第二十一章 一元二次方程 (全章复习)(知识回顾+4重难点题型）讲义-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版）

第二十一章 一元二次方程 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 解一元二次方程 题型二 一元二次方程根的判别式 题型三 一元二次方程根与系数的关系 题型四 一元二次方程的实际应用 知识清单 知识点01一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0） 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点02 一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 知识点03一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 知识点04列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 题型方法 【题型一】解一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·四川南充·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【题型二】一元二次方程根的判别式 【例2】（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为，则的值为______； (2)若方程有相等的实数根，求的值． 【题型三】一元二次方程根与系数的关系 【例3】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是 ； 【变式2】（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【题型四】一元二次方程的实际应用 【例4】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，则进馆人次的月平均增长率是 ． 【变式2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）为了迎接2025年元旦佳节，某商场准备开展儿童玩具嘉年华降价促销活动．某种儿童玩具，平均每天可销售10件，每件盈利20元．根据调查统计，在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售5件．通过销售此种儿童玩具，若商场每天要盈利425元，每件玩具应降价多少元？ 【变式3】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）下列方程中是一元二次方程的是（　 　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）用配方法解方程，则配方正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）关于的一元二次方程有一个实数根为，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 5．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 6．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·山东滨州·期末）一元二次方程的解为 ． 9．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知是一元二次方程的两个不相等实数根，则代数式的值是 ． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）某县政府2022年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2024年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2022年到2024年投资此项目资金的年增长率相同，设年增长率为，可列方程为 ． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 13．（24-25九年级上·重庆·期末）任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为 ；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有 个． 三、解答题 14．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 15．（24-25八年级下·重庆·期末）用适当的方法求解下列方程： (1) (2) (3)                        (4) (5) (6) 16．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，…‥① ，．．．．．② ，…．．③ ，．．．．．．④ ，．．．．．．⑤ ．．．．．⑥ (1)小颖的解答过程从第__________________步开始出错，其错误的原因是_________________； (2)请你写出此题正确的解题过程． 17．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 18．（24-25九年级上·广东汕头·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是非负整数， (1)求的值； (2)若是该方程的两个实数根，则 ． 19．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 20．（24-25九年级上·广东韶关·期末）我国芯片有了很大突破，实现我国自产，芯片价格大幅下降，由原来的每片芯片的单价200元，经过两次降价后每片芯片的单价为128元，若每次降价率相同，求降价的百分率是多少？ 21．（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 22．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 解一元二次方程 题型二 一元二次方程根的判别式 题型三 一元二次方程根与系数的关系 题型四 一元二次方程的实际应用 知识清单 知识点01一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0） 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点02 一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 知识点03一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 知识点04列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 题型方法 【题型一】解一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·四川南充·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可； （2）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） 解得， 【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 【题型二】一元二次方程根的判别式 【例2】（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：， 所以方程有两个不相等实数根， 故选： 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据，解一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 证明判别式的值大于等于0即可． 【详解】证明：∵， ∴该方程总有两个实数根． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为，则的值为______； (2)若方程有相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解答本题的关键． （1）将代入一元二次方程，即可求出的值； （2）根据“方程有相等的实数根”可得，再结合二次项系数，即可求出的值． 【详解】（1）解：方程的一个根为， ， 解得：； （2）解：根据题意，可得且， 解得：． 【题型三】一元二次方程根与系数的关系 【例3】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出，，然后变形为，再整体代入可以求出其值． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是 ； 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数之间的关系得到，即可得出结果． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴； ∴方程的另一个根为：． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且； (2)不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0．见解析 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系． （1）由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【详解】（1）解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且； （2）解：不存在 假设存在，设方程的两根分别为、，则，． ， ． 且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【变式3】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、绝对值及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及绝对值的性质是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出，再结合即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题知， 方程的两个实数根分别为，， ， 又， ， 将代入方程得，， 解得． 【题型四】一元二次方程的实际应用 【例4】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，则进馆人次的月平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设进馆人次的月平均增长率是，根据2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，列式，然后计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设进馆人次的月平均增长率是， 则 ， 解得（舍去） ∴进馆人次的月平均增长率是， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）为了迎接2025年元旦佳节，某商场准备开展儿童玩具嘉年华降价促销活动．