第04讲 二次函数的图象与性质（知识清单+5易错+22必考题型）讲义-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版）

第04讲 二次函数的图象与性质 题型梳理 易错分析 易错点一 用二次函数的定义求字母的值时忽略二次项系数不为0的隐含条件致错 易错点二 忽略抛物线的形状与开口方向无关导致漏解 易错点三 忽略开口方向隐含的条件致错 易错点四 混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错 易错点五 忽略与y 轴交点的两种情况致错 题型方法 题型一 二次函数的定义 题型二 二次函数的一般形式 题型三 实际问题中的二次函数 题型四 二次函数y = 的图象 题型五 二次函数y = 的性质 题型六 二次函数y = +k的图象 题型七 二次函数y = +k的性质 题型八 二次函数y = +k图象的平移 题型九 二次函数的图象 题型十 二次函数的性质 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 二次函数+k的图象 题型十三 二次函数+k的性质 题型十四 二次函数+k图象的平移 题型十五 用“一般式”求二次函数解析式 题型十六 用“顶点式”求二次函数解析式 题型十七 用“交点式”求二次函数解析式 题型十八 把二次函数的一般式化为顶点式 题型十九 二次函数的图象的平移 题型二十 二次函数的图象 题型二十一 二次函数的性质 题型二十二 二次函数的图象与系数的关系 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3：二次函数y=ax²的图象的画法 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点4：二次函数y=ax²的图象和性质（重难点） 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点5：二次函数的图象和性质（重点） 知识点6：二次函数的图象和性质（重难点） 知识点7：二次函数的图象和性质（重难点） 知识点8：二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 易错分析 【易错点一】用二次函数的定义求字母的值时忽略二次项系数不为0的隐含条件致错 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川凉山·期末）当二次函数的解析式为时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【易错点二】忽略抛物线的形状与开口方向无关导致漏解 【例2】（21-22九年级上·福建泉州·期中）已知抛物线与的形状相同，则的值是（       ） A．4 B． C． D．1 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期中）已知的图像形状相同，开口方向相反，则a的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为 ． 【易错点三】忽略开口方向隐含的条件致错 【例3】（九年级上·全国·单元测试）若是开口向下的抛物线，则的值（       ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）函数为开口向下的抛物线，求m的值． 【变式2】（24-25九年级上·全国）已知一个二次函数的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式． 【变式3】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数，且该函数图象的开口向下，求m的值；并说出当x为何范围时，y随x的增大而增大？ 【易错点四】混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错 【例4】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴向上平移4个单位长度，y轴向右平移5个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·山西太原·阶段练习）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A．      B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·贵州六盘水·期末）在平直角坐标系中，若二次函数y=4x2的图象不动，先把x轴向下平移3个单位，再把y轴向左平移2个单位，那么在新的平面直角坐标系下函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·期中）抛物线的函数表达式为，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ． 【易错点五】忽略与y 轴交点的两种情况致错 【例5】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为，那么它的解析式为 ． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·天津东丽·期中）有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与x轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线x＝4； 丙：与y轴的交点到原点的距离为3． 满足上述全部特点的二次函数的解析式为 ． 【变式2】（20-21九年级上·广东惠州·期末）已知二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是2，且函数图像的对称轴为直线．求该函数的解析式． 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为，求该“完美函数”的解析式． 题型方法 【题型一】二次函数的定义 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）当 时，函数是二次函数． 【变式3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，求的值． 【题型二】二次函数的一般形式 【例2】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【变式3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【题型三】实际问题中的二次函数 【例3】（24-25九年级上·山东滨州·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【变式3】（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）． (2)当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？ 【题型四】二次函数y = 的图象 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）二次函数的图象开口向上，则m的取值范围为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）（1）解方程：． （2） 已知是关于x的二次函数，试判断其图象的开口方向． 【题型五】二次函数y = 的性质 【例5】（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）写出一个函数 ，使得该函数在时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 【变式3】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数是关于x的二次函数． (1)当m为何值时，该函数图象的开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当m为何值时，该函数有最小值？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【题型六】二次函数y = +k的图象 【例6】（24-25九年级上·山东济宁·期中）在下列二次函数中，其图象对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·黑龙江七台河·期末）下列各点不在抛物线图象上的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ． 【题型七】二次函数y = +k的性质 【例7】（23-24九年级上·全国·课后作业）函数与的图象的不同之处是（    ） A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 【变式2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是 ． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【题型八】二次函数y = +k图象的平移 【例8】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·上海静安）抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是 ． 