1.1.1 空间向量及其线性运算（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

1．1．1 空间向量及其线性运算 1．（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·高二·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高二·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 11．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 12．（多选题）（2025·高二·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·高二·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 14．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC． 15．（2025·高二·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 1．（2025·江西·模拟预测）在四面体中，为的中点，且，已知四面体的体积为，则四面体的体积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025·河北唐山·一模）在三棱锥中，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    5．（2025·高一·浙江·期中）已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为 . 6．（2025·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 7．如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 1．（2025·高二·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 2．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则 . 3．（2025·山东济南·一模）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为 . 4．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点为线段上靠近的三等分点，点为线段上靠近的三等分点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．1．1 空间向量及其线性运算 1．（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于， 所以，，. 故选：B 2．（2025·高二·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 3．（2025·高二·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】依题意，，所以.故选：A 4．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】如图，， ，，. 故选：C. 5．（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： .故选：B 6．三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面， 反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数使得， 故共面是的必要不充分条件， 故选：B 7．（2025·高二·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 8．（2025·高二·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 9．（2025·高二·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 10．（多选题）（2025·高二·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 11．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【解析】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 12．（多选题）（2025·高二·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 13．（2025·高二·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【答案】/0.4 【解析】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 14．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC． 【答案】属于 【解析】 ， 四点共面．即点平面ABC． 故答案为：属于 15．（2025·高二·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【解析】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 1．（2025·江西·模拟预测）在四面体中，为的中点，且，已知四面体的体积为，则四面体的体积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】 根据题意如图所示，过点做垂直于垂足为， 过做垂直于垂足为， 因为，所以， 因为为的中点，所以， ，， 所以， 设点到平面的距离为， ，， 所以， 又因为四面体的体积为，所以四面体的体积为. 故答案为：B 2．（2025·河北唐山·一模）在三棱锥中，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设G到平面的距离为，设D到平面的距离为， 由于，故； 又，则， 故，故， 故选：B 3．（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由平行六面体的特征可得， 则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数，使， 所以，解得. 故选：D. 4．（2025·高二·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】/ 【解析】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得. 故答案为： 5．（2025·高一·浙江·期中）已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为 . 【答案】 【解析】取的靠近的四等分点，连接，由题意得为线段上的动点， 将展开到与在同一平面内，如图所示： ,，， 所以的最小值为， 故答案为：. 6．（2025·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【答案】/ 【解析】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. 7．如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 【答案】 2 【解析】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 1．（2025·高二·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】4 【解析】，故，， 不妨令，则， 又，故点共面， 故. 故答案为：. 2．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则 . 【答案】. 【解析】先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点， 则四面体体积之比. 事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而 . 设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得 ，则， ，则， 所以； 同理可得. 所以，解得，即，从而. 故答案为：. 3．（2025·山东济南·一模）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为 . 【答案】 【解析】连接AC,BD交于点O，则O是底面的中心，连接PO，PO垂直于底面ABCD， 连接AF，交PO于H，可得H为PO的三等分点（靠近O）,连接EH并延长，与PD的交点即为G， 在平面内作出三角形PBD，作,垂足分别为S，T，如图， 由题意，,所以，， 设，则， 又由三角形相似得，, 所以，解得：. 解得： 故答案为：. 4．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点为线段上靠近的三等分点，点为线段上靠近的三等分点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示，连接，可得 ； 令，则，所以， 由F， P，Q， R四点共面，可得， 当且仅当时取等号，所以； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又因为，， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$