课时作业(18)函数与方程的综合应用(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(十八)　函数与方程的综合应用 一、单项选择题 1．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a的取值范围是(　　) A．(0，3)　　　　 　 　B．[0，3] C．(－3，0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　令f(x)＝－x2＋ax＋4， 则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1， 由二次函数的图象可知， 即 解得0<a<3. 2．(2025·大连模拟)设函数f(x)＝ 有且只有一个零点的充分条件是(　　) A．a<0　 B．0<a< C．<a<1　 D．a≥1 答案　A 解析　因为函数f(x)恒过点(1，0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔ 函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔ 函数y＝2x(x≤0)的图象与直线y＝a 无交点，数形结合可得，a≤0 或a>1， 即函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a≤0或a>1， 只有选项A是函数有且只有一个零点的充分条件，故选A. 3．若函数f(x)＝x－，则方程f2(x)－f(x)－6＝0 的实根个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　A 解析　由f(x)＝x－＝ 则可作出函数f(x)＝x－ 的图象如下， 由方程f2(x)－f(x)－6＝0，得f(x)＝3 或f(x)＝－2， 所以方程f2(x)－f(x)－6＝0 的实根个数为3.故选A. 4．(2025·南通质检)已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－f(－x)有五个零点，则实数a 的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(0，2) C．(－∞，－2)　 D．(－2，0) 答案　D 解析　当x≥0 时，f(x)＝x|x－2|, 则－x≤0，f(－x)＝－ax，此时f(x)－f(－x)＝0⇒x|x－2|＝－ax，则x＝0 或－a＝|x－2|， 当x<0 时，f(x)＝ax, 则－x>0，f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|，此时f(x)－f(－x)＝0⇒－x|x＋2|＝ax，则－a＝|x＋2|， 故问题转为－a＝|x－2|(x≥0), －a＝|x＋2|，(x<0)共有四个零点， 画出函数图象如下可知：则0<－a<2⇒－2<a<0，故选D. 5．函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－2的零点个数为(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 答案　B 解析　令t＝f(x)，则函数y＝f(t)－2＝0， 下面解方程f(t)＝2， 当t≤0时，由t2＋t＝2，得t＝－2或t＝1(舍去)， 当t>0时，由log2(t＋1)＝2，得t＝3. 所以f(t)＝2的两根为t1＝－2，t2＝3. 由f(f(x))＝2得f(x)＝－2或f(x)＝3， 若f(x)＝－2，则当x≤0 时，x2＋x＝－2，无解， 当x>0 时，log2(x＋1)＝－2，无解； 若f(x)＝3，则当x≤0 时，x2＋x＝3， 解得x1＝(舍正)， 当x>0 时，令log2(x＋1)＝3，解得x2＝7， 所以y＝f(f(x))－2的零点个数为2. 6．若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是(　　) A． B．(－∞，0 ] C． D． 答案　A 解析　令t＝2x(t>0)，则t是增函数，令y＝t＋， 由对勾函数的性质知y＝t＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1时，ymin＝2，此时x＝0， 因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0， f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤且m≠0. 综上，m≤. 二、多项选择题 7．关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有(　　) A．存在实数k，使得方程无实根 B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根 D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根 答案　AB 解析　设t＝x2－2x，方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0.(*) 当k>1时，方程(*)无实根，故原方程无实根． 当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1. 当k<1时，方程(*)有两个不同的实根t1，t2(t1<t2)， 由t1＋t2＝－2可知，t1<－1，t2>－1. 因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1无实根，x2－2x＝t2有两个不同的实根． 综上可知，A，B项正确，C，D项错误． 8．(2025·西安质检)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m 有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则下列结论正确的是(　　) A．m的取值范围为(0，1)　 B．x3 的取值范围为[2，＋∞) C．2x1＋2x2＝2 D．2x1＋x2 最大值为1 答案　AC 解析　作出函数f(x)＝ 图象如图所示， 由图可得0<m<1，A正确； 当＝1 时，x＝2, 故x3>2，B错误； 由|2x1－1|＝|2x2－1|, 且x1<0<x2<1， 故－(2x1－1)＝2x2－1, 可得2x1＋2x2＝2，C正确； 由2＝2x1＋2x2≥2， 可得2x1＋x2≤1, 又x1≠x2，故等号不成立， 即2x1＋x2<1，D错误，故选AC. 三、填空题 9．(2025·四川雅安质检)已知函数f(x)＝ 若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是__________． 答案　a>3或1<a≤2 解析　由－2＝0，得2x＝8，得x＝3； 由x2－3x＋2＝0，得(x－1)(x－2)＝0，得x＝1 或x＝2， 因为f(x)恰有2个零点， 所以若x＝1 和x＝2 是函数f(x)的零点，则x＝3 不是函数f(x)的零点，则a>3； 若x＝1 和x＝3 是函数f(x)的零点，则x＝2 不是函数f(x)的零点，则1<a≤2， 若x＝2 和x＝3 是函数f(x)的零点，x＝1 不是函数f(x)的零点，则不存在这样的a. 综上所述：实数a的取值范围是a>3或1<a≤2. 10．(2025·永州模拟)对于函数y＝f(x)，若存在非零常数x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝则曲线f(x)的“优美点”个数为________． 答案　4 解析　若x≤0，f(x)＝－x2－2x，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x2－2x(x≥0)， 在同一直角坐标系中画出g(x)＝x2－2x(x≥0)和f(x)＝x－(x>0)的图象， 此时有两个“优美点”(x0，f(x0))， 满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图①. 若x>0，f(x)＝x－，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x－(x<0)， 在同一直角坐标系中画出g(x)＝x－(x<0)和f(x)＝－x2－2x(x≤0)的图象， 此时有两个“优美点”(x0，f(x0))， 满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图②. 综上可知，满足题意的“优美点”有4个． 学科网（北京）股份有限公司 $$