【变式2】（23-24九年级上·天津津南·阶段练习）抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【题型九】二次函数的图象 【例9】（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）抛物线的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·安徽合肥·期中）抛物线y=-(x-1)的图像一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【变式3】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【题型十】二次函数的性质 【例10】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．拋物线形状相同 D．顶点都在轴上 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 【变式3】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线，当时，函数有最大值，则当为何值时，随的增大而减小？ 【题型十一】二次函数图象的平移 【例11】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）若将抛物线的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的是（    ） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ． 【变式3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位后，对称轴是轴，那么的值是 ． 【题型十二】二次函数+k的图象 【例12】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，其图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（23-24九年级上·北京海淀）如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【题型十三】二次函数+k的性质 【例13】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最大值2 D．当时，随增大而减小 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数，若时，则的取值范围是 ． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【题型十四】二次函数+k图象的平移 【例14】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【变式3】（24-25九年级下·湖南益阳·阶段练习）把抛物线向下平移个单位，得到的抛物线与轴交点坐标为 ． 【题型十五】用“一般式”求二次函数解析式 【例15】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·山东日照·期中）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期末）若一个二次函数的图象经过、、三点，则这个二次函数的表达式为 ． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一个二次函数的图像经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 【题型十六】用“顶点式”求二次函数解析式 【例16】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·云南保山·阶段练习）与抛物线的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为的抛物线解析式是 ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【题型十七】用“交点式”求二次函数解析式 【例17】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·山东德州·期中）抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 【变式3】（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）抛物线与轴的两个交点坐标分别为，，其形状及开口方向与抛物线相同，则的函数解析式为 ． 【题型十八】把二次函数的一般式化为顶点式 【例18】（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北承德·期末）通过配方，把二次函数化为的形式 ，顶点坐标 ． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将二次函数化为顶点式，并说明其开口方向、对称轴方程及最小值． 【题型十九】二次函数的图象的平移 【例19】（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期末）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·河南许昌·期末）将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【题型二十】二次函数的图象 【例20】（2024九年级下·全国·专题练习）若，则一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·新疆喀什·期中）一个二次函数的图像如图所示，该二次函数二次项系数a的值可能是（     ）    A．2 B． C． D．2.1 【变式2】（22-23九年级上·北京·期中）二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（22-23八年级下·天津·期中）五点法画出函数的图象． (1)根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； x 0 1 2 3 y (2) 在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像． 【题型二十一】二次函数的性质 【例21】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于抛物线的图像与性质，下列结论错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．该抛物线与轴没有交点 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为10，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴是直线． (1)求此二次函数的表达式． (2)求二次函数的最大值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【题型二十二】二次函数的图象与系数的关系 【例22】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列结论：①点在抛物线上；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 【变式3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）二次函数 的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·山东临沂·期中）抛物线与抛物线的相同点是（　　） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上 5．（24-25八年级下·北京·期中）已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数的与的部分对应值如下表，那么关于它的图象，下面判断错误的是（   ） x 1 5 y 0 5 9 5 A． B．关于的一元二次方程有两个相等的实数根 C．当时，的取值范围为 D．若点均在该二次函数图象上，则 二、填空题 7．（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 8．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知点，是抛物线上的两点，则，的大小关系为 ． 9．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 10．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线．当时，函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 ． 11．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设A（﹣1，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2a上的三点，则y1，y2，y3由小到大关系为 ． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；．其中正确的序号有 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 14．（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 15．