第七讲 导数与函数的极值讲义-2026届高三数学一轮复习

导数与函数的极值 【知识梳理】 函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 题型一、极值、极值点辨析 【例题精讲】 例1. 已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A． 是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值 D．曲线在点处的切线斜率小于零 例2. 已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，在处有极值 C．当时， D．当时，曲线关于点中心对称 例3. 已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是的极小值 D．是的极小值 例4. 已知函数，则（   ） A．当时，有唯一零点2 B．当时，在上单调递增 C．可以是的极大值点 D．当时，在上的值域为 【巩固练习】 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 2. 设函数，则（    ） A．当时，没有零点 B．当时，在区间上不存在极值 C．存在实数，使得曲线为轴对称图形 D．存在实数，使得曲线为中心对称图形 3. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得最小值 D．函数在处取得极大值 4. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 题型二、求已知函数的极值 【例题精讲】 例1. 已知函数，给出下列结论：①是的单调递减区间；②函数有极大值点是；③当时，直线与的图象有两个不同交点.其中正确的序号是 . 例2. 已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求a的值； (2)证明：不存在极值. 【巩固练习】 1. 已知函数. (1)若在处的切线斜率为2，求切线方程. (2)求的单调区间； (3)当时，求函数的极值. 2. 已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 题型三、根据极值、极值点求参数 【例题精讲】 例1. 已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 例2. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 例3. 已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4. 已知函数（且）有两个极值点，则实数a的取值范围为 ． 例5. 已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 例6. 已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间内有极值点，求m的取值范围． 例7. 已知函数有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)记两个极值点分别为，，证明：. 【巩固练习】 1. 已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 3. 设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 设函数的两个极值点分别为，.则过，两点的直线斜率为（   ） A． B． C． D． 5. 已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 6. 已知函数，为实数. (1)若函数在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围. 7. 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若的极小值为1，求a的值． 题型四、函数（导函数）图像与极值、极值点的关系 【例题精讲】 例1. 定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． 是的极小值，是的极大值 B．是的极大值，是的极小值 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【巩固练习】 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． 函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点 C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值 题型五、求函数极值点 【例题精讲】 例1. 已知函数，则（   ） A．函数关于点对称 B．过点作函数的切线切线方程为 C．函数有2个极值点 D．存在无数多个a值，使得方程有两个不同的解 例2. 已知函数，其中，. (1)曲线在处的切线方程为，求，的值； (2)当时，求的极值点； (3)当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围. 例3. 已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 例4. 已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【巩固练习】 1. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 2. 已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若的图象在图象的下方，求整数的最大值（）. 3. 已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)探究的零点个数. 4. 已知实数，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)记为的导函数，试讨论的极值点的个数． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 2．ACD 【分析】求得，根据求极值和判断极值的方法可以判断A，B；通过利用导数研究在上的单调性可以判断C；通过计算看其的结果是否为可判断D. 【详解】由，得， 对于A，当时，令得或， 当时，；当时，；当时， 所以有两个极值点，故A正确； 对于B，当时，，，，故B不正确； 对于C，当时，若，则，所以在上单调递增， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，， 因为， 关于点中心对称.故D正确. 故选：ACD. 3．AC 【分析】根据导函数图象可得函数单调区间，从而利用单调性与导数符号判断AB，根据极小值的概念判断CD. 【详解】由图可知，故A正确，B错误； 当时，单调递增，； 当时，单调递减，； 当时，单调递增，. 