课时作业(11)函数性质的综合应用(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(十一)　函数性质的综合应用 基础过关练 一、单项选择题 1．已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－x2，则f(2 025.5)等于(　　) A．－0.75　　　　　　　B．－0.25 C．0.25 D．0.75 答案　A 解析　由f(x)＋f(x＋2)＝0， 得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)， 则f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一个周期， 故f(2 025.5)＝f(1.5)＝－f(－0.5)＝－f(0.5)＝－(1－0.52)＝－0.75. 2．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上单调递减，则函数f(x)(　　) A．在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减 B．在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增 C.在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减 D．在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增 答案　B 解析　∵f(x)＝f(2－x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∵f(x)在区间[1，2]上单调递减， ∴f(x)在区间[0，1]上单调递增， 又∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(2－x)＝f(－x)， ∴f(x)是周期为2的函数， ∴f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增． 3．(2025·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1，1)上单调递增，则(　　) A．f(－5.3)<f(5.5)<f(2) B．f(－5.3)<f(2)<f(5.5) C．f(2)<f(－5.3)<f(5.5) D．f(5.5)<f(2)<f(－5.3) 答案　B 解析　根据题意，函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)， 则有f(2－x)＝－f(－x)， 变形可得f(x＋2)＝－f(x)， 则有f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数， 易得f(x)的对称轴为直线x＝1， 因为f(x)在(－1，1)上单调递增， 所以f(x)在(1，3)上单调递减，f(5.5)＝f(1.5)，f(－5.3)＝f(2.7－8)＝f(2.7)， 因为1<1.5<2<2.7<3， 所以f(1.5)>f(2)>f(2.7)， 即f(－5.3)<f(2)<f(5.5). 4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且当x∈(2，4)时，f(x)＝－log(x－1)＋m，若＝f(－1)，则m等于(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　因为函数f(x)的图象关于原点对称， 所以f(x)为奇函数， 因为f(x＋1)＝－f(3－x)＝f(x－3)， 故函数f(x)的周期为4，则f(2 025)＝f(1)， 而f(－1)＝－f(1)， 所以由＝f(－1)可得f(1)＝， 而f(1)＝－f(3)＝log(3－1)－m＝， 解得m＝－. 5．(2025·甘肃张掖第一中学模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(3)＝0，且对任意的x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2，满足<0，则不等式(x－1)f(x＋1)≥0 的解集为(　　) A．(－∞，1]∪[2，＋∞) B．[－4，－1]∪[0，1] C．[－4，－1]∪[1，2] D．[－4，－1]∪[2，＋∞) 答案　C 解析　∵f(x－1)的图象关于点(1，0)对称， ∴f(x)的图象关于点(0，0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数， ∵ 对任意的x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2，满足<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减， 又f(3)＝0，所以f(－3)＝0，且f(0)＝0， 所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)>0；当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)<0， 所以由(x－1)f(x＋1)≥0 可得 或 或x－1＝0， 解得－4≤x≤－1 或1≤x≤2，即不等式(x－1)f(x＋1)≥0 的解集为[－4，－1]∪[1，2].故选C. 6．(2025·东北师大附中模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋x2 是奇函数，f(x)－x 是偶函数，设函数g(x)＝若对任意x∈[0，m]，g(x)≤3 恒成立，则实数m 的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因为f(x)＋x2 是奇函数，f(x)－x 是偶函数， 所以 解得f(x)＝x－x2， 由g(x)＝ 当x∈(1，2)时，则x－1∈(0，1)，所以g(x)＝2g(x－1)＝2f(x－1)， 同理：当x∈(2，3)时，g(x)＝2g(x－1)＝4g(x－2)＝4f(x－2)， 以此类推，可以得到g(x)的图象如下， 由此可得，当x∈(4，5)时，g(x)＝16f(x－4)， 由g(x)≤3，得16(x－4)(5－x)≤3，解得x≤ 或x≥， 又因为对任意的x∈[0，m]，g(x)≤3 恒成立， 所以0<m≤，所以实数m 的最大值为.故选B. 二、多项选择题 7．(2025·兰州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．f(x)在[0，1]上单调递增 C．f(x)在[1，2]上单调递减 D．f(2)＝f(0) 答案　AD 解析　根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)， 则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数， 则有f(2)＝f(0)，故D正确； 若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数， 则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确； 因为f(x)在[－1，0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数， 则函数f(x)在[0，1]上单调递减，故B错误； 又f(x)是周期为2的周期函数， 则函数f(x)在[1，2]上单调递增，故C错误． 8．(2025·广东梅州质检)已知f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数，当x2>x1>0 时，x1x2[f(x1)－f(x2)]＋x1－x2>0 恒成立，则(　　) A．y＝f(x)－ 在(－∞，0)上单调递增 B．y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减 C．f(2)＋f(－3)> D．f(2)－f(－3)> 答案　BC 解析　由已知，x2>x1>0，x1x2[f(x1)－f(x2)]＋x1－x2>0， 所以f(x1)－f(x2)＋－>0，即f(x1)－>f(x2)－， 所以y＝f(x)－ 在(0，＋∞)上单调递减， 又f(x)是定义在{x|x≠0} 上的奇函数， 所以y＝f(x)－ 在(－∞，0)上单调递减，故A错误； 因为x2>x1>0，所以>>0， 所以f(x1)－f(x2)>－>0， 所以y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故B正确； 因为x2>x1>0 时，f(x1)－>f(x2)－ 恒成立， 所以令x1＝2，x2＝3 代入上式得f(2)－>f(3)－，即f(2)－f(3)>－＝， 又因为f(x)是定义在{x|x≠0} 上的奇函数，所以f(3)＝－f(－3)， 所以f(2)＋f(－3)>，故选项C正确，选项D错误．故选BC. 三、填空题 9．(2025·西安长安一中质检)已知函数y＝f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若 m，n∈[－1，1]，m＋n≠0时，>0, 不等式f(x)≤t2－2at－2 对所有的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，则实数t 的取值范围是________． 答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞) 解析　因为f(x)为奇函数且m，n∈[－1，1]，m＋n≠0， 所以＝>0， 所以f(x)在[－1，1]上单调递增， 所以f(x)max＝f(1)＝1， 又因为f(x)≤t2－2at－2对于所有的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立， 所以f(x)max≤t2－2at－2对于所有的a∈[－1，1]恒成立， 即t2－2at－2≥1对于所有的a∈[－1，1]恒成立， 即t2－2at－3≥0对于所有的a∈[－1，1]恒成立， 令g(a)＝－2ta＋t2－3， 所以只需满足⇒ 解得t≤－3或t≥3. 10．(2025·绍兴模拟)已知函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＋f(1－x)＝2，则f(4)＝________． 答案　1 解析　因为函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(1－x)＝f(x＋1)， 又f(x＋3)＋f(1－x)＝2， 所以f(x＋3)＋f(x＋1)＝2， 即f(x＋2)＝－f(x)＋2，f(x＋4)＝－f(x＋2)＋2＝f(x)， 则函数f(x)的一个周期为4， 取x＝0，则f(2)＋f(0)＝2f(2)＝2⇒f(2)＝f(0)＝1， 所以f(4)＝f(0)＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$