（24-25九年级下·福建厦门·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点． (1)求的值，并写出和的数量关系； (2)若的面积是的面积的倍，求抛物线的解析式． 16．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的图象与性质 题型梳理 易错分析 易错点一 用二次函数的定义求字母的值时忽略二次项系数不为0的隐含条件致错 易错点二 忽略抛物线的形状与开口方向无关导致漏解 易错点三 忽略开口方向隐含的条件致错 易错点四 混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错 易错点五 忽略与y 轴交点的两种情况致错 题型方法 题型一 二次函数的定义 题型二 二次函数的一般形式 题型三 实际问题中的二次函数 题型四 二次函数y = 的图象 题型五 二次函数y = 的性质 题型六 二次函数y = +k的图象 题型七 二次函数y = +k的性质 题型八 二次函数y = +k图象的平移 题型九 二次函数的图象 题型十 二次函数的性质 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 二次函数+k的图象 题型十三 二次函数+k的性质 题型十四 二次函数+k图象的平移 题型十五 用“一般式”求二次函数解析式 题型十六 用“顶点式”求二次函数解析式 题型十七 用“交点式”求二次函数解析式 题型十八 把二次函数的一般式化为顶点式 题型十九 二次函数的图象的平移 题型二十 二次函数的图象 题型二十一 二次函数的性质 题型二十二 二次函数的图象与系数的关系 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3：二次函数y=ax²的图象的画法 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点4：二次函数y=ax²的图象和性质（重难点） 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点5：二次函数的图象和性质（重点） 知识点6：二次函数的图象和性质（重难点） 知识点7：二次函数的图象和性质（重难点） 知识点8：二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 易错分析 【易错点一】用二次函数的定义求字母的值时忽略二次项系数不为0的隐含条件致错 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川凉山·期末）当二次函数的解析式为时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不等于零是解题的关键． 先根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴且，解得：． 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式． （1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可； （2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可． 【详解】（1）解：函数为一次函数， ，或， ，或 当时函数， 当时函数， 此一次函数解析式为或； （2）解：x的函数为二次函数． ，且 解得：， 当时，， 函数的解析式． 【易错点二】忽略抛物线的形状与开口方向无关导致漏解 【例2】（21-22九年级上·福建泉州·期中）已知抛物线与的形状相同，则的值是（       ） A．4 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像形状相同，二次项系数的绝对值相等，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同， ∴=． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像形状和二次函数的二次项系数的关系，是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象，对于二次函数，图象的形状只与的大小有关，据此即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的形状只与的大小有关， ∴与抛物线的形状形同． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期中）已知的图像形状相同，开口方向相反，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，a决定抛物线的开口大小和开口方向． 两个抛物线的开口大小相等、方向相反时，其二次项系数互为相反数． 【详解】解：∵的图像形状相同，开口方向相反， ∴． 故答案为：3． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数一般式中a对抛物线的决定作用是解题的关键． 由两条抛物线的形状相同且开口方向相反，可得出两个二次函数表达式中二次项的系数互为相反数，再由抛物线经过点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴． 又∵该抛物线经过点， ∴，解得：． ∴该抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 【易错点三】忽略开口方向隐含的条件致错 【例3】（九年级上·全国·单元测试）若是开口向下的抛物线，则的值（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求得m的值，再根据抛物线的开口方向进行判断． 【详解】∵y=（3+m）x m2−9是抛物线， ∴m2-9=2， ∴m=, ∵抛物线开口向下， ∴3+m＜0，即m＜-3， ∴m=-. 故选D. 【点睛】考查二次函数的性质，解题的思路由二次函数的定义得到关于m的方程，再根据开口判断m的取值． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）函数为开口向下的抛物线，求m的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数开口方向与系数的关系．根据抛物线的定义和开口向下即可得到，由此进行求解即可． 【详解】解：∵函数为开口向下的抛物线， ∴， ∴， ∴解得． 【变式2】（24-25九年级上·全国）已知一个二次函数的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式． 【答案】． 【分析】先根据二次函数的定义求出m的值，即可得抛物线的鸡西市，再根据二次函数的性质即可得要求的抛物线的解析式． 本题考查二次函数的概念及性质．熟练掌握二次函数的概念和性质是解题的关键． 【详解】∵为二次函数， ∴， 解得，，             又∵， ∴且， 可得， ∴二次函数为． ∵要求的抛物线的顶点为原点，与开口方向相反，形状相同， ∴要求的这个二次函数的解析式为． 【变式3】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数，且该函数图象的开口向下，求m的值；并说出当x为何范围时，y随x的增大而增大？ 【答案】，当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查二次函数的定义和性质．由二次函数的定义结合开口方向得到，，据此可求得，得到函数解析式为，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， 解得，，， ∴， ∴函数解析式为，对称轴为轴， ∵函数图象的开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大． 【易错点四】混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错 【例4】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴向上平移4个单位长度，y轴向右平移5个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移，求出新坐标系下抛物线的顶点坐标是解题的关键．先求出抛物线的顶点为，由题意可知在新坐标系下顶点的坐标变为，再利用抛物线的顶点式即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点为， 把x轴向上平移4个单位长度，y轴向右平移5个单位长度，那么在新坐标系下顶点的坐标变为， 在新坐标系下抛物线的解析式为． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·山西太原·阶段练习）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A．      B． C． D． 【答案】A 【分析】此题可以转化为求将抛物线向下平移3个单位长度，向右平移2个单位，后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】若将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移2个单位长度相当于将原抛物线向下平移3个单位长度，向右平移2个单位，所以表达式为． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 【变式2】（21-22九年级上·贵州六盘水·期末）在平直角坐标系中，若二次函数y=4x2的图象不动，先把x轴向下平移3个单位，再把y轴向左平移2个单位，那么在新的平面直角坐标系下函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线y=4x2的顶点坐标为（0，0）， ∵把x轴向下平移3个单位，再把y轴向左平移2个单位， ∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（2，3）， ∴抛物线的解析式为y=4（x-2）2+3． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂． 【变式3】（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·期中）抛物线的函数表达式为，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度,相当于将抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位.根据平移的规律写出平移后的表达式即可． 【详解】将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度,相当于将抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位． 因此抛物线平移后的表达式为， 即， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移规律：左加右减，上加下减掌握平移的规律是解题的关键． 【易错点五】忽略与y 轴交点的两种情况致错 【例5】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为，那么它的解析式为 ． 【答案】或 【分析】根据二次函数的顶点坐标设出顶点式，然后根据二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，得出二次函数经过或，分别代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵二次函数与y轴的交点到原点的距离为8， ∴二次函数经过或， ∴或， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·天津东丽·期中）有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与x轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线x＝4； 丙：与y轴的交点到原点的距离为3． 满足上述全部特点的二次函数的解析式为 ． 【答案】y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2． 【分析】根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点且对称轴是直线x＝4， ∴抛物线的顶点坐标为（4，0）， ∵抛物线与y轴的交点到原点的距离为3． ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2， 把（0，3）代入得3＝a（0﹣4）2，解得a＝，此时抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2； 把（0，﹣3）代入得﹣3＝a（0﹣4）2，解得a＝﹣，此时抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2； 综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2． 故答案为y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 【变式2】（20-21九年级上·广东惠州·期末）已知二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是2，且函数图像的对称轴为直线．求该函数的解析式． 【答案】或 【分析】由对称轴可以求出，再利用二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是2，可知函数图象与y轴的交点坐标是或，进而求出的值，即可解决此题． 【详解】解：由对称轴为直线，得．解得． ∵二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是2，则与y轴的交点坐标是或，则有以下两种情况： ①当与y轴的交点是时，代入，得，则函数的解析式是； ②当与y轴的交点是时，代入，得，则函数的解析式是， 综上所述：函数的解析式为：或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式，分类讨论的思想，解题的关键在于熟练掌握二次函数的相关知识． 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为，求该“完美函数”的解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，用待定系数法求二次函数的解析式，理解“完美点”、“完美函数”的定义是解答本题的关键． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）先根据顶点的位置设点的坐标，再根据“完美点”的定义求出顶点，可设顶点式，再根据“完美函数”与轴的交点到原点的距离为，得到该“完美函数”与轴的交点为或，将其分别代入顶点式中求解即可． 【详解】（1）解：根据“完美点”定义和点是“完美点”可得， ，即， ； （2）解：某“完美函数”的顶点在直线上， 设“完美函数”的顶点为， 该函数为“完美函数”， ， 解得：， 该“完美函数”的顶点坐标为， 该“完美函数”与轴的交点到原点的距离为， 该“完美函数”与轴的交点为或， 设该“完美函数”的解析式为， 当该“完美函数”的解析式过时，，解得， ， 当该“完美函数”的解析式过时，，解得， ， 综上所述，该“完美函数”的解析式为或 题型方法 【题型一】二次函数的定义 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键． 直接根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不合题意； B、是二次函数，符合题意； C、，当时，是二次函数，不合题意； D、是一次函数，符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）当 时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得 又∵，即， 综上所述： 故答案为． 【变式3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 又∵，即， 综上所述： 【题型二】二次函数的一般形式 【例2】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【答案】1 【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论． 【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6 ∴一次项系数为7，常数项为-6 ∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是－2、一次项系数是－7、常数项是4 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 【变式3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4 【题型三】实际问题中的二次函数 【例3】（24-25九年级上·山东滨州·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与销售问题，熟练掌握二次函数与销售问题是解题的关键．根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：定价70元时，利润为，故选项A正确，不符合题意； 定价元时，利润为，故选项B正确，不符合题意； 设每件降价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项C错误，符合题意； 设每件涨价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）． (2)当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)（） (2)； 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据矩形的面积公式，列出函数关系式，根据矩形的边长大于0，围墙的长度为21米，求出的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ∵， ∴． （2）， 当时，有最大值，最大值为， 即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是． 【题型四】二次函数y = 的图象 【例4】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象性质，即可得出结论． 【详解】解：二次函数的二次项系数， 二次函数的图象开口方向是向上． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练正确二次函数的图象是解题的关键． 根据图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴图象为， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）二次函数的图象开口向上，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要了二次函数的性质．