课时作业(20)导数的概念及其意义、导数的运算(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(二十)　导数的概念及其意义、导数的运算 基础过关练 一、单项选择题 1．(2024·广东江门三模)若曲线y＝e2ax 在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0 垂直，则a＝ (　　) A．－2　　　　　　　B．－1　 C．1 D．2 答案　C 解析　直线x＋2y＋1＝0 的斜率为k＝－， 由题设知：y＝e2ax 在(0，1)处的切线的斜率为2，而y′＝2a·e2ax， ∴y′|x＝0＝2a＝2，可得a＝1.故选C. 2．已知函数f(x)＝a ln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　B 解析　因为f(x)＝a ln x＋x2， 所以f′(x)＝＋2x. 又函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0， 所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1， 则f(x)＝ln x＋x2， 所以f(1)＝1，代入切线方程得3－1＋b＝0， 解得b＝－2，故a＋b＝－1. 3．(2025·大连测试)已知曲线y＝x3＋2ax2＋x＋b在点(1，0)处的切线的倾斜角为，则a＋b＝ (　　 ) A．－　 B．－　 C．－2 D．－ 答案　A 解析　f′(x)＝3x2＋4ax＋1，由题意可知，切线的斜率k＝tan ＝－1， 则解得a＝－，b＝， 所以a＋b＝－ .故选A. 4．(2025·绵阳模拟)若曲线f(x)＝ax－ln x 与直线x－2y＋2－2ln 2＝0 相切，则实数a＝ (　　) A．－1　 B．1 C．2 D．e 答案　B 解析　直线x－2y＋2－2ln 2＝0，即y＝x＋1－ln 2， 对于f(x)＝ax－ln x，则f′(x)＝a－， 设切点坐标为(x0，ax0－ln x0)，切线斜率k＝f′(x0)＝a－， 则切线方程为y－(ax0－ln x0)＝(x－x0)，即y＝x＋1－ln x0， 由题意可得解得故选B. 5．(2025·成都川大附中模拟)若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为(　　) A．　 B．　 C．2　 D．4 答案　C 解析　过点P作曲线y＝ln x－x2的切线， 当切线与直线l：x＋y－4＝0平行时， 点P到直线l：x＋y－4＝0的距离最小． 设切点为P(x0，y0)(x0>0)， 又y′＝－2x， 所以切线斜率k＝－2x0， 由题意知－2x0＝－1， 解得x0＝1或x0＝－(舍)， 所以P(1，－1)， 此时点P到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝＝2. 6．若直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex+1均相切，则l的斜率为(　　) A．　 B．1　 C．2　 D．e 答案　B 解析　由y＝ex＋1，可得y′＝ex. 由y＝ex+1，可得y′＝ex+1. 设两个切点分别为(x1，ex1＋1 )和(x2，ex2＋1 )， 直线l的斜率k＝ex1＝ex2＋1, 故x1＝x2＋1，即x1≠x2， 所以k＝ ＝＝1， 即直线l的斜率为1. 二、多项选择题 7．(2025·贵州黔东南质检)已知函数f(x)＝x3－3x＋1，则过点(1，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程可以为(　　) A．2x＋y－1＝0　 B．y＝－1　 C．9x＋4y－5＝0　 D．3x＋2y－1＝0 答案　BC 解析　由f(x)＝x3－3x＋1，得f′(x)＝3x2－3, 设切点坐标为(t，t3－3t＋1)，则f′(t)＝3t2－3, 则过切点的切线方程为y＝(3t2－3)(x－t)＋t3－3t＋1， 把点(1，－1)代入，可得－1＝(3t2－3)(1－t)＋t3－3t＋1， 整理得：(t－1)2(2t＋1)＝0，即t＝1 或t＝－. 当t＝－ 时，切线方程为9x＋4y－5＝0； 当t＝1 时，切线方程为y＝－1.故选BC. 8．(2025·唐山质检)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x－cos x B．f(x)＝ln x－3x C．f(x)＝－x3＋3x－1 D．f(x)＝xe－x 答案　BCD 解析　对于A，f′(x)＝cos x＋sin x， f″(x)＝－sin x＋cos x＝－sin ， 当x∈时，sin <0， f″(x)＝－sin >0，故A错误； 对于B，f′(x)＝－3，f″(x)＝－<0在上恒成立，故B正确； 对于C，f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x<0在上恒成立，故C正确； 对于D，f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x， f″(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x， 因为x∈，所以2－x>0， 所以f″(x)＝－(2－x)e－x<0在上恒成立，故D正确． 三、填空题 9．(2025·广东惠州博师高中质检)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋x ln x，则f′(1)＝ ________． 答案　－1 解析　函数f(x)＝2xf′(1)＋x ln x，求导得f′(x)＝2f′(1)＋1＋ln x， 当x＝1 时，f′(1)＝2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1. 10．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x 在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a 的切线，则a＝ __________． 答案　ln 2 解析　由y＝ex＋x 得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2， 故曲线y＝ex＋x 在(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1. 由y＝ln (x＋1)＋a 得y′＝， 设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a 相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)， 由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为， 切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2， 根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. 四、解答题 11．(2025·新疆和田质检)已知函数f(x)＝x3＋a，点A(0，0)在曲线y＝f(x)上． (1)求曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线方程； (2)求曲线y＝f(x)过点E(2，0)的切线方程． 解　(1)由题意f(0)＝0＋a＝0⇒a＝0，故f(x)＝x3， 所以f′(x)＝3x2⇒f′(－1)＝3，而f(－1)＝－1， 所以曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线方程为y＋1＝3(x＋1)⇒3x－y＋2＝0. (2)令所求切线在曲线y＝f(x)上的切点为(m，m3)，则f′(m)＝3m2， 所以切线方程为y－m3＝3m2(x－m)⇒3m2x－y－2m3＝0， 又E(2，0)在切线上，故6m2－2m3＝0⇒m＝0 或m＝3， 所以切线方程为y＝0或27x－y－54＝0. 12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝， 又∵f′(x)＝a＋， ∴解得 ∴f(x)＝x－. (2)设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点， 由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0). 令x＝0，得y＝－， ∴切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， ∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). ∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. 考能提升练 13．(2024·海口模拟)已知存在a>0，使得两曲线f(x)＝a ln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为________． 答案　－3 解析　f′(x)＝，g′(x)＝2x－3， 令f′(x)＝＝1，得x＝a，∴切点为(a，a ln a)， 令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2， ∴切点为(2，－2－b). 将点(2，－2－b)代入切线方程y－a ln a＝x－a，可得－2－b－a ln a＝2－a，则b＝a－a ln a－4， 令h(x)＝x－x ln x－4，x>0，则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0， ∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h(x)max＝h(1)＝－3，即b的最大值为－3. 14．(2025·成都模拟)已知f(x)＝ln x＋x2. (1)求曲线f(x)在x＝1 处的切线方程； (2)设P为曲线f(x)上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α 的取值范围． 解　(1)∵f(x)＝ln x＋x2， ∴f′(x)＝＋x， 当x＝1时，f′(1)＝，f(1)＝， ∴曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝(x－1)，即10x－8y－9＝0. (2)由题意x>0，f(x)＝ln x＋x2， ∴f′(x)＝＋x≥2＝1，当且仅当＝x 即x＝2 时，等号成立， ∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1， ∴tan α≥1，又0≤α<π， ∴≤α<，即倾斜角α 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$