21.1一元二次方程（教学设计）数学人教版九年级上册

21.1一元二次方程 教学设计 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十一章一元二次方程,21.1 一元二次方程，内容为一元二次方程的概念。 2.内容解析 本节在引言的基础上，安排两个实际问题，得出一元二次方程的具体例子，再引导学生观察三个具体方程，发现它们在形式上的共同点，给出一元二次方程的概念及其表示。这个过程体现了概念学习的一般进程:分析典型丰富的具体例证，抽取不同事例的共同特征、舍弃非本质特征，概括得到概念，给出符号表示，并对关键词进行辨析，再通过例子巩固概念.这里，通过现实问题认识概念，是为了增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识。一元二次方程是衔接一次方程与函数，为后续学习求根公式、因式分解法和实际问题建模奠基。列方程的问题贯穿本节始终，这样安排，既可以使学生认识引入一元二次方程概念的现实必要性，也可以分散列方程这一教学难点，循序渐进地培养从实际问题中抽象方程模型的能力。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 理解一元二次方程及其有关概念，其中涉及一元二次方程根的概念，但教学中不要过早把学生的注意力引向解方程。 1.教学目标 （1）能准确叙述一元二次方程的定义，独立写出一般形式；能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项；能根据实际问题列出简单的一元二次方程。 （2）经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例强化对概念关键特征（、整式方程）的理解。 （3）感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 2.目标解析： （1）本节课在具体例子的归纳方向上作出引导，以利于学生思考，并给出辨析性问题:“为什么规定?”教学时应让学生充分经历这一过程。使学生能准确叙述一元二次方程的定义，独立写出一般形式； 能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项； 能根据实际问题列出简单的一元二次方程。 （2）现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。因此，从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。让学生经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例强化对概念关键特征（、整式方程）的理解。 （3）通过现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程，感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 学生已学习了一元一次方程、多项式的概念，通过建立方程，引导学生思考新的方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念，整个学习过程难度不大。在这个过程中，列方程仍然是学生感到困难的过程，列出的方程通过归纳一些具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式（）也是对具体方程从“元”(未知数的个数)、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：列方程和循序渐进地培养从实际问题中抽象方程模型的能力。 创设情景，引入新课 问题 多媒体展示人体雕像画面. 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高? 如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系:，即。 设雕像下部高，可得方程,整理得. 这个方程与我们学过的一元一次方程不同，如何解这类方程?如何用这类方程解决一些实际问题?这就是本章要学习的主要内容。本节课学习21.1一元二次方程。 (设计意图：通过多媒体直观展示，提出问题激发学生的观察思考的兴趣,让学习了解本章要解决的问题) 探究点1 认识一元二次方程 观察：上面列出的方程，整理后得到，这一方程有什么特征？ 特征：方程两边都是整式，有一个未知数，的最高次数是2. (活动方法：给出一元二次方程的概念作准备，在观察方程的特点时要引导观察未知及其次数，下同) (设计意图：通过观察初步认识一元二次方程的基本特征) 像这样的方程有广泛的应用，请看下面的问题. 问题1 如图21.1-1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600，那么铁皮各角应切去多大的正方形? 追问：（1）为了制作无盖方盒，铁皮各角切去的正方形的形状大小应该如何？ （2）设切去的正方形的边长为，则盒底的长、宽各为多少？ （3）根据方盒的底面积为3 600，得什么方程？方程整理后得到什么方程？ （4）这一方程有什么特征？ 追问答案： （1）为了制作无盖方盒，铁皮各角切去的正方形应大小相同。 （2）盒底的长为，宽为。 （3）方程为，整理后得 （4）方程两边都是整式，有一个未知数，的最高次数是2. 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛? 追问：（1）这种比赛形式也叫做单循环比赛，其比赛场次的特点是什么？ （2）全部比赛的场数为多少场？ （3）设应邀请个队参赛，每个队要与其他多少个队各赛一场？共比赛多少场？可以得到什么方程？方程整理后得到什么方程？ （4）这一方程有什么特征？ 追问答案： （1）比赛场次的特点是任何两队之间都要比赛一场，而且只比赛一场。 （2）全部比赛的场数为场。 （3）每个队要与其他个队各赛一场，共比赛场， 所方程为，整理后得 （4）方程两边都是整式，有一个未知数，的最高次数是2. 交流总结： 可以发现，这些方程的特征：两边都是整式，方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2。 像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 这些一元二次方程的最高项二次的系数可以为0吗？请举出一元二次方程的例子。 (设计意图：.