暑假作业15 三角形中位线（8大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

完成时间： 月 日 天气： 作业 15 三角形的中位线 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用三角形的中位线求线段长度 】 1．（2024秋•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BC、AC中点，若AE＝4，BD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 2．（2024•平凉一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AD，AC的中点，则EF的长为（　　） A．5 B．4 C． D．2 3．（2024秋•雨花区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝6，BC＝9，则EF的长为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 4．（2025•碑林区校级二模）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024秋•龙口市期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　 　． 【题型二：利用三角形的中位线求角度 】 1．（2024秋•鹿城区期中）如图，BD是等腰△ABC底边AC边上的中线，ED∥AB，∠C＝65°，则∠BDE度数是（　　） A．24° B．25° C．30° D．35° 2．（204秋•任城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（　　） A．140° B．142° C．150° D．152° 3．（2024•肃州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　． 4．（2024春•南山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是 　 　． 5．（2024秋•淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F． （1）求证：∠AEN＝∠F； （2）若∠A+∠ABC＝122°，求∠F的大小． 【题型三：利用三角形的中位线求周长 】 1．（2025•南岗区校级开学）若三角形的三条中位线长分别为3cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 2．（2024秋•隆回县期末）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是10，则△ABC的周长是（　　） A．10 B．15 C．18 D．20 3．（2024上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的中，点D，E在边AB上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．18 D．20 4．（2024秋•汉寿县期末）如图，在△ABC中，D是AC边的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，若AC＝4，BC＝6，则△ADE的周长为　 　． 5．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC＝8，DE＝4.6，则△DEF的周长是 　 　． 【题型四：利用三角形的中位线求面积 】 1．（2024秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，若△ABC的面积是40，则四边形BDEF的面积是（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．20 2．（2024秋•安次区校级期中）如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 3．（2025•茄子河区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为（　　）cm2． A．20 B．30 C．40 D．50 4．（2024秋•武乡县期中）如图，在△ABC中，D为边AB的中点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，P为边BC上一点，连结DP，DP，EP．若△ADE的面积为3，则图中阴影部分的面积为　 　． 5．（2024春•惠山区期中）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F在BE上． （1）若∠ADE＝∠ABC，∠EDF＝∠C，求证：DF∥AC； （2）若D、E、F分别是AB、AC、BE的中点，连接CF，若四边形CEDF的面积为9，试求△ABC的面积． 【题型五： 与中位线有关的实际应用 】 1．（2024秋•钢城区期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　） A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm 2．（2024春•印江县期中）如图，小红想测量池塘两端A，B的距离，他采用了如下方法：在AB的一侧选择一点C，连接AC，BC，再分别找出AC，BC的中点D，E，连接DE，现测得DE＝10米，则A，B之间的距离为（　　） A．40米 B．30米 C．20米 D．15米 3．（2024秋•西峡县期末）如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（　　） A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm 4．（2024秋•朝阳区期末）如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点．经测得CD＝5.5cm，则该工件内槽宽AB的长为　 　cm． 5．（2024春·重庆南岸期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是，规划后博物馆的平面图是四边形，其中点A，B，C，D分别是边的中点．如果原来博物馆的平面图的面积为，则规划后博物馆的平面图占地面积为________． 【题型一： 与中位线有关的最值问题 】 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 2．（2024秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 3．（2023上·山西临汾·八年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（    ）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 4．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点． (1)线段与的数量关系是___________，位置关系是___________； (2)把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)若，，绕点在平面内旋转过程中，请直接写出的面积取得最大值时的长． 【题型二： 与中位线有关的证明 】 1．（2024春•中阳县月考）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接ED并延长至点F，延长BC至点G，使得DF＝CG，连接FG．求证：GF＝CD． 2．（2024春•武功县期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF． 3．