专题21.5 一元二次方程根与系数的关系（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题21.5 一元二次方程组根与系数的关系 教学目标 1. 掌握根与系数的关系并能够熟练运用其求值。 2. 掌握根与系数的关系的拓展式子，并能够熟练应用其求相关式子的值。 3. 能综合应用根与系数的关系的所有式子解决相应的问题。 教学重难点 1. 重点 （1）根与系数的关系的基本式子； （2）根与系数的关系的变形拓展式； 2. 难点 （1）根与系数的关系的变形拓展式的求值； （2）利用根与系数的关系求代数式的值； （3）利用根与系数的关系求方程中的位置参数。 知识点01 根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ① ；② 。 【即学即练1】 1．设一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则下列选项正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝﹣2 C． D．x1x2＝1 【答案】B 【解答】解：一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2则： ，． 故选：B． 【即学即练2】 2．已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（　　） A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030 【答案】D 【解答】解：由条件可知：a2+2025a＝5，a+b＝﹣2025， ∴a2+2024a﹣b ＝a2+2025a﹣（a+b） ＝5﹣（﹣2025） ＝5+2025 ＝2030， 故选：D． 【即学即练3】 3．已知x＝2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．﹣5 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：设该方程的两根为x1，x2， 则x1+x2＝3， ∵该方程的一个根为2， ∴另一个根为：3﹣2＝1， 故选：B． 知识点02 跟与次数的关系的变形拓展 1. 根与系数的关系的推广应用： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 ⑥ 。 【即学即练1】 4．设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则的值是（　　） A．﹣2 B．10 C．2 D．﹣10 【答案】B 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3， ∴， ， ， ， 故选：B． 【即学即练2】 5．已知a，b是一元二次方程2x2﹣4x＝3的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6 【答案】C 【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣4x﹣3＝0， 根据根与系数的关系得a+b2，ab， 所以a2b+ab2＝ab（a+b）2＝﹣3． 故选：C． 【即学即练3】 6．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5 【答案】A 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣1、x1x2＝﹣3， ∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣3﹣1+1＝﹣3． 故选：A． 【即学即练4】 7．已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【解答】解：由条件可得x1+x2＝4，x1x2＝3， ∴； 故选：A． 【即学即练5】 8．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴m+n，mn， ∴． 故选：B． 题型01 利用根与系数的关系求两个的和与积 【典例1】若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（　　） A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10 【答案】A 【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根， ∴α+β＝7． 故选：A． 【变式1】已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2， ∴，， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8， 故选：C． 【变式2】若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝﹣2 B．x1+x2＝2 C．x1x2＝3 D． 【答案】A 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3， 故选：A． 【变式3】若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（　　） A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023 【答案】C 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根， ∴， ∴ab（a+b）＝2×2023＝4046． 故选：C． 题型02 利用根与系数的关系求变形拓展式子的值 对式子进行运算变形，最终用x1+x2，x1·x2来表示，在带入求值。 【典例1】已知x1和x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A．6 B．2 C．﹣4 D．3 【答案】A 【解答】解：由条件可知x1+x2＝2，x1x2＝﹣1， ∴ ＝22﹣2×（﹣1） ＝4+2 ＝6， 故选：A． 【变式1】若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则的值为　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6， ∴x2+x1x1x2（x1+x2）＝﹣6×1＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【变式2】若x1，x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴， 故选：A． 【变式3】已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9， 所以． 故选：A． 【变式4】方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣33 B．15 C．﹣28 D．﹣21 【答案】D 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣24， 所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣24+2+1＝﹣21． 故选：D． 【变式5】设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则（　　） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝1， 而（）2＝x1+x2+23+2＝5， 且0，0故0， ∴， 故选：B． 