某种儿童玩具，平均每天可销售10件，每件盈利20元．根据调查统计，在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售5件．通过销售此种儿童玩具，若商场每天要盈利425元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】商场每天要盈利425元，每件玩具应降价3元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． 设每件玩具应降价元．依题意，得，解一元二次方程即可． 【详解】解：设每件玩具应降价元．依题意，得， 化简，得， 解得（舍去）， 答：商场每天要盈利425元，每件玩具应降价3元． 【变式3】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）下列方程中是一元二次方程的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程，本选项不符合题意； B、，整理后，不含有二次项，不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、是一元二次方程，本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）用配方法解方程，则配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1)，整理化简即得答案． 【详解】 移项得， 配方得，，即． 故选：B． 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）关于的一元二次方程有一个实数根为，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选B． 5．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵有两个实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 6．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含x的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解∶ 设矩形的边，则， 根据题意，得， 故选∶A． 二、填空题 8．（24-25九年级上·山东滨州·期末）一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 故答案为：，． 9．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知是一元二次方程的两个不相等实数根，则代数式的值是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了方程的解的定义．一般解题思路是，把表示根的字母代入方程得到相关的等式，再把所求的代数式变形成已知条件的形式，把已知条件整体代入即可．根据方程根的定义，分别把，代入方程可得，，再把代数式变形代值则可． 【详解】解：是一元二次方程的两个不相等实数根， ，，， ，， ． 故答案为：36 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 把代入方程中得，然后解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）某县政府2022年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2024年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2022年到2024年投资此项目资金的年增长率相同，设年增长率为，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得到2024年投资保障性房建设的资金2022年投资保障性房建设的资金，即可求解． 【详解】解：由题得：， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，所以原说法错误； ②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是， 原说法正确； ③若一元二次方程无解，则其判别式小于0，而倒方程的判别式和原方程的判别式相同，则其值也小于0，故它的倒方程也无解，原说法正确，； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 13．（24-25九年级上·重庆·期末）任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为 ；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有 个． 【答案】 111 3 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．第一空根据“双倍快乐数”的定义解答即可；第二空根据一元二次方程根的判别式得出，，之间的关系，再结合“双倍快乐数”的定义以及能被6整除这一条件来确定满足条件的的个数即可． 【详解】解：∵三位数，满足各个数位上的数字都不为零， ∴十位上数最小只能为1， ∵百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，且是最小的的“双倍快乐数”， ∴根据定义可得最小的“双倍快乐数”为111； ∵是一个“双倍快乐数”， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴,即， ∴， ∵,若能被6整除， ∴设， ， 能被6整除，即能被6整除， 能被整除， 既能被2整除又能被3整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， ∴满足条件的有3个， 故答案为：111；3． 三、解答题 14．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 15．（24-25八年级下·重庆·期末）用适当的方法求解下列方程： (1) (2) (3)                        (4) (5) (6) 【答案】(1)， (2)无实数根 (3)， (4)， (5) (6) 【分析】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法和分式方程的验根是解题的关键， （1）先移项、化简，再利用直接开平方法求解． （2）根据一元二次方程判别式判断根的情况． （3）将通过移项，提取公因式，选择因式分解法，即可解得答案． （4）选择公式法求解即可． （5）利用完全平方公式因式分解求解． （6）先对分式变形，然后去分母化为整式方程，因式分解求解，最后检验增根． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）解：， ∴． ∵， ∴此方程无实数根． （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：， ； （4）解：， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴，； （5）解； ， ∴， 解得； （6）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 检验，当时，，是增根，舍去； 当时，， 所以原方程的解是． 16．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，…‥① ，．．．．．② ，…．．③ ，．．．．．．④ ，．．．．．．⑤ ．．．．．⑥ (1)小颖的解答过程从第__________________步开始出错，其错误的原因是_________________； (2)请你写出此题正确的解题过程． 【答案】(1)②，等式右边没有除以2 (2) 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，正确计算是解题关键； （1）发现第二步等式右边没有除以2； （2）直接利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：②，等式右边没有除以2； （2）解： ， ， ， ， 17．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 18．（24-25九年级上·广东汕头·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是非负整数， (1)求的值； (2)若是该方程的两个实数根，则 ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据根的判别式可得，再根据是非负整数，即可求解； （2）根据根与系数的关系得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 是非负整数， ． （2）解：当时，方程化为， ∴， ∴， ， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，解答的关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）求出一元二次方程根的判别式，根据偶次方的非负性证明； （2）将已知的方程的根代入方程，求出m的值，然后再解方程求另一个根． 【详解】（1）证明：∵，所以该方程是一元二次方程． 又 ， ∵， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：∵方程的一个根是， ∴， 解得：， 方程即为， 解得：， 方程的另一个根是． 20．（24-25九年级上·广东韶关·期末）我国芯片有了很大突破，实现我国自产，芯片价格大幅下降，由原来的每片芯片的单价200元，经过两次降价后每片芯片的单价为128元，若每次降价率相同，求降价的百分率是多少？ 【答案】降价的百分率是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系．正确列出一元二次方程是解题的关键． 设芯片降价的百分率是x，根据由原来的每片芯片的单价200元，经过两次降价后每片芯片的单价为128元，若每次降价率相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设芯片降价的百分率是x， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：降价的百分率是． 21．（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为元时，每天可获得最大利润为元 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用月份的水果销售量月份的水果销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价降低元，利润为，则水果的销售利润为元，每天的销售量为件，列出函数关系式解答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该平台月份到月份销售的月平均增长率是． （2）解：设售价降低元，利润为， 则水果的销售利润为元，每天的销售量为件， ∴， ∵， ∴降价元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【分析】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$