21.1一元二次方程（教学设计）数学人教版九年级上册

21.1一元二次方程 教学设计

1.教学内容

本课时是人教版九年级上册教材第二十一章一元二次方程,21.1 一元二次方程，内容为一元二次方程的概念。

2.内容解析

本节在引言的基础上，安排两个实际问题，得出一元二次方程的具体例子，再引导学生观察三个具体方程，发现它们在形式上的共同点，给出一元二次方程的概念及其表示。这个过程体现了概念学习的一般进程:分析典型丰富的具体例证，抽取不同事例的共同特征、舍弃非本质特征，概括得到概念，给出符号表示，并对关键词进行辨析，再通过例子巩固概念.这里，通过现实问题认识概念，是为了增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识。一元二次方程是衔接一次方程与函数，为后续学习求根公式、因式分解法和实际问题建模奠基。列方程的问题贯穿本节始终，这样安排，既可以使学生认识引入一元二次方程概念的现实必要性，也可以分散列方程这一教学难点，循序渐进地培养从实际问题中抽象方程模型的能力。

  基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 理解一元二次方程及其有关概念，其中涉及一元二次方程根的概念，但教学中不要过早把学生的注意力引向解方程。

1.教学目标

（1）能准确叙述一元二次方程的定义，独立写出一般形式；能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项；能根据实际问题列出简单的一元二次方程。

（2）经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例强化对概念关键特征（、整式方程）的理解。 

（3）感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。   

2.目标解析：

（1）本节课在具体例子的归纳方向上作出引导，以利于学生思考，并给出辨析性问题:“为什么规定?”教学时应让学生充分经历这一过程。使学生能准确叙述一元二次方程的定义，独立写出一般形式；  能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项； 能根据实际问题列出简单的一元二次方程。

（2）现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。因此，从深化数学模型思想、加强

应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。让学生经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例强化对概念关键特征（、整式方程）的理解。 

（3）通过现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程，感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 

学生已学习了一元一次方程、多项式的概念，通过建立方程，引导学生思考新的方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念，整个学习过程难度不大。在这个过程中，列方程仍然是学生感到困难的过程，列出的方程通过归纳一些具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式（）也是对具体方程从“元”(未知数的个数)、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：列方程和循序渐进地培养从实际问题中抽象方程模型的能力。

创设情景，引入新课

问题  多媒体展示人体雕像画面.

在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高?

如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系:，即。

         

设雕像下部高，可得方程,整理得.

这个方程与我们学过的一元一次方程不同，如何解这类方程?如何用这类方程解决一些实际问题?这就是本章要学习的主要内容。本节课学习21.1一元二次方程。

(设计意图：通过多媒体直观展示，提出问题激发学生的观察思考的兴趣,让学习了解本章要解决的问题)

探究点1  认识一元二次方程

观察：上面列出的方程，整理后得到，这一方程有什么特征？

特征：方程两边都是整式，有一个未知数，的最高次数是2.

(活动方法：给出一元二次方程的概念作准备，在观察方程的特点时要引导观察未知及其次数，下同)

(设计意图：通过观察初步认识一元二次方程的基本特征)

像这样的方程有广泛的应用，请看下面的问题.

问题1  如图21.1-1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600，那么铁皮各角应切去多大的正方形?

     

追问：（1）为了制作无盖方盒，铁皮各角切去的正方形的形状大小应该如何？

（2）设切去的正方形的边长为，则盒底的长、宽各为多少？

（3）根据方盒的底面积为3 600，得什么方程？方程整理后得到什么方程？

（4）这一方程有什么特征？

追问答案：

（1）为了制作无盖方盒，铁皮各角切去的正方形应大小相同。

（2）盒底的长为，宽为。

（3）方程为，整理后得

（4）方程两边都是整式，有一个未知数，的最高次数是2.

问题2  要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?

追问：（1）这种比赛形式也叫做单循环比赛，其比赛场次的特点是什么？