2025年中考数学总复习课件 第五章　图形的变换

第五章　图形的变换 第30课时　图形的相似 图形与几何 1. （2023·金昌）若 ＝ ，则ab的值为（　A　） A. 6 B. C. 1 D. A 2. 我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为 .如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D. 若BC＝2，则CD的长为（　A　） A. －1 B. －3 C. ＋2 D. 第2题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3. 已知△ABC的三边长分别为2、3、4，另有一个与它相似的三角形为△DEF，其最长边的长为12，则△DEF的周长为（　C　） A. 54 B. 36 C. 27 D. 21 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2024·绥化）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0）、A（3，0）、B（3，2）、C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　D　） A. （9，4） B. （4，9） C. D. 第4题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2024·陕西）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H. 若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（　B　） A. 2 B. 3 C. D. 第5题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2023·哈尔滨）如图，AC、BD相交于点O，AB∥CD，M为AB的中点，MN∥AC，交BD于点N. 若OD∶OB＝1∶2，AC＝12，则MN的长为（　B　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 第6题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 如图，△ABC和△ADP均为等边三角形，点P在边AC上，连接CD、BP，延长BP交CD于点E，连接AE. 下列结论错误的是（　C　） A. ∠BED＝120° B. PA·PC＝PB·PE C. △BPC∽△DEP D. △DCA∽△ABE 第7题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：∵ △ABC和△ADP均为等边三角形，∴ AB＝AC＝BC，AD＝DP＝AP，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝∠DAP＝∠ADP＝∠APD＝60°.在△DAC和△PAB中， ∴△DAC≌△PAB. ∴ ∠DCA＝∠PBA. ∵ ∠CEP＋∠EPC＋∠DCA＝180°， ∠PAB＋∠APB＋∠PBA＝180°，∠EPC＝∠APB，∴ ∠CEP＝∠PAB＝60°.∴ ∠BED＝120°.∴选项A正确.在△EPC和△APB中， ∵ ∠EPC＝∠APB， ∠PCE＝∠PBA，∴ △EPC∽△APB. ∴ ＝ .∴ PA·PC＝PB·PE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ ∠AEP＝∠PCB＝60°.∴ ∠DAC＝∠AEB. 在△DCA和△ABE中，∵ ∠DCA＝∠ABE，∠DAC＝∠AEB， ∴ △DCA∽△ABE. ∴ 选项D正确. ∴ 选项B正确.易知∠APB＞60°，∴ ∠BPC＞120°.而∠DEP＝120°，∴ ∠BPC≠∠DEP. ∴ △BPC∽△DEP不成立.∴ 选项C错误.∵ ＝ ，∴ ＝ .又∵ ∠EPA＝∠CPB，∴ △EPA∽△CPB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高，他们在某一时刻测得高为2米的标杆的影长为1.2米，此时旗杆的影长为7.2米，则旗杆的高为 　12　米. 12 9. （2024·乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O. 若 ＝ ，则 ＝ 　​ 　. 第9题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N. 若AC＝2，则MN的长为 　 　. 第10题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. （2024·重庆A卷）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F. 若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝ 　3 　. 第11题 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 如图，将三个相同的正方形拼成矩形ABGH，则∠1＋∠2的度数为 　45°　. 第12题 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2024·眉山）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE，分别交BD、CD于点F、G，则FG的长为 　 　. 第13题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：∵ 菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，∴ AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°.∴ ∠DCE＝60°.∵ DE⊥BC， ∴ ∠DEC＝90°.∴ ∠CDE＝90°－∠DCE＝30°.∴ 在Rt△DCE中，易得CE＝3，DE＝3 .∴ BE＝BC＋CE＝9.∵ AD∥BE， ∴ ∠ADE＝180°－∠DEC＝90°.在Rt△ADE中，AE＝ ＝3 .∵ AD∥BE，∴ △AFD∽△EFB. ∴ ＝ ＝ ＝ .∴ AF＝ AE＝ .∵ AD∥CE，∴ △AGD∽△EGC. ∴ ＝ ＝ ＝2.∴ AG＝ AE＝2 .∴ FG＝AG－AF＝2 － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图，在▱ABCD中，E为边BC上一点，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. 求证：△ADF∽△DEC. 第14题 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴ ∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC. ∵ ∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴ ∠AFD＝∠C. ∴ △ADF∽△DEC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如果两个一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）和y＝k2x＋b2（k2≠0）满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图，函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝－2x＋4是“平行一次函数”. 第15题 （1） 若一次函数y＝kx＋b的图像过点（3，1）， 求b的值； 由题意，得k＝－2.把（3，1）和k＝－2 代入y＝kx＋b，得1＝－2×3＋b.∴ b＝7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2） 若一次函数y＝kx＋b的图像与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1∶2，求函数y＝kx＋b的表达式. ∵ 相似比为1∶2，∴ 分情况讨论：① 当函数y＝kx＋b的图像不经过第三象限时，过点（1，0）、（0，2）.∴ 解得 ∴ y＝－2x＋2.② 当函数y＝kx＋b的图像不经过第一象限时，过点（－1，0）、（0，－2）.∴ 解得 ∴ y＝－2x－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第五章　图形的变换 第31课时　锐角三角函数 图形与几何 1. 如图，AB是☉O的直径，点C和点D在☉O上，且分别位于AB的两侧.若BC＝2AC，则 cos ∠BDC的值为（　D　） A. B. 2 C. D. 第1题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2. （2023·攀枝花）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a＝6，b＝8，c＝10，则 cos A的值为（　C　） A. B. C. D. C 3. （2024·武威凉州一模）如图，△ABC的顶点为正方形网格的格点，则 sin A的值为（　D　） A. B. C. D. 第3题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4. （2024·宜兴一模）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，则 cos B的值为（　D　） A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5. 