暑假作业09 因式分解（12大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 因式分解 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一： 因式分解的意义 】 1．（24-25八年级下·福建三明·期中）下列变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：符合因式分解的定义，则A符合题意， 中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， 中等号左边是单项式，则C不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）下列变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了因式分解的定义，理解定义“将一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解．”是解题的关键． 【详解】解：A、是整式运算，故不符合题意； B、是因式分解，故符合题意； C、不能进行因式分解，故不符合题意； D、不能进行因式分解，故不符合题意； 故选：B． 3．（2025·山东·二模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握因式分解的概念及方法是关键． 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），根据概念判定即可． 【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意； B、，式子不成立，不属于因式分解，不符合题意； C、，不属于因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：A． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义把一个多项式分解为几个多项式的乘积即可求解． 【详解】解：A．右边为多项式，不是因式分解，故A错误； B．，是因式分解，故B正确； C．右边为多项式，不是因式分解，故C错误； D．，因式分解错误，故D错误． 故选：B． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式表示为几个整式的乘积形式．根据因式分解的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：选项A：右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； 选项B：，原分解错误； 选项C：属于整式乘法，不是因式分解． 选项D：符合因式分解定义． 故选：D． 【题型二： 确定公因式 】 1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式的定义，提取公因式，把看作一个整体，就是各项公共的部分，也就是公因式．整体思想的利用比较关键． 【详解】解：． 所以公因式是． 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式的公因式是， 故选：D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减和公因式的概念，掌握公因式的概念是解题的关键． 根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每项都含有的因式，可得答案． 【详解】 ， ， 的值与的公因式， 故选：D． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）多项式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，多项式的公因式为， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 【题型三：用提公因式法分解因式 】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化． 将变形为，再提公因式即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（2024秋•南沙区校级期末）分解因式b2（x﹣2）+b（2﹣x）正确的结果是（　　） A．（x﹣2）（b2+b） B．b（x﹣2）（b+1） C．（x﹣2）（b2﹣b） D．b（x﹣2）（b﹣1） 【答案】D 【分析】首先找出公因式，进而提取公因式得出即可． 【解答】解：b2（x﹣2）+b（2﹣x） ＝b2（x﹣2）﹣b（x﹣2） ＝b（x﹣2）（b﹣1）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级下·广东佛山·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）提公因式即可求解； （2）提公因式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式进行因式分解成为解题的关键． （1）先凑出公因式，然后直接提取公因式即可解答； （2）直接提取公因式即可解答； （3）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答； （4）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 【题型四： 用平方差公式分解因式 】 1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次各选项分解因式，即可求解， 本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式． 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意， B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， D、，应用平方差公式分解因式，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式即可进行因式分解； （2）先利用提公因式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解； （2）先利用整体思想和平方差公式分解因式，再提公因式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得答案； （2）先利用完全平方公式展开，合并，再利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型五： 用完全平方公式分解因式 】 1．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，不符合完全平方公式，故此选项错误； B、，不符合完全平方公式，故此选项错误； C、，不符合完全平方公式，故此选项错误； D、，符合完全平方公式，故此选项正确； 故选：D． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 3．（2024秋•肇源县期末）若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（　　） A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构特点即可得出答案． 【详解】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，4x2﹣（k﹣1）x+9＝（2x）2﹣（k﹣1）x+32， ∴k﹣1＝±2×2×3， 解得：k＝13或﹣11， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特点是解本题的关键，即（a±b）2＝a2±2ab+b2． 4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）因式分解． (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 【题型六： 因式分解的综合运用 】 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）直接提取公因式x即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （3）原式先化简，然后根据根据完全平方公式进行因式分解即可； （4）第一个括号先提取公因式a，然后两个括号间提取公因式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） 4．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 5．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照进行分解即可； （）仿照进行分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型七： 利用因式分解进行简便计算 】 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算的结果为（    ） A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）计算 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握提公因式法．首先提取公因式，得到，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 3．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】原式 ， 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想． （1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果； （3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ， 同理可得： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【题型八： 利用因式分解求值 】 1．（2025·浙江·模拟预测）若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程是解题关键．根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于的多项式可以分解为，则的值是（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，理解因式分解和整式乘法的关系是解题的关键．根据整式的乘法运算，再根据多项式的特点列方程求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴且， 解得：， ∴的值为：， 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）化简求值： (1)已知，，求的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解，代数式求值， 对于（1），先因式分解将原式整理为，再整体代入求值； 对于（2），先根据整式的混合运算法则计算，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 原式； （2）解：∵， ∴， 原式 ． 5．