（2024上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，在上，与均为等边三角形，分别是的中点，连接．求证：为等边三角形． 4．（2024上·辽宁辽阳·八年级校考期末）如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，与有怎样的位置关系？请说明理由； 5．（2024秋•广饶县期末）【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 【题型一：与中位线有关的规律探究问题 】 1．（2024秋•福山区期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（　　） A．a B．a C．a D．a 2．（2024•东营区校级开学）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形．则这个小三角形的周长为 　 　． 3．（2023下·云南文山·八年级统考期末）如图，的三边长分别为，，，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，依次类推，第次组成的三角形的周长 ． 4．（2024春•沿河县期中）如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…以此类推，则△A2022B2022C2022的周长是 　 　． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业 15 三角形的中位线 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用三角形的中位线求线段长度 】 1．（2024秋•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BC、AC中点，若AE＝4，BD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝BD＝5，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵点D是BC的中点，∠BAC＝90°， ∴AD＝BD＝5， ∵点D、E分别为BC、AC中点， ∴DE∥AB，DE， ∴DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴DE3， ∴AB＝2DE＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 2．（2024•平凉一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AD，AC的中点，则EF的长为（　　） A．5 B．4 C． D．2 【分析】由等腰三角形的性质推知CD＝BD＝5，然后由已知条件推知EF是△ADC的中位线，所以由三角形中位线定理作答即可． 【详解】解：∵AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D， ∴CD＝BDBC＝5． ∵点E，F分别是AD，AC的中点， ∴EF是△ADC的中位线． ∴EFCD． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理和等腰三角形的性质，本题结合等腰三角形的“三线合一”性质和三角形的中位线等于第三边的一半求得EF的长度的． 3．（2024秋•雨花区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝6，BC＝9，则EF的长为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【分析】由三角形中位线定理推出DE∥BC，DEBC＝4.5，BD＝AD，由平行线的性质推出∠DFB＝∠CBF，由角平分线定义得到∠DBF＝∠CBF，因此∠DFB＝∠DBF，判定DF＝BD，求出BDAB＝3，得到DF＝3，于是EF＝DE﹣DF＝1.5． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC，BD＝AD， ∴∠DFB＝∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝BD， ∵AB＝6， ∴BDAB＝3， ∴DF＝3， ∵BC＝9， ∴DE9＝4.5， ∴EF＝DE﹣DF＝4.5﹣3＝1.5． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，角平分线定义，关键是由三角形中位线定理推出DE∥BC，DEBC，由等角对等边判定DF＝DB． 4．（2025•碑林区校级二模）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】延长BD交AC于H，证明△ADB≌△ADH，根据全等三角形的性质得到AH＝AB＝4，BD＝DH，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长BD交AC于H， 在△ADB和△ADH中 ， ∴△ADB≌△ADH（ASA） ∴AH＝AB＝4，BD＝DH， ∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2， ∵BD＝DH，BM＝MC， ∴DM是△BCH的中位线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 5．（2024秋•龙口市期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　 　． 【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ． ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BA＝BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12， ∴DE＝BE+CD﹣BC＝5， ∴MNDE． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【题型二：利用三角形的中位线求角度 】 1．（2024秋•鹿城区期中）如图，BD是等腰△ABC底边AC边上的中线，ED∥AB，∠C＝65°，则∠BDE度数是（　　） A．24° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠C＝65°，BD⊥AC，根据直角三角形的性质求出∠ABD，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵BA＝BC，BD是△ABC底边AC边上的中线， ∴∠A＝∠C＝65°，BD⊥AC， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵ED∥AB， ∴∠BDE＝∠ABD＝25°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 2．（204秋•任城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（　　） A．140° B．142° C．150° D．152° 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝8，EF∥BD，根据平行线的性质求出∠ADB，根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，计算即可． 【详解】解：如图，连接BD， ∵点E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴BD＝2EF＝2×4＝8，EF∥BD， ∴∠ADB＝∠AFE， ∵∠AFE＝52°， ∴∠ADB＝52°， 在△BDC中，BD2+CD2＝82+62＝100，BC2＝102＝100， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝52°+90°＝142°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 3．