根据函数图象的开口向上可知：，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）（1）解方程：． （2）已知是关于x的二次函数，试判断其图象的开口方向． 【答案】（1），；（2）开口向上． 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，二次函数的定义和性质，注意二次项系数不能为0． （1）观察方程发现用因式分解法解方程比较简单，按照因式分解的步骤解方程即可． （2）根据二次函数的定义和性质解题即可． 【详解】解：（1）， 移项整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （2）∵是关于x的二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． ∴函数解析式为， ∵， ∴其图象的开口向上． 【题型五】二次函数y = 的性质 【例5】（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 【详解】A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意； B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意； C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）写出一个函数 ，使得该函数在时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质．由题可知对称轴为，又根据在对称轴左侧随的增大而增大，右侧随的增大而减小，所以二次项系数为负数，所以只需写出一个二次项系数为负数，且对称轴为的二次函数即可． 【详解】解：符合题意的二次函数可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数是关于x的二次函数． (1)当m为何值时，该函数图象的开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当m为何值时，该函数有最小值？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是二次函数的定义与性质，一元二次方程的解法； （1）根据二次函数的定义可得且，求解的值后结合二次函数的性质可得答案； （2）结合（1）的结论，根据二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数， 且， 解得或，即m的值为7或. 当时，，函数图象开口向下， ∴当m为时，函数图象开口向下，此时当时，y随着x的增大而减小； （2）解：当时，，函数图象开口向上，函数有最小值， ∴当m为7时，函数有最小值，当时，y随着x的增大而增大． 【题型六】二次函数y = +k的图象 【例6】（24-25九年级上·山东济宁·期中）在下列二次函数中，其图象对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，分别求出各选项中抛物线的对称轴，进行判断即可． 【详解】解：A、的对称轴为直线，不符合题意； B、的对称轴为直线，不符合题意； C、的对称轴为直线，不符合题意； D、的对称轴为直线，符合题意； 故选D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向． 【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·黑龙江七台河·期末）下列各点不在抛物线图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．分别计算出自变量为，2，，0的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断． 【详解】A、把代入得，故点在抛物线图象上,不符合题意； B、把代入得，故点在抛物线图象上,不符合题意； C、把代入得，故点不在抛物线图象上,符合题意； D、把代入得，故点在抛物线图象上,不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数 (a，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型七】二次函数y = +k的性质 【例7】（23-24九年级上·全国·课后作业）函数与的图象的不同之处是（    ） A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状 【答案】C 【分析】的形状是抛物线，对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为，再逐一分析即可． 【详解】解：的形状是抛物线，对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为； 的形状是抛物线，对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为； 而且两条抛物线的形状相同； 故C符合题意；A，B，D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，掌握的图象与性质是解本题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数． 【详解】解∶ 因为抛物线的图象开口向下， 所以，即． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线有最高点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 【题型八】二次函数y = +k图象的平移 【例8】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质及二次函数的平移．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵抛物线， ，即开口向下，故A选项错误； ∵将抛物线向右平移3个单位得到，故B选项错误； ∵， ∴对称轴是直线，故C选项正确； 线的顶点坐标为，故D选项错误． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·上海静安）抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律可得平移后的抛物线解析式，由此即可得出答案． 【详解】抛物线向上平移5个单位所得抛物线为， 则其顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律、二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键 【变式2】（23-24九年级上·天津津南·阶段练习）抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 【答案】 下 轴(或) 低 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 【题型九】二次函数的图象 【例9】（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）抛物线的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．把点的坐标代入判断即可． 【详解】解：A、时，，故选项A不合题意； B、时，，故选项B符合题意； C、时，，故选项C不合题意； D、时，，故选项D不合题意； 故选：B． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·安徽合肥·期中）抛物线y=-(x-1)的图像一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】D 【分析】由函数解析式可知，抛物线开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标（1，0），与y轴交于负半轴，画出函数大致图象，判断不经过的象限． 【详解】解：如图， ∵a=1＞0，抛物线开口向下，顶点坐标（1，0），对称轴为x=1，与y轴交于（0，-1）， ∴抛物线经过三、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限是解决问题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 【题型十】二次函数的性质 【例10】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．拋物线形状相同 D．顶点都在轴上 【答案】D 【分析】根据抛物线性质进行解答即可． 【详解】解：A．抛物线的顶点，抛物线的顶点是，故选项错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴是，抛物线的对称轴是y轴，故选项错误，不符合题意； C．∵抛物线与的a的值不同，拋物线形状不同，故选项错误，不符合题意； D．抛物线的顶点，抛物线的顶点是，顶点都在轴上，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，根据二次函数增减性即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴离对称轴直线越远，值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线，当时，函数有最大值，则当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】当时，随的增大而减小 【分析】根据抛物线当时，函数有最大值，可得，，进而，即可求解． 