课时作业(17)函数的零点与方程的解(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(十七)　函数的零点与方程的解 基础过关练 一、单项选择题 1．下列函数的图象均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是(　　) 答案　C 解析　由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C. 2．(2025·临沂模拟)函数f(x)＝ln x＋2x－5的零点所在的区间是(　　) A．(1，2)　　　　　　　B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 答案　B 解析　由于y＝ln x，y＝2x－5在(0，＋∞)上都单调递减，故函数f(x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋1>0，即f(2)f(3)<0，故f(x)＝ln x＋2x－5在(2，3)内有唯一零点． 3．(2025·重庆检测)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(精确度为0.1)为(　　) x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f(x) 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 A.0.55　 B．0.57 C．0.65　 D．0.7 答案　B 解析　易知f(x)在[0，1]上单调递增， 由表格得f(0.562 5)f(0.625)<0， 且|0.625－0.562 5|＝0.062 5<0.1， ∴函数零点在(0.562 5，0.625)内， ∴根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57. 4．若函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，e2)　 B．(1，2) C．(1，e2＋1)　 D． 答案　C 解析　∵f(x)＝ln x＋x2－a， ∴f(x)在(1，e)上单调递增． 又函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0， 即解得1<a<e2＋1. 故实数a的取值范围为(1，e2＋1). 5．(2025·聊城期末)已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝x3＋x＋1 的零点分别为a，b，c，则(　　) A．f(a)>f(b)>f(c)　 B．f(b)>f(c)>f(a) C．f(c)>f(a)>f(b)　 D．f(b)>f(a)>f(c) 答案　B 解析　由f(x)＝2x＋x＋1＝0，得2x＝－x－1，所以a 为y＝2x 与y＝－x－1 图象交点的横坐标， 由g(x)＝log2x＋x＋1，得log2x＝－x－1，所以b 为y＝log2x 与y＝－x－1 图象交点的横坐标， 由h(x)＝x3＋x＋1＝0，得x3＝－x－1，所以c 为y＝x3 与y＝－x－1 图象交点的横坐标， 分别作出y＝2x，y＝log2x，y＝x3 和y＝－x－1 的图象，则由图象可得a<c<b， 因为y＝2x 和y＝x＋1 在R上单调递增，所以f(x)＝2x＋x＋1 在R上单调递增， 所以f(b)>f(c)>f(a)，故选B. 6．(2025·河南驻马店高级中学质检)享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，y＝[x]被称为“高斯函数”，其中x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.1]＝2，[3]＝3，[－1.5]＝－2，设x0 为函数f(x)＝x＋lg x－5 的零点，则[x0]＝ (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　因为函数f(x)＝x＋lg x－5 在(0，＋∞)上单调递增，且f(4)＝lg 4 －1<0，f(5)＝lg 5>0， 则存在唯一零点x0∈(4，5)，使得f(x0)＝0，由高斯函数的定义可知，[x0]＝4.故选B. 二、多项选择题 7．(2025·安康模拟)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－8　 B．f(x)＝(x＋1)－2 C．f(x)＝2x-1－1　 D．f(x)＝1－ln (x＋2) 答案　BCD 解析　对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4， ∴f(x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误； 对于B，∵f(x)＝(x＋1)－2 在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0， 即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确； 对于C，∵f(x)＝2x-1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确； ∵f(x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数， 且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0， 即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确． 8．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝2x＋2x＋b(b 为常数)，则(　　) A．b＝－1　 B．f(－3)＝－13 C．f(－3)＝－　 D．函数f(x)仅有一个零点 答案　ABD 解析　对A：因为f(x)是R上的奇函数，故f(0)＝20＋b＝0，解得b＝－1，故A正确； 对BC：f(－3)＝－f(3)＝－(23＋2×3－1)＝－13，故B正确，C错误； 对D：当x>0 时，f(x)＝2x＋2x－1.因为y＝2x 是增函数，y＝2x－1 也是增函数， 故f(x)在(0，＋∞)上也是单调增函数，f(x)为奇函数，故f(x)在R上是单调增函数，至多有一个零点． 