第10章 第8节 概率与统计的综合问题(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 　第八节　概率与统计的综合问题 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （八十三） 点击进入word 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 题型一　频率分布直方图与分布列的综合问题 [例1]　(2025·四川成都模拟)某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据(单位：千克)都在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(40，64))内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下： (1)从A种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为X，求X的分布列及数学期望； (2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断B种茶叶的亩产量属于上述哪种类型． 解　(1)亩产不低于56千克频率为4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.025＋0.0125))＝0.15， 所以亩产不低于56千克的数据共有20×0.15＝3个， 故X的所有可能取值为0，1，2， P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝0))＝0,3) eq \f(CC eq \o\al(2,17),C eq \o\al(2,20)) ＝ eq \f(136,190)，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝1))＝1,3) eq \f(CC eq \o\al(1,17),C eq \o\al(2,20)) ＝ eq \f(51,190)，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝2))＝2,3) eq \f(CC eq \o\al(0,17),C eq \o\al(2,20)) ＝ eq \f(3,190)， ∴X的分布列为 ∴X的数学期望E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))＝0× eq \f(136,190)＋1× eq \f(51,190)＋2× eq \f(3,190)＝ eq \f(57,190)＝ eq \f(3,10). (2)根据以上直方图数据，茶叶B亩产平均数为： 42×0.05＋46×0.1＋50×0.15＋54×0.35＋58×0.2＋62×0.15＝54， 设中位数为x，由0.05＋0.1＋0.15＋0.0875× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－52))＝0.5得x＝54 eq \f(2,7)， 因为54 eq \f(2,7)>54，所以B种茶的亩产属于“左拖尾分布”． eq \a\vs4\al([思维升华]) 高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据．概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来．　 　[即时训练] 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，4))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(4，6))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(6，8))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(8，10))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(10，12))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(12，14))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(14，16))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(16，18))九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(6，8))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(14，16))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(16，18))三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(14，16))内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有学生中随机抽取8名学生，用P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k))表示这8名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(8，12))内的概率，其中k＝0，1，2，…，8.当P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k))最大时，请直接写出k的值．(不需要说明理由) 解　(1)由概率和为1得：2×(0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋a＋0.05＋0.04＋0.01)＝1， 解得a＝0.1. (2)由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(6，8))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(14，16))、 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(16，18))三组内的学生人数分别为：500×0.10＝50人，500×0.08＝40人，500×0.02＝10人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则应从阅读时间在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(6，8))中抽取5人，从阅读时间在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(14，16))中抽取4人，从阅读时间在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(16，18))中抽取1人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝3,6) eq \f(C,C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(20,120)＝ eq \f(1,6)，P(X＝1)＝1,4) eq \f(CC eq \o\al(2,6),C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(60,120)＝ eq \f(1,2)，P(X＝2)＝2,4) eq \f(CC eq \o\al(1,6),C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(36,120)＝ eq \f(3,10)，P(X＝3)＝3,4) eq \f(C,C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(4,120)＝ eq \f(1,30)， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,6) eq \f(1,2) eq \f(3,10) eq \f(1,30) 数学期望E(X)＝1× eq \f(1,2)＋2× eq \f(3,10)＋3× eq \f(1,30)＝ eq \f(6,5). (3)k＝4，理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在(8，12]内的概率为0.50， 从该地区所有学生中随机抽取8名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在(8，12]内的分布列服从二项分布X～B(8，0.50)， P(X＝k)＝C eq \o\al(k,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))8-k＝C eq \o\al(k,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8，由组合数的性质可得k＝4时P(k)最大． 