【详解】解：∵当时，函数有最大值， ∴，， ∴当时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型十一】二次函数图象的平移 【例11】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）若将抛物线的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的是（    ） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是根据抛物线的解析式确定顶点坐标．先求出两条抛物线的顶点坐标，进而确定平移方法． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 将平移到，平移的方法可以是：将抛物线向左平移个单位， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律可得平移后所得到的抛物线的解析式，由此即可得． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的抛物线的解析式为，即为，其顶点坐标为， ∵抛物线关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点是同一点， ∴关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位后，对称轴是轴，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 先求出抛物线向右平移3个单位后的解析式，再根据对称轴方程即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，得到， ∵对称轴是轴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【题型十二】二次函数+k的图象 【例12】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，其图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，通过顶点式可得到对称轴． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，解题关键是确定抛物线的顶点坐标．本题应根据抛物线的顶点的位置求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点在第一象限， ∴在第四象限， 故选：D ． 【变式3】（23-24九年级上·北京海淀）如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得出顶点位置及开口方向，进而根据各选项得出答案． 【详解】解：由图象可得二次函数顶点坐标位于第三象限且开口向下则，所以： A、的顶点为，故本选项不符合题意； B、的，则图象开口向上，故本选项不符合题意； C、的顶点在第三象限且，故选项符合题意； D、的顶点为在第四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，根据图象得出顶点位置及开口方向是解题关键． 【题型十三】二次函数+k的性质 【例13】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最大值2 D．当时，随增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、二次函数的图象的顶点为，故本选项说法错误； B、令，则，该方程没有实数解 ， ∴二次函数的图象与x轴没有交点，故本选项说法错误； C、∵二次函数的图象开口向上，顶点为， ∴函数y有最小值，为，本选项说法错误； D、∵二次函数的图象开口向上，故对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确． 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质．根据题意可得对称轴为，继而利用对称性可得点关于对称轴对称的点为，后利用二次函数增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵，，在函数（m为常数）的图象上， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数，若时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令和，求出y的值，即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴当时，y有最大值，且． 当时，， 当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大； (3)当时，有最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 【详解】（1）解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 【题型十四】二次函数+k图象的平移 【例14】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 得 ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 故选：A 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 【变式3】（24-25九年级下·湖南益阳·阶段练习）把抛物线向下平移个单位，得到的抛物线与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的平移，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移法则：左加右减，上加下减是解题的关键．先利用二次函数的平移得到新解析式，再令时求出值即可解决． 【详解】解：抛物线向下平移个单位， 得到的抛物线解析式为， 当时，， ∴得到的抛物线与轴交点坐标为， 故答案为：． 【题型十五】用“一般式”求二次函数解析式 【例15】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确列出方程组求解是关键． 将点，，代入解析式解方程组即可确定答案． 【详解】解：将点，，代入， 得， 解得， ， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·山东日照·期中）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，A不正确； B、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，B不正确； C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上， ∴当时，，故C正确； D、，二次函数的最小值是，D不正确； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期末）若一个二次函数的图象经过、、三点，则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．设二次函数的解析式为，把、、三点代入解析式求解即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把、、三点代入得 ， 解得． 则抛物线解析式为． 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一个二次函数的图像经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入，列出方程组求解即可． 【详解】解：设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过、、三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：． 【题型十六】用“顶点式”求二次函数解析式 【例16】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数的解析式．明确抛物线的形状和开口方向相同时，两个函数的二次项系数相同是解题关键．根据顶点坐标设函数解析式为，再根据抛物线的形状和开口方向相同，确定的值，即可得到答案． 【详解】解：某抛物线的顶点坐标是， 设它的函数解析式为， 它的形状和开口方向与抛物线相同， ， 它的函数解析式为， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数解析式，由二次函数图像的顶点坐标为，设二次函数顶点式，将代入，再解方程即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数顶点式， 图像过点， ，解得， 该二次函数的解析式是， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·云南保山·阶段练习）与抛物线的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 设所求的抛物线解析式为，由二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系及各项已知条件可知，，，于是可得答案． 