如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　C　） A. 3 B. 3 C. 6 D. 3 第5题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB，交AC的延长线于点P. 若点P的坐标为（1，1），则tan∠OAP的值为（　C　） A. B. C. D. 3 第6题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7. （2024·无锡惠山模拟）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0），现将△ABO绕点B按逆时针方向旋转.当线段AB第一次与y轴平行时，点A落在点A'处，点O落在点O'处，此时tan∠OAO'的值为（　A　） A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，则 sin B＝ 　 　.　 第8题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝  　2　.　　 第9题 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10. （2024·盐城东台模拟）如图，∠α的一边OP⊥AB，直线AB对应的函数表达式为y＝－ x＋ ，则 cos α＝ 　​ 　 . 第10题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11. （2023·宿迁）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C三点都在格点上，则 sin ∠ABC＝ 　 　. 第11题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12. 如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0， ），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 　（4， ）　. 第12题 13. 在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4 ，BC＝5，则△ABC的面积为 　2或14　.　　 （4， ） 2或14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14. （2024·连云港连云一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C均在格点上，D是AB与网格线的交点，连接CD，则 sin 的值是 　​ 　 . 第14题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析：如图.由题意，得AC2＝12＋22＝5，BC2＝22＋42＝20，AB2＝32＋42＝25.∴ AC＝ ，AB＝5，AC2＋BC2＝AB2.∴ △ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.∵ BE＝EF，DE∥AF，∴ BD＝AD. ∴ CD＝BD＝ AB. ∴ ∠CBD＝∠BCD. ∵ ∠CDA＝∠BCD＋∠CBD， ∴ ∠CDA＝2∠CBD. ∴ sin ＝ sin ∠CBD＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15. （2024·沭阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AC的中点，BD＝5， cos ∠BDC＝ .求线段CD的长和tanA的值. 第15题 ∵ ∠C＝90°， cos ∠BDC＝ ，∴ ＝ . ∵ BD＝5，∴ CD＝3.∴ BC＝ ＝4. ∵ D是边AC的中点，∴ AC＝2CD＝6. ∴ tanA＝ ＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. 如图，A、B、D三点在同一条直线上，CD⊥AD，∠A＝45°，∠CBD＝75°，AB＝60 .求： 第16题 （1） ∠ACB的度数； ∵ ∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠A＝45°， ∠CBD＝75°，∴ ∠ACB＝75°－45°＝30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2） 线段BC的长. 如图，过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHA＝∠BHC＝90°.∵ AB＝60 ，∠A＝45°，∴ BH＝AB· sin 45°＝60.∵ ∠BCH＝30°，∴ BC＝2BH＝120 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17. （2023·上海崇明模拟）如图，D是△ABC边AC上的一点，CD＝2AD，AE⊥BC，垂足为E，AE＝9， sin ∠CBD＝ . 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （1） 求BD的长； 如图，过点D作DF⊥BC于点F. ∵ AE⊥BC，∴ DF∥AE. ∴ ＝ .∵ CD＝2AD，CD＋AD＝CA，∴ ＝ .∵ AE＝9，∴ DF＝6.∵ sin ∠CBD＝ ＝ ，∴ BD＝8 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2） 若BD＝CD，求tan∠BAE的值. ∵ BD＝CD，DF⊥BC，∴ BF＝CF. 由（1），知DF＝6，BD＝8，∴ BF＝CF＝ ＝2 .∵ DF∥AE，CD＝2AD，∴ CF＝2EF. ∴ EF＝ .∴ BE＝BF－EF＝2 － ＝ .∴ tan ∠BAE＝ ＝ 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$第五章　图形的变换 第五章自主测试 图形与几何 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1. （2023·自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为（　B　） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2. （2023·淮安）如图所示为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（　B　） A. 12π B. 15π C. 18π D. 24π 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3. （2023·南充）如图，将△ABC沿BC向右平移，得到△DEF. 若BC＝5，BE＝2，则CF的长为（　A　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 第3题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4. （2024·南京雨花台模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论中，错误的是（　B　） A. ∠BDE＝∠BAC B. ∠BAD＝∠B C. DE＝DC D. AE＝AC 第4题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5. （2024·湖南）如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点.下列结论中，错误的是（　D　） A. DE∥BC B. △ADE∽△ABC C. BC＝2DE D. S△ADE＝0.5S△ABC 第5题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6. 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P是线段BC上一动点，M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM长的最小值为（　D　） A. B. C. － D. －2 第6题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7. （2023·十堰）如图，某天桥的高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到点D处，使∠D＝30°，则CD的长约为（参考数据： ≈1.732）（　D　） A. 1.59米 B. 2.07米 C. 3.55米 D. 3.66米 第7题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A'B'C'.在旋转过程中，Rt△ABC扫过区域的面积为（　A　） A. 25π＋24 B. 5π＋24 C. 25π D. 5π 第8题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、 填空题（每小题3分，共30分） 9. 已知 ＝ ＝ ，则 ＝ 　​ 　 . 10. （2023·常州）在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD. 若BD＝CD， ＝ ，则tanB＝ 　​ 　 . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，4）、（－1，1）.将△ABC先向右平移3个单位长度，得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C1，则点A2的坐标为 　（2，2）　. 第11题 （2，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12. 如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°.将△AOB绕点O按顺时针方向旋转75°，得到△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1的度数为 　50°　. 第12题 50° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13. （2024·宿迁宿豫三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，分别以A、B两点为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点M、N，画直线MN交BC于点D，交AB于点E，则CD的长为 　 　. 第13题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14. （2023·绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△AB'C'，相似比为1∶2，点A是位似中心.已知点A、C的坐标分别为（2，0）、（a，b），∠C＝90°，则点C'的坐标为 　（6－2a，－2b）　（用含a、b的式子表示）. 第14题 （6－2a，－2b） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15. 如图，DE为△ABC的中位线，F为DE的中点，连接AF并延长，交BC于点G. 若S△EFG＝1，则S△ABC＝ 　24　. 第15题 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16. （2023·潍坊）在《数书九章》中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB的长表示塔的高度，CD的长表示竹竿顶端到地面的高度，EF的长表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在同一条水平直线上.已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，则塔的高度为 　18.2　米. 18.2 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17. 如图，无人机在离地面20 m的点D处，测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼顶部点C的俯角为45°.已知操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80m，则教学楼BC的高度为 　（20 －20）　m. 第17题 （20 －20） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ＋ ＝ ，∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2 ，则斜边AB的长是 　3 　. 3 解析：如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F. ∵ ∠ACB＝90°，∴ 四边形DECF是矩形.∵ ∠ACB的平分线交AB于点D，∴ ∠DCF＝45°.∴ △CFD是等腰直角三角形. ∴ CF＝DF. ∴ 四边形DECF是正方形. ∴ DE＝EC＝CF＝FD＝CD· sin 45°＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵ tanA＝ ，tanB＝ ， ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝ ，即 ＝ .又∵ AC2＋BC2＝AB2，∴ ＝ .在Rt△ADE中，AE＝ ＝ ；在Rt△BDF中，BF＝ ＝ .∴ AC·BC＝ ＝4（1＋ ＋ ＋1）＝4× ＝18.∴ ＝ .∴ AB＝3 .∴ 斜边AB的长是3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、 解答题（共46分） 19. （8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4）、B（0，2）、C（3，2）. 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （1） 将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1. 如图，△A1B1C1即为所求作 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 将△ABC平移后得到△A2B2C2，点A的对应点A2的坐标为（2，2），画出△A2B2C2，并连接A1C2、C1C2.在（1）的条件下，求△A1C1C2的面积. 如图，△A2B2C2、A1C2、C1C2即为所求作 △A1C1C2的面积＝4×8－ ×3×2－ ×2×8－ ×4×5＝11 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20. （8分）（2023·山西原平模拟）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E. 第20题 （1） 尺规作图：过点A作BE的垂线，分别交BE、BC于点F、G（不写作法，保留作图痕迹）； 如图，FG即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 由（1），试猜想线段AE与BG的数量关系，并加以证明. AE＝BG ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠CBE＝∠AEB. ∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE. ∴ ∠ABE＝∠AEB. ∴ AB＝AE. ∵ AF⊥BE，∴ ∠AFB＝∠GFB＝90°.在△ABF和△GBF中， ∴ △ABF≌△GBF. ∴ AB＝BG. ∴ AE＝BG 第20题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21. （10分）（2023·苏州）如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径，AC＝ ，BC＝2 ，点F在AB上，连接CF并延长，交☉O于点D，连接BD，过点B作BE⊥CD，垂足为E. 第21题 （1） 求证：△DBE∽△ABC； ∵ AB为☉O的直径，∴ ∠ACB＝90°.∵ BE⊥CD， ∴ ∠DEB＝90°.∴ ∠DEB＝∠ACB. ∵ ∠BDE＝∠BAC，∴ △DBE∽△ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 若AF＝2，求DE的长. 如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G. ∵ ∠ACB＝90°，AC＝ ，BC＝2 ，∴ AB＝ ＝5.∵ CG⊥AB，∴ AG＝AC· cos A＝AC· ＝1.∵ AF＝2，∴ FG＝AG＝1.∴ AC＝FC. ∴ ∠CAF＝∠CFA. 又∵ ∠CFA＝∠BFD，∠CAF＝∠BDF， ∴ ∠BFD＝∠BDF. ∴ BD＝BF＝AB－AF＝3. ∵ △DBE∽△ABC，∴ ＝ .∴ DE＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22. （10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E是边DC上的任意一点（不与点D、C重合），连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，设DE＝a. 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （1） 求BF的长（用含a的代数式表示）. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°. ∴ ∠ABF＝90°，∠EAD＋∠BAE＝90°.∵ AF⊥AE，∴ ∠FAB＋∠BAE＝90°.∴ ∠FAB＝∠EAD. ∵ ∠ABF＝∠D， ∴ △ABF∽△ADE. ∴ ＝ .∵ AB＝8， AD＝4，DE＝a，∴ BF＝ ＝2a 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 连接EF，交AB于点G，连接GC. 当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形. 如图，连接AC，交EG于点O. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB∥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD＝8，∠ABC＝90°.∴ ∠FBG＝90°.∴ ∠ABC＝∠FBG. ∵ GC∥AE，AB∥CD，∴ 四边形AGCE是平行四边形.∴ AG＝CE. ∴ AB－AG＝CD－CE，即BG＝DE＝a.