所以是的极小值，不是的极小值，故C正确，D错误. 故选：AC. 4．ABD 【分析】利用导数正负判断原函数单调性，然后再判断极值点，结合定义域可求值域，各选项都可得到判断. 【详解】当时，，易得，又在上单调递增， 则有唯一零点2，故正确； 当时，，， 可判断在上恒大于0，即在上单调递增，故正确； 求导得，令，则，， 若时，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以为函数的极大值点，为函数的极小值点， 当时，，不是的极值点，故错误； 当时，由可得， 所以在区间上单调递减，又， 故在上也单调递减，故此时， ，故此时值域为，故D正确. 故选：ABD. 5．D 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论. 【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 故选：D． 6．ABC 【分析】对选项逐一判断，分别利用图象研究零点，用导数研究极值，用对称性的定义研究对称性即可. 【详解】解法一：对A，函数的定义域为且，由得且. 作出与的图像，二者有唯一交点，不合题意，故没有零点，故A正确. 对B，由题， 令，， 因为，所以， 又，所以，所以， 则在上无极值，故B正确. 对CD，令， 因为，所以或，由对称性可知，故若存在对称轴或对称中心，必在直线上. 考虑 ， 当时，，所以关于对称，故C正确. 考虑， 所以不存在符合题意的常数，故D错误. 故选：ABC. 7．AD 【分析】根据图象，利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，直接求出单调区间和极值点，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故选项A正确，选项B和C错误， 对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性， 由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确． 故选：AD． 8．BCD 【分析】利用导函数的图像，可得函数的单调性，逐一判断即可. 【详解】由图像可知：当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值，在区间上单调递增，故A错误，B正确，C正确； 由图可知，故D正确， 故选：BCD. 9．① 【分析】利用导数研究的单调区间和极值判断①②，再确定函数区间值域或符号，结合交点个数确定参数k范围. 【详解】由题设，且， 令，则，故在上单调递增， 令，则，故在上单调递减， 所以有极大值，无极小值， 又时，时，且时， 所以直线与的图象有两个不同交点，则， 综上，①对，②③错. 故答案为：① 10．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义由可得，设，求导确定单调性方程的根与的零点即可得a的值； （2）确定函数的定义域，求导函数，令，求导，再令判断函数的单调性，从而推得的单调性即可得结论. 【详解】（1），则， 由题知，，整理得， 令（），则， 令，则， 所以在上单调递增， 又，，所以，使得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 又，所以，所以在上仅有一个零点，又，所以. （2）证明：易知的定义域为，. 令（），则. 令（），则， 所以在区间上单调递增，且， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以在区间上单调递增，故在上不存在极值. 11．(1) (2)答案见解析 (3)，. 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列方程求解a，然后求出，即可写出切线的点斜式方程； （2）求出导函数，分两类情况进行讨论，根据导数的正负确定单调性； （3）求出，因式分解为准二次函数型，根据导数的正负判断函数的单调性从而确定极值点，求出极值. 【详解】（1），，所以 切线方程为：，即. （2）， 若，由，得；由，得， 的单调递减区间为，单调递增区间为. 若，由，得；由，得， 的单调递减区间为，递增区间为. （3）当时，， . 由，得或. 当变化时，与的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 ， . 12．(1) (2)极大值，没有极小值. 【分析】（1）首先对函数求导，进而可得到切线的斜率，然后求出切点的坐标，从而可求出切线方程. （2）首先对函数求导，然后判断函数在定义域内的单调性，并求出极值点，进而可求出极值. 【详解】（1）因为，所以对函数求导得： ，. 所以，而， 所以函数在点处的切线方程为. （2）对函数求导得： ，. 当时，即时，，此时在上单调递增； 当时，即时，，此时在上单调递减； 令，则. 所以函数在处取极大值，极大值为，没有极小值. 13．B 【分析】根据余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性求解即可. 【详解】由题意可得函数为奇函数，所以，， 又因为在处取得极值， 即关于对称，所以，，即，， 由为奇函数且在上单调，可得在上单调， 所以的周期，所以，又，所以. 故选：B. 14． 【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，即存在唯一的变号正实根，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，， 则， 因为函数存在唯一极值点， 所以存在唯一的变号正实根， 即方程存在唯一的变号正实根， 当时，， 当时，，当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数存在唯一极值点1，符合题意； 当时，方程，即， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要使方程存在唯一的变号正实根，且已经有一个正实根1， 则，即， 此时，，即， 当时，；当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数存在唯一的极值点，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 15．B 【分析】函数有两个极值点，只需导函数有两个不同的根，求导反解参数，得到只需有两个不同的根，引入函数，求导研究其单调性，数形结合得到答案. 【详解】根据题意 ，若函数恰有两个极值点， 则只需有两个不同的根， 显然不是方程的根，所以只需有两个不同的根， 令，则， 当时，，是减函数； 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 极大值， 又当，当， 当，当，， 的图像如图所示， 结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足. 故选：B． 16． 【分析】先求得，令，设，得出，由有两个极值点，得出方程有2个不相等的实数根，设，根据导数求得函数单调性即可求解． 