21.2.1解一元二次方程——配方法（第1课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

21.2.1配方法（第一课时）教学设计 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十一章一元二次方程,21.2解一元二次方程——21.2.1配方法第一课时，内容为配方法解一元二次方程中的直接开方法。 2.内容解析 配方法是解一元二次方程的核心方法之一，是理解求根公式来源的基础，也是后续学习二次函数顶点式、最值问题的重要工具。它体现了重要的数学转化思想（化归思想）。本节课仍然结合实际问题展开，重点讨论用配方法解一元二次方程中的直接开平方。本课时的问题是引例，列出一元二次方程并不困难，其目的是为了使学生想到用直接开平方法解方程。方程的解需要分类讨论,这个过程直接利用平方根的意义就能完成，简单但反映本质，在整个一元二次方程解法的讨论中具有奠基作用。方程是对在项数上的推广，可以用直接开平方法来解。“探究”中的问题提醒学生对照解方程的过程，是为了加强与已有解法的联系，由此自然地引出“降次”的策略. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解配方法的基本思想是降次，转化为一元一次方程。 1.教学目标 （1）理解方程的解需要分类讨论,这个过程直接利用平方根的意义就能完成。将一个一元二次方程转化为的形式，从而利用直接开平方法求解。 （2）在将一个一元二次方程转化为形式的基础上，通过转化为 来解一元二次方程。 （3）使学生认识到本节课学习的解方程是学习配方法是后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础，激发进一步学习的兴趣，在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 2.目标解析： （1）本节课通过具体例子引导，引入一元二次方程转化为的形式的解法，进而思考解方程需要分类讨论,这个过程直接利用平方根的意义就能完成。将一个一元二次方程转化为的形式，从而利用直接开平方法求解。 （2）在将一个一元二次方程转化为的形式的基础上，通过转化为 来解一元二次方程。体验一元二次方程可以通过整理转化为通过转化为 来转化为两个一元一次方程，是下一节课进一步学习配方法解一元二次方程的基础。 （3）通过交流讨论激发学生进一步学习的兴趣，在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性，感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识，在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 学生已学习了一元一次方程、多项式及开平方的概念，通过实例建立方程，引导学生解的形式的方程，进而学习解 的形式的方程，整个学习过程循序渐进，自然生成。在学习过程中，学生体会到本节课学习的内容是配方法解方程的基础，解一元二次方程的基本思想就是降次，转化为一元一次方程。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：解方程的解需要分类讨论。 创设情景，引入新课 问题 一桶油漆可刷的面积为，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗? 追问：1.设其中一个盒子的棱长为，则可列出什么方程？ 2.这个方程整理后得到什么样的最简形式？怎样求出方程的解？ 3.如何验证？ 追问答案： 1.设其中一个盒子的棱长为，则这个盒子的表面积为，根据一桶油漆可刷的面积， 列出方程 ① 2.整理，得 根据平方根的意义，得，即。 可以验证，5和-5是方程①的两个根，因为长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm。 (活动方法：问题虽然简单，但其解答过程是一个完整的，要让学生继续体验用一元二次方程模型解决问题的过程:抽象出实际问题中的数量关系一一列一元二次方程一一-解方程一一 验证） (设计意图：通过实例，提出问题激发学生学习的兴趣,为学习配方法作铺垫) 探究点1 转化为型 类比 思考 前面讲的一元二次 ① 通过整理，得，利用平方根的意义，可以解方程，对于一般形式的一元二次方程(I)的解如何呢？ 追问：1.对于常数的值有几种情况？ 2.如何分类讨论求出方程的解？ 追问答案： 常数的值分为三种情况。 一般地，对于方程 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根； 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根； 当时，因为对任意实数，都有，所以方程(I)无实数根。 (活动方法：方程x²=p的解需要分类讨论.这个过程直接利用平方根的意义就能完成，简单但反映本质，在整个一元二次方程解法的讨论中具有奠基作用，教学时让学生先独立思考完成，然后再交流，务必使学生牢固掌握) (设计意图：类比思考为更好学习配方法及一元二次方程解法的讨论中具有奠基作用) 典例分析 例1．解下列方程 （1） （2） （3） 【分析】将方程转化为形式，求出方程的解． 【详解】解：（1）整理，得，方程解为：； （2）整理，得，方程解为：； （3）整理，得，方程无实数解。 (设计意图：巩固解型一元二次方程的解法) 探究点2 转化为 型 探究 对照上面解方程(I)的过程，你认为应怎样解方程? 追问：在解方程(I)时，由方程 得.由此想到怎样求方程 的两个根？ 类比我们知道：由方程②得到， 即，或，③ 方程的两个根为即，。 观察思考： 追问：上面的解法中，由方程②得到③，目的是什么？ 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 归纳总结：“降次”是解一元二次方程的基本策略，和两种形式的方程都可以直接开方转化为两个一元一次方程。 (设计意图：探究把一个一元二次方程和“降次”,转化为两个一元一次方程) 典例分析 例2．将一元二次方程转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是(    ) A． B． C． D． 【分析】本题考查了解一元二次方程之直接开平方法，根据解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 或， 故选：A． (设计意图：巩固对一元二次方程转化为两个一元一次方程的认识) 1．某商品经过两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意列方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴每次降价的百分率为， 故选：C． (设计意图：拓展用一元二次方程模型解决实际问题) 1.（课本练习）解下列方程 ； ； ； ； 参考答案：；；；； ；（6）无解。 （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】此题考查解一元二次方程，运算程序与方程计算，正确掌握一元二次方程的解法及理解运算程序图是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 直接开平方得：或， 解得． 故选：C． 2.(2024·重庆·中考真题)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元， 2023 年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是___. [分析]本题主要考查一元二次方程的应用，设平均增长率为，然后根据题意可列方程进行求解. [详解]解:设平均增长率为，由题意得: ， 解得:，(不符合题意，舍去); 故答案为:10%. （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） （1） 理解方程的解需要分类讨论。将一个一元二次方程转化为的形式，从而利用直接开平方法求解。 （2）在将一个一元二次方程转化为形式的基础上，通过转化为 来解一元二次方程。 （3）认识到本节课学习的解方程是学习配方法是后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 1.必做题：习题21.2 第1题4小题。 2.探究性作业：(1)；（2） （1）解：，，，即或，解得，； （2），，，，即或，解得，； 主板书 21.1.1配方法 探究点1 转化为型 探究点2 转化为型 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$