【详解】解：设所求的抛物线解析式为， 所求的抛物线与抛物线的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为， ，，， 所求的抛物线解析式为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将代入计算即可确定出抛物线解析式． 【详解】解：∵顶点坐标为，设二次函数解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴这个二次函数解析式为． 【题型十七】用“交点式”求二次函数解析式 【例17】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， 设该抛物线的表达式为． ∵与y轴交于点，代入得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·山东德州·期中）抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，及用交点式求函数解析式，明确a决定抛物线的开口方向和形状是解题关键．根据题意可设抛物线的交点式，再由两抛物线形状及开口相同得到a相同，从而确定解析式即可． 【详解】解：由题意设抛物线的交点式为：， ∵该抛物线的形状和开口与相同， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 整理得：， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，利用两点式设出函数解析式，根据两条抛物线的形状、开口方向相同，得到，即可． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴设抛物线的解析式为：， ∵一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3】（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）抛物线与轴的两个交点坐标分别为，，其形状及开口方向与抛物线相同，则的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可设抛物线的交点式，再由两抛物线形状及开口相同得到a相同，从而确定解析式即可． 【详解】由题可设抛物线的交点式为：， ∵该抛物线的形状和开口与相同， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，以及用交点式求函数解析式，明确a决定抛物线的开口方向和形状是解题关键． 【题型十八】把二次函数的一般式化为顶点式 【例18】（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，将抛物线方程化为顶点式是解题的关键． 由得到二次函数的顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：， 二次函数的顶点坐标是， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据完全平方公式进行配方得到顶点式即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·河北承德·期末）通过配方，把二次函数化为的形式 ，顶点坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查将一般式化为顶点式，利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式的性质，写出顶点坐标即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将二次函数化为顶点式，并说明其开口方向、对称轴方程及最小值． 【答案】；开口向上；； 【分析】先将二次函数化为顶点式，然后根据二次函数的图象与系数的关系说明其开口方向，再根据的图象与性质说明其对称轴方程及最小值即可． 【详解】解：， ， 抛物线开口向上， 其对称轴为直线， 当时，取得最小值，其最小值为． 【点睛】本题主要考查了把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【题型十九】二次函数的图象的平移 【例19】（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线为． 故选：A 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据先化为顶点式，然后抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期末）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律，求得平移后的函数图象为，再将选择支中的点分别代入验证即可． 【详解】解：， 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 点符合题意，点不符合题意， 当时，， 点不符合题意， 当时，， 点不符合题意． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·河南许昌·期末）将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，的图象与性质，坐标与图形变化—平移等知识点，熟练掌握“左减右加，上加下减”的平移规律是解题的关键． 先得到二次函数的顶点坐标，然后按照“左减右加，上加下减”的平移规律求出其向右平移2个单位长度后的顶点坐标，于是得解． 【详解】解：， 其顶点坐标为， 向右平移2个单位长度后的顶点坐标为，即， 故答案为：． 【题型二十】二次函数的图象 【例20】（2024九年级下·全国·专题练习）若，则一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与二次函数图象的判定，根据两函数图象与轴的交点是同一点，判定D错误；由，分两种情况：根据抛物线开口向上，对称，对称轴在轴右侧，一次函数图象过第一、三象限，可判定A错误， C正确；若抛物线的开口向下，对称轴，对称轴在轴左侧，可判定B错误． 【详解】解：一次函数与二次函数的图象与轴的交点是同一点，故选项D错误； ， 若，则抛物线开口向上，对称轴，对称轴在轴右侧，一次函数图象过第一、三象限，因此，选项A错误，选项C正确； 若抛物线的开口向下，对称轴，对称轴在轴左侧，因此，选项B错误； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·新疆喀什·期中）一个二次函数的图像如图所示，该二次函数二次项系数a的值可能是（     ）    A．2 B． C． D．2.1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象的开口向下， ∴， ∴该二次函数二次项系数a的值可能是， 故选：C． 【变式2】（22-23九年级上·北京·期中）二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，点在二次函数的图像上，故选项B、C不符合题意；然后从对称轴与b的取值来分析，可知符合题意的选项． 【详解】解：当时，， 点在二次函数的图像上， 选项B、C不符合题意； 二次函数的对称轴为：， 对于选项A：当时，可知，故对称轴在y轴的左侧，故选项A不符合题意； 对于选项D：当时，观察图像可知，故对称轴在直线的左侧，故选项D符合题意； 故选D． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【变式3】（22-23八年级下·天津·期中）五点法画出函数的图象． (1)根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； x 0 1 2 3 y (2)在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了求函数值，画二次函数的图象，解题的关键是数形结合． （1）把自变量的值代入函数式中，可以求得对应的函数值； （2）描点、连线得到二次函数的图象 【详解】（1）解：填表如下： x 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 （2）解：画出抛物线如下： 【题型二十一】二次函数的性质 【例21】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于抛物线的图像与性质，下列结论错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．该抛物线与轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、抛物线与抛物线二次项系数相等，所以形状相同，该选项正确，故不符合题意； B、该抛物线对称轴为，该选项正确，故不符合题意； C、该抛物线的对称轴为，开口向下，所以当时，随的增大而减小，该选项正确，故不符合题意； D、因为，顶点坐标为，开口向下，所以与轴有交点，故该选项错误，故符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为10，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，y的最大值为10，可得时，，即可求出a. 