课时作业(14)对数与对数函数(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(十四)　对数与对数函数 基础过关练 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝logax＋2 (a>0，且a≠1 )在[1，3]上的值域为[2，4]，则实数a的值是(　　) A．　　　　　 　 　　B． C．2 D． 答案　A 解析　若0<a<1，则f(x)＝logax＋2 在[1，3]上单调递减，则loga3＋2≤f(x)≤2，不符合题意； 若a>1，则f(x)＝logax＋2 在[1，3]上单调递增，则2≤f(x)≤loga3＋2， 又因为f(x)的值域为[2，4]，所以loga3＋2＝4，解得a＝.故选A. 2．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c 的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案　B 解析　因为y＝4.2x 在R上递增，且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b， 因为y＝log4.2x 在(0，＋∞)上递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c，故选B. 3．(2025·长春质检)函数y＝log0.5(－x2＋4x)的单调递增区间是(　　) A．[2，4) B．[2，＋∞) C．(0，2] D．(－∞，2] 答案　A 解析　令－x2＋4x>0，解得0<x<4， 即函数y＝log0.5(－x2＋4x)的定义域为(0，4)， 因为二次函数y＝－x2＋4x 在(0，2)单调递增，[2，4)单调递减， 所以y＝log0.5(－x2＋4x)在(0，2)单调递减，[2，4)单调递增，故选A. 4．已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a>0，b<－1 B．a>0，－1<b<0 C．0<a<1，b<－1 D．0<a<1，－1<b<0 答案　D 解析　因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数， 所以0<a<1， 又因为函数图象与x轴的交点在正半轴， 所以令x－b＝1，则x＝1＋b>0，即b>－1. 又因为函数图象与y轴有交点， 所以b<0，所以－1<b<0. 5．(2025·南昌模拟)若函数f(x)＝log2(4－x＋a)在区间[－1，0]上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a 的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　令μ＝4－x＋a，则函数μ＝4－x＋a 为减函数， 又函数y＝log2μ 为增函数， 所以函数f(x)是减函数， 故f(x)在区间[－1，0]上的最大值是f(－1)＝log2(4＋a)，最小值是f(0)＝log2(1＋a)， 由题设得log2(4＋a)－log2(1＋a)≥3， 则log2(4＋a)≥log2(8a＋8)， 所以解得－1<a≤－， 故实数a 的取值范围是.故选A. 6．(2025·湖南临澧一中质检)已知loga<2<，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(0，1) C． D． 答案　A 解析　当0<a<1时，loga<2＝logaa2，即a2<，即0<a<， 又>2，即22-2a>2，故2－2a>1，即0<a<. 当a>1 时，由<1<2，无解， 综上，实数a的取值范围是.故选A. 二、多项选择题 7．(2025·西宁模拟)已知函数f(x)＝ln (x＋2)＋ln (4－x)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为(－2，4) B．f(x)在区间(－2，1)上单调递增 C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 答案　ABD 解析　令解得－2<x<4， 所以f(x)的定义域为(－2，4)，故A正确； 函数f(x)＝ln (x＋2)＋ln (4－x) ＝ln [(x＋2)(4－x)] ＝ln (－x2＋2x＋8)(－2<x<4)， 令t＝－x2＋2x＋8，则函数t＝－x2＋2x＋8在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减， 又y＝ln t是增函数， 所以f(x)在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，故B正确，C错误； 又t＝－x2＋2x＋8的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确． 8．(2025·湖南名校联考)已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是(　　) A．4 B．log2271 C．e2 D．8 答案　AC 解析　因为f(x)＝ 是R上的单调递增函数， 所以解得即4≤a<8， 故选项A正确，选项D错误； 因为log2271>log2256＝8，且8＝>(2.8)2>e2>22＝4， 所以选项B错误，选项C正确．故选AC. 三、填空题 9．计算：lg 25＋lg 8－log227×log32＋2log23 ＝________． 