（2024•肃州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AE＝BE，根据点E、F分别是AD、AC的中点得到EF是△ADC的中位线，可得EF∥BC，分别求出∠BED和∠DEF的度数即可． 【解答】解：∵∠BAC＝58°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝29°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ADB＝90°﹣29°＝61°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝BE， ∴∠BAD＝∠ABE＝29°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝58°， ∵点E、F分别是AD、AC的中点， ∴EF∥BC， ∴∠ADB＝∠DEF＝61°， ∴∠BEF＝∠DEF+∠BED＝58°+61°＝119°， 故答案为：119°． 【点睛】本题考查中位线的性质及直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是正确的处理已知条件中的两个中点． 4．（2024春•南山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是 　 　． 【分析】根据三角形中位线定理得到PEAD，PFBC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴PE是△ABD的中位线， ∴PEAD， 同理，PFBC， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠EFP（180°﹣∠EPF）（180°﹣140°）＝20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 5．（2024秋•淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F． （1）求证：∠AEN＝∠F； （2）若∠A+∠ABC＝122°，求∠F的大小． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到PM∥BC，，求得∠PMN＝∠F，同理 PN∥AD，，等量代换即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到∠PNB＝∠A，根据三角形外角的性质得到∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，根据平行线的性质得到∠F＝∠PMN，∠MPD＝∠DBC，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点， ∴PM是△BDC的中位线， ∴PM∥BC，， ∴∠PMN＝∠F，同理 PN∥AD，， ∴∠PNM＝∠AEN， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM， ∴∠AEN＝∠F； （2）解：∵PN∥AD， ∴∠PNB＝∠A， ∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD， ∵PM∥BC， ∴∠F＝∠PMN，∠MPD＝∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°， ∵PM＝PN， ∴（180°﹣122°）＝29°， ∴∠F＝∠PMN＝29°． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形中位线定理即可得到结论． 【题型三：利用三角形的中位线求周长 】 1．（2025•南岗区校级开学）若三角形的三条中位线长分别为3cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【分析】根据三角形的中位线定理求出三角形的三条边长，即可求解． 【详解】解：∵三角形的三条中位线长分别为3cm，3cm，4cm， ∴三角形的三条边长分别为6cm，6cm，8cm， ∵6+6+8＝20（cm）， ∴原三角形的周长为20cm． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解答的关键． 2．（2024秋•隆回县期末）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是10，则△ABC的周长是（　　） A．10 B．15 C．18 D．20 【分析】根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到ADAB，AEAC，DEBC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点， ∴DE是△ABC的中位线，ADAB，AEAC， ∴DEBC， ∵△ADE的周长＝10， ∴AD+AE+DE＝10， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（AD+AE+DE）＝20， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 3．（2024上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的中，点D，E在边AB上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．18 D．20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明，推出，，同理，，得到是的中位线，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵平分，且， ∴，，， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．（2024秋•汉寿县期末）如图，在△ABC中，D是AC边的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，若AC＝4，BC＝6，则△ADE的周长为　 　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC＝6，根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵D是AC边的中点，BD⊥AC， ∴BD是线段AC的垂直平分线，ADAC＝2， ∴AB＝BC＝6， ∵D是AC边的中点，ED∥BC， ∴点E是AB的中点，DEBC＝3， 在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DEAB＝3， ∴△ADE的周长＝AE+DE+AD＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 5．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC＝8，DE＝4.6，则△DEF的周长是 　 　． 【分析】根据三角形中位线定理求出EF，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵E，F分别为AC，BC的中点 ∴EF是△ABC的中位线， ∴EFAB10＝5， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△BDC中，F为BC的中点，BC＝8， 则DFBC8＝4， ∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝4.6+5+4＝13.6， 故答案为：13.6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【题型四：利用三角形的中位线求面积 】 1．