课时作业(19)函数模型的应用(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(十九)　函数模型的应用 一、单项选择题 1．(2025·内江模拟)现有一组关于速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的实验数据如表： t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) A．v＝log2t 　　　　　　B．v＝logt C．v＝　 D．v＝2t－2 答案　C 解析　从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快， A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意； B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意， C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意； D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意． 2．心理学家经常用函数L(t)＝A(1－e－kt)测定时间t(单位：min)内的记忆量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．已知一个学生在5 min内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率k约为(ln 0.9≈－0.105，ln 0.1≈－2.303)(　　) A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661 答案　A 解析　由题意可得20＝200(1－e-5k)， 则e-5k＝＝0.9， 两边取以e为底的对数并整理得k＝≈0.021. 3．(2025·广西联考)燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度(单位：m/s )可以表示为函数v＝10log2，其中Q表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度v＝20 m/s 时，它的耗氧量为(　　) A．30 B．60 C．40 D．80 答案　C 解析　因为v＝10log2，将v＝20 m/s代入，则20＝10log2， 则2＝log2，所以22＝， 所以Q＝22×10＝40，故选C. 4．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于40 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取lg 2≈0.301，lg 3≈0.477 )(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案　B 解析　设石片第n 次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.9n-1， ∵100×0.9n-1<40， ∴0.9n-1<0.4，则(n－1)lg 0.9<lg 0.4， 即n－1>＝＝≈8.7，解得n>9.7， 故至少需要“打水漂”的次数为10.故选B. 5．火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝10lg .若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为(　　) A．130 dB　 B．140 dB　 C．150 dB　 D．160 dB 答案　B 解析　设人交谈时的声强为x1， 则火箭发射时的声强为109x1， 则50＝10lg ， 解得x1＝10-7， 则火箭发射时的声强为109×10-7＝102， 将其代入d(x)＝10lg 中， 得d(102)＝10lg ＝140(dB)， 故火箭发射时的声强级约为140 dB. 6．(2025·南昌模拟)水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q(单位：L/min)计算公式为q＝K 和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为N＝ 计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力(单位：MPa)，K为水雾喷头的流量系数(其值由喷头制造商提供)，S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度(单位：L/min·m2 ).水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35 MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为14 m2，保护对象的设计喷雾强度W为20 L/min·m2 时，保护对象的水雾喷头的数量N约为(参考数据：≈1.87 )(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 答案　C 解析　依题意，P＝0.35 MPa，K＝24.96，S＝14 m2，W＝20 L/min·m2， 由q＝K，N＝，得N＝＝≈≈6， 所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个．故选C. 二、多项选择题 7．(2025·潍坊模拟)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(　　) A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元 B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡 C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用 答案　ABD 解析　图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，故A正确； 图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确； 图②游乐场实行的措施是提高门票的售价， 故C错误； 图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确． 8．(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．不同声源的声压级如表所示： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　 B．p2>10p3 C．p3＝100p0　 D．p1≤100p2 答案　ACD 解析　因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大， 且Lp1 ∈[60，90]，Lp2 ∈[50，60]， 所以Lp1≥Lp2, 所以p1≥p2，故A正确； 由Lp＝20×lg ，得p＝p010， 因为Lp3 ＝40， 所以p3＝p010 ＝100p0，故C正确； 假设p2>10p3，则p010＞10p010， 所以10－>10, 所以Lp2－Lp3＞20，不可能成立，故B不正确； 因为＝＝10－＋2≥1, 所以p1≤100p2，故D正确． 三、填空题 9．(2025·北京密云质检)一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (单位：辆)与创造的价值y (单位：元)之间的关系为：y＝－20x2＋2200x .如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生产的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是_______________． 答案　摩托车数量在51到59辆 解析　由题意得－20x2＋2200x>60000，化简得x2－110x＋3000<0， 得(x－50)(x－60)<0，解得50<x<60， 因为x 取正整数， 所以该工厂在这周内生产的摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标． 10．(2025·温州联考)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85 ℃的开水泡制，再等茶水温度降至55 ℃时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是T0 ℃，经过一定时间t(单位：min)后的温度T(单位：℃)可由公式T－Tα＝(T0－Tα) 求得，其中Tα表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85 ℃的绿茶放在室温为25 ℃的房间中，如果茶温降到40 ℃需要20 min，那么在25 ℃室温下，用85 ℃的开水刚泡好的绿茶大约需要放置________ min才能达到最佳饮用口感． 答案　10 解析　由题意得40－25＝(85－25)×， 所以＝， 设一杯85 ℃的绿茶放在室温为25 ℃的房间中，茶温降到55 ℃需要t min， 则55－25＝(85－25)×， 所以＝， 因为＝＝所以t＝10. 四、解答题 11．(2025·广东清远质检)在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的3组数据如下表所示． x 2 3 5 y 3.5 4.5 5.5 (1)当x≥2 时，根据表中数据分别用模型y＝loga(x＋c)＋b 和y＝m＋k 建立y 关于x 的函数解析式； (2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为(1)中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由；(参考数据：≈7.6 ) (3)请用(2)中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量． 解　(1)当x≥2 时，y＝loga(x＋c)＋b， 由图表数据可得loga(2＋c)＋b＝3.5， loga(3＋c)＋b＝4.5，loga(5＋c)＋b＝5.5， 联立上式，解方程可得a＝2，b＝3.5，c＝－1， 则y＝log2(x－1)＋3.5； 当x≥2 时，y＝m＋k， 由图表数据可得m＋k＝3.5， m＋k＝4.5，m＋k＝5.5 联立上式，解方程可得m＝，n＝－，k＝3， 则y＝ ＋3. (2)考虑①y＝log2(x－1)＋3.5，由x＝9， 可得y＝log28＋3.5＝6.5，而 |6.5－6.2|＝0.3<0.5， 可得模型①y＝log2(x－1)＋3.5 是“理想函数模型”； 考虑②y＝ ＋3，由x＝9，可得 y＝× ＋3＝＋3 ≈3.8＋3＝6.8, 而|6.8－6.2|＝0.6>0.5， 所以模型②不是“理想函数模型”． (3)由(2)可得x＝17 时， y＝log2(17－1)＋3.5＝4＋3.5＝7.5(百万个). 12．(2025·株洲模拟)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8-12≈14.6，精确到1分钟) 解　(1)当x∈[0，16]时， 设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)， 因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80， 所以b＝－，所以f(x)＝－(x－12)2＋84； 当x∈[16，40]时，f(x)＝log0.8(x＋a)＋80， 由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80，解得a＝－15， 所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80， 综上，f(x)＝ (2)当x∈[0，16]时， 令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68， 即(x－12)2≥64， 解得x≤4或x≥20(舍去)， 所以x∈[0，4]； 当x∈[16，40]时， 令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68， 得x≥15＋0.8-12≈29.6， 所以x∈[30，40]， 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟). 学科网（北京）股份有限公司 $$