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，据此计算求解即可； （2）根据代值计算即可； （3）根据代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 【题型一：利用因式分解判断三角形的形状 】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知、、为的三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理的逆定理，将等式化为是解题的关键． 将等式化为，根据等式成立的条件进而判定三角形的形状即可． 【详解】解： ①当时，上式成立，此时为等腰三角形； ②当时，上式为，此时为直角三角形； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）已知，，是的三边长，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，熟悉掌握完全平方式公式是解题的关键． 利用完全平方式变形运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，三角形三边关系，先整理原式得，再根据三角形三边关系，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（，故，舍去） ∴， ∴此三角形的形状是等腰三角形． 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方法． （1）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式； （2）把所给等式分组为，再分解因式，可得，再进一步即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： 是等腰三角形，理由如下： ， ， ∴， ∴， ∴， 或 ， 或 ， 为等腰三角形． 5．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：． (1)利用上述方法解决下列问题： 分解因式：① ②． (2)类比应用：若，满足，求与的值． (3)延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． （1）①根据“”分法分解因式，即可求解；①根据“”分法即可得出答案； （2）把原式变形为，则可因式分解得到，再由非负数的性质求解即可； （3）把原式可因式分解为，根据构成三角形的条件可推出，据此可得结论． 【详解】（1）解：解：① ； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型二：利用因式分解求最值 】 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1)64 (2) (3)当时，有最大值，最大值是7 【分析】本题考查完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）先将配方得，然后根据是一个完全平方式得，由此即可得出的值； （2）先配成完全平方，再用平方差公式分解； （3）先配方，再利用非负数的性质求最值即可． 【详解】（1）解： ， 是一个完全平方式， ， ； （2）解： ； （3）解： ． ． 当时，有最大值，最大值是7． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)1 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式解答即可； （2）先根据完全平方公式配方，再用平方差公式分解； （3）先根据完全平方公式配方，再利用偶次方的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴所添常数项为4． 故答案为：4； （2）解： （3）解： ∵ ∴ ∴的最小值为1． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于________（k为常数） (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)③ (2) (3)代数式有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方式和因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键： （1）如果两个多项式A、B满足，那么A就叫做完全平方式，据此求解即可； （2）根据题意可知两平方项为，据此确定一次项即可得到答案； （3）仿照题意利用完全平方公式把原式变形为，再根据偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：①不是完全平方式；②不是完全平方式；③是完全平方式；④不是完全平方式， 故答案为：③； （2）解：∵是一个完全平方式，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为． 4．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵； ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值， 有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，为4 (3)四边形面积的最小值为25 【分析】本题考查了完全平方公式在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为2； （2）解：∵， ∴， 而， 当时， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为4． （3）解：设， ∵与同高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为25． 【题型一：因式分解在新定义问题中的运用 】 1．（2024春·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】各式利用题中的新定义判断即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： A．，，故推断正确； B．，，故推断不正确； C．，，故推断不正确； D．，，故推断不正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可求出c； （2）先根据“如意数”的定义列出c的代数式，然后对等式右边因式分解，结合乘方的非负性即可证明； （3）根据“如意数”的定义构建方程，求出b即可. 【详解】解：（1）根据题意，； （2）根据题意，， ∵， ∴即； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查因式分解的应用.能根据“如意数”的定义去计算（或列式）是解决此题的先决条件，能灵活运用因式分解法因式分解是解决此题的关键.尤其在（3）中能用因式分解法将化为是解决此问的关键. 3．（2024春·江苏·八年级期末）定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”； 再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　； （2）判断53 　 　（请填写“是”或“否”）为“完美数”； （3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”． 【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由见解答过程；（4）见解析 【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”； （2）利用53=22+72即可判断； （3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可； （4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断． 【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， 故答案为：2或5或8（写一个即可）； （2）53=22+72，故53是“完美数”， 故答案为：是； （3）k=5（答案不唯一）， 理由：∵M=x2+4x+k ∴M=x2+4x+4+k-4 M=（x+2）2+k-4 则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5． （4）设m=a2+b2，n=c2+d2， 则有mn=（a2+b2）（c2+d2） =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd =（ac+bd）2+（ad-bc）2 故mn是一个“完美数”． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)见解析； (3)的值为13． 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“方和数”的定义即可得出答案； （2）根据“方和数”的定义和完全平方公式即可得出结论； （3）先化简，再根据“方和数”的定义得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“方和数”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：∴，且，2都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； ∵，且，3都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； （3）解：∴， 根据“方和数”的意义得：， 解得：， ∴的值为13． 5．（2024春·全国·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形． 例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解． 又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解． 有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解． 甲： （分成两组） （分别提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） 请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解 问题一：因式分解： （1）； （2）． 问题二：探究 对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系． 【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究的数量关系． 【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可； （2）按完全平方公式分组，然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可； 问题二：探究∶先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数x、y都成立，可得即可． 【详解】解：问题一：因式分解： （1） =， = =， =； （2） = = = =； 问题二：探究， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，对任意有理数x、y都成立， ∴， ∴m，n的数量关系． 【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键． 