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵时，y的最大值为10， ∴时，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴是直线． (1)求此二次函数的表达式． (2)求二次函数的最大值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的对称轴可得的值，再将点代入可得的值，由此即可得； （2）将二次函数的解析式化成顶点式即可得； （3）先求出当时，；当时，；当时，，再结合二次函数的图象即可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 将点代入二次函数得：， 解得， ∴此二次函数的表达式为． （2）解：二次函数， ∵这个抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取得最大值，最大值为． （3）解：对于二次函数， 当时，；当时，， 由二次函数的对称性可知，当时，， 画出函数的大致图象如下： ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，且， ∴结合函数图象可知， 【题型二十二】二次函数的图象与系数的关系 【例22】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．，故，即可判断A；抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，即可判断B；抛物线和x轴有两个交点，即可判断C；从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，即可判断D． 【详解】解：A．从函数图象看，，故，故A错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意； C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误，不符合题意； D．从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，正确，符合题意， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列结论：①点在抛物线上；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 易得抛物线过点，对称性得到抛物线过点，①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】解：①∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∵抛物线的对称轴为， ∴抛物线过点， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即．故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ，故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 ，故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤， 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断的正负． 【详解】解：∵图象开口方向向上， ∴， ∵图象的对称轴在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）二次函数 的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，把一般式配方为顶点式是关键．把二次函数配方即可求得顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得二次项系数，据此判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同， ∴二次项系数， 故选：． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 4．（22-23九年级上·山东临沂·期中）抛物线与抛物线的相同点是（　　） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与各系数之间的关系即可解答． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点为， 抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点是， ∵二次项系数决定抛物线的开口方向和形状， ∴抛物线与抛物线的开口方向相反，但是形状大小相同， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象与各系数的关系是解题关键． 5．（24-25八年级下·北京·期中）已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据的范围确定的范围，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，， ∴关于的对称点为：， ∵， ∴； 故选C 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数的与的部分对应值如下表，那么关于它的图象，下面判断错误的是（   ） x 1 5 y 0 5 9 5 A． B．关于的一元二次方程有两个相等的实数根 C．当时，的取值范围为 D．若点均在该二次函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键．利用待定系数法求出的值即可判断A，利用根的判别式即可判断B，利用二次函数的性质可判断C，将值代入解析式求出值，比较大小即可判断D． 【详解】解：把代入， 得，解得：， ∴，故A正确，不符合题意； 当时，， ， ， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故B正确，不符合题意； ， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值 9 ，如图所示， ∴当时，的取值范围为，故C错误，符合题意； 当时，， 当时，， 当时，， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为（，为常数）是解本题的关键． 根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴． 故答案为：2． 8．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知点，是抛物线上的两点，则，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线为，从而抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 10．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线．当时，函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，得到二次函数的最大值为，结合题意，得到且到1的距离小于等于到1的距离，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∴当时，函数值有最大值， ∵， ∴当时，， ∵当时，且， ∴且到1的距离小于等于到1的距离， ∵和关于直线对称， ∴； 故答案为：． 11．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设A（﹣1，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2a上的三点，则y1，y2，y3由小到大关系为 ． 【答案】y3＜y1＜y2 【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵而B（0，y2）在对称轴上，A（﹣1，y1）到对称轴的距离比C（2，y3）近， ∴y3＜y1＜y2． 故答案为：y3＜y1＜y2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；．其中正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下，结合图知，当时，得即可判断①，由对称轴对称轴的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴，，得，进而得，即可判断③，由，，可得，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 14．（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 15．（24-25九年级下·福建厦门·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点． (1)求的值，并写出和的数量关系； (2)若的面积是的面积的倍，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，可得的值，根据对称轴公式可得和的数量关系； （2）根据点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，可得点坐标，结合的面积是的面积的倍，可得抛物线顶点坐标，设抛物线的顶点式，把点坐标代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ， 对称轴为直线， ， 即； （2）解：点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点， ， ， ， 的面积是的面积的倍，顶点为，对称轴为直线， 在抛物线对称轴上的高为，即， 设抛物线的解析式为， 又抛物线经过点， ， 即， 抛物线的解析式为． 16．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$