【变式6】已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：∵α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根， ∴αβ＝1，α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0， （1+2024α+α2）（1+2025β+β2） ＝a•2β ＝2αβ ＝2×1 ＝2． 故选：C． 题型03 利用根与系数的关系求代数式的值 对式子变形，通常把高次方通过方程降次处理，最后变形为两根之和与两个之积的形式再带入求值。 【典例1】设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（　　） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根， ∴m2+2m﹣2024＝0，m+n＝﹣2， ∴m2+2m＝2024， ∴m2+3m+n＝m2+2m+（m+n）＝2024﹣2＝2022， 故选：B． 【变式1】若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2023 B．2027 C．﹣2023 D．4050 【答案】A 【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴α2+2α﹣2025＝0，α+β＝﹣2， ∴α2+2α＝2025， ∴α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2025﹣2＝2023． 故选：A． 【变式2】已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（　　） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【答案】B 【解答】解：∵m、n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根， ∴m2﹣5m﹣2025＝0，m+n＝5， ∴m2﹣5m＝2025， 即m2﹣4m＝2025+m， 则m2﹣4m+n﹣2＝2025+m+n﹣2＝2025+5﹣2＝2028， 故选：B． 【变式3】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【答案】A 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根， ∴，x1x2＝﹣2024，x1+x2＝1， 4049， 故选：A． 【变式4】已知方程x2﹣2025x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：由条件可知x1x2＝1，， ∴， ∴， 故答案为：﹣1． 题型04 根据已知根及根与系数的关系求方程的另一个根 【典例1】若一元二次方程x2+5x+4＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（　　） A．4 B．1 C．0 D．﹣4 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程为x2+5x+4＝0， 所以此方程的两根之和为﹣5． 又因为方程的一个根为﹣1， 所以方程的另一个根为﹣4． 故选：D． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个实数根为2，则另一个实数根是（　　） A．﹣8 B．﹣3 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：设方程的另一根为a， 根据根与系数的关系得：2a， 解得a＝﹣3． 故选：B． 【变式2】方程﹣2x2+kx﹣3＝0的一个根为2，则另一个根为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得2t， 解得t， 即方程的另一个根为． 故选：C． 【变式3】已知关于y的方程y2﹣ky+2025＝0的一个根1，则方程的另一个根为 　2025　 ． 【答案】2025． 【解答】解：设y2﹣ky+2025＝0的一个根为a， ∵y2﹣ky+2025＝0的一个根1， ∴a×1＝2025， 解得a＝2025， 故答案为：2025． 题型05 根据根与系数的关系满足的式子求未知参数 【典例1】若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+k＝0的两个根，且x1+x2＝7﹣x1x2，则k的值为（　　） A．﹣4或1 B．﹣4 C．1 D．1或4 【答案】C 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+k＝0的两个根， ∴x1+x2＝2k+3、x1x2＝k2+k，Δ＝（2k+3）2﹣4（k2+k）＞0，则k． ∵x1+x2＝7﹣x1x2， ∴2k+3＝7﹣k2﹣k ∴k1＝1，k2＝﹣4． 又∵k， ∴k＝1． 故选：C． 【变式1】已知α，β是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　） A．3 B．3或﹣1 C．1 D．﹣3或1 【答案】A 【解答】解：∵α，β是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根， ∴α+β＝﹣2m﹣3，αβ＝m2． ∵，即1． ∴1，即m2﹣2m﹣3＝0． ∴（m﹣3）（m+1）＝0， ∴m＝3，m＝﹣1． Δ＝（2m+3）2﹣4•m2 ＝（2m+3+2m）（2m+3﹣2m） ＝3（4m+3） ＝12m+9． ∵方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根， ∴12m+9＞0． ∴m． ∴m＝3． 故选：A． 【变式2】关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根的倒数和为1，则m＝（　　） A．﹣2或0 B．2或0 C．2 D．0 【答案】C 【解答】解：设方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根为a和b， 则a+b＝2m+2，ab＝m2+2， ∵1， ∴1， 解得m＝2或0， 经检验，m＝2或0都是1的解， ∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）＝2m+1﹣2≥0， ∴m， ∴m＝2． 故选：C． 【变式3】若关于x的方程（k+2）x2+3x+k2＝0的两根互为倒数，则k＝（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．±1 【答案】C 【解答】解：设x1，x2是方程（k+2）x2+3x+k2＝0的两根， ∴， ∵两根互为倒数， ∴， 解得k＝﹣1或2； ∵方程有两个实数根，Δ≥0， ∴当k＝2时，Δ＝32﹣4×4×4＜0，舍去， 故k的值为﹣1． 故选：C． 题型06 根与系数的关系与根的判别式的综合 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根，分别为x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）当2（x1+x2）+x1x2+10＝0时，求m的值． 【答案】（1）m≤7； （2）m＝1． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根， ∴Δ＝42﹣4×1×（m﹣3）＝28﹣4m≥0， 解得：m≤7， ∴m的取值范围为m≤7； （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根， ∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝m﹣3， ∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0， ∴2×（﹣4）+m﹣3+10＝0， 解得：m＝1， ∴m的值为1． 【变式1】已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m，求实数m的值． 【答案】（1）m≥﹣1且m≠1； （2）m＝﹣1． 【解答】解：（1）由条件可知： b2﹣4ac＝[2（m+1）]2﹣4（m﹣1）（m+1） ＝4（m2+2m+1）﹣4m2+4 ＝8m+8≥0，且m﹣1≠0， 解得：m≥﹣1且m≠1， 即m的取值范围是m≥﹣1且m≠1； （2）∵，， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣x1﹣x2+1＝﹣m， ， 化简得到： ， ， 4m+2＝﹣m2+m， m2+3m+2＝0， ∴（m+2）（m+1）＝0， 解得：m＝﹣2或m＝﹣1， ∵m≥﹣1且m≠1， ∴m＝﹣1． 【变式2】已知关于x的方程：x2+2kx+k2﹣3＝0，其中k是常数． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若m、n是此方程的两个根，当k＝1时，求代数式2025﹣m2+2m+4n的值． 【答案】（1）见解答； （2）2015． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k）2﹣4（k2﹣3） ＝4k2﹣4k2+12 ＝12＞0， ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣2＝0， ∵m是方程的根， ∴m2+2m﹣2＝0， ∴m2＝﹣2m+2， ∴2025﹣m2+2m+4n＝2025﹣（﹣2m+2）+2m+4n＝2025+2m﹣2+2m+4n＝2025+4（m+n）﹣2， ∵m、n是方程x2+2x﹣2＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2， ∴2025﹣m2+2m+4n＝2025+4×（﹣2）﹣2＝2015． 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）当m＝1时，解该一元二次方程； （2）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （3）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1； （2）见解答； （3）或1． 【解答】（1）解：当m＝1时，原方程为x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1； （2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）＝（4m﹣1）2≥0， ∴不论m为何实数，方程总有实数根； （3）解：∵x1x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2m﹣1， ∵， ∴， ∴，整理，得5m2﹣7m+2＝0， 解得，m2＝1， ∴m的值为或1． 1．若a，b是方程x2﹣2025x+1＝0的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B．a+b＝﹣2025 C．ab＝1 D．ab＝﹣1 【答案】C 【解答】解：由条件可得，， 故选：C． 2．一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有两个实数根a，b，那么一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解答】解：根据题意得a+b＝2，ab＝﹣5， 所以一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b化为y＝﹣6x+2， 所以一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b的图象经过第一、二、四象限， 即一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b的图象一定不经过第三象限． 故选：C． 3．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．10 【答案】D 【解答】解：根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3， 所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣2×（﹣3）＝10． 故选：D． 4．若α，β是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣2β+3的值为（　　） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 【答案】A 【解答】解：由条件可知α2+α﹣2023＝0，α+β＝﹣1， 即α2+α＝2023， ∴α2﹣α﹣2β+3 ＝α2+α﹣2α﹣2β+3 ＝α2+α﹣2（α+β）+3 ＝2023﹣2×（﹣1）+3 ＝2023+2+3 ＝2028． 故选：A． 5．已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解答】∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根， ∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1， ∴原式＝（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β） ＝9αβ ＝9， 故选：A． 6．小影和小冬在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，小冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为﹣2和﹣5，则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 【答案】B 【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， 由题知， ，， 所以b＝﹣7a，c＝10a， 所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0， 则x2﹣7x+10＝0． 故选：B． 7．设直角三角的两条直角边a，b是方程2x2﹣6x+1＝0的两个根，则该直角三角形的斜边为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：由题意可知：a+b＝3，， ∴， ∴该直角三角形的斜边为， 故选：B． 8．实数a、b（a≠b）满足a2﹣5a﹣1＝0，b2﹣5b﹣1＝0，则（　　） A．a+b＝5，a2+6b＞0 B．a+b＝5，a2+6b＜0 C．a+b＝﹣5，a2+6b＞0 D．a+b＝﹣5，a2+6b＜0 【答案】A 【解答】解：∵实数a、b（a≠b）满足a2﹣5a﹣1＝0，b2﹣5b﹣1＝0， ∴实数a、b（a≠b）可以看作是关于x的方程x2﹣5x﹣1＝0的两个不同的实数根， ∴a+b＝5，故选项C、D都不符合题意； ∴a＝5﹣b， ∴a2+6b， ＝（5﹣b）2+6b ＝b2﹣10b+25+6b ＝b2﹣4b+25 ＝（b﹣2）2+21＞0，故选项A符合题意，选项B不符合题意； 故选：A． 