【详解】，令， 设，则，代入上式得，， 因为有两个极值点，所以方程有2个不相等的实数根， 设，则，令， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，当时，，当时，， 所以，解得， 故答案为：． 17．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调区间即可. （2）结合题意得到，再构造并利用导数判断其单调性，结合求解的取值范围即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，     综上所述：若，单调递增区间为； 若，单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）可知，则有极小值， 由，即， 构造，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）求导得到切线斜率，再用点斜式即可求出切线方程； （2）由求导得到，要使函数的在区间内有极值点，则在区间上有解，得到，解得的取值范围即可. 【详解】（1）时，，则， 切线方程为， 即． （2）由， 则， 要使函数的在区间内有极值点，则在区间上有解， 即在区间上有解， 则解得， 即的取值范围为． 19．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意知，导函数在上有两个不相等的实数根，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）根据题意可得，，是方程的两个不等正实根，根据韦达定理得，，代入化简，进而构造函数，再求导判断其单调性和最值，即可证明. 【详解】（1）由题意得，，. 因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根， 所以，解得. 检验：当时，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，满足题意. 所以实数的取值范围为. （2）证明：由（1）知，， 所以， 所以. 令，则， 令，则， 所以在上单调递增. 因为，， 所以函数存在唯一零点，即， 且当时，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，存在最小值，即. 因为，所以，所以， 所以. 20．C 【分析】分、、讨论，利用导数求出极小值可得答案. 【详解】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 解得； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 21． 【分析】利用函数的极值点与导数的关系可知关于的方程在时有两个不等的实根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，且， 所以，关于的方程在时有两个不等的实根、， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 22．C 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 23．B 【分析】对函数求导，根据极值点有，进而得、，最后应用两点式求斜率. 【详解】由题设，故，满足， 即，故，同理， 故过，两点的直线斜率. 故选：B 24．(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 25．(1) (2) 【分析】（1）分别计算，，得切线方程，由切线经过即可求解； （2）先求导得，根据的情况分类讨论求出极小值，利用极小值大于2即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又， 所以函数在处的切线方程为， 因为切线经过点，所以，解得； （2）由（1）知，函数的定义域为， 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，无极值， 当时，令，得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，极小值为， 由，所以，所以的取值范围为. 26．(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)1 【分析】（1）求出导函数，根据求函数的单调递增区间，根据求函数的单调递增区间，； （2）求出导函数，当时，函数在上单调递增，无极值，当时，利用导数求出是函数的极小值点，进而有，记，利用函数单调性求出最大值，即可求出的值. 【详解】（1）当时，，则， 由，得；由，得， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）， 当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值； 当时，由，得；由，得， 由得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 由题意， 记，即， 则， 由，得；由，得，由得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数，当且仅当时等号成立， 所以. 27．BCD 【分析】根据导函数图象可得导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值进行判断. 【详解】由图知， 当时，；当时，；当时，； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为． 故选：BCD. 28．ABC 【分析】利用导函数的正负来判断原函数的单调性，利用导函数的变号零点来判断原函数的极值点即可． 【详解】 根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确； 根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，故C正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误； 故选：ABC． 29．极小值，无极大值 【分析】利用导数求出，从而求出的单调性，即可得出函数的极大值和极小值； 【详解】易知函数的定义域为， 且， 可知当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以当时，取到极小值， 故有极小值，无极大值． 30．ABD 【分析】由三角函数的图象与性质可求解. 【详解】对于A：由题知的最小正周期为，故A正确. 对于B：令，，得，，当时，， 故点是图象的一个对称中心，故B正确. 对于C：令，，解得，， 故的单调递增区间为，， 令，得为的一个单调递增区间，故在上不单调，故C错误. （另解：当时，，易知在上不单调，故在上不单调） 对于D：令，，解得，， 当时，，，，，，， 所以在上有，，，这4个极值点，故D正确. （另解：当时，，根据在上的图象， 可知在上有4个极值点） 故选：ABD. 31．