∵ BF＝2a，∴ ＝ ＝ .∵ ＝ ，∴ ＝ ， 即 ＝ .∵ ∠ABC＝∠FBG，∴ △ABC∽△FBG. ∴ ∠FGB＝∠ACB. ∵ ∠GFB＋∠FGB＝90°， ∴ ∠GFB＋∠ACB＝90°.∴ ∠FOC＝90°， 即AC⊥GE. ∴ 四边形AGCE是菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23. （10分）（2024·江西）世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑的造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成.已知AD∥EF，AM、DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M、E、F、N在同一条直线上.经测量，ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°，求（精确到0.1 m，参考数据： sin 62°≈0.88， cos 62°≈0.47，tan62°≈1.88）： 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （1） “大碗”的口径AD的长； ∵ AM⊥MN，DN⊥MN，∴ ∠AMN＝∠DNM＝90°. ∵ AD∥MN，∴ ∠DAM＝180°－∠AMN＝90°.∴ 四边形AMND是矩形.∴ AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0（m）.∴ “大碗”的口径AD为80.0m 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） “大碗”的高度AM. 如图，延长CB交AM于点G. 由题意，得BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°.∵ ∠ABE＝152°， ∴ ∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝62°.在Rt△ABG中，AG＝BG·tan62°≈20.0×1.88＝37.6（m）.∴ AM＝AG＋MG＝37.6＋2.4＝40.0（m）.∴ “大碗”的高度AM约为40.0m 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $$第五章　图形的变换 第32课时　锐角三角函数的应用　 练习1　仰角、俯角、坡角、坡度 图形与几何 1. （2024·无锡惠山三模）一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（　C　） A. 1∶2 B. ∶2 C. 1∶ D. ∶1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式，商场的层高AB＝6m，∠ACB＝45°，改造后扶梯AD的坡度为1∶2，则改造后扶梯AD相比改造前扶梯AC增加的长度为（　D　） A. 6m B. （12－6 ）m C. （6 －4 ）m D. （6 －6 ）m 第2题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. （2023·深圳）爬坡时坡面与水平面的夹角为α，则每爬1m耗能（1.025－ cos α）J. 若某人爬了1000m，坡角为30°，则他耗能约为（参考数据： ≈1.732， ≈1.414）（　B　） A. 58J B. 159J C. 1025J D. 1732J B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，要测量分别位于一条河两岸的点A、B之间的距离，可以在岸边取点C、D，使点B、C、D共线，且BD⊥AB，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（参考数据： sin 56.3°≈0.8， cos 56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5， sin 45°≈0.7， cos 45°≈0.7，tan45°＝1）（　B　） A. 15m B. 30m C. 35m D. 40m 第4题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°（小明的身高忽略不计），则山高为（　B　） A. （600－250 ）米 B. （600 －250）米 C. （350＋350 ）米 D. 500 米 第5题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. （2024·德阳）如图，小李要测量建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的楼房AB，他在楼底B处测得C处的仰角为60°，在楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，点B、D在同一水平线上），则建筑物CD的高度为（　B　） A. 20米 B. 15米 C. 12米 D. （10＋5 ）米 第6题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. （2023·济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高为1m（AC＝BD＝1m）的测角仪在点A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在点B处测得仰角为60°，则该建筑物的高度为 　（15 ＋1）　m. 第7题 （15 ＋1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，某市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC的长为6m，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为 　6 　m. 第8题 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. （2024·武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.如图，无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则黄鹤楼的高度约为 　51　m（参考数据：tan63°≈2）. 第9题 51 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，为解决停车难的问题，在一段长为56m的路段开辟停车位，每个车位都是长为5m、宽为2.2m的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，则该路段最多可以开辟 　17　个这样的停车位（参考数据： ≈1.4）. 第10题 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （2023·内江）如图，某中学依山而建，校门点A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长为30米，在坡顶点B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离点B 4米远的点E处测得楼顶C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求CD的长. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，设点B到AD的距离为BG的长.在Rt△ABG中，BG＝AB· sin ∠BAG＝30× ＝15（米）.∴ 易得DF＝15米.设BF＝x米，则EF＝（x－4）米.∵∠CBF＝45°，CF⊥BF，∴易得CF＝x米.在Rt△CEF中，tan ∠CEF＝ ＝ ＝ ，∴ x＝6＋2 .∴ CD＝DF＋CF＝15＋6＋2 ＝（21＋2 ）米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，该河EF旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1∶0.7，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°（参考数据： sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86，tan31°≈0.60）. 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1） 求山脚A到河岸E的距离； 在Rt△ABC中，BC＝80m，AB的坡度i＝1∶0.7，∴ ＝ .∴ AC＝56m.在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°， ∴ ∠CBE＝90°－∠BEC＝90°－45°＝45°.∴ ∠BEC＝∠CBE. ∴ CE＝BC＝80m.∴ AE＝CE－AC＝80－56＝24（m）.∴ 山脚A到河岸E的距离为24m 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若在此处建桥，试求河宽EF（精确到0.1m）. 在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝ ≈0.6，∴ CF≈133.33m.∴ EF＝CF－CE＝133.33－80＝53.33≈53.3（m）.