课时作业(12)二次函数与幂函数(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(十二)　二次函数与幂函数 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·成都石室中学模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm 在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4　　　　　 　　B．f(x)是减函数 C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数 答案　C 解析　函数f(x)＝(m2－3m－3)xm 为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4 或m＝－1. 当m＝4 时，f(x)＝x4 在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，排除A； 当m＝－1 时，f(x)＝x-1 在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意． 函数f(x)＝x-1 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，排除B； 因为函数定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C. 2．已知幂函数y＝(m2－3m＋3)xm+1 的图象关于y 轴对称，则m 等于(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．3 答案　A 解析　由于函数是幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1 或m＝2. 当m＝1 时，y＝x2，是偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意． 当m＝2 时，y＝x3，是奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 所以m 的值为1.故选A. 3．(2025·成都模拟)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[4，5]上是单调函数，则k的取值范围是(　　) A．[32，40] B．(－∞，32]∪[40，＋∞) C．(－∞，32] D．[40，＋∞) 答案　B 解析　因为f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为直线x＝，且其图象开口向上， 所以≤4或≥5，解得k≤32或k≥40， 所以k的取值范围是(－∞，32]∪[40，＋∞). 4．(2025·济南月考)已知f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A．f(a)<f(b)<f<f B．f<f<f(b)<f(a) C．f(a)<f(b)<f<f D．f<f(a)<f<f(b) 答案　B 解析　f(x)＝＝x-2 在(0，＋∞)上单调递减，0<a<b<1，故0<a<b<1<<， 故f<f<f(b)<f(a).故选B. 5．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5，6]，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，1] B．[1，3] C．(0，2] D．[1，2] 答案　D 解析　f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6， f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示， 由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5，6]， 由图可知，m的取值范围是[1，2]. 6．(2025·杭州质检)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－2n在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为(　　) A．－3 B．1 C．3 D．1或－3 答案　B 解析　因为函数f(x)是幂函数，则n2＋2n－2＝1， 所以n＝－3或n＝1. 当n＝－3时，f(x)＝x15在(0，＋∞)上是增函数，不合题意． 当n＝1时，f(x)＝x-1在(0，＋∞)上是减函数，成立．故选B. 二、多项选择题 7．(2025·合肥模拟)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)为偶函数 B．函数f(x)为增函数 C．当x>1时，f(x)>1 D．当0<x1<x2时，<f 答案　BCD 解析　由于函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)， 故有4α＝2，∴α＝， 故f(x)＝. 显然，函数f(x)为非奇非偶函数，且为增函数，故A错误，B正确； 当x>1时，f(x)＝>1，故C正确； 由于函数f(x)为上凸型函数， 故当0<x1<x2时，<f ，故D正确． 8．设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 答案　AB 解析　A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意； B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意； C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意； D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意． 三、填空题 9．(2025·杭州模拟)已知幂函数f(x)过点(2，)，则满足f(2－a)>f(a－1)的实数a 的取值范围是________． 答案　 解析　设幂函数f(x)＝xα，其图象过点(2，)，则2α＝，解得α＝，所以幂函数f(x)＝x，且函数在其定义域[0，＋∞)上单调递增． 因为f(2－a)>f(a－1)，所以解得1≤a<， 所以实数a的取值范围是. 10．已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为____________________． 答案　y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 解析　因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， 所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)， 展开得y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为＝－4a， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2， 所以|－4a|＝2，即a＝±， 所以二次函数的表达式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 四、解答题 11．(2025·南昌模拟)已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3 (m为正整数)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是严格减函数，求满足(a＋1)－>(3－2a)－ 的实数a的取值范围． 解　因为函数f(x)在(0，＋∞)上是严格减函数，所以m2－2m－3<0，解得－1<m<3. 由m为正整数，则m＝1 或m＝2， 又函数f(x)的图象关于y轴对称，得f(x)是偶函数， 而当m＝2 时，22－2×2－3＝－3，f(x)＝x-3 为奇函数，不符题意． 当m＝1 时，12－2×1－3＝－4，f(x)＝x-4 为偶函数，于是m＝1. 因为y＝x－ 为奇函数，在(－∞，0)与(0，＋∞)上均为严格减函数， 所以(a＋1)－>(3－2a)－ 等价于a＋1<3－2a<0 或3－2a>a＋1>0 或a＋1>0>3－2a， 解得－1<a< 或a>，即a∈∪. 12．(2025·郴州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足条件：①不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}；②函数y＝f(x)的图象过点(3，2). (1)求函数f(x)的解析式； (2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值． 解　(1)条件①：因为不等式f(x)<0的解集为 {x|1<x<2}， 所以1，2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， 所以即 条件②：函数y＝f(x)的图象过点(3，2)， 所以9a＋3b＋c＝2. 所以则 此时f(x)＝x2－3x＋2. (2)由(1)知g(x)＝x2－(m＋3)x＋2，其对称轴为直线x＝， 当≤1，即m≤－1时， g(x)min＝g(1)＝3－(m＋3)＝－m＝3， 解得m＝－3； 当≥2，即m≥1时， g(x)min＝g(2)＝6－(2m＋6)＝－2m＝3， 解得m＝－(舍去)； 当1<<2，即－1<m<1时， g(x)min＝g＝－＋2＝3，无解． 综上所述，所求实数m的值为－3. 考能提升练 13．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足<0，若a，b∈R，且a<0<b，|a|<|b|，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 答案　B 解析　因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，可得m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上单调递增，故不成立； 当m＝－1时，f(x)＝x-3，在(0，＋∞)上单调递减，满足条件， 故m＝－1，f(x)＝x-3，故f(x)为奇函数， 因为a<0<b，|a|<|b|，所以0<－a<b， 所以f(－a)>f(b)， 所以－f(a)>f(b)， 所以f(a)＋f(b)<0. 14．设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　) A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0 答案　B 解析　令f(x)＝g(x)，可得＝ax＋b. 设F(x)＝，G(x)＝ax＋b， 根据题意，F(x)的图象与G(x)＝ax＋b的图象只有两个交点， 不妨设x1<x2，结合图形可知，当a>0时(如图1)， G(x)＝ax＋b的图象与F(x)图象的左支相切，与右支有一个交点， 根据对称性可得|x1|>x2，即－x1>x2>0，此时x1＋x2<0，y2＝>＝－y1， ∴y1＋y2>0， 同理可得，当a<0时(如图2)， x1＋x2>0，y1＋y2<0. 学科网（北京）股份有限公司 $$