（2024秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，若△ABC的面积是40，则四边形BDEF的面积是（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．20 【分析】根据三角形的中点的性质和三角形面积解答即可． 【详解】解：∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点， ∴S△ADES△ADC，S△ADCS△ABC，S△DEFS△ADE， ∴S△DEFS△ABC40＝5， ∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点， ∴S△ABDS△ABC40＝20， ∴S△BDFS△ADB20＝10， ∴四边形BDEF的面积＝S△BDF+S△DEF＝15， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形面积问题，关键是根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答． 2．（2024秋•安次区校级期中）如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【分析】延长AM交BC于N，证明△AMB≌△NMB，根据全等三角形的性质得到AM＝NM，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：延长AM交BC于N， 在△AMB和△NMB中， ， ∴△AMB≌△NMB（ASA）， ∴AM＝NM， ∴S△AMB＝S△NMB，S△AMC＝S△NMC， ∴S△BMCS△ABC＝2， ∵D为BC中点， ∴S△BMDS△BMC＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的面积公式，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 3．（2025•茄子河区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为（　　）cm2． A．20 B．30 C．40 D．50 【分析】连接MN，过点A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质求出BF，根据勾股定理求出AF，根据三角形中位线定理得到MNBC＝5cm，MN∥BC，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接MN，过点A作AF⊥BC于F， ∵AB＝AC，BC＝10cm， ∴BFBC＝5cm， 由勾股定理得：AF12（cm）， ∵M、N分别是AB、AC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MNBC＝5cm，MN∥BC， ∴图中阴影部分可以看作三个以5cm为底，且高的和为12cm的三角形， ∴S阴影部分5×12＝30（cm2）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．（2024秋•武乡县期中）如图，在△ABC中，D为边AB的中点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，P为边BC上一点，连结DP，DP，EP．若△ADE的面积为3，则图中阴影部分的面积为　 　． 【分析】根据三角形中位线定理推出三角形DEP的面积以及四边形DECB的面积即可推出结果． 【详解】解：∵D为边AB的中点，过点D作DE∥BC交边AC于点E， ∴DE是ABC的中位线， ∴， ∴， ∴S△ABC＝4S△ADE＝12， ∴四边形DECB的面积＝12﹣3＝9， ∵DE是ABC的中位线， ∴△ADE与DEP同底等高， ∴S△DEP＝S△ADE＝3， ∴图中阴影部分的面积为9﹣3＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 5．（2024春•惠山区期中）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F在BE上． （1）若∠ADE＝∠ABC，∠EDF＝∠C，求证：DF∥AC； （2）若D、E、F分别是AB、AC、BE的中点，连接CF，若四边形CEDF的面积为9，试求△ABC的面积． 【分析】（1）根据平行线的判定得DE∥BC，则∠AED＝∠C，而∠EDF＝∠C，所以∠AED＝∠EDF，于是可判断DF∥AC； （2）由E为AC的中点，根据三角形面积公式得到S△ADE＝S△CDES△ADC，再由F为DC的中点得S△DEF＝S△CEFS△DEC，而S 四边形BDEF＝6，则S△DEFS△BDC＝6，可计算出S△DEF＝2，则S△ABC＝8S△DEF＝1． 【详解】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC． ∴∠AED＝∠C． 又∵∠EDF＝∠C， ∴∠AED＝∠EDF， ∴DF∥AC． （2）解：∵D、E、F分别是AB、AC、BE的中点， ∴DF是ABE的中位线， ∴DF∥AE，且DFAE，AE＝AC， ∴S四边形CEDF＝S四边形ADFE＝9， ∵点 F 是 DC 的中点， ∴设 S△DEF＝S△CEF＝x， ∵点 E 是 AC 的中点， ∴S△ADE＝S△CDE＝2x， ∵点 D 是 AB 的中点， ∴S△BDC＝4x，S△BDF＝2x， ∴S 四边形BDEF＝3x． ∵S 四边形BDEF＝9， ∴3x＝9， ∴x＝3， ∴S△ABC＝8×3＝24． 【点睛】本题考查了行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．也考查了三角形面积公式． 【题型五： 与中位线有关的实际应用 】 1．（2024秋•钢城区期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　） A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm 【分析】根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵E、F分别为AB、AC的中点，EF＝35cm， ∴BC＝2EF＝70（cm）， ∴点B距离地面的高度为70cm． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 2．（2024春•印江县期中）如图，小红想测量池塘两端A，B的距离，他采用了如下方法：在AB的一侧选择一点C，连接AC，BC，再分别找出AC，BC的中点D，E，连接DE，现测得DE＝10米，则A，B之间的距离为（　　） A．40米 B．30米 C．20米 D．15米 【分析】由D是AC的中点，E是BC的中点，推断出DE是△ABC的中位线，结合中位线的性质，得到AB的长度． 【详解】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵DE＝10， ∴AB＝2DE＝2×10＝20， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 3．（2024秋•西峡县期末）如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（　　） A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm 【分析】根据三角形中位线定理即可求得答案． 【详解】解：连接BC， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∴BC＝2DE， ∵DE＝40cm， ∴BC＝80cm， ∴B，C两点的距离为80cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键． 4．（2024秋•朝阳区期末）如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点．经测得CD＝5.5cm，则该工件内槽宽AB的长为　 　cm． 