∴ 河宽EF约为53.3m 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第五章　图形的变换 第32课时　锐角三角函数的应用　 练习2　与几类常见角有关的实际问题 图形与几何 1. （2023·长春）如图，从图书馆的楼顶拉出一根彩旗绳AB到地面，彩旗绳与地面的夹角∠BAC＝25°，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆底端C处相距32米（AC＝32米），则彩旗绳AB的长为（　D　） A. 32 sin 25°米 B. 32 cos 25°米 C. 米 D. 米 第1题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. （2024·深圳）如图，为了测量电子厂AB的高，小明用高为1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5 m处用高为1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高约为（ 参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan53°≈ ）（　A　） A. 22.7 m B. 22.4 m C. 21.2 m D. 23.0 m 第2题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测得P、Q两点之间的距离为m米，∠PQT＝α，则河的宽度PT为（　C　） A. m sin α米 B. m cos α米 C. mtanα米 D. 米 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图所示为一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂.已知OA＝OB＝a，使用时，以A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则圆规画出的圆的半径AB为（　A　） A. 2a sin θ B. a sin 2θ C. 2atanθ D. atan2θ 第4题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图，四边形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到四边形AB'C'D'，C'D'⊥AD，AD∥BC，∠D＝45°，∠DAB'＝30°，CD＝60cm，则AB的长约为（参考数据： ≈1.7）（　C　） A. 60cm B. 51cm C. 42cm D. 21cm 第5题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：如图，设AD与B'C'交于点G，过点B'作B'F⊥AD于点F，延长D'C'交AD于点E. 由旋转的性质，得∠D'＝∠D＝45°，AB'＝AB，C'D'＝CD＝60cm.∵ C'D'⊥AD，∴ ∠AED'＝90°.∴ 易得△AED'是等腰直角三角形.∴ AE＝D'E. ∵ AD∥BC，∴ AD'∥B'C'.∴ △GC'E是等腰直角三角形.∴ C'E＝GE. ∴ AE－GE＝D'E－C'E， 即AG＝C'D'＝60cm.∵ ∠FGB'＝∠C'GE＝45°，∴ 易得FG＝FB'.∵ ∠DAB'＝30°，∴ AF＝ ＝ FB'. ∴ FB'＋ FB'＝60cm. ∴ FB'＝30（ －1）cm.∴ AB＝AB'＝ ＝2FB'＝60（ －1）≈42（cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向上，距离灯塔30海里的点A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的点B处，此时该轮船与灯塔P之间的距离约为 　50　海里（参考数据： sin 37°≈ ， cos 37°≈ ，tan37°≈ ）. 第6题 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. （2023·北京朝阳模拟）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，BC＝6m，∠ABC＝27°，则房顶A离地面EF的高度约为 　5.5　m（精确到0.1m，参考数据： sin 27°≈0.45， cos 27°≈0.89，tan27°≈0.51）. 第7题 5.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. （2024·绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A处测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为 　（50＋50 ）　m. 第8题 （50＋ 50 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，则当观景视角∠MPN的度数最大时，游客P行走的距离OP是 　20 　m. 第9题 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于点E，以点F为圆心，MN长为直径作☉F. ∵ MN＝2OM＝40m，F是MN的中点， ∴ MF＝FN＝20m，OF＝40m.∵ ∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴ EF＝ OF＝20m，OE＝ ＝20 m.∴ EF＝MF. 又∵ EF⊥OB， ∴ OB是☉F的切线，切点为E. ∴ 当点P与点E重合时，观景视角∠MPN的度数最大，此时OP＝20 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. （2023·广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道.如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向上，点B、D都在点C的正北方向上，BD的长为100米，点B在点A的北偏东30°方向上，点D在点E的北偏东58°方向上（参考数据： sin 58°≈0.85， cos 58°≈0.53，tan58°≈1.60， ≈1.73）. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （1） 求步道DE的长； 如图，过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F. 由题意，得四边形ACDF是矩形.∴ DF＝AC＝170米.在Rt△EFD中，∵ ∠DEF＝58°，∴ DE＝ ≈ ＝200（米）.∴ 步道DE的长约为200米 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 点D处有一家商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近. ∵ 在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米，∴ EF＝ ≈ ＝106.25（米）.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170米，∴ BC＝AC·tan60°＝170 米，AB＝ ＝340米.∵ BD＝100米，∴ CD＝BC＋BD＝（170 ＋100）米.∵ 易知四边形ACDF是矩形，∴ AF＝CD＝（170 ＋100）米.∴ AE＝AF－EF＝170 ＋100－106.25≈287.85（米）.∴ AB＋BD＝340＋100＝440（米），AE＋DE＝287.85＋200＝487.85（米）.∵ 440＜487.85，∴ 从点A出发，经点B到达点D的路较近 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. （2024·广东）我国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图所示为矩形充电站PQMN的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个停车位的宽，所有停车位的长、宽分别相同（精确到0.1 m，参考数据： ≈1.73）. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （1） 求PQ的长； ∵ 四边形PQMN是矩形，∴ ∠Q＝∠P＝90°.∵ 在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，∴ AQ＝AB· sin ∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°.∴ ∠CBE＝30°.∴ BC＝ ＝ m.∴ AD＝ m.∵ ∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，∴ AP＝AD· cos ∠PAD＝ m.∴ PQ＝AP＋AQ＝ ≈6.1m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 该充电站有20个停车位，求PN的长. 在Rt△BCE中，BE＝ ＝3.2m.在Rt△ABQ中，BQ＝AB· cos ∠ABQ＝2.7m.∵ 该充电站有20个停车位，∴ QM＝QB＋20BE＝66.7m.