又f(0)＝0，故f(x)仅有一个零点，D正确．故选ABD. 三、填空题 9．(2025·台州模拟)若x0 是方程ex＋x＝2 的解，则x0 在区间________内(填序号). ①(－2，－1)；②(－1，0)；③(0，1)；④(1，2). 答案　③ 解析　构造函数f(x)＝ex＋x－2，则f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0， 显然函数f(x)是单调递增函数，且连续不间断，故其有且只有一个零点， ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，则函数f(x)的零点在区间(0，1)上， 所以ex＋x＝2 的解在区间(0，1)上． 10．(2025·咸阳模拟)已知函数f(x)＝x＋x3，g(x)＝x＋3x，h(x)＝x＋log3x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小顺序为________． 答案　x3>x1>x2 解析　依题意令f(x)＝x＋x3＝0，得x3＝－x， 同理可得3x＝－x，log3x＝－x， 则函数的零点转化为y＝x3，y＝3x，y＝log3x与y＝－x的图象交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示． 由图可得x1＝0，x2<0，x3>0，即x3>x1>x2. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b.求证： (1)a＞0且－3＜＜－； (2)函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点． 证明　(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－， ∴c＝－a－b.∵3a＞2c＝－3a－2b， ∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b. 若a＞0，则－3＜＜－； 若a＝0，则0＞－b，0＞b，不成立； 若a＜0，则＜－3，＞－，不成立． 综上，a＞0且－3＜＜－. (2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－， Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0. 当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0， ∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点； 当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0， ∴f(x)在(0，2)内有一个零点； 当c＜0时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f(x)在(0，2)内有一个零点． 综上，f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 12．(2025·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋a ln (1－x)(a∈R)的图象关于原点对称． (1)求a的值； (2)若g(x)＝ef(x)－有零点，求m的取值范围． 解　(1)由函数的解析式可得 解得－1<x<1，故函数的定义域为(－1，1). 由题意可得，函数f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 即ln (1－x)＋a ln (1＋x)＝－[ln (1＋x)＋a ln (1－x)]， 即(1＋a)ln (1－x)＋(a＋1)ln (1＋x)＝0， 故(1＋a)ln (1－x2)＝0在(－1，1)上恒成立， 所以1＋a＝0，解得a＝－1. (2)由(1)得f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)＝ln ， 由题意可得ef(x)－＝0在x∈(－1，1)上有解， 即＝在x∈(－1，1)上有解， 即3x＝－2m－1在x∈(－1，1)上有解， 所以x＝－m－∈(－1，1)， 即－1<－m－<1，解得－2<m<1， 所以m的取值范围是(－2，1). 考能提升练 13．(多选)(2024·衡水检测)已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1　 B．x3x4＝1 C．1<x4<2　 D．0<x1x2x3x4<1 答案　BCD 解析　作出函数f(x)＝的图象如图所示， 由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1<x2<0； 当y＝1时，由|log2x|＝1，得x＝或x＝2， 所以<x3<1<x4<2. 由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|， 即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1， 则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1). 14．(2025·杭州模拟)对于函数y＝f(x)(x∈I)，若存在x0∈I，使得f(x0)＝x0，则称x0 为函数y＝f(x)的“不动点”．若存在x0∈I，使得f(f(x0))＝x0，则称x0 为函数y＝f(x)的“稳定点”．记函数y＝f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．经研究发现：若函数f(x)为增函数，则A＝B.设函数f(x)＝(a∈R)，若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a 的取值范围是__________． 答案　 解析　因为f(x)＝(a∈R)是增函数， 所以f(f(b))＝b 等价于f(b)＝b，即＝b，所以a＝b－b2， 而a＝b－b2 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以amax＝，而当b＝0 时，a＝0；当b＝1 时，a＝0，即amin＝0， 所以a 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$