本节在引言的基础上，安排两个实际问题，得出一元二次方程的具体例子，再引导学生观察三个具体方程，发现它们在形式上的共同点，给出一元二次方程的概念及其表示。这个过程体现了概念学习的一般进程:分析典型丰富的具体例证，抽取不同事例的共同特征、舍弃非本质特征，概括得到概念) 典例分析 例1．下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A． B． C． D． 【分析】主要考查一元二次方程定义，根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可。 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C、含有两位未知数，故该选项不符合题意； D、是一元一次方程，故该选项不符合题意． 故选：B (设计意图：巩固对一元二次方程概念的认识) 探究点2 认识 一元二次方程的一般形式和 二次项系数、一次项系数和常数项 在问题1中，我们将方程整理为：，象这样的一元二次方程称为一般形式，我们如何用字母表示一元二次方程的一般形式呢？ 交流讨论：一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 (设计意图：通过类比的方法认识一元二次方程的一般形式及二次项系数、一次项系数和常数项) 典例分析 例2 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 【分析】先将方程化为的形式，其中是二次项系数；是一次项系数；是常数项。 【详解】解:去括号，得 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 . 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. (设计意图：巩固对一元二次方程的一般形式及二次项系数、一次项系数和常数项的认识) 探究点3 一元二次方程的解（根） 问题：什么是一元一次方程解？类比你能得出什么是一元二次方程的解吗？ 交流讨论：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 (设计意图：通过类比的方法认识一元二次方程的解) 典例分析 例3．已知是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，根据题意可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ ∴， 故选：C． (设计意图：巩固对一元二次方程解的认识) 1．关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，从而，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解为，， 解得， 故选：B． (设计意图：拓展对一元二次方程解的认识) 1.（课本练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) ； (2) ； (3) ； (4) 2.（课本练习）根据下列问题，列出关于工的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长；I (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长. 3.某市年投入教育经费亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从年到年共投入教育经费亿元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 参考答案： 1. （1），二次项系数、一次项系数和常数项分别是5、－4、－1； （2） ，二次项系数、一次项系数和常数项分别是4、0、－81； （3） ，二次项系数、一次项系数和常数项分别是4、8、－25； （4） ，二次项系数、一次项系数和常数项分别是3、7、1. 2.（1）；（2）；（3） 3.设教育经费的年平均增长率为，则2022的教育经费为：万元，2023的教育经费为：万元，依题意可得方程，， 故选：． （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.(2024·四川眉山·中考真题)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量 年平均增长率为，则可列方程为() A. B. C. D. 【分析]本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键. 设该村水稻亩产量年平均增长率为x，根据题意列出方程即可. 【详解]解:根据题意得:670x(1+x)'=780. 2.(2024·四川凉山·中考真题)若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为( ) A.2 B.－2 C.2或－2 D. 【分析]本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0.由一元二次方程的定义， 可知；一根是0，代入可得，即可求答案. 【详解]解:是关于x的一元二次方程，则，即① 由一个根，代入, 可得，解之得； ② 由①②得； 故选A （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） （1）学习了一元二次方程的定义及一般形式； 能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项； 能根据实际问题列出简单的一元二次方程。 （2）经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例提升了对概念关键特征（、整式方程）的理解。 （3）感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 1.必做题：习题21.1 第1、2、3、4、6题。 2.探究性作业：习题21.1 第7、7题. 主板书 21.1一元二次方程 探究点1 认识一元二次方程 探究点2 认识一元二次方程的一般形式和 二次项系数、一次项系数和常数项 探究点3 一元二次方程的解（根） 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$