【分析】根据点C、D分别是OA、OB的中点，可知CD是△OAB的中位线，根据三角形中位线定理可知AB＝2CD，从而可求槽宽AB的长． 【详解】解：∵把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点，CD＝5.5cm， ∴CD是△OAB的中位线， ∴AB＝2CD＝2×5.5＝11（cm）． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解答本题的关键要熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5．（2024春·重庆南岸期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是，规划后博物馆的平面图是四边形，其中点A，B，C，D分别是边的中点．如果原来博物馆的平面图的面积为，则规划后博物馆的平面图占地面积为________． 【分析】连接FH、EG、OD，设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N，根据中位线的判定和性质可以得到S△HDM=S△ODM，同理得到S△DEN=S△ODN，从而得到S四边形DNOM= S△EOH，最终得到S四边形ABCD=S四边形EFGH，即可求解. 【详解】解：连接FH、EG、OD， 设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N， ∵点C、D分别是HG、EH的中点， ∴CD是△EHG的中位线， ∴CD∥EG， ∴点M是OH的中点， ∴S△HDM=S△ODM， 同理可得S△DEN=S△ODN， ∴S四边形DNOM=S△EOH， 同理可得：S四边形ABCD=S四边形EFGH， ∵平行四边形ABCD的面积为300m2， ∴四边形EFGH的面积为600m2．故答案为：600． 【点睛】本题考查了中点四边形的知识，通过连接四边形的对角线，将四边形转化为三角形，充分利用三角形的中位线的判定与性质，是解题的关键． 【题型一： 与中位线有关的最值问题 】 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解． 【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小． ∵OD⊥BC，BC⊥AB， ∴OD∥AB， 又∵OC＝OA， ∴CD＝DB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴ODAB＝3， ∴DE＝2OD＝6． 故选：C． 【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键． 2．（2024秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DECM即可． 【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值， 理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∴AC•BC， ∴， ∴CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DECM， 即DE的最小值是， 故选：B． 【点评】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键． 3．（2023上·山西临汾·八年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（    ）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接，作于点H．由三角形中位线的性质得，由垂线段最短可知当最小，即点E与点H重合时的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，作于点H．    ∵点，分别是，边上的动点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小，即点E与点H重合时的值最小． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4.8． 故选D． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的性质，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 4．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点． (1)线段与的数量关系是___________，位置关系是___________； (2)把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)若，，绕点在平面内旋转过程中，请直接写出的面积取得最大值时的长． 【分析】（1）根据三角形的中位线定理解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可证明，推出，，根据三角形的中位线定理可得，，进而得出，设的延长线交于O，交于H，如图，根据三角形的内角和定理可得，进而可得结论； （3）由（2）结合等腰直角三角形的性质可得当最大时，的面积最大，由于，故当最大时，的面积最大，可得当D点旋转到的延长线上时，最大，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵点，分别为，的中点． ∴ ∵点，分别为，的中点． ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点，分别为，的中点． ∴， ∵点，分别为，的中点． ∴， ∴， 设的延长线交于O，交于H，如图，      ∵，， ∴，即， ∴，即， ∴是等腰直角三角形； （3）∵是等腰直角三角形， ∴的面积， ∴当最大时，的面积最大， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 由题意可得，当D点旋转到的延长线上时，最大，如图，      则在直角三角形中，根据勾股定理可得．   【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理、证明三角形全等是解题的关键． 【题型二： 与中位线有关的证明 】 1．（2024春•中阳县月考）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接ED并延长至点F，延长BC至点G，使得DF＝CG，连接FG．求证：GF＝CD． 【分析】由D，E分别是AC，AB的中点，根据三角形的中位线定理得DE∥BC，则DF∥CG，而DF＝CG，所以四边形CDFG是平行四边形，则FG＝CD． 【详解】证明：∵D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE∥BC， ∵点F，点G分别在ED、BC的延长线上， ∴DF∥CG， ∵DF＝CG， ∴四边形CDFG是平行四边形， ∴FG＝CD． 【点睛】此题重点考查三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，证明DF∥CG是解题的关键． 2．（2024春•武功县期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF． 【分析】根据三角形中位线的性质得到FGAD，EGBC，由AD＝BC，于是得到FG＝GE，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点， ∴FGAD，EGBC， ∵AD＝BC， ∴FG＝GE， ∵H是EF的中点， ∴GH⊥EF． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定和性质，少了掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 3．