【题型二： 因式分解在阅读理解中的运用 】 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）4 【分析】本题考查了因式分解、二元一次方程组的应用等知识，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）①将因式分组为，再利用提取公因式法分解因式即可得； ②将因式分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可得； （3）先利用完全平方公式分解因式可得，根据偶次方的非负性可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：（1） ， 故答案为：． （2）① ． ② ． （3） ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】本题考查换元法因式分解和因式分解的应用，读懂题意，理清这个因式分解方法是解题的关键． （1）令，则原式可化为，运用完全平方公式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，则原式可化为运用完全平方公式因式分解，再将“”还原，注意还原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令，则原式可化为，配方法得到，将“”还原之后可化为，根据即可得解． 【详解】（1）解：令， 原式， 将“”还原，得原式； （2）解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式 ； （3）证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； (3)已知：，，求的值。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x和y，代入求得数值； （2）用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a和b，进而根据三角形三边关系且为最长边，即可求解； （3）先把代入，得到关于和的式子，再仿照（1）（2）题求解得出，进而即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，； ∵、、是的三边， ∴即 又∵为最长边 ∴； （3）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 5．（2024春·浙江宁波·八年级统考期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②100 【分析】（1）将展开得到，对应相等即可得到的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解的答案； （2）当时，，设，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到的值，从而得到答案； （3）①根据题意得，时，，把代入可得，由，进行计算即可得到答案；②根据题意得，和时，把和代入得关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数）， 则， ， ， 把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式， 可设（为常数）， 则， ， ， 故答案为：，； （2）解：当时，， 设， 则， ， ， ∴， ； （3）解：①根据题意得，时，， 把代入，得， ∴， ∴； ②根据题意得，和时， 把和代入得， ， 整理得：， 解得：， ． 【点睛】本题考查了因式分解，解二元一次方程组，解本题的关键是理解试根法进行因式分解． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业09 因式分解 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一： 因式分解的意义 】 1．（24-25八年级下·福建三明·期中）下列变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）下列变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东·二模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型二： 确定公因式 】 1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）多项式各项的公因式是 ． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【题型三：用提公因式法分解因式 】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024秋•南沙区校级期末）分解因式b2（x﹣2）+b（2﹣x）正确的结果是（　　） A．（x﹣2）（b2+b） B．b（x﹣2）（b+1） C．（x﹣2）（b2﹣b） D．b（x﹣2）（b﹣1） 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）分解因式： (1) (2)． 4．（24-25八年级下·广东佛山·期中）因式分解： (1)； (2)． 5．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型四： 用平方差公式分解因式 】 1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1) (2) 4．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 5．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）分解因式： (1)； (2)． 【题型五： 用完全平方公式分解因式 】 1．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024秋•肇源县期末）若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（　　） A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定 4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）因式分解． (1)． (2) 5．（2025八年级下·全国·专题练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六： 因式分解的综合运用 】 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）分解因式： (1) (2) (3) (4) 3．（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 5．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【题型七： 利用因式分解进行简便计算 】 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算的结果为（    ） A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000 2．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）计算 等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【题型八： 利用因式分解求值 】 1．（2025·浙江·模拟预测）若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于的多项式可以分解为，则的值是（    ） A．8 B． C．6 D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）化简求值： (1)已知，，求的值． (2)已知，求代数式的值． 5．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【题型一：利用因式分解判断三角形的形状 】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知、、为的三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．（24-25七年级下·全国·期末）已知，，是的三边长，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 5．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：． (1)利用上述方法解决下列问题： 分解因式：① ②． (2)类比应用：若，满足，求与的值． (3)延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【题型二：利用因式分解求最值 】 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于________（k为常数） (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 4．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵； ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值， 有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【题型一：因式分解在新定义问题中的运用 】 1．（2024春·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 3．（2024春·江苏·八年级期末）定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”； 再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　； （2）判断53 　 　（请填写“是”或“否”）为“完美数”； （3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 5．（2024春·全国·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形． 例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解． 又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解． 有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解． 甲： （分成两组） （分别提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） 请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解 问题一：因式分解： （1）； （2）． 问题二：探究 对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系． 【题型二： 因式分解在阅读理解中的运用 】 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； (3)已知：，，求的值。 5．（2024春·浙江宁波·八年级统考期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$