9．若关于x的方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根，且两根之和不小于﹣6，则代数式化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2m﹣1 D．﹣2m+1 【答案】D 【解答】解：方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根， ∴Δ＝[﹣2（m﹣2）]2﹣4×1×（m2﹣2m）＝﹣8m+16≥0， ∴m≤2， 设关于x的方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2（m﹣2）， ∵两根之和不小于﹣6， ∴2（m﹣2）≥﹣6， 解得m≥﹣1， ∴﹣1≤m≤2， ∴ |m+1| |m+1| ＝|m﹣2|﹣|m+1| ＝2﹣m﹣m﹣1 ＝﹣2m+1， 故选：D． 10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：①解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2， ∵x2＝2x1， ∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程，①正确； ②解方程（x﹣2）（mx+n）＝0得x1＝2，x2， ∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程， ∴2＝2×（）或2×2， ∴m＝﹣n或4m＝﹣n， ∴m+n＝0或4m+n＝0，故②不正确； ③解方程px2+3x+q＝0得x， ∵pq＝2， ∴x1或x2， ∴x2＝2x1， ∴关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程，故③正确； ④设方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2， 则x1+x2，x1x2， ∵关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程， ∴令x2＝2x1， ∴x1+2x1，x1•2x1， ∴3x1，2， ∴x1， ∴2×（）2， ∴2b2＝9ac．故④正确． 故选：D． 11．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣4＝0的一个根等于4，则另一个根为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：设方程的另一个为x1， ∵关于x的一元二次方程x2+ax﹣4＝0的一个根等于4， ∴4x1＝﹣4， 即x1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个非零实数根分别是m和2m，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知x的一元二次方程为（x﹣m）（x﹣2m）＝0， 展开得x2﹣3mx+2m2＝0， ∴b＝﹣3m，c＝2m2． ∴， 故答案为：． 13．实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，则的值是 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n， ∴m与n为方程x2﹣3x+2＝0的两个根， ∴m+n＝3，mn＝1， 则原式3． 故答案为：3． 14．α，β是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的两实数根，且，则m的值为 　﹣3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a，β是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的两实数根， ∴α+β＝2，α•β＝m， ∵， ∴， ∴， 解得：m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 15．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0， 化简得x2+10x+7＝0， ∵m，n是该方程的两根， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴， 故答案为：． 16．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）（x1+1）（x2+1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得x1+x22，x1x2， （1）原式＝x1x2+x1+x2+12+1； （2）原式． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝1是一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0的一个根．求方程的另一个根． 【答案】（1）证明见解答； （2）方程的另一个根为x＝7． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+4）]2﹣4×1•（2m﹣1） ＝m2+20， ∴m2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵x＝1是一元二次方程一个根， ∴1﹣（m+4）+2m﹣1＝0， 解得m＝4， 此时，原一元二次方程为x2﹣8x+7＝0， 解得x1＝1，x2＝7， 所以方程的另一个根为x＝7． 18．已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长． 【答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形； （2）▱ABCD的周长是5． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD． 又∵AB、AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m0的两个实数根， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×2×（m）＝2（m﹣1）2＝0， ∴m＝1， ∴当m为1时，四边形ABCD是菱形； （2）把x＝2代入原方程，得：8﹣4m+m0， 解得：m， 将m代入原方程，得：2x2﹣5x+2＝0， ∴方程的另一根AD＝1÷2， ∴▱ABCD的周长是2×（2）＝5． 19．已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数． （1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和． （2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由． （3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围． 【答案】（1）50； （2）a＜b，理由见解析； （3）． 