题型二　回归模型与分布列的综合问题 [例2]　(2025·牡丹江模拟)近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间．但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数．为了解本班情况，一位同学统计了一周(5天)的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据： (1)利用最小二乘法，求变量x，y之间的线性回归方程； (2)预测当温度为－8℃时，该班级在本节课间的出楼人数(人数：四舍五入取整数)； (3)为了号召学生能够增加室外活动时间，学校举行拔河比赛，采取3局2胜制(无平局).在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜的概率均为 eq \f(3,5)，设随机变量X表示甲班获胜的局数，求X的分布列和期望． 附：用最小二乘法求线性回归方程 eq \o(y,\s\up15(^))＝ eq \o(b,\s\up15(^))x＋ eq \o(a,\s\up15(^))的系数： eq \o(b,\s\up15(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yi－\o(y,\s\up15(－)))),\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))2)＝2,i) eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up15(－))\o(y,\s\up15(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up15(－))2) ， eq \o(a,\s\up15(^))＝ eq \o(y,\s\up15(－))－ eq \o(b,\s\up15(^)) eq \o(x,\s\up15(－)). 解　(1)因为 eq \o(x,\s\up15(－))＝ eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋10＋11＋15＋17))＝12， eq \o(y,\s\up15(－))＝ eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20＋16＋17＋10＋7))＝14， eq \i\su(i＝1,5, ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－)))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yi－\o(y,\s\up15(－))))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－12))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－14))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－12))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16－14))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11－12))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(17－14))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－12))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－14))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(17－12))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－14))＝－84， eq \i\su(i＝1,5, ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))2＝25＋4＋1＋9＋25＝64， 所以 eq \o(b,\s\up15(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,5, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yi－\o(y,\s\up15(－)))),\i\su(i＝1,5,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))2)＝－ eq \f(21,16)， eq \o(a,\s\up15(^))＝ eq \o(y,\s\up15(－))－ eq \o(b,\s\up15(^)) eq \o(x,\s\up15(－))＝14－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,16)))×12＝ eq \f(119,4)，故线性回归直线方程为 eq \o(y,\s\up15(^))＝－ eq \f(21,16)x＋ eq \f(119,4). eq \i\su(i＝1,5, ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))2＝25＋4＋1＋9＋25＝64， 所以 eq \o(b,\s\up15(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,5, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yi－\o(y,\s\up15(－)))),\i\su(i＝1,5, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))2)＝－ eq \f(21,16)， eq \o(a,\s\up15(^))＝ eq \o(y,\s\up15(－))－ eq \o(b,\s\up15(^)) eq \o(x,\s\up15(－))＝14－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,16)))×12＝ eq \f(119,4)，故线性回归直线方程为 eq \o(y,\s\up15(^))＝－ eq \f(21,16)x＋ eq \f(119,4). (2)当x＝8时， eq \o(y,\s\up15(^))＝－ eq \f(21,16)×8＋ eq \f(119,4)≈19(人)， 所以预测当温度为－8℃时，该班级在本节课间的出楼人数为19人． (3)随机变量X可取0，1，2. P(X＝0)＝ eq \f(2,5)× eq \f(2,5)＝ eq \f(4,25)，P(X＝1)＝ eq \f(3,5)× eq \f(2,5)× eq \f(2,5)＋ eq \f(2,5)× eq \f(3,5)× eq \f(2,5)＝ eq \f(24,125)， P(X＝2)＝ eq \f(3,5)× eq \f(3,5)＋ eq \f(3,5)× eq \f(2,5)× eq \f(3,5)＋ eq \f(2,5)× eq \f(3,5)× eq \f(3,5)＝ eq \f(81,125)， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(4,25) eq \f(24,125) eq \f(81,125) 所以X的数学期望为E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))＝0× eq \f(4,25)＋1× eq \f(24,125)＋2× eq \f(81,125)＝ eq \f(186,125). eq \a\vs4\al([思维升华]) 高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程时要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算．求解概率问题时要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键． 　[即时训练] (2025·湖南常德模拟)火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉．某市火车站为了解每年火车的正点率x%对每年顾客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年(2016年～2023年)每年火车正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值． 　[即时训练] (2025·湖南常德模拟)火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉．某市火车站为了解每年火车的正点率x%对每年顾客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年(2016年～2023年)每年火车正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值． (1)求y关于x的经验回归方程；若预计2025年火车的正点率为84%，试估算2025年顾客对火车站投诉的次数； (2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为X，求X的分布列和数学期望． 附：经验回归直线 eq \o(y,\s\up15(^))＝ eq \o(b,\s\up15(^))x＋a的斜率和截距的最小二乘 法估计公式分别为： eq \o(b,\s\up15(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up15(－))\o(y,\s\up15(－)),\i\su(i＝1,n, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))2)， eq \o(a,\s\up15(^))＝ eq \o(y,\s\up15(－))－ eq \o(b,\s\up15(^)) eq \o(x,\s\up15(－)). 解　(1)由题设 eq \o(x,\s\up15(－))＝ eq \f(600,8)＝75， eq \o(y,\s\up15(－))＝ eq \f(592,8)＝74，则 eq \o(b,\s\up15(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up15(－))\o(y,\s\up15(－)),\i\su(i＝1,n, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\o(x,\s\up15(－))))2)＝ eq \f(43837.2－8×75×74,93.8)＝－6， 所以 eq \o(a,\s\up15(^))＝ eq \o(y,\s\up15(－))－ eq \o(b,\s\up15(^)) eq \o(x,\s\up15(－))＝74＋6×75＝524，所以 eq \o(y,\s\up15(^))＝－6x＋524. 当x＝84时，代入 eq \o(y,\s\up15(^))＝－6x＋524，得到y＝20， 所以2025年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次． (2)由题意，X服从超几何分布，可取0，1，2， P(X＝0)＝0,2) eq \f(CC eq \o\al(3,6),C eq \o\al(3,8)) ＝ eq \f(5,14)，P(X＝1)＝1,2) eq \f(CC eq \o\al(2,6),C eq \o\al(3,8)) ＝ eq \f(15,28)，P(X＝2)＝2,2) eq \f(CC eq \o\al(1,6),C eq \o\al(3,8)) ＝ eq \f(3,28)， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(5,14) eq \f(15,28) eq \f(3,28) 所以E(X)＝0× eq \f(5,14)＋1× eq \f(15,28)＋2× eq \f(3,28)＝ eq \f(3,4). 题型三　独立性检验与分布列的综合问题 [例3]　(2025·聊城模拟)某中学在学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表： (1)利用上述样本数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异； (2)假设该校所有学生中有 eq \f(3,5)的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为 eq \f(1,5)，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为 eq \f(1,10)．若从该校所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E(X).　 附：χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)由题意可得选择物理类的总人数为300，其中选择生物学科的人数为180，不选择生物学科的人数为120；选择历史类的总人数为200，其中选择生物学科的人数为80，不选择生物学科的人数为120，据此完善2×2列联表如下： 零假设为H0：两类学生对生物学科的选法没有差异． 由表中数据可得χ2＝ eq \f(500×(180×120－120×80)2,300×200×260×240)＝ eq \f(250,13)≈19.231>10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验可知零假设不成立，即可以认为两类学生对生物学科的选法存在差异，且此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)记“学生选择物理类”为事件M，“学生选择历史类”为事件N，“同时选择地理和化学”为事件C， 则P(M)＝ eq \f(3,5)，P(N)＝1－P(M)＝ eq \f(2,5)，P(C|M)＝ eq \f(1,5)，P(C|N)＝ eq \f(1,10)， 故P(C)＝P(M)P(C|M)＋P(N)P(C|N)＝ eq \f(3,5)× eq \f(1,5)＋ eq \f(2,5)× eq \f(1,10)＝ eq \f(4,25)， 由题意可得X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100，\f(4,25)))， 则随机变量X的均值E(X)＝100× eq \f(4,25)＝16. eq \a\vs4\al([思维升华]) 高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关．解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型． 　[即时训练] (2025·云南师大附中模拟)某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据(单位：人)： 根据上述信息，解决下列问题： (1)根据小概率值α＝0.10的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关； (2)从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人．现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：χ2＝ eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ad－bc))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋d)))，其中n＝a＋b＋c＋d. 根据上述信息，解决下列问题： (1)根据小概率值α＝0.10的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关； (2)从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人．现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：χ2＝ eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ad－bc))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋d)))，其中n＝a＋b＋c＋d. 解　(1)由题意得χ2＝ eq \f(120×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40×15－35×30))2,70×50×75×45)≈2.057<2.706＝x0.10， 故根据小概率值α＝0.10的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关． (2)由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人， 由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为2∶1，故随机抽取6人中有4名男性和2名女性， 故X的取值可能为0，1，2， 则P(X＝0)＝2,4) eq \f(C,C eq \o\al(2,6)) ＝ eq \f(2,5)，P(X＝1)＝1,4) eq \f(CC eq \o\al(1,2),C eq \o\al(2,6)) ＝ eq \f(8,15)，P(X＝2)＝0,4) eq \f(CC eq \o\al(2,2),C eq \o\al(2,6)) ＝ eq \f(1,15)， 故X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(2,5) eq \f(8,15) eq \f(1,15) 故E(X)＝0× eq \f(2,5)＋1× eq \f(8,15)＋2× eq \f(1,15)＝ eq \f(2,3). $$