课时作业(9)函数的奇偶性、周期性(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(九)　函数的奇偶性、周期性 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·陕西联考)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式xf(x－1)<0 的解集为(　　) A．(－∞，0)∪[2，＋∞)　　B．(0，1) C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(1，2) 答案　D 解析　因为函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(－∞，0)上也单调递增， 又因为f(1)＝0，所以f(－1)＝0，不等式xf(x－1)<0 等价于 或即 或得到1<x<2.故选D. 2．(2025·长沙测试)函数f(x)＝ 的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 答案　A 解析　若x<0，则－x>0，则f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)； 若x>0，则－x<0，则f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x). 又f(0)＝0，满足f(－x)＝－f(x). 所以f(－x)＝－f(x)，又函数y＝f(x)的定义域为R，关于原点对称， 因此，函数y＝f(x)为奇函数．故选A. 3．(2025·长沙模拟)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(0)<f(－6.5) B．f(－6.5)<f(0)<f(－1) C．f(－1)<f(－6.5)<f(0) D．f(0)<f(－6.5)<f(－1) 答案　D 解析　∵f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)的周期为2， ∵偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递增， f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)， ∴f(0)<f(0.5)<f(1)， 即f(0)<f(－6.5)<f(－1). 4．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x 在区间[－2.8，2.8]的大致图象为(　　 ) 　 　 　 　 　A　　　　　　　　　　B 　 　 　 　 　C　　　　　　　　　　D 答案　B 解析　f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)， 又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1－>－>0，故可排除D.故选B. 5．(2025·北京模拟)设f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)、f(－π)、f(3)的大小顺序为(　　) A．f(－π)<f(－2)<f(3) B．f(－2)<f(3)<f(－π) C．f(－π)<f(3)<f(－2) D．f(3)<f(－2)<f(－π) 答案　B 解析　因为f(x)为定义在R上的偶函数， 所以f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)， 又因为f(x)在[0，＋∞)上为增函数，2<3<π， 所以f(2)<f(3)<f(π)，即f(－2)<f(3)<f(－π).故选B. 6．(2024·重庆模拟)已知函数f(x)＝2－|x|＋，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是(　　) A． B． C．∪(1，＋∞) D．∪(1，＋∞) 答案　C 解析　因为f(－x)＝2－|x|＋＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 又因为当x>0时，y＝2－x和y＝单调递减， 所以f(x)＝2－|x|＋在(0，＋∞)上单调递减， 因为f(2m)<f(m＋1)， 所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2， 展开可得3m2－2m－1>0， 解得m∈∪(1，＋∞). 二、多项选择题 7．(2025·广东韶关质检)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0 时，f(x)<0，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)是奇函数 C．f(x)是偶函数 D．f(x)在R上是减函数 答案　ABD 解析　因为定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，　 所以f(0)＝2f(0)，即f(0)＝0，A正确； 令x1＝－x2， 则f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＝0， 所以－f(x1)＝f(－x1)，即f(x)为奇函数，B正确，C错误； 设x1>x2，则x1－x2>0， 当x>0 时，f(x)<0， 所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)，即f(x)在R上单调递减，D正确．故选ABD. 8．(2025·昆明一诊)下列函数中，既是偶函数又是在区间(0，＋∞)上单调递增的函数为(　　) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝ D．y＝|x| 答案　AD 解析　y＝x2 是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，故A满足； y＝x 是奇函数，故B不满足； y＝ 是偶函数，但在区间(0，＋∞)上单调递减，故C不满足； y＝|x| 是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，故D满足，故选AD. 三、填空题 9．(2025·贵阳质检)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数且<0 .若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，则k 的取值范围为________． 答案　 解析　因为f(x)是定义域为R上的奇函数，且对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立， 所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)， 即f(t2－2t)<f(k－2t2)， 又因为<0，所以在R上f(x)是单调递减函数， 则有t2－2t>k－2t2 恒成立，即3t2－2t>k 恒成立， 令g(t)＝3t2－2t，t∈R，则g(t)min＝－， 所以k<－， 所以k 的取值范围是. 10．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝________． 答案　2 解析　∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x， 且函数为偶函数， ∴a－2＝0，解得a＝2. 经验证，当a＝2时满足题意． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解　(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]. 12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025).　 解　(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(0)＝0， 又f(x＋2)＝－f(x)， 令x＝0得f(2)＝－f(0)＝0， 又f(1)＝1， 令x＝1得f(3)＝－f(1)＝－1， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0， 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025) ＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]×506＋f(2 024)＋f(2 025) ＝f(2 024)＋f(2 025) ＝f(0)＋f(1)＝1. 考能提升练 13．(2025·兰州诊断)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0 的解集为(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝0， 可画出其大致图象，如图所示， 因为xf(x)<0， 所以当x>0 时，f(x)<0，解得0<x<1， 当x<0 时，f(x)>0，解得－1<x<0， 当x＝0 时，显然不合题意， 所以不等式xf(x)<0 的解集为(－1，0)∪(0，1)，故选A. 14．(2025·聊城模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝x2－x. (1)求f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝k 有3个不同的解，求k的取值范围． 解　(1)函数f(x)是R上的奇函数，且x≥0 时，f(x)＝x2－x， 则当x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－(－x)]＝－x2－x， 所以f(x)的解析式为f(x)＝ (2)由(1)知，当x<0 时，f(x)＝－＋，函数f(x)在 上递增，函数值集合为， 在 上单调递减，函数值集合为， 当x≥0 时，f(x)＝－，函数f(x)在上递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为， 在同一坐标系内作出直线y＝k和函数y＝f(x)的图象，如图所示， 由图可知，方程f(x)＝k有3个不同的解，实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$