中，由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， 解得：， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． 设，则，用勾股定理解求出；同理，设，则，用勾股定理解求出；作于点H，构造矩形，最后用勾股定理解可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 由折叠知，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； 同理，设，则， 由折叠知， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； 如图，作于点H， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·全国·期中）如图，长方形中，，如果将该长方形沿对角线折叠，其中点是折叠后点C所在的位置，那么 ．    【答案】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．利用等角对等边可得，设，在中，利用勾股定理构建方程求解，再根据即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，    由翻折的性质可知， ， ， 设， 在中， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为： 7．（24-25九年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在矩形纸片中，点E在边上，点F在边上，将沿翻折，使点C落在处，为折痕；再将沿翻折，使点B恰好落在线段上的点处，为折痕，若，，，则的长度为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，勾股定理，根据折叠的性质求出是解题的关键．连接，根据矩形的性质及折叠的性质求出，，，，，设，则，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， 根据折叠的性质得， ，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，，， ， 在中，， ， （负值已舍）， ， 故答案为：10． 三、解答题 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片，使边与对角线重合，折痕为，求及的长． 【答案】； 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，设先由矩形的性质与勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得的长，则可求出，再在中利用勾股定理建立方程求出的长即可． 【详解】解：设 ∵四边形是矩形， ∴， ， 由折叠的性质可得：， ， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得： 9．（22-23八年级下·广东清远·期中）如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处．若，，． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由折叠及长方形的性质的，从而利用可证明结论成立； （2）设，根据折叠的性质可得，再根据勾股定理列方程即可求解． （3）过点作于点，证明四边形是矩形，得，，由折叠可得，从而，在中，利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵，， ∴； （2）解：设，则， 由折叠可知， 是的中点，， ， 在长方形中，， ， 即， ， 即． （3）解：过点作于点， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查矩形折叠问题，中点定义，利用勾股定理列方程，根据折叠寻找等量线段，再利用勾股定理建立方程是关键． 10．（24-25八年级下·福建南平·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将沿直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了平面直角坐标系、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．结合矩形的性质和点的坐标，由折叠的性质得，，在中，利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答 【详解】解：∵点B的坐标为，四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得，，， ∴在中，由勾股定理得： ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴综上所述，，． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的点处，点A的对应点为点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，设，连接，，求出，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：设， 连接，，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 解得：， 即． 12．（23-24八年级下·浙江台州·期中）在矩形中，将点A翻折到对角线上的点M处，折痕交于点E．将点C翻折到对角线上的点N处，折痕交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． （1）证，根据折叠性质推出，求出，根据平行四边形判定推出即可． （2）求出，根据直角三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵由折叠：， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵是平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， 又∵由折叠：， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$