课时作业(5)基本不等式的综合应用(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(五)　基本不等式的综合应用 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·河北邯郸模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　　B．4 C． D．9 答案　C 解析　因为a＋b＝2，所以＋＝4， 则＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]＝ ≥×(2×4＋10)＝， 当且仅当a＝，b＝时，等号成立．故选C. 2．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，则＋的最小值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　依题意，二次函数f(x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点， 令ax2－2x＋2b＝0， 所以Δ＝(－2)2－4a·2b＝0，所以ab＝1， 因为a>0，所以b>0， 所以＋≥2＝2，当且仅当＝， 即a＝，b＝时，等号成立． 3．(2025·泰安模拟)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品(　　) A．大于20克 B．小于20克 C．大于等于20克 D．小于等于20克 答案　C 解析　设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y， 则由杠杆原理得：5a＝bx，ay＝20b，于是x＝，y＝， 故x＋y＝＋≥2＝20，当且仅当a＝2b时取等号. 故选C. 4．在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋ 的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为△ABC的面积为2， 所以S△ABC＝bc sin A＝bc sin ＝2， 得bc＝8， 在△ABC中，由正弦定理得 ＋ ＝＋ ＝＋＝＋ ＝＋－ ≥2－＝2－＝， 当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立． 5．(2025·潮州模拟)若正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4，1) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．[－1，4] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 答案　C 解析　因为正实数x，y满足＋＝1， 则x＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4， 当且仅当＝，且＋＝1， 即x＝2，y＝8时，等号成立， 所以x＋的最小值为4， 要使不等式x＋≥m2－3m恒成立， 则m2－3m≤4，解得－1≤m≤4， 所以实数m的取值范围是[－1，4]. 6．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＋b＝6，c＝4，则此三角形面积的最大值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由题意，得p＝5，S＝＝＝＝·≤·＝×＝2， 当且仅当a＝b＝3时，等号成立， ∴此三角形面积的最大值为2. 二、多项选择题 7．(2025·石家庄模拟)已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝6，则下列选项正确的是(　　) A．ab的最大值为2 B．2a＋b的最小值为4 C．a＋b的最小值为3 D．＋的最小值为 答案　ABD 解析　因为a，b为正实数，故6＝ab＋2a＋b≥ab＋2， 当且仅当2a＝b即a＝1，b＝2时取等号， 解得0<≤，即ab≤2，故ab的最大值为2，A正确； 由6＝ab＋2a＋b，得b＝＝－2， 所以2a＋b＝2a＋＝2＋－4≥2－4＝4， 当且仅当2＝，即a＝1时取等号，此时取得最小值4，B正确； a＋b＝a＋－2＝a＋1＋－3≥4－3， 当且仅当a＋1＝，即a＝2－1时取等号，C错误； ＋≥2 ＝2＝2＝， 当且仅当a＋1＝b＋2时取等号， 此时＋取得最小值，D正确．故选C. 8．(2025·南京师大附中质检)设a，b为正实数，ab＝4，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是(　　) A．a＋b≥4 B．a2＋b2≤8 C．＋≥1 D．＋≤2 答案　AC 解析　A选项，由基本不等式得a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，A选项正确． B选项，a＝1，b＝4时，ab＝4，但a2＋b2＝17>8，B选项错误． C选项，由基本不等式得＋≥2＝1，当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，C选项正确． D选项，a＝1，b＝4时，ab＝4，但＋＝3>2，D选项错误．故选AC. 三、填空题 9．(2025·厦门模拟)已知2x＋3y＝6(x>0，y>0)，则xy的最大值是________． 答案　 解析　因为x>0，y>0，所以xy＝·2x·3y≤·2＝， 当且仅当2x＝3y＝3，即x＝，y＝1时等号成立，故xy的最大值是. 10．(2025·淮北模拟)已知正数x，y满足x＋y＝1，若不等式＋>m对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案　(－∞，9) 解析　因为x>0，y>0， 所以＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋4＝9， 当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时取等号， 所以实数m的取值范围为(－∞，9). 四、解答题 11．设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2. (1)求a，b的值； (2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)<m·2x－3成立，求实数m的取值范围． 解　(1)由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2， 解得a＝1，b＝0. (2)由(1)知f(x)＝4x－2x， 所以f(x)<m·2x－3可化为m>2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈(－∞，3]， 使得m>2x＋3·2－x－1成立． 则当x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1)min， 设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]， 令t＝2x，则t∈(0，8]， 设p(t)＝t＋－1，t∈(0，8]， 则p(t)≥2－1，当且仅当t＝时取等号， 所以当t＝时，h(x)取得最小值2－1. 故m的取值范围是(2－1，＋∞). 考能提升练 12．(2025·陕西渭南质检)某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240 m2，体育馆高5 m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米． (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为12 000＋500元(a>0)，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 解　(1)因为体育馆前墙长为x米，地面面积为240 m2， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米(x>0)， 设甲工程队报价为y元， 所以y＝×5×250×2＋150×5x×2＋24000＝500＋24000， 因为y≥1500×2＋24 000＝84 000， 当且仅当＝x，即x＝20时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84 000元． (2)根据题意可知500＋24 000>12 000＋500对任意的x>0恒成立， 即3x2＋24x＋48>a对任意的x>0恒成立， 所以a<对任意的x>0恒成立． 因为a>0， ＝ ＝＋＋6≥2＋6＝12， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立， 所以0<a<36， 故当0<a<36时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 学科网（北京）股份有限公司 $$