课时作业(4)基本不等式(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

课时作业(四)　基本不等式 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·深圳模拟)若正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋2y的最小值是(　　) A．6　　　　　　　 　　B．3＋2 C．2＋3 D．2＋2 答案　B 解析　因为正数x，y满足x＋y＝xy， 所以＝＋＝1， 所以x＋2y＝＝＋＋3≥2＋3＝2＋3， 当且仅当＝，即x＝＋1，y＝时，等号成立， 所以x＋2y的最小值为3＋2.故选B. 2．已知正数x，y满足＋＝2，则x＋y的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2＋ D．2＋ 答案　D 解析　因为正数x，y满足＋＝2，所以x＋y＝(x＋y)＝≥＝2＋，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以x＋y的最小值为2＋. 3．若x>0，y>0，且2x＋3y＝12，则xy的最大值为(　　) A．9 B．6 C．3 D． 答案　B 解析　因为x>0，y>0，且2x＋3y＝12， 所以xy＝·2x·3y≤＝6， 当且仅当2x＝3y，即x＝3，y＝2时，等号成立， 所以xy的最大值为6. 4．(2025·福州测试)对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．0<m≤4 B．0<m≤2 C．m≤4 D．m≤2 答案　C 解析　∵x＋4y≥m，∴m≤， 即m≤min. 又∵＝＋≥2＝4， 当且仅当“＝”，即“x＝4y”时等号成立， 即m≤4，故m∈(－∞，4].故选C. 5．函数f(x)＝(x>1)的最小值为(　　) A．2 B．3＋2 C．2＋2 D．5 答案　B 解析　因为x>1，所以x－1>0， 所以f(x)＝＝＝(x－1)＋＋3≥2 ＋3＝2＋3， 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号， 所以函数f(x)＝(x>1)的最小值为3＋2. 6．已知实数x>0>y，且＋＝，则x－y的最小值是(　　) A．21 B．25 C．29 D．33 答案　A 解析　∵x>0>y，等式＋＝恒成立， ∴(x－y＋3)＝(x＋2＋1－y)， 由于x>0>y，∴1－y>0，2＋x>0， ∴(x＋2＋1－y)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当x＋2＝1－y，即x＝10，y＝－11时取等号． ∴(x－y＋3)≥4， ∴x－y≥21，故x－y的最小值为21. 二、多项选择题 7．下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝sin x＋ B．y＝2－x－(x＜0) C．y＝ D．y＝4x＋4－x 答案　AD 解析　对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2＝4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，即y＝2－x－(x＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则y≥＋＝，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意． 8．若x>0，y>0，且2x＋y＝xy，则(　　) A．＋>1 B．x＋2y＋xy≥9＋6 C．xy≤8 D．＋≥2 答案　ABD 解析　已知x>0，y>0，∵2x＋y＝xy， ∴＋＝1. ∴＋>＋＝1，故A正确； x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)＝9＋＋≥9＋6， 当且仅当x＝y，即x＝＋1，y＝2＋时，等号成立，故B正确； 2x＋y＝xy≥2，解得xy≥8， 当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时，等号成立，故C错误； 由2x＋y＝xy，得(x－1)(y－2)＝2， 由题意知，x－1>0，y－2>0， 则＋≥2＝2， 当且仅当＝，即x＝2，y＝4时，等号成立，故D正确． 三、填空题 9．若x<2，则x＋的最大值为________． 答案　－4 解析　x＋＝x－2＋＋2， 由于x<2，所以2－x>0， 故2－x＋≥2＝6， 当且仅当2－x＝，即x＝－1时，等号成立， 所以x－2＋＝－≤－6， 故x＋＝x－2＋＋2≤－4， 所以x＋的最大值为－4. 10．(2025·洛阳月考)已知正数x，y满足x＋＝1，则＋2y的最小值为________． 答案　3＋2 解析　∵＋2y＝＝3＋＋2xy≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝2xy，即x＝－1，y＝时取等号， ∴＋2y的最小值为3＋2. 四、解答题 11．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值． 解　(1)因为x>0，y>0， 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)， 令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3，又t>0， 所以0<t≤3，即0<≤3， 所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，0<x<30，2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号， 所以2x＋y的最小值为11. 12．已知x，y都是正数． (1)若2x＋3y＝3，求xy的最大值； (2)若＋＝2，且x>y，求x＋y的最小值． 解　(1)因为x，y都是正数，则2x＋3y≥2 ＝2，即2≤3， 解得xy≤，当且仅当2x＝3y， 即时取等号， 所以xy的最大值为. (2)已知x，y都是正数，且x>y， 由＋＝2， 可得x＋y＝x－y＋2y＝(x－y＋2y)＝ ≥×＝2， 当且仅当＝， 即时，等号成立， 所以x＋y的最小值为2. 考能提升练 13．已知x>y>0且4x＋3y＝1，则＋的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案　B 解析　由x>y>0得 2x－y>0，x＋2y>0， 令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y， 由4x＋3y＝1得a＋2b＝1， 所以＋＝(a＋2b) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，且a＋2b＝1， 即a＝b＝时取等号， 也即2x－y＝，x＋2y＝， 即x＝，y＝时，等号成立， 故＋的最小值为9. 14．(2025·西安模拟)已知x≥4，y≥4，且x＋4y－xy＝0，若不等式a≤x＋y恒成立，则a的最大值为__________． 答案　 解析　当x＝4时，x＋4y－xy＝4＋4y－4y＝0不成立，所以x≠4. 由x＋4y－xy＝0得y＝. 因为x≥4，y≥4，所以≥4，解得4<x≤，即0<x－4≤. 所以a≤x＋y＝x＋＝x＋＝x＋1＋＝x－4＋＋5， 令t＝x－4，则0<t≤，于是a≤t＋＋5. 令f(t)＝t＋＋5，0<t≤，则a≤f(t)min. 由对勾函数的图象知，f(t)在上单调递减，故f(t)min＝f＝＋3＋5＝. 所以a≤，即a的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$