第七讲 导数与函数的极值讲义-2026届高三数学一轮复习

导数与函数的极值

 

【知识梳理】

函数的极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.

 

 

 

 

 

 

题型一、极值、极值点辨析

【例题精讲】

例1.  已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ）

A．是的极值点                   

B．在区间上单调递增

C．是在区间上的最小值

D．曲线在点处的切线斜率小于零

 

例2.  已知函数，则（    ）

A．当时，有两个极值点             B．当时，在处有极值

C．当时，      D．当时，曲线关于点中心对称

 

例3.  已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．是的极小值 D．是的极小值

例4.  已知函数，则（   ）

A．当时，有唯一零点2

B．当时，在上单调递增

C．可以是的极大值点

D．当时，在上的值域为

 

【巩固练习】

1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）．

A．函数在点处的切线斜率小于零

B．函数在区间上严格增

C．函数在处取得极大值

D．函数在区间内至多有两个零点

 

2. 设函数，则（    ）

A．当时，没有零点

B．当时，在区间上不存在极值

C．存在实数，使得曲线为轴对称图形