∵ 四边形PQMN是矩形，∴ PN＝QM＝66.7m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第五章　图形的变换 第28课时　轴对称和中心对称 图形与几何 1. （2023·泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中，可以看成轴对称图形的是（　C　） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 如图，△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不一定成立的是（　D　） A. A、A'是对称点 B. BO＝B'O C. AB∥A'B' D. ∠ACB＝∠C'A'B' 第2题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. （2024·陕西）一个正比例函数的图像经过点A（2，m）和点B（n，－6）.若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（　A　） A. y＝3x B. y＝－3x C. y＝ x D. y＝－ x A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. （2023·金华）如图，A、B两点的坐标分别是（－3，3）、（1，2），将点B向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点B'.关于点A、B'的位置，下列描述正确的是（　B　） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点O对称 D. 关于直线y＝x对称 第4题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数为 （　C　） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 第5题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 如图，在菱形纸片ABCD中，E是边BC上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在点B'处，连接DB'.若∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠AB'D的度数为（　C　） A. 50° B. 60° C. 80° D. 90° 第6题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，半径OA＝18.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 上的点D处，折痕交OA于点C，则 的长为（　B　） A. 5π B. 4π C. 3π D. 2π 第7题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. （2023·湘西）在平面直角坐标系中，点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a＋b＝ 　1　. 1 9. （2023·宁夏）如图所示为由边长为1的小正方形组成的网格，点A、B、C、D、E、F、G均在格点上.有下列结论：① 点D与点F关于点E成中心对称；② 连接FB、FC、FE，则FC平分∠BFE；③ 连接AG，则点B、F到线段AG的距离相等.其中，正确的是 　①②③　（填序号）. 第9题 ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. （2024·常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE. 将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝ 　 　. 第10题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. （2024·绥化）如图，∠AOB＝50°，P为∠AOB内部一点，点M、N分别为射线OA、射线OB上的两个动点.当△PMN的周长最短时，∠MPN＝ 　80°　. 第11题 80° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：如图，作点P关于OA的对称点E，关于OB的对称点F，连接EO、EM、OP、FO、FN. ∴ EM＝PM，∠MPO＝∠MEO，∠EOM＝∠MOP，PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠FON. ∴ PM＋PN＋MN＝EM＋FN＋MN≥EF. ∴当点E、M、N、F共线时，△PMN的周长最短.∵ ∠EOF＝∠EOM＋∠MOP＋∠PON＋∠NOF＝2∠AOB＝100°，∴ ∠MEO＋∠OFN＝180°－100°＝80°. ∵ ∠MPO＝∠MEO，∠OPN＝∠OFN， ∴ ∠MPN＝∠MPO＋∠OPN＝80°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （2024·龙东地区）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（－1，1）、B（－2，3）、C（－5，2）. 第12题 （1） 画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； 如图，△A1B1C1即为所求作 点B1的坐标为（2，3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标； 如图， △AB2C2即为所求作 点B2的坐标为（－3，0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第12题 （3） 在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中经过的路径长. ∵ AB＝ ＝ ，∠BAB2＝90°，∴ 点B旋转到点B2的过程中经过的路径长为 ＝ π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，点E、F分别在边BC、AD上. 第13题 （1） 求证：四边形AECF是平行四边形. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ ∠CAB＝∠ACD. 由折叠的性质，得∠EAB＝∠EAC ＝ ∠CAB，∠ACF＝∠FCD＝ ∠ACD. ∴ ∠EAC＝∠ACF. ∴ AE∥CF. 又∵ AF∥EC，∴ 四边形AECF是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 当AB与AC满足怎样的数量关系时，四边形AECF是菱形？为什么？ 当AC＝2AB时，四边形AECF是菱形 ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠B＝90°. ∴ sin ∠ACB＝ ＝ ＝ .∴ ∠ACB＝30°. ∴ ∠BAC＝60°.∴ ∠BAE＝∠CAE＝30°. ∴ ∠CAE＝∠ACE. ∴ EA＝EC. ∵ 四边形AECF是平行四边形， ∴ 四边形AECF是菱形 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （2024·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E、F分别在边AB、CD上.将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE、FH. 求证： 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1） △AEH≌△CFG； ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD. ∴ ∠EAH＝∠FCG. 由折叠，可得AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°.∴ CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°.∴ AH＝CG. 在△AEH和△CFG中， ∴ △AEH≌△CFG 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 四边形EGFH为平行四边形. 由（1），知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG. ∴ EH∥FG，EH＝FG. ∴ 四边形EGFH为平行四边形 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第五章　图形的变换 第33课时　尺规作图 图形与几何 1. （2024·沧州一模）如图，AB∥CD，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB内相交于点P，画射线AP，交CD于点E. 若∠C＝70°，则∠AED的度数为（　C　） A. 140° B. 130° C. 125° D. 110° 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. （2023·吉林松原模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，分别以点A、D为圆心，以大于 AD的长为半径作弧，交于点M、N. 连接MN分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF. 若BD＝6，CD＝3，CF＝2，则AE的长为（　B　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. （2024·南通海安二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.