【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣2时，方程为x2﹣6x﹣7＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， ∴， 即两根的平方和为50． （2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得： 4a2﹣4a2﹣a+2b＝0， 整理得：， ∴， ∴， 即a＜b； （3）由题可知Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0， 整理得：， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，恒成立， ∴． 20．定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：，即，解得，x2＝1， ∵，∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　不是　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，求b+c的值． 【答案】（1）不是； （2）或； （3）2． 【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝2，x2＝3， ∵|3﹣2|≠|3×2|， ∴方程x2﹣5x+6＝0不是“差积方程”， 故答案为：不是； （2）x2﹣（m+3）x+3m＝0， （x﹣3）（x﹣m）＝0， 解得：x1＝3，x2＝m， ∵关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”， ∴|3﹣m|＝|3m|， 分三种情况讨论： ①当m≥3时，m﹣3＝3m， ﹣2m＝3， m＝﹣1.5（不合题意舍去）； ②当0≤m＜3时， 3﹣m＝3m， 4m＝3， ； ③当m＜0时， 3﹣m＝﹣3m， 2m＝﹣3， ； 综上可知：m的值为或； （3）设关于x的方程x2+bx+c＝0的根为﹣1和t， ∴﹣1+t＝﹣b，﹣t＝c， ∵关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”， ∴|﹣1﹣t|＝|（﹣1）•t|， ∴|1+t|＝|t|， 当t≥1时，1+t＝t（无解）； 当0≤t＜1时，1+t＝t（无解）； 当t＜0时，t+1＝﹣t， 解得：， ∴， 解得：， ∴.. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.5 一元二次方程组根与系数的关系 教学目标 1. 掌握根与系数的关系并能够熟练运用其求值。 2. 掌握根与系数的关系的拓展式子，并能够熟练应用其求相关式子的值。 3. 能综合应用根与系数的关系的所有式子解决相应的问题。 教学重难点 1. 重点 （1）根与系数的关系的基本式子； （2）根与系数的关系的变形拓展式； 2. 难点 （1）根与系数的关系的变形拓展式的求值； （2）利用根与系数的关系求代数式的值； （3）利用根与系数的关系求方程中的位置参数。 知识点01 根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ① ；② 。 【即学即练1】 1．设一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则下列选项正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝﹣2 C． D．x1x2＝1 【即学即练2】 2．已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（　　） A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030 【即学即练3】 3．已知x＝2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．﹣5 B．1 C．2 D．﹣1 知识点02 跟与次数的关系的变形拓展 1. 根与系数的关系的推广应用： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 ⑥ 。 【即学即练1】 4．设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则的值是（　　） A．﹣2 B．10 C．2 D．﹣10 【即学即练2】 5．已知a，b是一元二次方程2x2﹣4x＝3的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6 【即学即练3】 6．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5 【即学即练4】 7．已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 【即学即练5】 8．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型01 利用根与系数的关系求两个的和与积 【典例1】若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（　　） A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10 【变式1】已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【变式2】若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝﹣2 B．x1+x2＝2 C．x1x2＝3 D． 【变式3】若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（　　） A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023 题型02 利用根与系数的关系求变形拓展式子的值 对式子进行运算变形，最终用x1+x2，x1·x2来表示，在带入求值。 【典例1】已知x1和x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A．6 B．2 C．﹣4 D．3 【变式1】若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则的值为　 　 ． 【变式2】若x1，x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式4】方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣33 B．15 C．﹣28 D．﹣21 【变式5】设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则（　　） A． B． C．3 D．5 【变式6】已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型03 利用根与系数的关系求代数式的值 对式子变形，通常把高次方通过方程降次处理，最后变形为两根之和与两个之积的形式再带入求值。 【典例1】设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（　　） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【变式1】若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2023 B．2027 C．﹣2023 D．