（2024上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，在上，与均为等边三角形，分别是的中点，连接．求证：为等边三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，取的中点M，连接，得出为等边三角形，利用等边三角形的性质和中点的性质得出，进而可证出，由此得出，即可得出答案，合理作出辅助线得出三角形全等是解决此题的关键． 【详解】取的中点M，连接， ∵与均为等边三角形， ∴， ∵F，H，G分别是的中点，M为的中点， ∴， ∴， 又， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 4．（2024上·辽宁辽阳·八年级校考期末）如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，与有怎样的位置关系？请说明理由； 【分析】（1）因为E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，所以是的中位线，是的中位线，故，，，，即，，即可作答； （2）因为E是的中点，H是的中点，所以是的中位线，则，，由（1）知，结合，得，又因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）证明：因为E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，所以是的中位线， 所以是的中位线，是的中位线， 故，，，， 那么，， 所以四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： 因为E是的中点，H是的中点， 所以是的中位线， 则，， 因为，且结合由（1）知， 所以， 因为四边形是平行四边形， 因为 因为四边形是平行四边形， 故 【点睛】本题考查了中位线的性质、平行四边形的判定与性质，以及菱形的判定等知识内容；中位线的性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（2024秋•广饶县期末）【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论； 【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可； 【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MHAC，NH∥BD且NHBD，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DEBC； 理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC； 【应用】连接BD，如图所示， ∵E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， ∵BC＝5，CD＝3， ∴BD2+CD2＝25，BC2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°； 【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH． ∵M、H分别是AD、DC的中点， ∴MH是△ADC的中位线， ∴MH∥AC且MHAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）， 同理可得NH∥BD且NHBD． ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∵MH∥AC，NH∥BD， ∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM， ∴∠HMN＝∠HNM， ∴MH＝NH， ∴AC＝BD． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 【题型一：与中位线有关的规律探究问题 】 1．（2024秋•福山区期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（　　） A．a B．a C．a D．a 【分析】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长a，△A2B2C2的周长aa，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点， ∴B1C1BC，A1C1AC，A1B1AB， ∴△A1B1C1的周长a， 同理，△A2B2C2的周长aa， …… 则△AnBn∁n的周长a， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，正确找出三角形的周长的变化规律是解题的关键． 2．（2024•东营区校级开学）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形．则这个小三角形的周长为 　 　． 【分析】根据三角形中位线定理依次可求得第二个三角形和第三个三角形的周长，可找出规律，进而可求得第3个三角形的周长． 【详解】解：如图，∵E、F分别为AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴． 同理可得，， ∴， 即△DEF的周长的周长， ∴第二个三角形的周长是原三角形周长的， 同理可得△GHI的周长的周长的周长的周长， ∴第三个三角形的周长是原三角形周长的， ∵△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴第三个三角形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 3．（2023下·云南文山·八年级统考期末）如图，的三边长分别为，，，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，依次类推，第次组成的三角形的周长 ． 【分析】以的三边中点为顶点组成的新三角形的三边是原三角形的中位线，根据三角形的中位线定理可得：三角形的中位线等于第三边的一半．故第一个新三角形的周长为周长的一半．按照这个规律，即可得第个三角形的周长． 【详解】解：如下图：点，是和的中点， 是的一条中位线， ， 同理可得：； ． 的周长为：， 第一个小三角形的周长为：； 同理可得： 第二个小三角形的周长为：； 第三个小三角形的周长为： ； 依次类推： 第个小三角形的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线的定义及定理，识别中位线并熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．连接三角形两边中点的线段叫做中位线．中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 4．（2024春•沿河县期中）如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…以此类推，则△A2022B2022C2022的周长是 　 　． 【分析】由三角形的中位线定理得：B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推，利用规律可求出△A2022B2022C2022的周长． 【详解】解：∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7， ∴△A1B1C1的周长是16， ∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点， ∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半， ∴△A2B2C2的周长是16＝8， 同理，△A3B3C3的周长是1616＝4， …， 以此类推，△AnBn∁n的周长是16， ∴△A2022B2022C2022的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$