① 分别以点A、C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；② 作直线MN，交AB于点D，交AC于点E，连接CD. 根据作图，下列结论不一定正确的是（　C　） A. CD＝AD B. AB＝2CD C. AB＝2BC D. S△ABC＝4S△ADE 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. （2024·长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点.按下列要求作图：① 以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；② 以点O为圆心，BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③ 以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB的同侧；④ 作直线OG，交AC于点M. 下列结论不一定成立的是（　D　） D A. ∠AOM＝∠B B. ∠OMC＋∠C＝180° C. AM＝CM D. OM＝ AB 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. （2023·湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线，分别交BD、AD于点M、N，则CN的长为（　A　） A. B. C. 2 D. 4 第5题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. （2024·扬州邗江二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交边BC于点D. 若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是 　8　. 第6题 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. （2024·南通二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧分别相交于M、N两点，画直线MN交AC于点E，连接BE，则∠EBC的度数为 　 27°　. 第7题 27° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. （2023·成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按下列步骤作图：① 以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；② 以点D为圆心，AM长为半径作弧，交DB于点M'；③ 以点M'为圆心，MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'；④ 连接DN'并延长，交BC于点E. 若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21，则 的值为 　​ 　 . ​ 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. （2024·宿迁）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以点B、E为圆心，大于 BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ 　10°　. 第9题 10° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. （2023·山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°.以点B为圆心，BA长为半径作弧，交边BC于点E，连接AE. 分别以点A、E为圆心，大于 AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则 的值为 　​ 　 . 第10题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. （2024·江西）AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（不写作法，保留作图痕迹）. （1） 如图①，过点B作AC的垂线； 第11题 如图①，BD即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 如图②，E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线. 第11题 如图②，直线BF即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （2024·广州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°. 第12题 （1） 尺规作图：作边AC上的中线BO（不写作法，保留作图痕迹）. 如图，BO即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 在（1）的条件下，将中线BO绕点O按逆时针方向旋转180°，得到线段DO，连接AD、CD. 求证：四边形ABCD是矩形. ∵ O是AC的中点，∴ AO＝CO. ∵ 将中线BO绕点O按逆时针方向旋转180°，得到线段DO，∴ BO＝DO，点B、O、D在一条直线上. ∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ ∠ABC＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （2024·牡丹江）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC为边向△ACB外作有一个内角为60°的菱形BCDE，对角线BD、CE交于点O，连接OA. 请作出图形，并写出△AOC的面积. 分情况讨论：① 如图①，当∠CBE＝60°时，过点O作OF⊥BC，垂足为F. ∵ 四边形BCDE是菱形，∠CBE＝60°，∴ ∠COB＝90°，∠CBO＝30°，∠OCB＝60°.∵ BC＝12，∴ OC＝ BC＝6. ∵ ∠OCB＝60°，∴ ∠COF＝30°.∴ CF＝ OC＝3. ∴ 易得△AOC的面积为 ×8×3＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ② 如图②，当∠BCD＝60°时，过点O作OF⊥BC，垂足为F. ∵ 四边形BCDE是菱形，∠BCD＝60°，∴ ∠COB＝90°，∠BCO＝30°.∵ BC＝12，∴ OB＝ BC＝6.∴ OC＝ ＝6 .∴ OF＝ OC＝3 .∴ CF＝ ＝9.∴ 易得△AOC的面积为 ×8×9＝36.综上所述，△AOC的面积为12或36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （2024·北京通州二模）如图，AB是半圆O的直径，C是 上一点，作射线AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AC、AB分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线AB、AC于点E、F. 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1） 求∠AFD的度数； 如图，连接OD. ∵ EF与半圆O相切于点D，∴ OD⊥DF. 由题意，知AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD. ∵ OA＝OD，∴ ∠BAD＝∠ADO. ∴ ∠CAD＝∠ADO. ∴ AC∥OD. ∵ OD⊥DF， ∴ DF⊥AC. ∴ ∠AFD＝90° 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 若AF＝3，∠ADF＝60°，求BD的长. 由（1），知∠AFD＝90°，∠BAD＝∠CAD. 在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，∴ ∠CAD＝30°.∴ AD＝2DF. ∵ AF＝3，AF2＋DF2＝AD2，∴ 32＋DF2＝（2DF）2.∴ DF＝ .∴ AD＝2 .∵ AB是半圆O的直径，∴ ∠ADB＝90°. ∴ ∠ADB＝∠AFD. ∵ ∠DAF＝∠BAD， ∴ △ADF∽△ABD. ∴ ＝ .∴ ＝ . ∴ BD＝2 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第五章　图形的变换 第29课时　图形的平移和旋转 图形与几何 1. （2024·无锡惠山一模）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定的度数，得到△ADE，点D在线段BC的延长线上.