答案　2 解析　原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2. 10．(2025·合肥质检)函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________． 答案　－ 解析　因为f(x)＝log2x·log2(2x)＝log2x·(log2x＋1)， 令t＝log2x，则t∈R，则f(x)＝t(t＋1)， 因为y＝t(t＋1)＝t2＋t＝－≥－，当且仅当t＝－ 时，等号成立， 所以f(x)的最小值为－. 四、解答题 11．(2025·云南楚雄质检)已知函数f(x)＝logax(a>0 且a≠1)在区间 上的最大值是2. (1)求a 的值； (2)若函数g(x)＝log2 的定义域为R，求不等式a1-3m>4 中m 的取值范围． 解　(1)当0<a<1 时，函数f(x)在区间 上是减函数， 因此当x＝ 时，函数f(x)取得最大值2，即loga＝2，因此a＝. 当a>1 时，函数f(x)在区间 上是增函数， 当x＝16 时，函数f(x)取得最大值2，即loga16＝2，因此a＝4. 故a＝ 或a＝4. (2)因为g(x)＝log2 的定义域为R， 所以Δ＝a2－1<0，则－1<a<1，即a＝， 代入不等式a1-3m>4，得>， 则1－3m<－2，解得m>1，因此m 的取值范围是(1，＋∞). 12．(2025·南昌模拟)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数． (1)求k的值； (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1). 解　(1)∵f(x)是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， 即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立， ∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1) ＝log3＝log33-2x＝－2x， ∴k＝－1. (2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)， 则不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0， 由7·3x－1>0，解得x>－log37. 由3x＋3－x≥7·3x－1， 得6·(3x)2－3x－1≤0， 得0<3x≤， 即x≤－log32， 综上，不等式的解集为{x|－log37<x≤－log32}． 考能提升练 13．(2025·辽宁期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，若a＝f(0.50.7)，b＝f，c＝f(－0.70.7)，则(　　) A．c<a<b B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b 答案　D 解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数， 则b＝f＝f(－log23)＝f(log23)，c＝f(－0.70.7)＝f(0.70.7)， 由y＝0.7x 在定义域内单调递减，则0.70.7<0.70＝1； 由y＝log2x 在定义域内单调递增，则log23>log22＝1. 由y＝x0.7 在(0，＋∞)内单调递增，则0.50.7<0.70.7. 故0.50.7<0.70.7<log23， 又因为在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以a<c<b.故选D. 14．(2025·温州模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若存在x1，x2∈[0，7]，使得f(x1)＝f(x2＋m)成立，则实数m 的取值范围为________． 答案　－7≤m≤7 解析　法一：因为存在x1，x2∈[0，7]，使得f(x1)＝f(x2＋m)成立， 所以f(x1)与f(x2＋m)的值域有交集， 因为f(x)＝log2(x＋1)， 当0≤x1≤7 时，1≤x1＋1≤8，则0≤log2(x＋1)≤3，即f(x1)的值域为[0，3]， 当0≤x2≤7 时，为使f(x2＋m)＝log2(x2＋m＋1)有意义， 则x2＋m＋1>0 能成立，即m>－x2－1 能成立，即m>(－x2－1)min， 因为－8≤－x2－1≤－1，所以m>－8， 此时m＋1≤x2＋m＋1≤m＋8，故f(x2＋m)的值域为[log2(m＋1)，log2(m＋8)]， 当f(x1)与f(x2＋m)的值域没有交集时，有log2(m＋8)<0 或log2(m＋1)>3， 则0<m＋8<1 或m＋1>8，即－8<m<－7 或m>7. 所以当f(x1)与f(x2＋m)的值域有交集时，－7≤m≤7. 法二：因为f(x)＝log2(x＋1)在(－1，＋∞)上是单调递增函数， 所以若存在x1，x2∈[0，7]，使得f(x1)＝f(x2＋m)成立，则有x1＝m＋x2，故m＝x1－x2， 因为0≤x1≤7，0≤x2≤7，则－7≤－x2≤0，所以－7≤x1－x2≤7，故－7≤m≤7， 同时，x2＋m>－1 在[0，7]上能成立，即m>－x2－1 能成立，即m>(－x2－1)min， 因为－8≤－x2－1≤－1，所以m>－8， 综上，－7≤m≤7. 学科网（北京）股份有限公司 $$