AC 【分析】根据函数的对称中心所满足条件检验即可判断A，由过点切线的求法，求出切线判断B，利用导数判断函数的单调性即可得出极值点个数判断C，转化为有两个零点后，利用导数分析函数的图象大致变化规律，确定的取值个数，判断D. 【详解】因为 ， 所以函数关于点对称，故A正确； 设切点为，由，切线斜率为， 所以切线方程为，代入点， 可得，又，化简可得， 解得或，所以切线方程为，，故B错误； 由可知，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极值点，故C正确； 令，原问题转化为存在无数多个a值，使有两个不同根，，当时，恒成立，函数单调递增，故至多一解，当时，设的两根为，则或时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取极大值，在处取极小值，所以有两个解时，极大值或极小值为0，即或， 因为，所以，当时，解得，此时； 同理若，解得， 综上，存在使得方程有两个不同的解，不存在无数个，方程有两个解，故D错误. 故选：AC 32．(1)，. (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义和题设条件得，即可求解； （2）对求导，得，再对进行讨论，利用极值的定义，即可求解； （3）根据条件得，令，得到，，再对进行讨论，求出在区间上的单调性，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）因为，由题可得， 即，解得，. （2）因为，， ①当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增，无极值点； ②当，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 此时在区间上单调递增，无极值点； ③当，即时，因为的对称轴为， 令，得到或（舍）， 当时，，当时，， 所以为的极大值点，无极小值点， 综上，当时，无极值点，当时，极大值点为，无极小值点. （3）因为，则，所以， 令，解得，； ，， 当或时，，当时，， ①若，即时，此时在区间上单调递增， 所以的最大值为，解得， ②若，即时，此时在区间上单调递增；在上单调递减， 所以的最大值为，满足题意， ③若时，即时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 因为，，所以满足题意 综上所述，在区间上的最大值为1，则的取值范围为. 33．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）通过导数的正负来判断原函数的单调性，再结合导函数的零点个数，从而可求极值点个数； （2）利用同构函数思想，把指对函数同构为，使得原不等式变为，然后再利用分离参变量，再利用求导来研究函数的最值，问题即可求解. 【详解】（1）由，可知定义域为，则． 当时，恒成立，所以在上是减函数，则无极值点． 当时，，则， 所以在上单调递增． 当，即时，， 当，即时，， 所以存在唯一的实数，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以是函数的极小值点，无极大值点． 综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1． （2）由得，故．① 设函数，由，可知在R上单调递增． 由于①式可化为，即有， 所以对恒成立． 设函数，则，令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取得极大值也是最大值， 即最大值为．故． 34．(1)时，函数的极值点个数为0，时，函数的极值点个数为1. (2) 【分析】（1）首先确定函数定义域，求导对参数进行讨论，根据函数单调性即可确定函数的极值点个数； （2）不等式恒成立转化为，对函数进度求导分析单调性，根据单调性确定最值即可得到a的取值范围. 【详解】（1）由题知函数的定义域为， ，时，，在单调递减，此时无极值点， 时，与在单调递增，又，， 所以有唯一解，且， 所以，当，，单调递减， 当，，单调递增，此时函数有1个极值点， 综上，时，函数的极值点个数为0， 时，函数的极值点个数为1. （2），即， 设，，所以在上单调递增， ，即在恒成立， 所以，令，， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故， 所以实数a的取值范围为. 35．ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 36．(1)答案见解析； (2)1. 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （2）转化为，再设新函数，求导后再次设分母为新函数，再次求导并利用隐零点法即可求出最值. 【详解】（1）函数定义域为， ． 当时，在上是增函数，无极值点； 当时，由，解得，由，解得． 函数在上是单调递增，在上是单调递减，有一个极值点， 综上，当时，无极值点； 当时，有一个极值点. （2）由题意当时，，整理得． 令函数， 则． 令，则． 当时，恒成立， 所以在单调递增． 又，， 所以，使得， 即． 故时，；时，． 因此在单调递减，在单调递增， 所以， 令函数，则， 所以在单调递增，因此． 又，， . 因此整数的最大值为1． 37．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）对a分类讨论，判断的正负，得的单调性和极值点个数； （2）令，分离参数，将的零点个数问题转化为直线与曲线的交点个数问题． 【详解】（1）定义域为，， ①当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点． ②当时，令，得或， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点； （ⅱ）当时，，，所以在上单调递增，无极值点； （ⅲ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调增，有2个极值点． 综上，当时，有1个极值点；当时，无极值点；当或时，有2个极值点． （2）由题知，． 当时，由，得， 则的零点个数即直线与曲线的交点个数． 令， 则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，当，且时，，当时，， 又时，，且当时，，当时，． 所以的大致图象如图所示． 由图象可知，当时，与曲线有2个交点；当时，与曲线有1个交点． 所以，当时，有2个零点；当时，有1个零点． 38．(1) (2)个 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，设，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为实数，函数，该函数的定义域为， ， 令，则， 令，则， 对于方程，， 设函数的两个零点分别为、，且， 由韦达定理可得，，必有，， 由可得，由可得或， 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 因为，， 所以，，则， 所以函数在内有且只有一个异号零点， 当时，；当时，， 所以函数在区间、上各有一个异号零点， 综上所述，函数的极值点个数为. $$