若∠B＝35°，则旋转的度数为（　B　） A. 100° B. 110° C. 145° D. 55° 第1题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. （2024·南京建邺二模）如图，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，m），将线段AB平移至线段CD处，点A、B分别与点C、D对应，点C、D的坐标分别为（－2，1）、（a，n），则a－m＋n的值为（　C　） A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 第2题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A、C重合），连接AA'，则∠AA'B'的度数为（　C　） A. α B. α－45° C. 45°－α D. 90°－α 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图，将△ABC竖直向上平移得到△DEF，EF与AB交于点G，G恰好为AB的中点，连接AE. 若AB＝AC＝10，BC＝12，则AE的长为（　C　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 8 第4题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 如图，将菱形ABCD绕点A按逆时针方向旋转α得到菱形AB'C'D'，∠B＝β.当AC平分∠B'AC'时，α与β满足的数量关系是（　C　） A. α＝2β B. 2α＝3β C. 4α＋β＝180° D. 3α＋2β＝180° 第5题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 在平面直角坐标系中，线段AB的端点A、B的坐标分别为（3，2）、（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（－1，2），则点B的对应点D的坐标为 　（1，2）　. （1，2） 7. （2024·自贡改编）如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为（4，－2），将Rt△OCD绕点O按逆时针方向旋转90°到△OAB的位置.则点B的坐标为 　（2，4）　. 第7题 （2，4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. （2024·滨州）一副三角尺按如图①所示的方式摆放.如图②，把三角尺AOB绕公共顶点O按顺时针方向旋转.当AB∥OD时，∠1的度数为 　75°　. 第8题 75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合.若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB＝120°，则图中涂色部分的面积为 　4　cm2. 第9题 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（－1，0），点A的坐标为（－3，3）.若点A绕点C按顺时针方向旋转90°得到点B，则点B的坐标为 　（2，2）　. 第10题 （2，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图，在平面直角坐标系中，∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）.将△ABC沿x轴向右平移，则当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过区域的面积为 　16　. 第11题 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （2024·盐城）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，D为AC的中点，连接BD，△BCD绕点B旋转得到△BEF，连接CF. 当CF∥AB时，CF的长为 　2＋ 或 －2　. 第12题 2＋ 或 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：如图，过点B作BG⊥CF于点G. ∵ ∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，D为AC的中点，∴ CD＝ ，∠ABC＝45°.∴ BD＝ ＝ .由旋转的性质，可知△DCB≌△FEB. ∴ BD＝BF＝ .∵ CF∥AB，∴ ∠ABC＝∠BCG＝45°.∴ BG＝BC· sin ∠BCG＝2.∴ CG＝ ＝2.∴ GF＝ ＝ . ∴ CF＝CG＋GF＝2＋ .当点D运动到点F'处时， CF'∥AB. 同理，可得GF'＝ ，CG＝2. ∴ CF'＝ －2.∴ CF的长为2＋ 或 －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （2023·伊春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，－1）、B（1，－2）、C（3，－3）. 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1） 将△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； 如图，△A1B1C1即为所求作 第13题 （2） 画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2； 如图，△A2B2C2即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） 根据（2），继续将△A2B2C2绕原点O按顺时针方向旋转90°，得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，并求出线段A2C2在旋转过程中扫过区域的面积. 如图，△A3B3C3即为所求作 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 连接OC3交 于点D，连接OC2交 于点E. ∵ A2（－2，－1），B2（－1，－2），C2（－3，－3），∴ OA2＝ ＝ ，OB2＝ ＝ ，OC2＝ ＝3 .∴ OA2＝OB2＝OD＝OE＝ .由旋转的性质，得OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°.∴ △OA2C2≌△OA3C3. ∴ ＝ .∴ 线段A2C2在旋转过程中扫过区域的面积＝ －S扇形DOE＝ － ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （2023·扬州）用两块相同的含30°角的三角尺开展数学探究活动，两块三角尺分别记为△ADB和△A'D'C，∠ADB＝∠A'D'C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，AB＝2.如图①，先将△ADB和△A'D'C的边AD、A'D'重合，再将△A'D'C绕点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）.在旋转过程中，△ADB保持不动，连接BC. 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1） 当α＝60°时，BC＝ 　 2　；当BC＝2 时，α＝ 　30°或210°. 解析：如图①.∵ ∠ADB＝∠A'D'C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，∴ ∠BAD＝∠D'AC＝60°.∴ 当α＝60°时，点A、D'、B共线，点A、D、C共线.∵ AB＝AC，∠BAD＝60°，∴ △ABC是等边三角形.∴ BC＝AB＝2. 2 30°或 210° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图②，当BC＝2 ，点C在BD的下方时，过点A作AH⊥BC于点H. ∵ AB＝AC，∴ BH＝CH＝ BC＝ .∴ sin ∠BAH＝ ＝ .∴ ∠BAH＝45°.同理，可得∠CAH＝45°.∴ ∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝90°.∴ α＝∠BAD＋∠D'AC－∠BAC＝60°＋60°－90°＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图③，当BC＝2 ，点C在BD的上方时，过点A作AH⊥BC于点H. 同理，可得∠BAC＝90°.∴ α＝∠BAD＋∠BAC＋∠D'AC＝60°＋90°＋60°＝210°.综上所述，当BC＝2 时，α＝30°或210°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 当α＝90°时，画出图形，并求两块三角尺重叠部分的面积. 如图④，设AC交BD于点Q，D'C分别交AB、BD于点R、P. ∵ ∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，AB＝2，∴ AD＝ AB＝1.∵ α＝90°，∴ ∠QAD＝α－∠CAD'＝30°.∴ DQ＝AD·tan∠QAD＝ .∴ S△ADQ＝ AD·DQ＝ .同理，可得S△AD'R＝ . ∵ ∠A'D'C＝∠D'AD＝∠ADB＝90°，AD＝AD'， ∴ 四边形ADPD'是正方形.∴ 两块三角尺重叠部分 的面积为S正方形ADPD'－S△ADQ－S△AD'R＝1－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） 如图②，取BC的中点F，将△A'D'C绕点A旋转一周，点F的运动路径长为 　 2π　. 第14题 2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：如图⑤，连接AF. ∵ AB＝AC，F为BC的中点，∴ AF⊥BC. ∴ ∠AFB＝90°.∴ 点F的运动轨迹是以AB为直径的圆.∴ 点F的运动路径的长为π·AB＝2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$