4050 【变式2】已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（　　） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【变式3】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【变式4】已知方程x2﹣2025x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为　 ． 题型04 根据已知根及根与系数的关系求方程的另一个根 【典例1】若一元二次方程x2+5x+4＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（　　） A．4 B．1 C．0 D．﹣4 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个实数根为2，则另一个实数根是（　　） A．﹣8 B．﹣3 C．3 D．4 【变式2】方程﹣2x2+kx﹣3＝0的一个根为2，则另一个根为（　　） A． B．1 C． D． 【变式3】已知关于y的方程y2﹣ky+2025＝0的一个根1，则方程的另一个根为 　 　 ． 题型05 根据根与系数的关系满足的式子求未知参数 【典例1】若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+k＝0的两个根，且x1+x2＝7﹣x1x2，则k的值为（　　） A．﹣4或1 B．﹣4 C．1 D．1或4 【变式1】已知α，β是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　） A．3 B．3或﹣1 C．1 D．﹣3或1 【变式2】关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根的倒数和为1，则m＝（　　） A．﹣2或0 B．2或0 C．2 D．0 【变式3】若关于x的方程（k+2）x2+3x+k2＝0的两根互为倒数，则k＝（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．±1 题型06 根与系数的关系与根的判别式的综合 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根，分别为x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）当2（x1+x2）+x1x2+10＝0时，求m的值． 【变式1】已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m，求实数m的值． 【变式2】已知关于x的方程：x2+2kx+k2﹣3＝0，其中k是常数． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若m、n是此方程的两个根，当k＝1时，求代数式2025﹣m2+2m+4n的值． 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）当m＝1时，解该一元二次方程； （2）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （3）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 1．若a，b是方程x2﹣2025x+1＝0的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B．a+b＝﹣2025 C．ab＝1 D．ab＝﹣1 2．一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有两个实数根a，b，那么一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．10 4．若α，β是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣2β+3的值为（　　） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 5．已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 6．小影和小冬在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，小冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为﹣2和﹣5，则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 7．设直角三角的两条直角边a，b是方程2x2﹣6x+1＝0的两个根，则该直角三角形的斜边为（　　） A． B． C．3 D． 8．实数a、b（a≠b）满足a2﹣5a﹣1＝0，b2﹣5b﹣1＝0，则（　　） A．a+b＝5，a2+6b＞0 B．a+b＝5，a2+6b＜0 C．a+b＝﹣5，a2+6b＞0 D．a+b＝﹣5，a2+6b＜0 9．若关于x的方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根，且两根之和不小于﹣6，则代数式化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2m﹣1 D．﹣2m+1 10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 11．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣4＝0的一个根等于4，则另一个根为 　 　 ． 12．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个非零实数根分别是m和2m，则　 　 ． 13．实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，则的值是 　 　 ． 14．α，β是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的两实数根，且，则m的值为 　 　 ． 15．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　 　 ． 16．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）（x1+1）（x2+1）； （2）． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝1是一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0的一个根．求方程的另一个根． 18．已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长． 19．已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数． （1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和． （2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由． （3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围． 20．定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：，即，解得，x2＝1， ∵，∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，求b+c的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$